2 Độ đo trên các không gian compact địa phương
2.1.1 Định nghĩa độ đo
2.1.1.1. Cho E là một không gian compact. Ký hiệu C(E) là tập hợp các hàm số thực, liên tục trên E. Ta biết rằng C(E)là một không gian vectơ trên trường số thực R. Trên không gian này,
||f||= sup
x∈E
|f(x)|
là một chuẩn, xác định trên C(E) tôpô đều. Với tôpô này C(E) là một không gian Banach thực. Ngoài ra C(E) là một đại số giao hoán trên R (Phép nhân
f g được định nghĩa bởi ánh xạ x → f(x)g(x) và tôpô định nghĩa ở trên tương thích với cấu trúc đại số, cụ thể ta có ||f g|| ≤ ||f|| · ||g||).
2.1.1.2. Định nghĩa
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục µ trên C(E) gọi là độ đo Radon trên E (hoặc ngắn gọn là độ đo); giá trị của µ tại một hàm liên tục f gọi là tích phân của f theo độ đo µ.
Nói rằng µ là một độ đo trên E đồng nghĩa với nói rằng ánh xạ f → µ(f)
từ C(E) vào R thỏa mãn các điều kiện sau: a) µ(f +g) = µ(f) +µ(g), ∀f, g ∈ C(E);
b) µ(αf) =αµ(f) với mọi α∈R và f ∈C(E);
c) tồn tại một số a≥ 0, hữu hạn sao cho |µ(f)| ≤ a||f||, ∀f ∈ C(E).
Tích phân của một hàm f ∈ C(E) theo độ đo µ ký hiệu là µ(f), hoặc là
< f, µ >; ta cũng sử dụng các ký hiệu thông dụng sau R f dµ hoặc R f(x)dµ(x). Khi f = 1 là hàm hằng số, ta viết R dµ thay cho R 1dµ. Với mọi số thực α ta có R αdµ=αR dµ.
Ký hiệu M(E) là tập hợp các độ đo trên E. Đây là một không gian vectơ trên R và chính là đối ngẫu của không gian C(E).
2.1.1.3. Ví dụ về độ đo
a. Cho E là một không gian compact, a là một điểm của E; khi đó ánh xạ
f →f(a) là một độ đo trên E. Ta nói rằng độ đo này xác định bởi một đơn vị khối lượng đặt tại điểm a.
b. Tổng quát hơn, xét một dãy vô hạn (an) các điểm của E và ấn định cho mỗianmột số thựcαn thỏa mãn
∞
P
n=1
|αn| < +∞. Khi đó với mọi hàmf ∈C(E), chuỗi với số hạng tổng quát f(an)αn hội tụ tuyệt đối, vì dãy (|f(an)|) bị chặn bởi số ||f||. Ta đặt µ(f) = ∞ P n=1 f(an)αn, rõ ràng µlà một phiếm hàm tuyến tính trên C(E); Nó liên tục vì |µ(f)| ≤ ∞ X n=1 |f(an)| · |αn| ≤ ||f|| · ∞ X n=1 |αn|.
Vậyµ là một độ đo trên E. Ta nói rằng nó được xác định bởi các khối lượng
αn đặt tại các điểm an thuộc E. Ví dụ a. tương ứng với trường hợp α1 = 1 còn
αn = 0 với mọi n6= 1.
c. Ký hiệu E = [a, b] là một khoảng compact của R, không suy biến thành một điểm, với mọi hàm f ∈ C(E) xét tích phân quen biết của f:
I(f) =
b
Z
a
f(x)dx.
Ánh xạ f → I(f) là một phiếm hàm tuyến tính trên C(E), nó liên tục vì theo định lý trung bình, ta có
|I(f)| ≤(b−a) sup
a≤x≤b
|f(x)| = (b−a)||f||.
Vậy f → I(f) là một độ đo trên E, gọi là độ đo Lebesgue trên E (cách gọi này sẽ được chứng thực ở phần sau). Thuật ngữ tích phân và ký hiệu
I(f) =
b
R
a
f(x)dx, là sự suy rộng của thuật ngữ cũng như ký hiệu dùng trong trường hợp riêng này.