2 Độ đo trên các không gian compact địa phương
2.2.2 Định nghĩa một độ đo
2.2.2.1. Định nghĩa
Ta gọi độ đo Radon (hoặc đơn giản độ đo) trên một không gian compact địa phương E, mọi phiếm hàm tuyến tính µ trên không gian vectơ Cc(E) của các hàm thực liên tục trong E, có giá compact và thỏa mãn điều kiện sau: Với mọi
tập compact K của E, hạn chế của µ lên không gian con Cc(E, K) của các hàm thuộc Cc(E) có giá chứa trong K, là liên tục đối với tôpô hội tụ đều.
Điều trên có nghĩa là, với mọi tập compactK củaE, tồn tại một sốMK ≥0, chỉ phụ thuộc vào K và µ, sao cho ta có, với mọi hàm f ∈ Cc(E) mà giá chứa trong K,
|µ(f)| ≤Mk||f||.
Định nghĩa này trùng với định nghĩa cho trong mục 1 khiE là compact. Nếu
µ là một độ đo trên một không gian compact địa phương E, thì giá trị µ(f)
của độ đo này tại một hàm f ∈ Cc(E) gọi là tích phân của f đối với độ đo µ,
và được ký hiệu là < f, µ > hoặc R f dµ hoặcR f(x)dµ(x). Ta ký hiệu M(E), tập hợp các độ đo trên E; đây là một không gian vectơ trên R. Ta có thể định nghĩa trên Cc(E) một tôpô của không gian lồi địa phương, tách, sao cho các độ đo trên E trùng với các phiếm hàm tuyến tính trên Cc(E), liên tục đối với tôpô này. Khi đó M(E) là đối ngẫu của không gian vectơ tôpô Cc(E).
Ví dụ: với mọi hàm f ∈Cc(R), tồn tại một khoảng compact [a, b] của R mà ngoài khoảng đó hàm f triệt tiêu; tích phân
I(f) = +∞ Z −∞ f(x)dx = b Z a f(x)dx
được xác định; ngoài ra, theo định lý về giá trị trung bình, ta có |I(f)| ≤ (b−a)||f||.
Điều đó chứng tỏf →I(f)là một độ đo trênR, mà ta gọi là độ đo Lebesgue. Ghi chú: Việc cho một độ đo µ trên một không gian compact địa phương
E định nghĩa trên E (với tôpô của E) một cấu trúc. Không gian E với cấu trúc này gọi là không gian đo compact địa phương. Giả sử E1 là một không gian thứ hai, ϕlà một song ánh từ E lên E1 theo các định nghĩa tổng quát, cấu trúc của không gian đo compact địa phương nhận được như là ảnh trên E1 với cấu trúc
của E bởi ánh xạ ϕ được định nghĩa như sau: Ta chuyển qua ϕ tôpô của E lên
E1; các hàm của Cc(E1) là các hàm f mà f ◦g ∈ Cc(E), và độ đo µ1 trên E1
được định nghĩa bởi
µ1(f) =µ(f ◦g).
Đặc biệt một tự đồng cấu của cấu trúc không gian đo compact địa phương của E là một đồng phôi σ của E sao cho ta có µ(f) = µ(f ◦σ) với mọi hàm
f ∈Cc(E). Khi đó ta nói rằng độ đo µ là bất biến bởi đồng phôi σ.
Ví dụ: Độ đo Lebesgue trên R là bất biến bởi mọi phép tịnh tiến của nhóm cộng R. Thực vậy, với mọi hàm f ∈ Cc(R) và mọi số thực a, ta có
+∞ Z −∞ f(x+a)dx = +∞ Z −∞ f(t)dt.