Vectơ và các phép toán vectơ trong 1.. Vectơ trong không gian Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10.. Đó là những k
Trang 1Vectơ và các phép toán vectơ trong
1 Vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10 Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng
hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ
và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng Dưới đây, chúng ta sẽ đưa
ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian
2 Các ví dụ
Ví dụ 1 Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi
và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây:
a)
b) Với
Giải
Nếu gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh thì
) Ta có là trung điểm của đoạn hay là trọng tâm của tứ diện b) Với Bởi vậy
.Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp
Trang 2cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc
Giải Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì trong không gian, ta đều có :
(1)
Thật vậy
Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức (1)
Bây giờ ta giả sử tứ diện có
(theo (1))
Ví dụ 3 Cho hình lập phương lần lượt là trung điểm của hai cạnh
a) Chứng minh rằng
b) Tìm của góc hợp bởi hai đường thẳng
Giải gọi là cạnh của hình lập phương
a) Ta có :
.Vậy
Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng
bằng 0 nên
Trang 3Như vậy
b) Gọi là góc hợp bởi và Ta có:
(1)
Mặt khác ta có :
Nên
Mặt khác:
, ngoài ra ta có
Thay vào (1) ta có
3 Vectơ đồng phẳng
Định nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng
chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng
Trên hình 24 các đường thẳng chứa 3 vectơ đều song song với mặt phẳng nên ba vectơ này đồng phẳng
Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ
Trang 4thì ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm nằm trên
cùng một phẳng
Định lí 1 Cho 3 vectơ trong đó không đồng thời đồng phương
Khi đó ba vectơ đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số sao cho