Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý (2018)

Nhiệm vụ nghiên cứu - Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu các khái niệm về phiếm hàm, bài toán đơn giản của phép tính biến phân.. CHƯƠNG I: C

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ - -

NGUYỄN THỊ THU THẢO

TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG

TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết

HÀ NỘI - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ - -

NGUYỄN THỊ THU THẢO

TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG

TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết

Người hường dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết cùng các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy chúng em trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự nhận xét và góp

ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiêp đúng thời hạn Đề tài khóa luận có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó Em xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các kết quả của tác giả khác

Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU 3 1.1 Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất 3

1.2 Phiếm hàm Bài toán đơn giản của phép tính biến phân 3

1.2.1 Khái niệm chung về phiếm hàm 3

1.2.2 Phép tính biến phân 4

1.2.3 Phương trình Euler 5

1.2.4 Một số bài toán vật lý và phép tính biến phân 6

1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu 10

Kết luận chương 1 13

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN 14

2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển 14

2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích 17

2.2.1 Nội dung nguyên lý 17

2.2.2 Chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát của cơ học 19

Kết luận chương 2 23

CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ HIỆN

ĐẠI 24

3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và sự khôn ngoan của ánh sáng 24

3.1.1 Giải thích ba định luật cơ bản của quang học và đường truyền của tia sáng trong môi trường chiết suất thay đổi 24

3.1.2 Ứng dụng phép tính biến phân tìm đường truyền của tia sáng 26

3.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ 28

3.2.1 Hàm tác dụng của trường điện từ 28

3.2.2 Phương trình chuyển động của một hạt 30

3.2.3 Các phương trình trường điện từ 32

3.3 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường 33

3.3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu 33

3.3.2 Các định luật bảo toàn 36

Kết luận chương 3 43

KẾT LUẬN CHUNG 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý là một nghành khoa học tự nhiên rất thú vị Nó bao trùm nhiều lĩnh vực như: Quang học, điện, cơ học, vật lý hạt nhân, vật lý lý thuyết… Trong đó, Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý.Thuyết vật lý

là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật

lý nhất định Bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học các nhà vật lý lý thuyết đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật

lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn

Trong thực tế, ta thấy giả sử một vật chuyển động từ điểm A đến điểm B, trong hàng triệu con đường vật luôn chọn con đường sao cho thời gian mà nó sử dụng là ngắn nhất Vì sao vậy? Dấu hiệu nào đề vật tìm ra con đường đó?

Nguyên lý tác dụng tối thiểu sẽ giúp chúng ta tìm ra câu trả lời cho những câu hỏi trên Về mặt lịch sử, nó được gọi là "tối thiểu" bởi vì nghiệm của nó đòi hỏi phải tìm quỹ đạo có sự thay đổi ít nhất từ các quỹ đạo gần Đây là nguyên lý tổng quát nhất của vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề Từ nguyên lý người ta có thể rút ra các phương trình chuyển động của hệ đó bằng phát biểu rằng quỹ đạo của hệ phải thỏa mãn trung bình hiệu giữa động năng

và thế năng là nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong một khoảng thời gian hay hàng loạt các biểu thức, định nghĩa, khái niệm đặc trưng trong cơ học cũng như các nguyên lý, các định luật bảo toàn trong vật lý học hiện đại Chính vì những lý do trên, tôi đã chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề tài khóa luận của mình, với nội dung

“Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý ” Tôi muốn mở rộng vốn kiến thức còn

hạn chế của mình đồng thời giới thiệu đến các bạn sinh viên trong toàn khoa

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học và trong vật lý học hiện đại

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Tìm hiểu các khái niệm về phiếm hàm, bài toán đơn giản của phép tính

biến phân

- Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển và cơ học

giải tích

- Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại

4 Đối tượng nghiên cứu

- Nguyên lý tác dụng tối thiểu

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp Vật lý lý thuyết

- Phương pháp tính tích phân

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1: Cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu

Chương 2: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học

Chương 3: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại

CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC

CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU

1.1 Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất

Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học ngày đó bằng bài toán được tóm tắt một cách dễ hiểu như sau:

"Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?" [5]

Trực giác của chúng ta có thể cho rằng đó là một đường thẳng nhưng thực ra không phải như vậy, mặc dù đường thẳng là đường có độ dài ngắn nhất Trong một cuốn sách của mình đã được xuất bản 1638, Nhà khoa học Galile cũng đã đề cập đến bài toán này và chứng minh được rằng quỹ đạo là cung tròn thì nhanh hơn quỹ đạo thẳng Tuy vậy sự lựa chọn đường đi là cung tròn của ông không phải là lời giải đúng

Bài toán đã được giải bằng phương pháp vi phân và đáp án chính là đường Cycloid Bài toán và lời giải cũng chính là minh họa cho một trong những nguyên

lý đẹp nhất của Vật lý học: Nguyên lý tác dụng tối thiểu, nó được phát biểu môt

cách đơn giản như sau “ tự nhiên luôn thực hiện mọi việc một cách hết sức tiết kiệm

và dè sẻn!” [5]

1.2 Phiếm hàm Bài toán đơn giản của phép tính biến phân

1.2.1 Khái niệm chung về phiếm hàm

Giả sử cho một phiếm hàm, tức là cho quy luật ứng với mỗi hàm (hoặc đường cong) thuộc một tập nào đó đặt tương ứng với một con số xác định Do vậy cũng

có thể xem phiếm hàm là hàm, trong đó vai trò của biến độc lập là hàm hoặc là đường cong

Để hiểu rõ hơn về phiếm hàm ta xét ví dụ sau:

Giả sử y(x) là hàm bất kì liên tục khả vi trên đoạn  a b, Ta xác định phiếm hàm

 

J y trên tập các hàm này bởi đẳng thức:

  2 

a

J y y x dx, hoặc tổng quát hơn

   ,    , 

b

a

J y F x y x y x dx Trong ví dụ trên ta bắt gặp các phiếm hàm có dạng như sau:

cực tiểu của phiếm hàm Lĩnh vực này có tên là phép tính biến phân, vì vậy khái

niệm biến phân của phiếm hàm đóng vai trò quan trọng Về cơ bản, ta có thể hiểu

phép tính biến phân là một phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểu của phiếm

hàm [1]

Để có thể hiểu được cặn kẽ bản chất các bài toán và phương pháp của phép tính biến phân ta cần làm rõ mối quan hệ của chúng với các bài toán của giải tích cổ điển, cụ thể là với việc nghiên cứu các hàm n biến Xét phiếm hàm:

và thay đường cong bởi đường gấp khúc với các đỉnh:

x A0, ,x y x1,  1 , ,x n1,B,còn phiếm hàm J y  ta sẽ thay bằng tổng

Mỗi đường gấp khúc ở trên được xác định một cách đơn trị bởi các tung độ

1, 2, , n

y y y Vì vậy bài toán biến phân có thể xem gần đúng như bài toán tìm cực trị

của hàm J y y 1, 2, ,y n n biến Euler hay sử dụng cách này Tìm cực trị của hàm n

biến, sau đó nhờ chuyển giới hạn khi n  nhận được nghiệm chính xác

1.2.3 Phương trình Euler

Giả thiết rằng F(x, y, z) là hàm có đạo hàm riêng liên tục theo mọi đối số của

nó đến cấp hai

Bài toán biến phân đơn giản được thiết lập như sau: trong tất cả các hàm y(x)

có đạo hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B hãy tìm hàm để

Nói cách khác, bài toán đơn giản của phép tính biến phân trở thành bài toán tìm

cực trị yếu của phiếm hàm J trên tập các đường cong trơn nối hai điểm cho trước Cho hàm y(x) một số gia nào đấy h(x) Để hàm y(x) + h(x) vẫn thỏa mãn điều kiện biên tức là y(a) + h(a) = A và y(b) + h(b) = B, nên ta phải có:

các dấu chấm biểu thị các số hạng bậc cao hơn một đối với h và h’, , là kí hiệu

đạo hàm riêng của F tương ứng đối với y và y’

Theo định lý điều kiện cần của cực trị là đẳng thức

Hệ thức này chính là phương trình Euler

1.2.4 Một số bài toán vật lý và phép tính biến phân

Có rất nhiều bài toán cơ học và vật lý đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của phép tính biến phân, sau đây ta xét một vài ví dụ về bài toán vật lý được giải quyết một cách đơn giản thông qua phép tính biến phân:

1 Trong số tất cả các đường thẳng nối giữa hai điểm cho trước A và B tìm

đường có độ dài ngắn nhất, tức là tìm đường y = y(x) để cho phiếm hàm:

Ta mô tả bài toán bằng hình vẽ dưới đây:

Hình 1: Một đường cong đơn giản

Để tìm đường nối hai điểm A và B, ta lấy tích phân ds từ cận a đến b, khi đó ta

có biểu thức thể hiện chiều dài đường cần tìm là:

ons ,1

y1

A C

Vậy đường có độ dài ngắn nhất nối hai điểm A và B là đường thẳng

2 Giả sử cho A và B là hai điểm cố định Thời gian để một chất điểm dưới tác dụng của trọng lực trượt dọc theo một đường nào đấy nối hai điểm khi đó sẽ phụ thuộc vào cách chọn điểm đó, tức là một phiếm hàm Tìm đường cong để chất điểm trượt từ A đến B với thời gian là ngắn nhất (bỏ qua ma sát và lực cản) Đây là bài toán đoản thời do I Bernoulli, J Bernoulli, Newtơn và L’Hoopital giải quyết Đường đoản thời là Cycloid

(trong đó A là một hằng số khác)

Chứng minh:

Chọn gốc tọa độ trùng với điểm A, A 0,0 O, hệ Oxy như hình vẽ

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta được:

2

1

02

vì F không chứa x nên phương trình Euler- Lagrange có dạng:

sin cos

1sin2

d c

đường cong đi qua A(0,0) Khi x=0, y cũng phải bằng 0 Nhưng 2 

1

1 os2

1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu

Ta xét một số ứng dụng các kết quả đã nghiên cứu được của phép tính biến

phân vào các bài toán cơ học của vật lý Giả sử cho hệ n chất điểm với các khối

lượng lần lượt , , …, và có tọa độ tương ứng , , ( i = 1, 2, …,n) Giả thiết rằng không có ràng buộc nào đặt lên hệ

Động năng của hệ bằng:

1 2

n i

sao cho các thành phần lực tác dụng lên chất điểm thứ i bằng:

Hình 3: Đường Cycloid đi từ (0,0)

(1.2)

i

U X

đấy trong không gian 3n chiều được xác định bằng các phương trình:

gọi là nguyên lý tác dụng tối thiểu

Chuyển động của hệ trong khoảng thời gian (t 0 , t 1 ) được mô tả bằng các hàm

x i (t), y i (t), z i (t), (i = 1, 2, …, n), các hàm này làm cực tiểu phiếm hàm

Biểu thức (1.4) được gọi là tác dụng theo Hamilton

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra, nguyên lý này tương đương với các phương trình

chuyển động thông thường của hệ n điểm Nếu phiếm hàm (1.4) đạt cực tiểu thì các

phương trình Euler phải được thỏa mãn:

Hàm lực U chỉ phụ thuộc vào x i , y i , z i (và không phụ thuộc vào ̇ , ̇, ̇ ), còn

dưới dạng:

0,

0

i i i

i i i

i i i

đây là các phương trình chuyển động thông thường của hệ n chất điểm Nguyên lý

tác dụng tối thiểu cũng vẫn đúng trong trường hợp khi đặt lên một hệ một vài ràng

buộc (liên kết) Trong trường hợp này các đường khả dĩ trên đó xác định phiếm hàm (1.4) phải thỏa mãn thêm các ràng buộc, tức là sử dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu vào hệ có liên kết dẫn đến bài toán biến phân cực trị có điều kiện

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU

TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN

2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển

Trong thực tế một vật có thể di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác theo hàng triệu con đường khác nhau Tuy nhiên, hình như chúng ta chỉ thấy vật lựa chọn cho mình một con đường duy nhất giữa điểm khởi đầu và điểm kết thúc Theo Feynman, con đường đó chính là con đường quan trọng đối với sự chuyển động của các vật vĩ

mô trong vô số con đường Và đây cũng chính là quỹ đạo chuyển động xuất hiện từ các định luật cổ điển của Newton

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về mối quan hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton

S được gọi là hàm tác dụng Đó là một đại lượng có đơn vị là (Năng lượng)(Thời

gian) S phụ thuộc vào L, L lại phụ thuộc vào x t thông qua phương trình

L T V Cho trước hàm bất kỳ x t , chúng ta có thể tính trước đại lượng S Bây  giờ chúng ta sẽ chỉ xét trường hợp chỉ có một tọa độ, x

Các tích phân giống như trong phương trình (2.1) được gọi là các phiếm hàm,

và S đôi khi được kí hiệu bởi S x t   Nó phụ thuộc vào toàn bộ hàm x t , và  không chỉ phụ thuộc vào một số đầu vào như là một hàm f x thông thường S có thể xem như là một hàm của một số vô hạn các biến, gọi là các giá trị của x t đối  với t biến thiên từ t1 đến t2

Bây giờ đặt câu hỏi như sau: Xét một hàm x t , với   t1 t t2,có điểm đầu và điểm cuối là cố định (nghĩa là x t 1 x1 và x t 2  x2trong đó x và 1 x được cho 2

trước), và có giá trị bất kì tại các điểm khác Hỏi với giá trị nào của hàm x t thì S  

sẽ có một điểm dừng? [4]

Ví dụ như ta xét một quả bóng rơi từ trạng thái nằm yên và xét hàm y(t) với 0

 t  1 Giả sử rằng bằng cách nào đó chúng ta biết rằng y 0 0 và  1

điểm thông thường nếu là f(b) là một giá trị dừng của f, thì f b có giá trị sai

khác đối với f(b) chỉ là một đại lượng vô cùng bé bậc hai của Điều này là đúng bởi vì f b 0,vì vậy không có số hạng bậc nhất trong khai triển của chuỗi Taylor trong lân cận xung quanh b

Giả sử hàm x t0  làm cho phiếm hàm S đạt giá trị dừng, và xét hàm

phân lên, vì vậy S chỉ là một số Nó phụ thuộc vào a cùng với t 1 và t 2 Yêu cầu của

chúng ta là đạo hàm bậc nhất của S theo biến a bằng 0 khi đó S sẽ phụ thuộc vào a

Nói cách khác a ảnh hưởng đến S thông qua ảnh hưởng của nó đến x và cũng

thông qua ảnh hưởng của nó vào x Từ phương trình (2.3), ta có :

t a

Nhưng  t1  t2 0, do đó số hạng cuối cùng sẽ bị triệt tiêu Bây giờ chúng ta

sẽ sử dụng thực tế là S x t a 

a

 phải bằng 0 đối với bất cứ  t nào, bởi vì chúng

ta đang giả thiết rằng x t là điểm dừng Để thỏa mãn 0  S x t a  0

 

0

L kx x

Đây chính là biểu thứ của định luật II Newton

2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích

2.2.1 Nội dung nguyên lý

Ta khảo sát một cơ hệ hôlônôm có N chất điểm với s bậc tự do Vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó được xác định bởi s tọa độ suy rộng

gọi là biến phân của hàm q k

Giả sử ứng với giá trị = 0 các hàm q t k ,0 = q t k  k 1, 2, ,sdiễn tả

chuyển động thực của cơ hệ trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 Khi đó chuyển động khả dĩ phù hợp với liên kết đặt lên cơ hệ rất gần với chuyển động thực của nó trong khoảng thời gian từ t đến 1 t diễn tả bằng các hàm 2 q t k , k 1, 2, ,s với  là

số thực có trị khá nhỏ Tại thời điểm t 1 và t 2 các hàm q k trùng nhau cho nên ta có:

q t k 1 0, q t k 2 0 (2.8) Bây giờ ta trình bày nguyên lý tác dụng tối thiểu mô tả chuyển động của cơ hệ

hôlônôm trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 Trong mỗi cơ hệ hôlônôm được đặc trưng bởi một hàm L nào đó có dạng:

 1, 2, , s, ,1 2, , s,   k, k, 

LL q q q q q q t L q q t

gọi là hàm Lagrange Hàm này xác định mọi đặc tính vật lý của cơ hệ hôlônôm

Lượng vô hướng Ldt gọi là tác dụng nguyên tố theo Hamiltơn Tích phân:

gọi là tác dụng theo Hamiltơn trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 Đặt q k q t k ,

và q k q t k , vào (2.9) ta có, tác dụng S là hàm của biến duy nhất là :

1

t k t

Trên cơ sở khảo sát biến phân này, ta có nội dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu

có nội dung như sau: Chuyển động thực của cơ hệ từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 chỉ xảy ra sao cho tác dụng S có giá trị cực trị (chính xác hơn là có giá trị dừng),

2.2.2 Chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát của cơ học

Trong vật lý, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề tổng quát, từ nguyên lý này ta có thể rút ra các phương trình Lagrange loại 2 và hệ phương trình Haminton

2.2.2.1 Từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm lại phương trình Lagrange loại 2

Từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu: