Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường

LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học này, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô dạy em suốt năm học qua giúp em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, người trực tiếp hướng dẫn, bảo em suốt trình thực khóa luận Do nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên khóa luận nhiều thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý, nhận xét thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Thị Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu, bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh , em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp thời hạn Đề tài có kế thừa kết nghiên cứu trước Em xin cam đoan kết nghiên cứu mình, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Thị Quỳnh Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: Cơ sở toán học 1.1 Bài toán cổ điển thời gian ngắn 1.2 Phiếm hàm biến phân cấp phiếm hàm 1.3 Một số tính chất phiếm hàm 1.4 Mở rộng Chương II: Nguyên lý tác dụng tối thiểu học 11 2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển 11 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích 18 Chương III: Nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường 26 3.1 Hàm trường hàm Lagranger 26 3.2 Hàm tác dụng S 26 3.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình Euler – Lagranger 27 3.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm định lý Noether 29 3.5 Hệ định lý Noether 33 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật đơn giản nhất, tổng quát tự nhiên Nó nghiên cứu cấu tạo quy luật vận động vật chất Trong thực tế đời sống, ta thấy vật theo đường điểm điểm đến Ví dụ đơn giản ta ném trái bóng vào rổ chẳng hạn Ta xác định đường quỹ đạo trái bóng định luật cổ điển Vậy giới hạt vi mô sao? Giả sử hạt vật chất chuyển động từ A đến B hạt lựa chọn đường hàng triệu đường nối A B? Dấu hiệu để ta tìm đường đó? Phải hạt theo đường mà đòi hỏi “ nỗ lực” nhất? Nguyên lý tác dụng tối thiểu giúp trả lời câu hỏi Đây nguyên lý tổng quát học Trong vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu tiên đề Từ nguyên lý ta rút phương trình chuyển động hệ hàng loạt định nghĩa, khái niệm đặc trưng Chính lý trên, chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề tài luận văn Với nội dung “ Nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trƣờng” muốn mở rộng vốn kiến thức hạn chế thân đồng thời giới thiệu đến bạn sinh viên toàn khoa Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu hoc cổ điển, học giải tích lý thuyết trường Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu khái niệm phiếm hàm, biến phân, qui tắc tính biến phân - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường Đối tƣợng nghiên cứu Nguyên lý tác dụng tối thiểu Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết NỘI DUNG Richard Feynman (1918-1988) nhà vật lý kiệt xuất người Mỹ Trong năm chiến tranh giới thứ II, Feynman tìm cách tư hiệu học lượng tử, nhờ ông đoạt giải Nobel năm 1965 Ông thách thức giả thuyết cổ điển cho hạt có lịch sử riêng biệt Thay vào đó, ông cho hạt di chuyển từ vị trí đến vị trí khác theo đường có qua không - thời gian ( The universe in a nutshell, Stephen Hawking ) Con đường cổ điển hạt Trong đường tích phân Feynman hạt theo đường CHƢƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Bài toán cổ điển thời gian ngắn Năm 1696, Johan Bernoulli (1667-1784) nhà toán học Thuỵ Sĩ đặt giải toán sau đây, gọi toán đoản thời Một chất điểm M chuyển động tác dụng trọng lực đường cong mặt phẳng thẳng đứng, từ O đến A không vận tốc đầu, không ma sát Trong tập hợp đường cong nối điểm O A tìm đường mà chất điểm M từ O đến A thời gian T ngắn x O M(x,y) A(x0,y0) y   s , ta có Gọi OM v ds ds  dt  dt v ds  dx  dy   ( y ') dx y'  dy dx Từ định luật bảo toàn ta có v  gy Do T 0 dt  T  g x0  ( y ')2 y  dx (1.1) Thời gian di chuyển M từ O đến A phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm y(x).Tích phân (1.1) gọi phiếm hàm Bài toán đặt đưa việc tìm hàm y=y(x) cho T lấy giá trị nhỏ 1.2 Phiếm hàm biến phân cấp phiếm hàm Phiếm hàm đơn giản tích phân phụ thuộc vào việc lựa chọn số hàm y(x) thuộc dạng: x2 J   F  x, y( x), y '( x) dx (1.2) x1 Bài toán phép tính biến phân tìm hàm y(x) làm cho phiếm hàm J đạt cực trị thoả mãn điều kiện biên : y( x1 )  y1 , y( x2 )  y2 (1.3) Giả sử hàm y(x) nghiệm cần tìm toán biến phân Ta tìm điều kiện cần mà hàm phải thoả mãn để phiếm hàm J đạt cực trị Muốn vậy, ta lập hàm y ( x) gần với hàm y(x) y ( x)  y( x)   ( x) Trong  tham số bé (1.4) y B y2  ( x) y*(x) y1 A O y(x) x1 x x2 Đường cong y=y(x) biểu diễn nghiệm cần tìm Đường y ( x) gần với đường y(x) có chung điểm mút A , B  ( x1 )   ( x2 )  (1.5) Thay (1.4) vào (1.2) ta có hàm  x2 J ( )   x1 ( x) ' ( x) y  y    F  x, y ( x)   ( x), y '( x)   '( x)  dx     (1.6) Do toán tìm cực trị phiếm hàm (1.2) đưa xét cực trị hàm biến J ( ) Như biết, muốn cần phải tìm giá trị đạo hàm dJ   Ta có: d  dJ x  F F     ( x)   '( x)  dx d x  y y '  (1.7) Tích phân thứ hai (1.7) áp dụng phương pháp tích phân phần ý điều kiện biên (1.5) Do (1.7) viết lại sau : dJ x  F d F    ( )  ( x) dx d x  y dx y '  Từ ta có : x  F d  F    dJ          ( x)dx   d  0 x  y dx  y '   (1.8) (   y ( x)  y( x) ) Mà  ( x ) hàm tuỳ ý nên từ (1.8) ta dẫn đến phương trình sau đây: d  F  F  0 dx  y '  y (1.9) (1.9) gọi phương trình Euler – Lagranger Đây phương trình vi phân thường cấp hai Nghiệm chứa hai số tuỳ ý Những số xác định từ điều kiện biên (1.3) Vậy là, hàm y(x) phải tìm - nghiệm toán biến phân nêu phải thoả mãn phương trình Euler – Lagranger (1.9) Có thể phát biểu kết thu dạng khác, đưa vào khái niệm biến phân cấp phiếm hàm J Biến phân cấp một phiếm hàm (1.2) đại lượng xác định biểu thức :  dJ   J     d  0 (1.10) Do (1.8) viết lại sau : x2  F d  F        ydx   y dx  y '   J   x1 Trong  y định nghĩa sau: 10 (1.11) Trong T động hệ, Qi lực không bảo toàn suy rộng t2 Trong (2.37), biến đổi tích phân   Tdt sau: t1 t2 n t2 t1 i 1 t1  T T  qi   qi    q  q  i i   Tdt      dt  (2.38) Tích phân thứ hai (2.38) áp dụng phương pháp tích phân phần, kết hợp với điều kiên  qi (t1 )   qi (t2 )  Ta viết lại (2.38) sau: t2 n t2 t1 i 1 t1  T d T   ( )   qi dt  qi dt qi    Tdt     (2.39) Thay (2.39) vào (2.37) ta thu phương trình sau : d  T  dt  qi  T  Qi , i  1,2 n   q  i (2.40) Vậy từ nguyên lý tác dụng tối thiểu (2.37) ta tìm phương trình vi phân chuyển động (2.40) Ngược lại, ta chứng minh từ phương trình Lagranger (2.40) ta tìm nguyên lý Haminton (2.37) Thực vậy,nhân phương trình hệ (2.40) với biến phân tương ứng toạ độ suy rộng  qi cộng biểu thức thu lại với ta có:    d T   dt  q  q n i 1   i  i   T  qi  Qi qi   qi  n   T T  qi   qi  Và ý  T    qi i 1  qi  Ta viết (2.41) dạng : n  i 1 n  d  T  q   T  Qi qi    i  dt  qi i 1  26 (2.41) Nhân biểu thức với dt lấy tích phân theo thời gian từ t đến t2 ta biểu thức nguyên lý tác dụng tối thiểu:   T  n Q  q  dt   i i  t  i 1  t2 (2.42) Vì đầu đường cố định  qi (t1 )   qi (t2 )  nên t2  i 1 t1   T   d  q  q   n i i  Cần lưu ý rằng, nguyên lý Haminton dạng (2.42) không nguyên lý biến lý biến phân nữa.Nó khẳng định chuyển động hệ từ trạng thái ứng với t1 đến trạng thái ứng với t2 dọc theo đường thực tích phân (2.42) 0.Thực vậy, lực suy rộng ta tách lực bảo toàn không bảo toàn: Qi     Qi* ,(i  1,2 n) qi Trong  Qi* lực suy rộng sinh lực không bảo toàn Chú ý   ta viết (2.42) dạng : qi   T    n Q q  dt   i i  t  i 1  t2 (2.43)   qi i 1 q i n Trong    Nhưng L  T   thời gian coi cố định nên biểu thức (2.43) cho ta: t2 n t2 t1 i 1 t1   Ldt    Qi* qi dt  Đưa vào đại lượng  S * ta viết phương trình dạng : 27 n t2  S   S    Qi* qi dt  * i 1 t1 Phương trình khẳng định  S * = đường thực, thân phiếm hàm S* lại không tồn Kết Luận Chương này, ta tìm hiểu nội dung nguyên lý tác dụng tối thiểu Từ đó, tìm đường thực hàng triệu đường Từ nguyên lý này, ta rút đươc phương trình phương trình định luật II Newton, phương trình Lagranger, hệ phương trình Hamilton 28 CHƢƠNG III NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG 3.1 Hàm trƣờng hàm Lagranger Giả sử ta có hệ gồm trường 1 ( x),2 ( x) Tương tự lý thuyết, ta mô tả hệ hàm Lagrange L(x) Nói chung, L(x) hàm phụ thuộc vào trường i ( x) nói đạo hàm bậc tuỳ ý trường này.Tuy nhiên, ta khảo sát trường hợp L(x) phụ thuộc hàm i ( x) đạo hàm bậc  i ( x) mà Điều thừa nhận coi i ( x) toạ độ suy rộng đạo hàm  i ( x) tốc độ suy rộng hệ Ta viết: (3.1) L( x)  L(i ( x), i ( x)) Trong đó:  i ( x)   i ( x) x   0,1,2,3 i = 1,2,3 Các đòi hỏi với hàm trường : Lagrangian phải hàm thực: L*(x) = L(x) (3.2) Phải bất biến tương đối tính, tức bất biến x  x ' tác dụng phép biến đổi Lorenxo L(x)  L’(x’) =L(x) (3.3) 3.2 Hàm tác dụng S Là tích phân sau : S   d x L( x) (3.4)   thể tích không gian chiều Điều kiện bất biến (3.3) kéo theo tính bất biến tương đối tính hàm tác dụng S Thật ta có: 29 S '   d x ' L( x ')   d x   D( x ') L '( x ') D( x) Theo (3.3) ta có: S '  d x  D( x ') L( x ) D ( x) Trong D( x ')  D( x) x '0 x0 x '0 x1 x '0 x2 x '0 x3 x '1 x0 x '1 x1 x '1 x2 x '1 x3 x '2 x0 x '2 x1 x '2 x2 x '2 x3 x '3 x0 x '3 x1 x '3 x2 x '3 x3 Gọi Jacobian phép biến đổi x  x’ phép biến đổi Lorenxo đồng dạng: x '   x  Hay x '   x Do đó: D ( x ')  det   1 D( x) 4 Vậy S '   d x det  L( x)   d xL( x)  S   3.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phƣơng trình Euler- Lagrange Xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu nguyên lý tổng quát, với Lagrangian xác định ta thu phương trình viết cho trường i ( x) , gọi phương trình chuyển động hệ Nguyên lý tác dụng tối thiểu nói rằng: biến phân tác dụng S thay đổi dạng trường gây nên 30  S    L( x) d x  (3.5)  Vì  biến thiên thay đổi dạng hàm trường gây nên mà thôi, ta có:   L  L     L( x)     i  (  ( x))  (  )   i   i i  i ( x)   (3.6) Do L  L(i ,   i ) Ta đổi thứ tự    cho nhau, viết lại (3.6)  L  L    L    (  ) i   i  ( i )  i   i   L  L  L    i    i     i ( i ) i i  (   )  i       Hay  L  L    L  (3.7)           L i      i    i     i  i   i     Thay (3.7) vào (3.5) ta được:  L  L    L  d x    d x         i    i  0                i       i    i i i (3.8) Dùng định luật Gauss ta biến đổi số hạng thứ hai (3.8) thành tích phân mặt:  L  L d x     d n i    i             i  i   Trong n vecto pháp tuyến mặt  vecto chiều 31 (3.9) Giả thiết biến phân trường triệt tiêu mặt biên miền lấy tích phân  , tức là: i  0 Khi số hạng (3.9) (3.8) trở thành  L   L d x   i        i     i    i Vì miền lấy tích phân  tuỳ ý i độc lập nên ta có phương trình sau gọi phương trình Euler – Lagranger L L   0 i ( x)    i ( x)  i=1, 2, .n (3.10) Từ phương trình với hàm Lagrangian xác định, ta suy phương trình chuyển động hệ Do phương trrình đóng vai trò chủ yếu lý thuyết trường lượng tử 3.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để tìm định lí Noether Ta xét phép biến đổi G đặc trưng thông số 1 ,2 n  Giả sử phép biến đổi vô bé, quy luật biến đổi toạ độ x hàm trường  ( x ) tác dụng phép biến đổi có dạng tổng quát sau: x '  x   x ,  x    ( a ) ( x)a  '( x ')   ( x)   ( x),  ( x)  F(a ) ( x)a (3.11) Đưa vào định nghĩa biến phân địa phương trường (biến phân điểm):  ( x)   '( x)   ( x) Thay vào (3.11) ta có:  ( x)   '( x ')   ( x)   '( x ')   '( x)   '( x)   ( x)   '( x ')   '( x)   ( x) (3.11a) 32 Mặt khác ta có gần sau:  '( x ')   '( x)   '( x) x (thực chất khai triển Taylor bậc 1)  '( x ')   '( x)   ( ( x)   ( x)) x Bỏ qua vô bé ta có:  '( x ')   '( x)   ( x) x (3.11b) Thay (3.11b) vào (3.11a) ta có  ( x)   ( x)   ( x) x (3.11’) Biến phân tác dụng: Từ kết trên, ta tính biến phân tác dụng S Ta có: S   L  ( x),   ( x) d x (3.12)  Biến phân là:  S     L( ( x),   ( x)d ( x)     L( ( x),   ( x))d x   L (d x)      S1   S2 (3.13) Vì  (d x)  d x ' d x mà d x '  Mà D( x ') d x D( x) ( x ) D( x ') ta có:  (d x)    x d x    x  d x 1 D( x ) x Hay :  S2   L( ( x),   ( x))  x  d x (3.14)  Tương tự biến phân hàm trường ta có biến phân hàm Lagrangian:  L  L( '( x '),   '( x '))  L( ( x),   ( x))  L  L( '( x),   '( x))  L( ( x),   ( x)) Mặt khác sử dụng (3.11’)  L   L  L( '( x '),  '( x '))  L( '( x),   '( x))    L( x) x  33 Từ đó:  L    L( x) x    L( ( x),  ( x)) Ngoài ta có:  L( ( x),   ( x))  (3.15) L L  ( x)   (  ( x))  ( x) (  ( x)) Vì biến phân  thay đổi dạng hàm, đạo hàm   biến thiên toạ độ x hai phép độc lập với nhau, ta thay đổi trật tự:  (  ( x))    ( ( x)) Công thức  L trở thành:  L  Hay :  L  L L  ( x)     ( x)  ( x) (  ( x))  L   L L                 (   )  (   )       Nhắc lại rằng, để tránh phức tạp số nên ta viết hàm  ( x) không ghi i ( x) Hàm  ( x) thoả mãn phương trình Euler – Lagrange nên ta có:  L L           (   )     L    Cuối ta có:  L      (  )  Thay vào biểu thức (3.15) ta có:  L      (   )   L    L x      (3.16) Thay (3.14) (3.16) vào (3.13):    L     L  x  d x   (  )    S     L x          L   d x Hay:  S      L( x) x   (  )    34 (3.17) Nhắc lại tác dụng phép biến đổi vô bé G lên toạ độ hàm trường: x   x '  x    x   ( x)   '( x ')   ( x)   ( x) Hàm tác dụng S có biến phân dạng (3.17) Nếu hàm tác dụng S bất biến phép biến đổi G tồn số đại lượng bất biến thông số nhóm G Ta viết tường minh biểu thức  x  theo thông số phép biến đổi G, tức là:  x    ( a ) ( x)a  ( x)  F( (a) )a Trong a thông số phép biến đổi G (a=1,2 n) Biểu thức(3.17) viết lại:   S   d x    Ở ta viết     L F( (a) )   ( a ) ( x)   L  ( a ) ( x) a    (  )  (3.18) hệ gồm  khác Nếu ta buộc S không thay đổi, tức  S =0 (3.18) ta suy ra:  J  (a)  Trong đó: J  ( a )    (3.19) L F( (a) )    ( a ) ( x)   L  ( a )    (  ) (3.20) (có thể lấy dấu ngược lại nhân thêm thừa số tuỳ ý) Vậy ứng với thông số a ta có dòng J  ( a ) theo công thức (3.20) dòng bảo toàn tác dụng bảo toàn 35 3.5 Hệ định lí Noether Ta xét dòng cụ thể rút đại lượng bảo toàn 3.5.1 Phép biến đổi tịnh tiến x '  x  a  '( x ')   ( x) Theo (3.11) ta có:  x  a  g  a    ( a )  g     F( (a) )  Thay vào (3.20) ta có: T ( )  J  ( )    L   Lg   (   ) (3.21) Đại lượng gọi Tenxo xung lượng Từ ta lập nên vecto xung lượng cách lấy tích phân thành phần T0 thêo toàn không gian:  P   d xT0 (3.22) Ta biết hàm tác dụng bất biến phép biến đổi Poincare, phép biến đổi tịnh tiến trường hợp đặc biệt Do điều kiện định lí Noether thoả mãn kết luận tenxo xung lượng đại lượng bảo toàn.:  T  (3.23) Tiếp theo vecto xung lượng P theo định nghĩa (3.22) không phụ thuộc vào thời gian vì:  P       P   d x 0T0   d x 0T0   d x iTi   d x T  t 36 (3.24)  (ta thêm số hạng  d x iTi vào mà không làm thay đổi biểu thức theo định lí Gauss, tích phân chuyển đến tích phân vô cực, Tenxo xung lượng 0) Biểu thức (3.22) cho thấy T0 xem mật độ vecto xung lượng bốn chiều P 3.5.2 Các phép biến đổi nội Xét phép biến đổi không làm thay đổi toạ độ:  x     Do   ( a )  Biểu thức dòng J  ( a ) là: J  ( a )    L F( (a) )   (  ) (3.25) Các phép biến đổi không làm thay đổi toạ độ không- thời gian gọi phép biến đổi nội Chúng liên quan chặt chẽ đến số lượng tử nội điện tích, siêu tích, spin đồng vị Trường hợp đơn giản phép biến đổi thông số U(1) - chẳng hạn phép biến đổi điện tích tác dụng phép biến đổi trường  ( x ) tương ứng với hạt mang điện tích q biến đổi sau:  ( x)   '( x)  e iq ( x) (3.26) Khai triển vế phải ta có:  '( x)  (1  iq) ( x)  tức là:  ( x)  iq ( x) Do đó, từ (3.11) ta có: F( (a) )  iq ( x) (3.27) Thay (3.27) vào (3.25), ta dược biểu thức tổng quát dòng điện tương ứng: J ( em )  i  q  L  ( x)  (   ) 37 (3.28) Lấy tích phân thành phần J 0( em ) theo toàn không gian, ta biểu thức điện tích   L Q   d xJ 0( em )  i   d xq   ( 0 )  (em:tích điện) (3.29) Kết luận Tương tự chương trước, từ nguyên lý ta rút phương trình chuyển động hạt ( phương trình Euler – Lagranger) Đặc biệt, ta tìm định lý Noether Từ đó, ta tìm định luật bảo toàn xung lượng, bảo toàn điện tích 38 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung vật lý học đại, chuyên ngành vật lý thuyết, đồng thời thấy phong phú, lý thú vật lý học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường, xem tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm nguyên lý nói riêng vật lý lý thuyết nói chung Đó thành công đề tài Như vậy, nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo tổ lý thuyết, thầy cô khoa Vật Lý Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Đạo, Cơ học giải tích, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [2] Nguyễn Hữu Mình, Vật lý lý thuyết, NXB Giáo Dục, 1983 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Dr David Tong, Quantum field theory, University of Cambirdge, 2007 [4] Richard Feynman, The Feynman lectures on physics, 1964 40 [...]... x)   d xL( x)  S   3.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phƣơng trình Euler- Lagrange Xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu một nguyên lý tổng quát, với mỗi Lagrangian xác định ta sẽ thu được một phương trình viết cho trường i ( x) , gọi là phương trình chuyển động của hệ Nguyên lý tác dụng tối thiểu nói rằng: biến phân của tác dụng S do sự thay đổi dạng của trường gây nên là bằng 0 30 ... hàm, tính chất của biến phân Đây là những kiến thức quan trọng trong việc nghiên cứu về nguyên lý tác dụng tối thiểu 13 CHUƠNG II NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC 2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển Mỗi hạt có thể di chuyển từ vị trí này tới vị trí khác theo mọi con đường có thể có qua không - thời gian Tuy nhiên, trong đời thường hình như ta chỉ thấy các vật đi theo một con... dung nguyên lý tác dụng tối thiểu Từ đó, tìm ra con đường thực trong hàng triệu con đường khả dĩ Từ nguyên lý này, ta rút ra đươc các phương trình như phương trình định luật II Newton, phương trình Lagranger, hệ phương trình Hamilton 28 CHƢƠNG III NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG 3.1 Hàm trƣờng và hàm Lagranger Giả sử ta có một hệ gồm các trường 1 ( x),2 ( x) Tương tự như trong. .. phân cấp một của phiêm hàm S bị triệt tiêu t2 Nghĩa là :  S    L(q, q, t )dt  0 (2.23) t1 b Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu - Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H =H(qi, pi ) n H   pi qi  L ta có thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dưới dạng : i 1 22 n   S     pi dqi  Hdt   0  t  i 1 t2 (2.24) 1 Thay đổi thứ tự... luật 2 Newton F= ma 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích 2.2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với cơ hệ Holonom lý tƣởng a Nội dung nguyên lý Xét cơ hệ bảo toàn chịu các liên kết Holonom lý tưởng Giả sử, chuyển động thực của hệ được mô tả bởi các toạ độ suy rộng : q1 (t ), q2 (t ) qn (t ) Ta đưa vào khái niệm không gian trạng thái của hệ - không gian n+1 thứ nguyên của các toạ độ... câu hỏi đó 21 q q(t2) B C q(t1) A t1 O t2 t Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với cơ hệ Holonom chịu liên kết lý tưởng và dưới tác dụng của các lực thế, con đường thực đưa cơ hệ từ trạng thái A sang trạng thái B là con đường tương ứng với giá trị cực trị của hàm tác dụng S t2 S   L(q, q , t )dt (2.22) t1 Trong đó L = T-U là hàm Lagranger S được gọi là tác dụng theo Haminton Nói cách khác, với chuyển... chuyển động của hệ Do vậy phương trrình này đóng vai trò chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử 3.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để tìm ra định lí Noether 1 Ta hãy xét một phép biến đổi nào đó G đặc trưng bởi các thông số 1 ,2 n  Giả sử phép biến đổi này là vô cùng bé, quy luật biến đổi của toạ độ x và hàm trường  ( x ) dưới tác dụng của phép biến đổi này có dạng tổng quát sau: x '  x... i  1,2 n (2.27) Hệ trên được gọi là hệ phương trình Haminton - Nguyên lý tác dụng tối thiểu và phương trình chuyển động của hệ Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình chuyển động Lagranger Cùng với chuyển động thực, ta biểu diễn các con đường vòng bằng những phương trình thông số : q*i (t )  qi (t )   qi (2.28) i  1,2 n 23 Trong đó các biến phân  qi của các toạ độ suy rộng là các hàm... bằng không, nghĩa là các toạ độ suy rộng  qi thoả mãn phương trình sau : L d  L   qi dt  qi 24    0,(i  1,2 n)  (2.34) -Từ phương trình Lagranger đến nguyên lý tác dụng tối thiểu Trong mục trước từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta đã tìm được phương trình chuyển động Bây giờ ta đi làm điều ngược lại Nhân mỗi phương trình (2.34) với biến phân tương ứng và cộng các biểu thức thu được với... với dt và tích phân trong giới hạn từ t1 đến t2 với t1, t2 là những điểm tùy ý ta có: t2 n t1 i 1   Ldt   t n  L  L d  q   Ldt   qi  t  q i  t  i 1 q  i  i t2 2 1 1 t2 t1 t2    Ldt  0 t1 Hay ta có:  S  0 2.2.2 Mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với cơ hệ Holonom không bảo toàn ( phi holonom) Với cơ hệ Holonom không bảo toàn nguyên lý tác dụng tối thiểu có dạng : t2 ... Nguyên lý tác dụng tối thiểu học 11 2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển 11 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích 18 Chương III: Nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết. .. cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường Đối tƣợng nghiên cứu Nguyên lý tác. .. dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu - Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H =H(qi, pi ) n H   pi qi  L ta viết nguyên lý tác dụng tối thiểu