Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu S 0 trong chuyển động thực của cơ hệ Do sự tuỳ ý của khoảng tích phân, điều này chỉ xảy ra khi tất cả các hệ số của những biến phân độc lập qi bằ[r]
(1)LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ các thầy cô và các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em suốt năm học và qua đó đã giúp em hoàn thành khóa luận này Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, bảo em suốt quá trình thực khóa luận này Do còn nhiều hạn chế kiến thức và thời gian nên khóa luận còn nhiều thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý, nhận xét các thầy cô và các bạn để khóa luận này hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày … tháng … năm Sinh viên Đỗ Thị Quỳnh Trang (2) LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu, bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh , em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp đúng thời hạn Đề tài có kế thừa kết nghiên cứu trước đó Em xin cam đoan đây là kết nghiên cứu mình, không trùng với các kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày … tháng … năm Sinh viên Đỗ Thị Quỳnh Trang (3) MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chương I : Cơ sở toán học 1.1 Bài toán cổ điển thời gian ngắn 1.2 Phiếm hàm và biến cấp phiếm hàm 1.3 Một số tính chất phiếm hàm 1.4 Mở rộng Chương II: Nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton Chương III : Nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu hệ Holonom lý tưởng 3.1.1 Nội dung nguyên lý 3.1.2 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu 3.2 Mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu hệ Holonom không bảo toàn Chương IV : Nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường 4.1 Hàm trường, hàm lagranger 4.2 Hàm tác dụng S 4.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình Euler - Lagranger 4.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm định lý Noether (4) 4.5 Hệ định lý Noether KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO (5) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học là môn khoa học nghiên cứu quy luật đơn giản nhất, tổng quát tự nhiên Nó nghiên cứu cấu tạo và các quy luật vận động vật chất Trong thực tế đời sống, ta thấy hình vật theo đường điểm và điểm đến Ví dụ đơn giản là ta ném trái bóng vào rổ chẳng hạn Ta có thể xác định đường và quỹ đạo trái bóng các định luật cổ điển Vậy giới hạt vi mô thì sao? Giả sử hạt vật chất chuyển động từ A đến B thì hạt lựa chọn đường nào hàng triệu đường nối A và B? Dấu hiệu nào để ta tìm đường đó? Phải hạt theo đường mà đòi hỏi “ nỗ lực” là ít nhất? Nguyên lý tác dụng tối thiểu giúp chúng ta trả lời câu hỏi trên Đây là nguyên lý tổng quát học Trong vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu tiên đề Từ nguyên lý này ta có thể rút các phương trình chuyển động hệ và hàng loạt các định nghĩa, khái niệm đặc trưng Chính vì lý trên, tôi chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề tài luận văn mình Với nội dung “Tìm hiểu nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường” tôi muốn mở rộng vốn kiến thức còn hạn chế thân đồng thời giới thiệu đến các bạn sinh viên toàn khoa Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu hoc cổ điển, học giải tích và lý thuyết trường (6) Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực các nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu các khái niệm phiếm hàm, biến phân, các qui tắc tính biến phân - Ngiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học cổ điển - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu học giải tích - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu lý thuyết trường Đối tượng nghiên cứu Nguyên lý tác dụng tối thiểu Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết (7) NỘI DUNG Richard Feynman (1918-1988) là nhà vật lý kiệt xuất người Mỹ Trong năm chiến tranh giới thứ II, Feynman đã tìm cách tư hiệu học lượng tử, nhờ đó ông dã đoạt giải Nobel năm 1965 Ông thách thức giả thuyết cổ điển cho hạt có lịch sử riêng biệt Thay vào đó, ông cho các hạt di chuyển từ vị trí này đến vị trí khác theo đường có thể có qua không - thời gian Con đường cổ điển hạt Trong đường tích phân Feynman hạt có thể theo đường có thể (8) CHƯƠNG I : CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Bài toán cổ điển thời gian ngắn Năm 1696, Johan Bernoulli (1667-1784) nhà toán học Thuỵ Sĩ đã đặt và giải bài toán sau đây, gọi là bài toán đoản thời Một chất điểm M chuyển động tác dụng trọng lực trên đường cong mặt phẳng thẳng đứng, từ O đến A không vận tốc đầu, không ma sát Trong tập hợp các đường cong nối điểm O và A hãy tìm đường mà chất điểm M từ O đến A thời gian T ngắn x O M(x,y) A(x0,y0) y Gọi OM s , ta có v ds ds dt dt dv ds dx dy ( y ') dx y' dy dx Từ định luật bảo toàn ta có v gy Do T dt T 2g x0 ( y ')2 y dx (1.1) (9) Thời gian di chuyển M từ O đến A phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm y(x).Tích phân (1) gọi là phiếm hàm Bài toán đặt đưa việc tìm hàm y=y(x) cho T lấy giá trị nhỏ 1.2 Phiếm hàm và biến phân cấp phiếm hàm Phiếm hàm đơn giản là tích phân phụ thuộc vào việc lựa chọn số hàm y(x) thuộc dạng: x2 J F x, y ( x ), y '( x ) dx x1 (1.2) Bài toán phép tính biến phân là tìm hàm y(x) làm cho phiếm hàm J đạt cực trị và thoả mãn điều kiện biên : y ( x1 ) y1 , y ( x2 ) y2 (1.3) Giả sử hàm y(x) là nghiệm cần tìm bài toán biến phân Ta tìm các điều kiện cần mà hàm đó phải thoả mãn để phiếm hàm J đạt cực trị.Muốn vậy, ta hãy lập hàm y ( x) gần với hàm y(x) y ( x) y ( x) ( x) (1.4) Trong đó là tham số bé y ( x ) y B ( x) yy 21 O A x x x (10) Đường cong y=y(x) biểu diễn nghiệm cần tìm Đường y ( x ) gần với đường y(x) và có chung điểm mút A , B ( x1 ) ( x2 ) 0 (1.5) Thay (1.4) vào (1.2) ta có hàm y ( x2 J (x) F x, y ( x) ( x), y '( x) '( x) dx ) x1 (1.6) y B ( x)(1.2) đưa xét cực trị Do đó bài toán tìm cực trị phiếm hàm hàm biến J ( ) Như đã biết, muốn cần phải tìm giá trị đạo yy 21 dJ hàm d 0 Ta có: O x A x x x 2 F dJ F ( x) '( x) dx d x1 y y ' (1.7) Tích phân thứ hai (1.7) áp dụng phương pháp tích phân phần và chú ý điều kiện biên (1.5) Do đó (1.7) viết lại sau : x F dJ d F ( ) ( x) dx d x1 y dx ' y ' Từ đây ta có : x2 F d F dJ ( x)dx 0 d 0 x1 y dx y ' (1.8) ( 0 thì y ( x) y ( x) ) Mà ( x) là hàm tuỳ ý nên từ (1.8) ta dẫn đến phương trình sau đây: d F F 0 dx y ' y (1.9) (1.9) gọi là phương trình Euler – lagranger (11) Đây là phương trình vi phân thường cấp hai Nghiệm nó chứa hai số tuỳ ý Những số này xác định từ điều kiện biên (1.3) Vậy là, hàm y(x) phải tìm - nghiệm bài toán biến phân nêu trên phải thoả mãn phương trình Euler – Lagranger (1.9) Có thể phát biểu kết thu dạng khác, đưa vào khái niệm biến phân cấp phiêm hàm J Biến phân cấp một phiếm hàm (1.2) là đại lượng xác định biểu thức : dJ J d 0 (1.10) Do đó (1.8) viết lại sau : x2 F d F J ydx 0 y dx y ' x1 (1.11) Trong đó y định nghĩa sau: y y ( x) y ( x) (1.12) Đẳng thức (1.11) chứng tỏ hàm y(x) - nghiệm bài toán biến phân triệt tiêu biến phân cấp phiếm hàm J Điều khẳng định này kéo theo đòi hỏi (1.9) 1.3 Một số tính chất phiếm hàm 1.3.1 Phép đạo hàm và biến phân là giao hoán Ta thấy biến phân hàm y(x) kéo theo biến phân đạo hàm y’(x) y ' y*' ( x) y '( x) y '( x) '( x) y '( x) '( x) dy '( x) Hay dx Mặt khác, đạo hàm đẳng thức (13) theo x ta có : (1.13) (12) d d d y y* ( x) y ( x) ( x) '( x) dx dx dx (1.14) d dy y dx (1.15) Do đó : dx 1.3.2 Các phép tích phân và biến phân là giao hoán Trong (1.7) cho 0 và sau đó nhân hai vế đẳng thức nhận với và chú ý đến điêu kiện (1.12) và (1.13) ta : x x 2 F F J y y ' dx Fdx y y ' x1 x1 x2 x2 J Fdx J Fdx x1 x1 x2 x2 Fdx Fdx x1 (1.16) x1 1.4 Mở rộng Không có gì khó khăn, ta có thể mở rộng bài toán phép tính biến phân cho trường hợp phiếm hàm phụ thuộc vào n hàm độc lập y i(x) và các đạo hàm y’i(x) chúng x2 J F x, y1 ( x ), y2 ( x ) yn ( x ), y1 '( x ), y2' ( x ) yn' ( x ) dx x1 (1.17) Cũng trường hợp đơn giản (2) bài toán đưa tìm cực trị hàm J (1 , , n ) đó i là tham số bé đưa vào biến phân các hàm y1(x), y2(x) yn(x) với các điểm biên giữ cố định, nghĩa là : y1i ( x) yi ( x ) ii ( x) yi ii ( x) i 1, n (1.18) Trong đó i ( x) là hàm tùy ý triệt tiêu các điểm x = x và x = x2 Ta có biểu diễn biến phân hàm (1.17) dạng : (13) x2 n n J F F J i yi ' yi' dx yi i 1 i i 0 x1 i 1 yi n x2 F d F yi dx dx yi ' i 1 x1 yi Vì yi(x) là các hàm độc lập, nên các biến phân yi chúng độc lập Do đó, đẳng thức J 0 kéo theo các hệ số yi phải Vậy là, các hàm yi(x) làm cực trị phiếm hàm (17) phải thoả mãn hệ phương trình Euler – Lagranger d F F 0, i 1, n dx yi ' yi (1.19) Nhận xét ta thay cách hình thức các biến (1.19) x t , yi ( x) qi (t ), yi '( x) qi (t ) và F L thì các phương trình (1.19) trùng hoàn toàn với các phương trình Lagranger trước đây cho hệ chịu tác dụng các lực Điều đó chứng tỏ các phương trình Lagranger là phương trình Euler bài toán biến phân nào đó học (14) CHUƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN Mỗi hạt có thể di chuyển từ vị trí này tới vị trí khác theo đường có thể có qua không - thời gian Tuy nhiên, đời thường hình ta thấy các vật theo đường điểm và điểm đến Theo Feynman có vô số đường là quan trọng chuyển động các vật vĩ mô, và đó chính là quỹ đạo xuất từ các định luật cổ điển chuyển động Newton Trong chương này, chúng ta tìm mối quan hệ nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton 2.1 Đặt vấn đề Giả sử, ta xét chuyển động trường hấp dẫn, vật M chuyển động từ A đến B khoảng thời gian từ t1 đến t2 M B(t2) A(t1) Trong thực tế, ta thấy vật lên từ A và xuống B Vậy liệu, cùng khoảng thời gian ta có thể tìm chuyển động khác để vật từ A đến B không? Giả sử chuyển động hình vẽ đây: (15) B(t2) A(t1) nào đó, ta thu động và thời Nếu cách điểm dọc theo quỹ đạo và cộng tổng chúng lại, thì ta thu giá trị lượng lớn nhiều so với lượng chuyển động thực tế Vậy dấu hiệu nào để ta có thể nhận biết đường thực hàng triệu đường khác mà vật có thể đi? 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton Xét trường hợp chất điểm chuyển động trường hấp dẫn x t t1 Taị thời điểm t vật có tọa đột2là x dx m Động vật : dt Thế vật : mgx Bây thời điểm dọc theo quỹ đạo ta lấy động trừ và cộng tổng chúng lại: (16) dx m mgx dt dt t1 Nghĩa là : (2.1) t2 Chuyển động thực là vài dạng đường cong Nó là parabol tích phân trên cho giá trị định Nhưng có thể là chuyển động có quỹ đạo kỳ lạ Chúng ta có thể tính lượng động trừ và lấy tích phân trên đường đường khác mà ta muốn Nhưng đường thực là đường mà tích phân (2.1) là nhỏ Giả sử, ta xét chất điểm chuyển động tự ( điểm 0) Từ (2.1) ta thấy rằng, chất điểm từ điểm này đến điểm khác khoảng thời gian thì tổng động nó là nhỏ Vì chất điểm phải chuyển động với tốc độ không đổi Vì lại ? Nếu hạt cách nào khác, thì tốc độ đôi lớn tốc độ trung bình, lại nhỏ Tuy nhiên tốc độ trung bình là trường hợp ( khoảng cách hai điểm và thời gian là không thay đổi ) Ta có ví dụ thực tế sau : Vào buổi sáng, ta bắt đầu từ nhà tới trường khoảng thời gian định ôtô Ta có thể nhanh lúc ban đầu và lại chậm lúc gần cuối, hay có thể với tốc độ không đối, có thể ngược trở nhà sau đó lại phía trước Tuy nhiên ta thu tốc độ trung bình là Ta đã biết, tổng các bình phương các giá trị lệch quanh giá trị trung bình thì luôn lớn bình phương các giá trị trung bình, nên tổng động cao Do chất điểm phải chuyển động với tốc độ không đổi Hay nói cách khác tích phân là nhỏ tốc độ là số Chúng ta đưa vào khái niệm, gọi là tác dụng S (17) t2 Action S ( K U )dt t1 (2.2) Với K và U cùng thời điểm Với quãng đường khác nhau, ta có thể có giá trị khác tác dụng Vấn đề toán học là phải tìm đường cong mà giá trị tác dụng là nhỏ Đó là tính toán thông thường cực đại và cực tiểu Ý tưởng chúng ta là tưởng tượng đường đúng đắn ( đường thực ) và đương sai lầm.Bởi vây, ta tính tác dụng cho đường sai thì ta có giá trị này lớn so với đường thực Vấn đề đặt là : Tìm đường thực nào và nó đâu? Nếu cách nào đó, ta tìm tác dụng hàng triệu đường và cố gắng tìm giá trị tác dụng thấp Khi ta tìm giá trị thấp đó nghĩa là ta đã tìm đường thực Tuy nhiên, cách đó có vẻ không khả thi Ta có thể nhận biết đường thực phương pháp sau đây: Chúng ta giả sử x(t ) là đường thực ( đường mà ta cố gắng tìm ) và đường x(t) lệch so với đường thực giá trị nhỏ mà chúng ta gọi là (t ) x (t ) x( t) x(t ) t (18) Bây giờ, ta tính tác dụng S đường x(t), và sau đó tìm độ lệch tác dung S và tác dụng S đường thực Độ lệch S và S phải các nút, nghĩa là : (t1 ) 0 (t2 ) 0 (2.3) Ta có x(t ) x(t ) (t ) (2.4) Công thức tác dụng S: m dx S V ( x ) dt dt t1 (2.5) t2 dx d x d Và dt dt dt t2 m d x d S V ( x ) dt dt dt t1 (2.6) Ta có : 2 d x d d d x d d x 2 dt dt dt dt dt dt 2 d x d dx 2 dt dt dt (2.7) ( vì 1) m dx d x d K m dt dt dt (2.8) Do đó Với V ( x) V ( x ) (2.9) Mà ta có thể khai triển V(x) thành chuỗi Taylor sau : V ( x ) V ( x) V '( x) 2 V ''( x) (2.10) Trong đó V’ là đạo hàm V theo x Bỏ qua vô cùng bé bậc hai ta có : (19) V ( x ) V ( x) V '( x) (2.11) Tác dụng S viết lại : m d x d x d S V ( x ) m V '( x ) dt dt dt dt t1 t2 (2.12) Ta thấy hai số hạng đầu tiên : m d x V ( x ) S t1 dt t2 (2.13) Do đó : t2 d x d S S m V '( x ) dt dt dt t1 t d x d S S m V '( x ) dt dt dt t1 (2.14) Đưa vào khái niệm : S S S gọi là biến phân S d df d f f dt dt Ta có: dt Do đó : Thay f f m d df dt f dt dt dt dx dt ta có : t t 2 dx d dx S m (t ) tt12 m (t )dt V '( x) (t )dt dt dt dt t1 t1 Mà (t1 ) (t2 ) 0 t2 d2 x S m V '( x ) (t )dt dt t1 Do đó : (2.16) Ta đặt F (t ) m d 2x V '( x) dt (2.17) (2.15) (20) t2 Khi đó S F (t ) (t )dt t1 (2.18) Ta luôn có tích phân sau : F (t ) (t )dt 0 (2.19) Ta có hàm thời gian bất kỳ, ta nhân nó với (t ) và sau đó lấy tích phân theo thời gian Ta không quan tâm (t ) là gì? Ta luôn hàm F(t) luôn 0.Chúng ta kiểm tra lại điều đó Giả sử với (t ) ta cho nó thời điểm t ngoại trừ gần giá trị xác định (t ) t t1 t2 Ở nơi mà (t ) = ta có tích phân (2.19) luôn Hay tích t2 phân trên viết lại sau: F (t ) (t ) 0 t1 (2.20) Mà (t ) là bất kỳ, muốn (2.20) thì hàm F(t) phải băng thời điểm Trở lại công thức (2.18), S 0 : m d 2x V '( x) 0 dt (2.21) (21) Dễ dàng nhận thấy (2.21) chính là biểu thức định luật Newton F= ma CHƯƠNG III : NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC GIẢI TÍCH 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu hệ Holonom lý tưởng 3.1.1 Nội dung nguyên lý Xét hệ bảo toàn chịu các liên kết Holonom lý tưởng Giả sử, chuyển động thực hệ mô tả các toạ độ suy rộng : q1 (t ), q2 (t ) qn (t ) Ta đưa vào khái niệm không gian trạng thái hệ - không gian n+1 thứ nguyên các toạ độ suy rộng và thời gian t Biểu diễn không gian này trên mặt phẳng mà trục hoành là thời gian, còn trục tung là tập hợp các giá trị tất các toạ độ suy rộng q q(q1 , q2 qn ) Khi đó điểm trên mặt phẳng (t,q) biểu diễn trạng thái xác định hệ thời gian t đã cho Giả sử, khoảng thời gian t – t1, hệ chuyển từ trạng thái A đến trạng thái B Có vô số đường để hệ chuyển trạng thái, có đường thực mà hệ Các đường còn lại là đường vòng Vấn đề đặt là đưa tiêu chuẩn để nhận biết đường thực (22) Nguyên lý tác dụng tối thiểu ( hay nguyên lý Haminton trả lời câu hỏi đó ) q Nguyên q(t2) lý tác dụng tối thiểu: Đối với B hệ Holonom chịu liên kết lý tưởng và tác dụng các lựcCthế, đường thực đưa hệ từ trạng thái A q(t1) sang trạng thái B là đường tương ứng với giá trị cực trị hàm A tác dụngOS t1 t2 t2 t S L( q, q, t ) dt t1 (3.1) Trong đó L = T-U là hàm Lagranger S gọi là tác dụng theo Haminton Nói cách khác, với chuyển động thực hệ, biến phân cấp phiêm hàm S bị triệt tiêu t2 Nghĩa là : S L(q, q, t ) dt 0 t1 (3.2) 3.1.2 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu - Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H =H(qi, pi ) n H pi qi L i 1 ta có thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dạng : (23) t n S pi dqi Hdt 0 t1 i 1 (3.3) Thay đổi thứ tự phép tính tích phân và phép tính biến phân vế trái biểu thức này ta được: n t2 n t2 H H S qi qi dt pi d ( qi ) pi pi qi i 1 t1 i 1 t1 (3.4) Thành phần cuối cùng vế phải áp dụng tích phân phần và chú ý n t2 n tới điều kiện qi (t1 ) qi (t2 ) 0 ta : p d ( q ) p q dt i i 1 i i i 1 t1 i (3.5) Vì các biến phân toạ độ qi và xung lượng suy rộng pi là độc lập nên đẳng thức S 0 có thể xảy các hệ số qi và pi 0, nghĩa là chúng thoả mãn hệ phương trình sau : H qi p i p H i qi i 1, n (3.6) hệ (3.6) trên gọi là hệ phương trình Haminton - Nguyên lý tác dụng tối thiểu và phương trình chuyển động hệ Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình chuyển động Lagranger Cùng với chuyển động thực, ta biểu diễn các đường vòng phương trình thông số : q*i (t ) qi (t ) qi i 1, n (3.7) (24) Trong đó các biến phân qi các toạ độ suy rộng là các hàm khả vi vô cùng bé ( tính độc lập các toạ độ suy rộng q i ), thoả mãn các điều kiện hai đầu mút qi (t1 ) qi (t2 ) 0 (3.8) Từ (3.7) ta có : qi q*i (t ) qi (t ), (i 1, n) (3.9) Và biến phân các toạ độ suy rộng là biến đổi các toạ độ này thời gian cố định Những biến phân gọi là biến phân đẳng thời Với độ chính xác đến các số hạng bé bậc với qi và q i ta có: n L L (qi qi , q i q i , t ) L(qi , q i , t ) i 1 n L L qi q i i qi i 1 q (3.10) Ta có: t2 t2 S Ldt Ldt t1 t1 n L L qi qi dt qi i 1 qi n n t2 L d L t pi qi t2 dt qi i 1 i 1 t1 qi dt (3.11) Sử dụng điều kiện qi (t1 ) qi (t2 ) 0 n t2 L d L S dt qi i 1 t1 qi Ta có: qi dt (3.12) Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu S 0 chuyển động thực hệ Do tuỳ ý khoảng tích phân, điều này xảy tất các hệ số biến phân độc lập qi không, nghĩa là các toạ độ suy rộng qi thoả mãn phương trình sau : L d L qi dt qi 0, (i 1, n) (3.13) -Từ phương trình Lagranger đến nguyên lý tác dụng tối thiểu (25) Trong mục trước từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta đã tìm phương trình chuyển động Bây ta làm điều ngược lại Nhân phương trình (3.13) với biến phân tương ứng và cộng các biểu thức thu với ta thu phương trình : n d L L qi 0 dt q i qi (3.14) i 1 Vì d L dt q i L d L d L d L qi qi qi q i qi dt q i dt q i q i dt q i nên ta có thể viết biểu thức (3.13) dạng: n d L i dt q qi i n L L q q q q 0 i 1 i i L Theo (3.10) ta có : i i n d L dt q q 0 i 1 i i (3.15) Nhân hai vế biểu thức này với dt và tích phân giới hạn từ t đến t2 với t1, t2 là điểm tùy ý ta có: t2 n t2 t2 L Ldt d qi Ldt i 1 t1 q i t1 t1 n L q i i i 1 q t2 t1 t2 Ldt 0 t1 Hay ta có: S 0 3.2 Mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu hệ Holonom không bảo toàn ( phi holonom) Với hệ Holonom không bảo toàn nguyên lý tác dụng tối thiểu có dạng : t2 n T Qi qi dt 0 i 1 t1 (3.16) (26) Trong dó T là động hệ, Q i là lực không bảo toàn suy rộng t2 Trong (3.3), biến đổi tích phân t2 n t2 Tdt t1 sau: T T Tdt q q q i i 1 t1 t1 i i qi dt (3.17) Tích phân thứ hai (3.17) áp dụng phương pháp tích phân phần, kết hợp với điều kiên qi (t1 ) qi (t2 ) 0 Ta viết lại (3.17) sau: t2 n t2 T d T Tdt ( ) qi dt q dt qi i i t1 t1 (3.18) Thay (3.18) vào (3.16) ta thu phương trình sau : d T dt qi T Qi , i 1, n qi (3.19) Vậy từ nguyên lý tác dụng tối thiểu (3.16) ta tìm phương trình vi phân chuyển động (3.19) Ngược lại, ta chứng minh từ các phương trình Lagranger (3.19) ta tìm nguyên lý Haminton (3.16) Thực vậy,nhân phương trình hệ (3.19) với các biến phân tương ứng toạ độ suy rộng qi cộng các biểu thức thu lại với ta có: n d T T q q Q q i i i i 0 qi i 1 i (3.20) dt q n T T T qi qi qi i 1 qi Và chú ý Ta có thể viết (3.20) dạng : n i 1 d T qi T dt qi n i 1 Qi qi 0 (27) Nhân biểu thức này với dt và lấy tích phân theo thời gian từ t đến t2 ta biểu thức nguyên lý tác dụng tối thiểu: t2 n T Qi qi dt 0 i 1 t1 (3.21) Vì các đầu đường cố định qi (t1 ) qi (t2 ) 0 nên n t2 T d q i 1 t1 i qi 0 Cần lưu ý rằng, nguyên lý Haminton dang (3.21) không còn là nguyên lý biến lý biến phân nữa.Nó khẳng định chuyển động hệ từ trạng thái ứng với t1 đến trạng thái ứng với t2 dọc theo đường thực thì tích phân (3.21) 0.Thực vậy, các lực suy rộng ta tách lực bảo toàn và không bảo toàn: Qi Qi* , (i 1, n) qi Trong đó là còn Qi* là lực suy rộng sinh các lực 0 q i không bảo toàn Chú ý ta viết (3.21) dạng : t2 n T Qi qi dt 0 i 1 t1 (3.22) n Trong đó i 1 qi qi Nhưng vì L T và thời gian coi cố định nên biểu thức (3.22) cho ta: t2 n t2 Ldt Qi* qi dt 0 t1 i 1 t1 * Đưa vào đại lượng S ta có thể viết phương trình này dạng : (28) n t2 S * S Qi* qi dt 0 i 1 t1 * Phương trình trên khẳng định S = trên đường thực, còn thân phiếm hàm S* lại không tồn (29) CHƯƠNG VI : NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG 4.1 Hàm trường và hàm Lagranger Giả sử ta có hệ gồm các trường ϕ 1( x), ϕ2 ( x )… Tương tự lý thuyết, ta mô tả hệ này hàm Lagrange L(x) Nói chung, L(x) là hàm phụ thuộc vào trường ϕ i ( x) nói trên và các đạo hàm bậc tuỳ ý các trường này.Tuy nhiên, ta khảo sát trường hợp L(x) phụ thuộc các hàm ϕ i ( x) và các đạo hàm bậc ∂ μ ϕ i (x) mà thôi Điều này có thể thừa nhận coi các ϕ i ( x) là các toạ độ suy rộng và các đạo hàm ∂ μ ϕ i (x) là các tốc độ suy rộng hệ Ta viết: L( x)=L(ϕi (x ) , ∂μ ϕi ( x ))❑ Trong đó ∂ μ ϕ i ( x)= (4.1) ❑ ∂ ϕi (x ) ∂ xμ μ=0,1,2,3 và i = 1,2,3 Các đòi hỏi với hàm trường là : Lagrangian phải là hàm thực: L*(x) = L(x) (4.2) Phải bất biến tương đối tính, tức là bất biến x → x ' dụng phép biến đổi Lorenxo thì L(x) → L’(x’) =L(x) tác (4.3) 4.2 Hàm tác dụng S Là tích phân sau : S d xL( x) (4.4) Δ là thể tích không gian chiều Điều kiện bất biến (4.3) kéo theo tính bất biến tương đối tính hàm tác dụng S Thật ta có: (30) D( x ') L '( x ') S ' d x ' L( x ') d x D( x) Theo (4.3) ta có: S ' d x D( x ') L( x) D( x) Trong đó ∂ x '0 ∂ x0 ∂ x '1 D (x ' ) ❑ ∂ x0 =¿ D (x) ∂ x'2 ∂ x0 ∂ x '3 ∂ x0 ∂ x'0 ∂ x1 ∂ x'1 ∂ x1 ∂ x'2 ∂ x1 ∂ x'3 ∂ x1 ∂ x'0 ∂ x2 ∂ x '1 ∂ x2 ∂ x '2 ∂ x2 ∂ x'3 ∂ x2 ∂ x '0 ∂ x3 ∂ x '1 ∂ x3 ∂ x '2 ∂ x3 ∂ x '3 ∂ x3 | | ¿ Gọi là Jacobian phép biến đổi x → x’ là phép biến đổi Lorenxo đồng dạng: υ ∂ x ' μ= Λ μ ∂ xυ ❑ Hay ∂x 'μ ∂ xυ ❑ μ❑ = Λυ ❑ Do đó: Vậy D (x ' ) =det Λ=±1 D (x) S ' d x det L( x) d xL( x) S 4.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình Euler- Lagrange Xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu nguyên lý tổng quát, với Lagrangian xác định ta thu phương trình viết cho trường ϕ i (x) , gọi là phương trình chuyển động hệ Nguyên lý tác dụng tối thiểu nói rằng: biến phân tác dụng A thay đổi dạng trường gây nên là (31) S L( x )d x 0 (4.5) Vì δ biến thiên thay đổi dạng hàm trường gây nên mà thôi, ta có: L L i ( ( x)) ( ) L( x) i i i i ( x) (4.6) Do L=L( ϕi , ∂μ ϕ i) Ta có thể đổi thứ tự δ và ∂ μ cho nhau, viết lại (4.6) ¿ δ ❑ L=∑ i { ❑ ∂L ∂L ❑ δ ϕ i+ ∂ ( δ ϕi ) ❑❑ ∂ ϕi ∂ (∂μ ϕ i) μ ¿ } ∂L ∂(∂ μ ϕi ) ϕ i+ ∂μ [¿ ¿ ❑δ ϕi ]−∂ μ ( ∂(∂∂ Lϕ ) ) δ ϕ μ ❑ i i ∂L δ¿ ∂ ϕi ¿ ¿ ¿ ¿ ∑¿ i ¿ ¿¿ ❑ Hay δ L =∑ i { ∂L ∂L ∂L −∂ μ δ ϕi + ∂μ δϕ ∂ ϕi ∂ ( ∂μ ϕ i ) ∂ ( ∂μ ϕ i ) i ( Thay (4.7) vào (4.5) ta được: )} [ ❑ ] (4.7) (32) ❑ d x ∂∂ ϕL −∂ μ ∂ ∂∂ Lϕ δ ϕi+ ¿❑∑ d x ∂μ ∂ ∂∂ Lϕ δ ϕi =0 ( μ i) i Δ ( μ i) i Δ ❑❑ ❑ { )} ( ❑ [ ] ∑¿ i (4.8) Dùng định luật Gauss ta biến đổi số hạng thứ hai (4.8) thành tích phân mặt: L d x i i L n i d i (4.9) Trong đó n là vecto pháp tuyến mặt và là vecto chiều Giả thiết là biến phân trường triệt tiêu trên mặt biên miền lấy tích phân , tức là: i 0 Khi đó số hạng (4.9) và (4.8) trở thành d i L L x i 0 i i Vì miền lấy tích phân là tuỳ ý và các i là độc lập nên ta có phương trình sau đây gọi là phương trình Euler – Lagranger L L i ( x) i ( x ) i=1, 2, .n (4.10) Từ phương trình này với các hàm Lagrangian xác định, ta suy các phương trình chuyển động hệ Do phương trrình này đóng vai trò chủ yếu lý thuyết trường lượng tử 4.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để tìm định lí Noether Ta hãy xét phép biến đổi nào đó G đặc trưng các thông số 1 , 2 n (33) Giả sử phép biến đổi này là vô cùng bé, quy luật biến đổi toạ độ x và hàm trường ( x) tác dụng phép biến đổi này có dạng tổng quát x ' x x , x ( a ) ( x )a sau: '( x ') ( x) ( x), ( x) F( a ) ( x)a (4.11) Đưa vào định nghĩa biến phân địa phương trường ( biến phân cùng điểm): ( x) '( x) ( x) Thay vào (4.11) ta có: ( x) '( x ') ( x) '( x ') '( x) '( x) ( x) '( x ') '( x) ( x) (4.11a) Mặt khác ta có gần đúng sau: '( x ') '( x) '( x) x (thực chất là khai triển Taylor bậc 1) '( x ') '( x) ( ( x) ( x)) x Bỏ qua các vô cùng bé ta có: '( x ') '( x) ( x) x (4.11b) Thay (4.11b) vào (4.11a) ta có ( x) ( x) ( x) x (4.11’) Biến phân tác dụng: Từ các kết trên, ta có thể tính biến phân tác dụng S Ta có S L ( x), ( x) d x (4.12) Biến phân nó là: S L( ( x), ( x)d ( x) L( ( x), ( x))d x L (d x) S1 S2 4 Vì (d x) d x ' d x mà Mà ( x ) D( x ') 1 D( x) x d 4x ' ta có: D( x ') d x D( x) (d x ) x d x x d x (4.13) (34) Hay : S L( ( x), ( x)) x d x (4.14) Tương tự biến phân hàm trường ta có biến phân hàm Lagrangian: L L( '( x '), '( x ')) L( ( x), ( x)) L L( '( x), '( x)) L( ( x), ( x)) Mặt khác sử dụng (4.11’) L L L( '( x '), '( x ')) L( '( x), '( x)) L( x) x Từ đó: L L( x) x L( ( x ), ( x)) Ngoài ta có: L( ( x), ( x)) (4.15) L L ( x) ( ( x)) ( x) ( ( x)) Vì biến phân là thay đổi dạng hàm , còn đạo hàm là biến thiên toạ độ x cho nên hai phép này độc lập với nhau, ta có thể thay đổi trật tự: ( ( x)) ( ( x )) L Công thức L trở thành: L Hay : L L ( ) L L ( x) ( x ) ( x) ( ( x)) L ( ) Nhắc lại rằng, đây để tranh phức tạp các số nên ta viết hàm ( x) không ghi i ( x) Hàm ( x) thoả mãn phương trình Euler – Lagrange nên ta có: L L 0 ( ) L L ( ) Cuối cùng ta có: Thay vào biểu thức (4.15) ta có: (35) L L L x ( ) (4.16) Thay (4.14) (4.16) vào (4.13): L S L x L x d x ( ) L S L( x) x d x ( ) Hay: (4.17) Nhắc lại tác dụng phép biến đổi vô cùng bé G lên toạ độ và hàm trường: x x ' x x ( x) '( x ') ( x ) ( x) Hàm tác dụng S có biến phân dạng (4.17) Nếu hàm tác dụng S là bất biến phép biến đổi G thì tồn số đại lượng bất biến đúng thông số nhóm G Chứng minh: Ta viết tường minh biểu thức x và theo các thông số phép biến đổi G, tức là: x ( a ) ( x )a ( x) F((a) )a Trong đó các a là các thông số phép biến đổi G (a=1,2 n) Biểu thức(2.17) viết lại: L S d x F((a) ) ( a ) ( x) L ( a ) ( x) a ( ) Ở đây ta viết (2.18) vì hệ gồm các khác Nếu ta buộc S không thay đổi, tức là S =0 thì (2.18) ta suy ra: (36) J ( a ) 0 Trong đó J ( a ) (2.19) L F((a) ) ( a ) ( x) L ( a ) ( ) (2.20) (có thể lấy dấu ngược lại nhân thêm thừa số tuỳ ý) Vậy ứng với thông số a ta có dòng J ( a ) theo công thức (2.20) và dòng này bảo toàn tác dụng bảo toàn 4.5 Hệ định lí Noether Ta xét các dòng cụ thể rút các đại lượng bảo toàn 4.5.1 Phép biến đổi tịnh tiến x ' x a '( x ') ( x) Theo (2.11) ta có: x a g a ( a ) g 0 F((a) ) 0 Thay vào (2.20) ta có: T ( ) J ( ) L Lg ( ) (2.21) Đại lượng này gọi là Tenxo xung lượng Từ đó ta có thể lập nên vecto xung lượng cách lấy tích phân thành phần T0 thêo toàn không gian: P d xT0 (2.22) Trong mục ta đã biết hàm tác dụng bất biến phép biến đổi Poincare, đó phép biến đổi tịnh tiếnd là trường hợp đặc biệt Do (37) đó các điều kiện định lí Noether thoả mãn và có thể kết luận tenxo xung lượng là đại lượng bảo toàn.: T 0 (2.23) Tiếp theo vecto xung lượng P theo định nghĩa (2.22) không phụ thuộc vào thời gian vì: 0 P P d x0T0 d x0T0 d xiTi d x T 0 t i d x Ti ( ta thêm số hạng (2.24) vào mà không làm thay đổi biểu thức vì theo định lí Gauss, tích phân này chuyển đến tích phân vô cực, đó Tenxo xung lượng 0) Biểu thức (2.22) cho thấy T0 có thể xem là mật độ vecto xung lượng bốn chiều P 4.5.2 Các phép biến đổi nội Xét các phép biến đổi không làm thay đổi toạ độ: x 0 Do đó ( a ) 0 Biểu thức dòng J (a) là: J ( a ) L F((a) ) ( ) (2.25) Các phép biến đổi không làm thay đổi toạ độ không- thời gian gọi là các phép biến đổi nội Chúng liên quan chặt chẽ đến các số lượng tử nội điện tích, siêu tích, spin đồng vị Trường hợp đơn giản là phép biến đổi thông số U(1) - chẳng hạn phép biến đổi điện tích tác dụng phép biến đổi này trường ( x) tương ứng với hạt mang điện tích q biến đổi sau: ( x) '( x) e iq ( x) (2.26) (38) Khai triển vế phải ta có: '( x) (1 i q) ( x ) tức là ( x) iq ( x) Do đó, từ (2.11) ta có: F((a) ) iq ( x) (2.27) Thay (2.27) vào (2.25), ta dược biểu thức tổng quát dòng điện tương ứng: J ( em) i q L ( x) ( ) (2.28) ( em ) Lấy tích phân thành phần J theo toàn không gian, ta biểu thức điện tích Q d xJ 0( em ) i d xq L (0 ) (2.29) (em:tích điện) (39)