Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học (2018)

Để nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật và sự tác dụng tương hỗ giữa chúng – bộ môn Cơ học lý thuyết ra đời.. Các nguyên lý trong cơ học cho phép ta

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

HÀ NỘI, 2018

i

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng tri ân và biết ơn chân thành, em xin được bày tỏ lời cảm

ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Phương Lan đã trực tiếp hướng dẫn tận tình

và tạo điều kiện thuận lợi để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong khoa Vật Lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng, em xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện vật chất và tinh thần để em hoàn thiện được khóa luận của mình

Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất, song không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn!

Sinh viên

Lê Ngọc Dương

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là kết quả của sự cố gắng và nỗ lực nghiên

cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của Th.S Nguyễn Thị Phương Lan không trùng khớp với bất kì tài liệu nào Nếu sai em xin hoàn toàn chịu

trách nhiệm

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Lê Ngọc Dương

iii

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

NỘI DUNG 3

Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ 3

1.1 Cơ sở lý thuyết 3

1.1.1 Di chuyển khả dĩ – Số bậc tự do 3

1.1.1.1 Di chuyển khả dĩ 3

1.1.1.2 Số bậc tự do 4

1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng 4

1.1.2.1 Tọa độ suy rộng 4

1.1.2.2 Lực suy rộng 4

1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ 5

1.1.3.1 Liên kết lý tưởng 5

1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ 5

1.1.3.3 Điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do 7

1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ 7

Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 14

2.1 Cơ sở lý thuyết 14

2.1.1 Nguyên lý Đalămbe 14

2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm 14

2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ 14

iv

2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn 16

2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 16

2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng 17

2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh một trục cố định 18

2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe 18

Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 24

3.1 Cơ sở lý thuyết 24

3.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 25

Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30

4.1 Cơ sở lý thuyết 30

4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30

4.1.2 Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu 31

4.2 Một số bài tập về nguyên lý tác dụng tối thiểu 33

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học là bộ môn khoa học tự nhiên, tập trung nghiên cứu vật chất

và chuyển động của nó trong không gian và thời gian Vật lý học phát triển không ngừng với nhiều chuyên ngành vật lý khác nhau, trong đó có chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” – diễn tả các quy luật, những học thuyết, suy luận logic để tìm ra những nguyên lý mới chưa tìm được bằng thực nghiệm

Để nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật và sự tác dụng tương hỗ giữa chúng – bộ môn Cơ học lý thuyết ra đời Trong cơ học lý thuyết chúng ta cần chú ý bốn nguyên lý quan trọng Đó là

“Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; “Nguyên lý Đalămbe”; “Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng” Các nguyên lý trong cơ học cho phép ta thành lập được các phương trình vi phân chuyển động và điều kiện cân bằng của cơ hệ Và việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập Cơ học lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với chúng ta, qua đó giúp hiểu sâu về lý thuyết đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng học tập Chính vì vậy

tôi lựa chọn đề tài: “Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học” để

hiểu rõ hơn về các nguyên lý và áp dụng các nguyên lý đó vào giải các dạng bài tập

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về một số nguyên lý trong cơ học:

+ Nguyên lý di chuyển khả dĩ

+ Nguyên lý Đalămbe

+ Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng

+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu

- Áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bài toán cơ học

+ Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng

+ Nguyên lý tác dụng tối thiểu

- Dạng bài tập về các nguyên lý

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về các nguyên lý trong cơ học

- Nghiên cứu dạng bài tập về các nguyên lý đó

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo

- Thống kê, lập luận, diễn giải

6 Cấu trúc của luận văn

Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

3

NỘI DUNG Chương 1: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

tự do

Di chuyển khả dĩ của cơ hệ không tự do là tập hợp di chuyển vô cùng nhỏ của các chất điểm tại vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà cơ hệ có thể thực hiện phù hợp với liên kết đặt lên hệ Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất điểm là     (với r r( x, y, z) là vectơ định vị của chất điểm), để phân biệt được với di chuyển thật dr dx dy dz( , , )

Xét cơ hệ gồm N chất điểm, điều kiện để r k (k=1,N)là di chuyển khả

Ta có thể dễ dàng nhận thấy di chuyển thực là một trong những di chuyển khả

dĩ Do vậy di chuyển khả dĩ là di chuyển do ta tưởng tượng ở một thời điểm

cố định còn di chuyển thực thì được thực hiện theo thời gian

Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng và điều kiện đầu và liên kết đặt

lên hệ còn đối với di chuyển khả dĩ thì nó chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên

nó do vậy di chuyển thực chỉ có một còn di chuyển khả dĩ có một hoặc nhiều

di chuyển

4

1.1.1.2 Số bậc tự do

Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển khả dĩ độc lập tuyến tính của cơ hệ, nghĩa là bằng số biến phân độc lập của các toạ độ

Cách xác định số bậc tự do: Giả sử cơ hệ có n chất điểm và chịu m

phương trình liên kết độc lập với nhau trong cơ hệ thì số bậc tự do của hệ sẽ

là S = −3n m

Phương trình liên kết: là các phương trình hay bất phương trình biểu thị

về mặt toán học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất điểm thuộc cơ hệ Dạng của phương trình liên kết là:

Tọa độ suy rộng thường được kí hiệu là q i (i=1,2,…), có thể đại diện cho

đơn vị độ dài, góc quay, diện tích, điện lượng…

Tọa độ suy rộng đủ là số các tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ Tọa độ dư thừa là vượt quá số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hệ

1.1.2.2 Lực suy rộng

Xét cơ hệ gồm N chất điểm và chịu tác dụng của lực F k k( = 1 N) tác dụng vào chất điểm M k(x k,y z k, k), từ biểu thức tính công nguyên tố của công khả dĩ ta được:

i i

r F q

F q

1.1.3 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

1.1.3.1 Liên kết lý tưởng

Định nghĩa: Liên kết của cơ hệ được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công nguyên tố của phản lực liên kết tác dụng lên cơ hệ trên mọi di chuyển khả dĩ đều bằng không

Biểu thức: A k N =N kr k =0

Trong đó N k là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm M k , r klà véc tơ

di chuyển khả dĩ của chất điểm đó

Nếu các liên kết không phụ thuộc vào thời gian, các lực ma sát trượt và ngẫu lực ma sát lăn không sinh công trong di chuyển có thể của hệ thì cơ hệ

đó chịu liên kết lý tưởng

1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Phát biểu nguyên lý: khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tưởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công của lực chủ động tác dụng lên hệ trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ tại vị trí đang xét bằng không

6

Chứng minh: Giả sử chất điểm thứ k của hệ chịu tác dụng của hợp lực

của các lực chủ động Fkvà của hợp lực của các phản lực liên kết N k

+ Điều kiện cần: Hệ ở trạng thái cân bằng thì các phản lực phải thỏa mãn điều kiện:

Ý nghĩa: Ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát, trong khi đó các phương pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ

Lưu ý:

Nếu hệ có liên kết lý tưởng thì chỉ cần tính đến các lực chủ động còn các phản lực liên kết có thể bỏ qua

Đây là điều kiện cân bằng của hệ trong hệ tọa độ Đề các

+ Trong tọa độ suy rộng q 1 ,…,q m

1.2 Các dạng bài tập về nguyên lý di chuyển khả dĩ

Từ những cơ sở lý thuyết được nêu trên ta có thể phân chia một số dạng bài tập áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ như sau:

Dạng 1: Bài toán liên hệ giữa các lực chủ động để hệ cân bằng

Dạng 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng

Dạng 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ

Bài tập tương ứng

Bài 1.1: Cho 2 tải trọng A và B trên các mặt nghiêng với những góc 𝛼 và β so với phương nằm ngang, được giữ cân bằng nhờ tải trọng C như hình 1.1

8

Tìm trọng lượng PA và PB của 2 tải trọng A,

B, bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc và dây

cáp

Bài giải:

Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng

Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có 2 bậc tự do

dương hướng xuống dưới

Do dây không giãn nên chiều dài

dây không đổi nên ta có

1 2 2 c

Suy ra: x1+x2+2x c =0 hay ( 1 2)

12

B

P P

Bài 1.2 Cho cơ hệ được biểu

diễn trên hình vẽ Dây mềm

mảnh, nhẹ và không giãn được

buộc vào vật A, vòng qua ròng

rọc cố định C, ròng rọc động D

và ròng rọc cố định E, cuối cùng

buộc vào vật nặng B Tại trục

ròng rọc động D có treo vật K có

trọng lượng Q Cho biết hai vật

A, B có cùng trọng lượng P Xác định P theo Q và xác định hệ số ma sát trượt giữa vật A và mặt phẳng ngang để hệ cân bằng

Bài giải:

Cơ hệ chịu liên kết holonom lý tưởng Cơ hệ có 2 bậc tự do

Chọn hệ tọa độ suy rộng đủ q1=x q, 2 = Chọn trục tọa độ như hình vẽ y

10

Kết hợp với điều kiện cân bằng của công khả dĩ   A F ( k) =0

Suy ra

02

210

Bài 1.3 Hai thanh đồng chất OA, AB, có cùng độ dài 21 trọng lượng bằng

nhau P1=P2 =P được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp

ở O (hình 1.3) Tại B tác dụng lực Q nằm ngang Bỏ qua ma sát ở các khớp

nối Tìm các góc 1, 2 lập giữa OA, AB với phương thẳng đứng khi hệ cân bằng

Bài giải

Xét cơ hệ gồm 2 thanh OA, OB Với giả

thiết bỏ qua ma sát hệ chịu liên kết lý tưởng

Hệ có 2 bậc tự do được xác định bằng 2

tọa độ đủ: q1=1, q2 =2

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm

trọng lượng P P1, 2 và lực Q

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta cho hệ

một di chuyển khả dĩ OA quay góc 1, AB quay góc 2

Theo (1.6) tổng công của các lực tác dụng lên cơ hệ trên một di chuyển khả dĩ là:

Q tg

P Q tg

Bài 1.4 Trên hình 1.4 ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang Tay quay

OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách giữa hai

trục O và C là d Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc quay  Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cần lắc chịu tác dụng của lực ngang F

tại B hướng từ trái sang phải Bỏ qua ma sát

và trọng lượng bản thân của các khâu Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu tại

vị trí đó

Bài giải

Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào

ngang

Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và

lý tưởng Cơ hệ có 1 bậc tự do

Các lực chủ động gồm F và ngẫu lực có

mômen M Chọn hệ toạ độ suy rộng đủ q= là

góc quay của tay quay OA

Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ  ngược 0

chiều kim đồng hồ Khi đó CB quay quanh C một góc 

V là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C

Khi đó V A= + được biểu diễn như hình vẽ V k V t

Ta có VA =OA V, k =CBvới và  lần lượt là vận tốc quay của OA và vận tốc góc của CB

Mà V K =V Acos( − )suy ra CB cos( )

Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết

và thay thế phản lực cần tìm – coi nó như một lực hoạt động

13

Bước 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự chọn phù hợp với bậc tự do

Viết biểu thức tính công khả dĩ Từ điều kiện cân bằng ta tìm được các giá trị cần xác định Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán được áp dụng là các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau

14

Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết

2.1.1 Nguyên lý Đalămbe

2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm

Xét chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc wdưới tác dụng của các lực F F1, 2, ,F và lực quán tính của chất điểm là n F qt = −mw

Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm:

F

=

 và F qtđồng quy tại chất điểm nên có thể viết lại

(F F1, 2, ,F F n, qt)=0 (1.6)Đây là biểu thức nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm và được phát biểu như sau: Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng lên chất điểm và lực quán tính của nó lập thành một hệ cân bằng

2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ

Điều kiện cân bằng của hệ thức (1.7) được viết như sau

k k

k i n

qt e

k i n

qt e

qt e x k qt e y k qt e z k

qt e

x k x

qt e

y k y

qt e

m F m F m F M M M là thành phần hình chiếu của mô men

của ngoại lực Fe k và mô men chính của lực quán tính lên các trục tọa độ Lưu ý:

Nguyên lý Đalămbe chỉ áp dụng được trong hệ quy chiếu quán tính, các lực quán tính được tìm qua các gia tốc tuyệt đối

Nguyên lý Đalămbe cho ta phương pháp giải các bài toán động học một cách đơn giản (phương pháp tĩnh học vật rắn)

2.1.2 Thu gọn hệ các quán tính của vật rắn

Vật rắn là là tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa 2 chất điểm bất

kì luôn không đổi

2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến

Do vật rắn không quay quanh khối tâm C nên M c qt = 0

Vậy trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của lực quán tính bằng véc tơ chính và đi qua khối tâm C

2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng

(Chuyển động song phẳng là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy chiếu đã chọn trước)

Xét vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng

Ta đưa các lực quán tính về khối tâm C ta thu được:

2.2 Các dạng bài tập về nguyên lý Đalămbe

Nguyên lý Đalămbe giúp ta đưa việc giải một bài toán động lực về việc thành lập các phương trình cân bằng tĩnh học Đặc biệt nguyên lý này được sử

Dạng 2: Viết phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ, đặc biệt là

các phương trình vi phân chuyển động của vật rắn

Các bài tập tương ứng:

Bài 2.1 Hai vật A, B có trọng lượng P1, P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây không giãn có khối lượng không đáng kể (hình 2.1) Hai vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát µ nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phương ngang Xác định gia tốc của hai vật và lực căng dây

Bài giải

Xét cơ hệ gồm cả 2 vật, các lực tác dụng lên cơ hệ gồm có , ,P N F mst,Q

Gọi các lực quán tính đặt lên 2 vật A, B là F1qt,F 2qt

k k k

Hình 2.1

Bài 2.2 Hai vật nặng có trọng lượng P1, P2 quấn

vào hai tầng của ròng rọc có trọng lượng Q, có bán

kính quán tính đối với trục quay là  Tầng một có

bán kính tang là r, tầng hai là R (hình 2.2) Tìm gia

tốc của ròng rọc và phản lực của trục quay Biết

tải trọng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực

Bài giải

Khảo sát cơ hệ gồm hai vật nặng P1, P2 và

ròng rọc trọng lượng Q Lực tác dụng lên hệ là các

trọng lực và phản lựcR0 của trục

Đặt vào 2 vật nặng 2 lực quán tính F1qt;F2qt Ta giả

xử vật nặng P1 đi xuống và vật P2 đi lên Ta có hệ lực quán tính thu thành một