Một số dạng bài tập về các nguyên lý trong cơ học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ LÊ NGỌC DƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ CÁC NGUYÊN LÝ TRONG CƠ HỌC Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Với lòng tri ân biết ơn chân thành, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Phương Lan trực tiếp hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Thầy (Cô) giáo khoa Vật Lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp em hồn thành khóa luận Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, khích lệ tạo điều kiện vật chất tinh thần để em hồn thiện khóa luận Mặc dù thân cố gắng nhiều để thực đề tài cách hoàn chỉnh nhất, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý quý thầy bạn để khóa luận em hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! Sinh viên Lê Ngọc Dương i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận kết cố gắng nỗ lực nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình Th.S Nguyễn Thị Phương Lan khơng trùng khớp với tài liệu Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lê Ngọc Dương ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn NỘI DUNG Chương 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.1.1 Di chuyển – Số bậc tự 1.1.1.1 Di chuyển 1.1.1.2 Số bậc tự 1.1.2 Tọa độ suy rộng – Lực suy rộng 1.1.2.1 Tọa độ suy rộng 1.1.2.2 Lực suy rộng 1.1.3 Nguyên lý di chuyển 1.1.3.1 Liên kết lý tưởng 1.1.3.2 Nguyên lý di chuyển 1.1.3.3 Điều kiện cân tổng quát hệ không tự 1.2 Các dạng tập nguyên lý di chuyển Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 14 2.1 Cơ sở lý thuyết 14 2.1.1 Nguyên lý Đalămbe 14 2.1.1.1 Nguyên lý Đalămbe chất điểm 14 2.1.1.2 Nguyên lý Đalămbe hệ 14 2.1.2 Thu gọn hệ quán tính vật rắn 16 2.1.2.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 16 2.1.2.2 Vật rắn đồng chất chuyển động song phẳng 17 2.1.2.3 Vật rắn đồng chất chuyển động quanh trục cố định 18 2.2 Các dạng tập nguyên lý Đalămbe 18 Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 24 3.1 Cơ sở lý thuyết 24 3.2 Các dạng tập nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 25 Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30 4.1 Cơ sở lý thuyết 30 4.1.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu 30 4.1.2 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu 31 4.2 Một số tập nguyên lý tác dụng tối thiểu 33 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học tự nhiên, tập trung nghiên cứu vật chất chuyển động khơng gian thời gian Vật lý học phát triển không ngừng với nhiều chuyên ngành vật lý khác nhau, có chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” – diễn tả quy luật, học thuyết, suy luận logic để tìm nguyên lý chưa tìm thực nghiệm Để nghiên cứu quy luật tổng quát chuyển động cân vật tác dụng tương hỗ chúng – môn Cơ học lý thuyết đời Trong học lý thuyết cần ý bốn nguyên lý quan trọng Đó “Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; “Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; “Nguyên lý Đalămbe”; “Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng” Các nguyên lý học cho phép ta thành lập phương trình vi phân chuyển động điều kiện cân hệ Và việc vận dụng kiến thức học vào giải tập Cơ học lý thuyết yêu cầu hàng đầu chúng ta, qua giúp hiểu sâu lý thuyết đồng thời nâng cao tư kỹ học tập Chính tơi lựa chọn đề tài: “Một số dạng tập nguyên lý học” để hiểu rõ nguyên lý áp dụng nguyên lý vào giải dạng tập Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số nguyên lý học: + Nguyên lý di chuyển + Nguyên lý Đalămbe + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng + Nguyên lý tác dụng tối thiểu - Áp dụng sở lý thuyết nguyên lý vào việc giải toán học Đối tượng nghiên cứu - Các nguyên lý: + Nguyên lý di chuyển + Nguyên lý Đalămbe + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng + Nguyên lý tác dụng tối thiểu - Dạng tập nguyên lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu nguyên lý học - Nghiên cứu dạng tập nguyên lý Phương pháp nghiên cứu - Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo - Thống kê, lập luận, diễn giải Cấu trúc luận văn Chương 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.2 Các dạng tập Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Các dạng tập Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết 3.2 Các dạng tập Chương 4: Nguyên lý tác dụng tối thiểu 4.1 Cơ sở lý thuyết 4.2 Một số tập NỘI DUNG Chương 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.1.1 Di chuyển – Số bậc tự 1.1.1.1 Di chuyển Cơ hệ không tự hệ tập hợp nhiều chất điểm mà chuyển động chúng phụ thuộc vào lực tác động mà phụ thuộc vào số điều kiện ràng buộc hình học động học Ngược lại ta có hệ tự Di chuyển hệ không tự tập hợp di chuyển vô nhỏ chất điểm vị trí xét sang vị trí lân cận mà hệ thực phù hợp với liên kết đặt lên hệ Ký hiệu di chuyển chất điểm r( x, y, z) (với r vectơ định vị chất điểm), để phân biệt với di chuyển thật dr (dx,dy,dz) Xét hệ gồm N chất điểm, điều kiện để rk dĩ thỏa mãn f r r f f xk y xk yk k 1, N di chuyển khả hay dạng: f k zk z k (1.1) Ta dễ dàng nhận thấy di chuyển thực di chuyển Do di chuyển di chuyển ta tưởng tượng thời điểm cố định di chuyển thực thực theo thời gian Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng điều kiện đầu liên kết đặt lên hệ di chuyển phụ thuộc vào liên kết đặt lên di chuyển thực có di chuyển có nhiều di chuyển qk (t, ) (k 1, s) với t thởi gian, α tham số thực Khi α thay đổi: qk (t, ) q k (t, ) Đại lượng: q k q k (t, ) qk (t,) k q gọi biến phân qk Giả sử với qk (t, ) diễn tả chuyển động thực hệ khoảng thời gian từ t1 đến t2 (t2 gần so với t1) Với qk (t, ) mơ tả chuyển động từ t1 đến t2 Chúng ta hạn chế khảo sát chuyển động hệ chuyển động thực có chung điểm đầu điểm cuối Tại thời điểm t1,t2 hàm qk trùng nên ta có: qk (t1 ) 0, qk (t2 ) Giả sử hàm Lagrăng hệ: L L(q , q ,t) (k 1, s) (L=T-U) Lực vô hướng k k Ldt gọi tác dụng ngun tố theo Haminton t2 Ta có tích phân: S t1 L(qk , qk ,t)dt gọi tác dụng theo Haminton khoảng thời gian t1 t2 Đặt qk (t, ) qk t2 S t1 qk (t, ) qk ta được: L qk (t, ), qk (t, ),tdt S Suy biến phân tác dụng S là: S 2t Ldt t1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với hệ Hôlônôm chịu liên kết lý tưởng tác dụng lực thế, chuyển động thực đưa hệ từ trạng thái A sang trạng thái B chuyển động tương ứng với giá trị cực trị hàm tác dụng S, hay nói khác chuyển động thực hệ, biến phân cấp hàm S bị triệt tiêu S Nghĩa là: hay S 0 4.1.2 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu + Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu N Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H H (qk , pk ) H pk k1 qk L ta viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dạng: S N 2t t k1 pk dqk Hdt Thay đổi thứ tự phép tính tích phân phép tính biến phân vế trái ta được: N S t H k1 t qk pk H p k q N q k t dt k kt1 k p d(q ) k Áp dụng tích phân phần điều kiện qk (t1 ) qk (t2 ) ta được: N t N t2 k t1 pk d( qk ) qk Vì qk , pk độc lập nên H pk pk t k1 pk qk dt H qk Đây gọi phương trình Haminton + Nguyên lý tác dụng tối thiểu phương trình chuyển động hệ Cùng với chuyển động thực ta biểu diễn chuyển động phương trình thơng số: q*k (t) qk (t) qk Trong biến phân qk hàm khả vi vô bé bất kì, thỏa mãn điều kiện hai đầu mút qk (t1 ) qk (t2 ) Với độ xác đến số hạng bé bậc với qk , qtak có: N N L L L L(qk qk , k1 q qk k1 k N t t2 L Ldt q t1q q ,t) kL(q qkk ,t) t1k ,q k k Ta lại có: S S L N t t1 k1 qk d L q dt dt k qk L k qqkk qk qk L d q dt L qk k Đây phương trình Lagrăng loại 2, đặc trưng cho chuyển động hệ + Phương trình Lagrăng loại chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu Từ phương trình L d L qk dt q ta nhân với q k k lấy tổng ta được: N d L dtk qk N d L qk dt k L qk qk N q k kq1 N N d L q k dt qk dN L k k1 L k dt qk L q k k qk L q qk N k k1 L qk qk 0 Nhân vế với dt tính tích phân từ giới hạn t1, t2 ta có: N t N t2 t L d L t2 t Ldt q k Ldt q Ldt t k t1 t 1t k qk qk k t1 dt Hay S 4.2 Một số tập nguyên lý tác dụng tối thiểu Bài 4.1 Xác định biểu thức tác dụng dao động tử điều hòa chiều có khối lượng m Bài giải Chọn hệ tọa độ suy rộng qk x Ta có động dao động tử điều hòa là: mv m x2 2 1 U kx m2 x2 2 T const Hàm Lagrăng dao động tử điều hòa: L TU Từ phương trình x m2 x m d L L dt qk qk x2 m2x2 ta có phương trình cho tọa dộ x: phương trình có nghiệm x asin( t) x acos(t ) Thế vào hàm Lagrăng, sau đưa vào biểu thức tác dụng S tính tích phân ta thu được: S t2 t Ldt m sin(t xt2 ) x2 cos t 2 t 2x x Bài 4.2 Xác định biểu thức tác dụng hạt có khối lượng m, chuyển động tự Bài giải: Chọn tọa độ suy rộng qk x Ta có hàm Lagrăng cho hạt chuyển động tự là: L(x, Từ phương trình ta có x const d L L dt qk qk ta có phương trình cho tọa dộ x: mx x,t) x2 x1 t2 v t1 mv2 mx x vt x x m x suy S m t1 2 t2 t1 t2 Thế vào tác dụng S: S Bài 4.3 Trong chuyển động chiều hạt tự do, xung lượng chứng minh điểm x1 quỹ đạo, xung lượng có dạng p Bài giải S , x1 x Từ công thức nguyên S Suy S x L p L t2 x t1 t2 t1 x t2 t Ldt d L L dt dt x x Theo đề ta có p L const x S S x x Mặt khác t2 t d L L dt ~ suy dt x x x S x L xx x p xx Bài 4.4 Biểu thức lượng chất điểm có dạng E L xp Chứng minh điểm x2 quỹ đạo, lượng có dạng E S ; t2 thời điểm t2 ứng với tọa độ x2 Bài giải Xét chất điểm chuyển động quỹ đạo từ x1 x2 thời gian từ t1 đến t2 t2 Ta có tác dụng S: S S Suy t2 t2 S t2 (do x t2 L(x, x,t)dt S( t2 ) x L dt x t2 t22 Lx L xt x(t2 ) t2 L dt L x 0vì nguyên lý tác dụng tối thiểu áp dụng cho hệ kín) Từ phương trình Lagrăng mơ tả chuyển động chất điểm: L d L L d L L L dt dt x x dt x x x x L t2 x tt t1 L x dt2 Thế vào phương trình S t2 x(t2 ) L dt x t2 S ta được: t2 L L(t ) 2mà x tt p L x nên S t2 xp L tt2 E Vì t2 tùy ý nên E S t2 Từ việc giải tập rút phương pháp giải chung cho tập nguyên lý tác dụng thiểu Bước 1: Xác định hệ khảo sát Xác định số bậc tự hệ chọn toạ độ suy rộng, xác định điều kiện liên kết hệ Bước 2: Tính động hệ biểu diễn hàm Lagrăng qua toạ độ suy rộng qj vận tốc suy rộng qj Bước 3: Tính đạo hàm T d T T , , q j dt q j q j thay đại lượng vào phương trình Lagrăng Tiến hành biến đổi tốn học rút kết KẾT LUẬN Đề tài “Một số dạng tập nguyên lý học” sau hoàn thiện thu kết sau: Khóa luận đề cập đến bốn nguyên lý học cụ thể sở lý thuyết, nội dung nguyên lý Đặc biệt khóa luận đưa cách phân loại dạng tập ứng với nguyên lý, sau đưa tập với lời giải cụ thể cho dạng tập Khóa luận đề xuất tiến trình giải chung để sinh viên áp dụng giải tốn độc lập TÀI LIỆU THAM KHẢO Chu Tạo Đoan (1996), Cơ học lý thuyết, Trường đại học Giao thông vận tải Chu Tạo Đoan (2007), Cơ học lý thuyết (tập 1), Nhà xuất Giao thông vận tải Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhập, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1998), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1990), Bài tập vật lý lý thuyết (tập 1), Nhà xuất Giáo Dục Đỗ Sanh (1996), Cơ học (tập 2), Nhà xuất Giáo Dục Đỗ Sanh, Lê Doãn Hồng (2003), Bài tập học (tập 2), Nhà xuất Giáo Dục ... 1: Nguyên lý di chuyển 1.1 Cơ sở lý thuyết 1.2 Các dạng tập Chương 2: Nguyên lý Đalămbe 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Các dạng tập Chương 3: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng 3.1 Cơ sở lý thuyết 3.2 Các dạng. .. hiểu rõ nguyên lý áp dụng nguyên lý vào giải dạng tập Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số nguyên lý học: + Nguyên lý di chuyển + Nguyên lý Đalămbe + Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng + Nguyên lý tác dụng... thuyết đời Trong học lý thuyết cần ý bốn nguyên lý quan trọng Đó Nguyên lý di chuyển khả dĩ”; Nguyên lý tác dụng tối thiểu”; Nguyên lý Đalămbe”; Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng” Các nguyên lý học cho