Một số dạng bài toán về số nguyên tố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VŨ THỊ THẢO MAI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN VỀ SỐ NGUN TỐ TĨM TẮT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ em suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình học tập hồn thành khóa luận Lần làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học thời gian có hạn lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Thảo Mai LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu khóa luận “Một số dạng tốn số nguyên tố” em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Danh sách tài liệu tham khảo em đưa vào mục tài liệu tham khảo khóa luận Em xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng, nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Hào đề tài em thực không trùng với đề tài tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Thảo Mai CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ƯCLN : Ước chung lớn BCNN : Bội chung nhỏ ƯNT : Ước nguyên tố MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập hợp đẳng lực 1.1 Khái niệm số ví dụ tập hợp đẳng lực 1.2 Một số tính chất Tập hợp hữu hạn tập hợp vô hạn 2.1 Một số khái niệm ví dụ 2.2 ột số t nh chất tập hợp đẳng lực Tập hợp số tự nhiên ¥ 3.1 Bản số tập hợp 3.2 Số tự nhiên 3.3 ột số v dụ 3.4 Quan hệ thức tự ¥ 3.4.1 Một số khái niệm 3.4.2 Tính chất 3.5 Số tự nhiên liền sau 3.5.1 Một số khái niệm ví dụ 3.5.2 ột số t nh chất số tự nhiên liền sau 3.5.3 ản số tập hợp số tự nhiên 10 3.6 Phép cộng ph p nhân tập hợp số tự nhiên 10 3.6.1 Một số khái niệm 10 3.6.2 Các t nh chất ph p toán tập hợp số tự nhiên 11 3.7 Ph p tr 14 Số nguyên tố 15 4.1 Khái niệm số nguyên tố hợp số 15 4.2 Sàng Eratosthene 16 4.3 Định lý phân tích số nguyên tố 18 4.4 Sự phân tích tiêu chuẩn 21 4.5 Ước chung lớn bội chung nhỏ 22 CHƯƠNG II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 24 Nhận biết số nguyên tố phân bố số nguyên tố 24 1.1 Kiểm tra số có phải số nguyên tố không 24 1.1.1 Kiến thức cần nhớ 24 1.1.2 Một số ví dụ 24 1.2 Sự phân bố số nguyên tố tập hợp số tự nhiên 28 1.2.1 Kiến thức cần nhớ 28 1.2.2 Một số ví dụ 29 1.2.3 Bài tập áp dụng 30 Sử dụng phương pháp phân t ch để giải toán ước chung lớn bội chung nhỏ 31 2.1 Ước số 31 2.1.1 Kiến thức cần nhớ 31 2.1.2 Một số ví dụ 31 2.1.3 Bài tập áp dụng 35 2.2 Bài toán ước chung lớn bội chung nhỏ 36 2.2.1 Kiến thức cần nhớ 36 2.2.2 Một số ví dụ 36 2.2.3 Bài tập áp dụng 39 Tìm số nguyên tố để thỏa mãn điều kiện đề 41 3.1 Phương pháp chung 41 3.2 Một số ví dụ 41 3.3 Bài tập áp dụng 46 Các tốn chứng minh có liên quan đến số ngun tố 49 4.1 Phương pháp chung 49 4.2 Một số ví dụ 49 4.3 Bài tập áp dụng 53 Các toán khác liên quan đến số nguyên tố 54 5.1 ột số v dụ 54 5.2 Bài tập vận dụng 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học cơng cụ giúp học sinh học tập môn khác kiến thức tư Đặc biệt mơn Tốn có tiềm phát triển lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính xác, thẩm mĩ kiên trì, nhẫn nại cho học sinh Trong chương trình tốn học đa dạng phong phú, tốn số học ln để lại vấn đề mẻ làm say mê nhiều người, t nhà tốn học vĩ đại giới tới đơng đảo bạn đọc u tốn Trong điển hình toán số nguyên tố Số nguyên tố hóa trang cho lần khuất số tự nhiên khiến cho khó nhận Bởi số nguyên tố ví đứa trẻ bướng bỉnh, nấp ph a Đơng, chạy phía Tây, trêu tức nhà tốn học Vậy tìm số nguyên tố số nguyên tố phân bố tập hợp số tự nhiên? Điều thực thú vị thúc nhà tốn học tìm tòi, nghiên cứu „„những đứa trẻ bướng bỉnh này” Tuy nhiên, có nhiều lí thuyết số nguyên tố chưa tìm quy luật Do khơng thể tránh khỏi tượng bạn học sinh, sinh viên lúng túng, lo sợ gặp toán số nguyên tố, đa phần bạn khó khăn việc định hình phương pháp giải Số nguyên tố nói riêng hay số học nói chung có nét thú vị riêng, độc đáo riêng Để phục vụ cho việc dạy học sau rèn luyện cho học sinh, sinh viên lực tư định hình phương pháp để giải dạng toán số nguyên tố, em định chọn đề tài: ‘‘Một số dạng toán số nguyên tố” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tập hợp số tự nhiên để bổ sung thêm số kiến thức giúp cho việc giải toán phần Xây dựng hệ thống tập hợp số tự nhiên giới thiệu số vấn đề số nguyên tố phân dạng toán số nguyên tố Đối tượng phạm vi nghiên cứu Số nguyên tố số dạng toán số nguyên tố Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tập hợp đẳng lực 1.1 Khái niệm số ví dụ tập hợp đẳng lực Định nghĩa Ta nói tập hợp A tương đương hay đẳng lực với tập hợp B viết A : B , có song ánh f : A ® B Một số v ụ Tập hợp ngón tay bàn tay trái đẳng lực với ngón tay bàn tay phải Giả sử A B BC hai đoạn thẳng có độ dài tùy ý chung đầu mút B ba điểm A, B,C không thẳng hàng ý hiệu [A B ] [CB ] tương ứng tập hợp điểm hai đoạn thẳng Ta s chứng tỏ [A B ] [CB ] Thật vậy, : ta x t ánh xạ f : [A B ] ® [CB ] xác định sau: với điểm X Ỵ [A B ] ta cho tương ứng sau + f (X ) = C X = A; + f (X ) = B X = B ; + f (X ) = X ¢ mà X X ¢P A C X ¹ A X ¹ B dàng thấy r ng f song ánh t [A B ] lên [CB ] ậy [A B ] [CB ] : t hai đường tr n V V đồng tâm O ý hiệu éêVë ù éê2 úùû tương úû ứng ë V tập hợp điểm hai đường tr n Ta thiết lập tương ứng éV ù sau: với điểm M éV ù tia OM cắt ù M  ta f : ộV1 ựđ ộV ẻ íï x + = 2y ï TH : ì (vơ nghiệm) x- 1= ïỵ íï x + = (vô nghiệm) TH : ì ï x - = 2y ïỵ Vậy (x;y) = (3;2) thỏa mãn đề Bài Tìm ba số ngun tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng y Bài Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: x + = z Bài Tìm số nguyên tố liên tiếp p,q, r cho p + q2 + r số nguyên tố Bài Tìm số nguyên tố p,q, r cho pq + q p = r y Bài Tìm số nguyên tố x, y, z thoả mãn x + = z Bài 10 Tìm tất số nguyên tố x, y cho a) x – 12y = b) 3x + = 19y 2 c) 5x – 11y = d) 7x – 3y = e) 13x – y = f ) x = 8y + Kết luận Đối với toán thuộc dạng tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước tốn khơng khó tốn số nguyên tố Qua toán giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức số nguyên tố Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số số nguyên tố chẵn nhỏ tập hợp số nguyên tố Dựa vào cách viết số nguyên tố có dạng ax + b , (a,b) = Rèn cho học sinh kĩ x t trường hợp xảy ra, phương pháp loại tr dẫn đến điều vơ lí Qua dạng tốn này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư lôgic, tư sáng tạo , tính tích cực chủ động làm Các tốn chứng inh có iên quan đến số nguyên tố 4.1 Phương pháp chung Đối với toán chứng minh số, biểu thức số nguyên tố thông thường người ta dùng phương pháp chứng minh b ng phản chứng 4.2 Một số ví dụ Ví dụ a) Chứng minh r ng số nguyên tố m > viết dng 6n (n ẻ Ơ ) b) Cú phải số dạng 6n ± ; (n Ỵ ¥ ) số ngun tố hay khơng? Giải a) Mọi số chia cho có số dư 0,1, 2, 3, 4, o số tự nhiên viết dạng 6n, 6n ± 1, 6n ± 2, 6n ± Do m số nguyên tố, m > nên m không chia hết cho không chia hết cho Vậy m số ngun tố m có dạng 6n ± đpcm b) Không phải số cú dng 6n ; (n ẻ Ơ u số nguyên tố Ví dụ: 6.4 + = 25 số nguyên tố 6.8 + = 49 khơng phải số ngun tố m Ví dụ Cho - số nguyên tố Chứng minh r ng m số nguyên tố Giải Giả sử m hợp số Þ m = pq (p,q > 1; p,q ẻ Ơ ) Ta có p(q m - 1= 2pq - 1= 2(p)q - 1= (2p - 1) éê2 + ë 1) p(q - 2) + + 1ùú û Vì p > 1Þ 2p - 1> Và p(q - 1) +2 p(q - 2) + + 1> m Suy - hợp số, điều trái với giả thiết Nếu m = 1Þ m - 1= (loại) Vậy m phải số nguyên tố m Hay - số nguyên tố Þ m số nguyên tố đpcm Ví dụ Chứng minh r ng p 8p + hai số nguyên tố 8p - số nguyên tố Giải Giả sử p số nguyên tố lớn p có dạng 3k + 3k - (k ẻ Ơ ) + i p = 3k + 1, ta có p = (3k + 1)2 = 3(3k + 2k) + = 3t + Þ 8p + = (3t + 1) + = 24t + = (8t + 3) chia hết cho + Þ 8p + hợp số (trái giả thiết) ới p = 3k - 1, ta có p = (3k - 1)2 = 3(3k 2k) + 1= 3t ' + - Þ 8p + = (3t '+ 1) + = 24t '+ = (8t '+ 3) chia hết cho Þ 8p + hợp số (trái giả thiết) Vậy p = 3k , p nguyên tố Þ p = 8p + = 8.32 + = 73 (nguyên tố) 8p – = 8.32 –1 = 71 (nguyên tố) Vậy p 8p + hai số nguyên tố 8p - số nguyên tố đpcm Ví dụ Cho m m + hai số nguyên tố Chứng minh r ng m + số nguyên tố Giải + Với m = m + = + = hợp số (loại) + Với m = m + = + = 11 (thỏa mãn) + ới m > m có dạng 3k + 3k + (k ẻ Ơ ) Ta cú m = 3k + (k ẻ Ơ ) thỡ m + = (3k + 1)2 + = 3(3k + 2k + chia hết m + hợp số 1) (trái với giả thiết) hi m = 3k + m + = (3k 2)2 + = 3(3k + 4k + chia hết m + hợp số + 1) (trái với giả thiết) Vậy với m = m m + số nguyên tố hi m + = 29 số nguyên tố đpcm Ví dụ Cho p số nguyên tố lớn 5p + số nguyên tố Chứng minh r ng 7p + hợp số Giải Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + hoc 3k + (k ẻ Ơ ) + Vi p = 3k + 1, ta có 5p + = (3k + 1)+ 1= 15k + = 3(5k + chia hết cho 2) Suy 5p + có t ba ước 5p + 1, Suy 5p + hợp số trái với giả thiết + hi p = 3k + , ta có 7p + 1= 7(3k + 2) + 1= 21k + 15= 3(7k + 5) chia hết cho Suy 7p + có t ba ước 7p + 1, ậy 7p + hợp số đpcm V ụ Chứng minh r ng b> 10b + hai số nguyên tố 5b + chia hết cho Giải Vì b nguyên tố b> nên b có dạng 6k - 6k + (k ẻ Ơ , k 1) Nu b = 6k - 10b + 1= 60k 9= 3(20k - 3)M (trái với giả thiết o b có dạng 6k + Ta suy 5b + = 30k + 6= 6(5k + 1)M6 đpcm Ví dụ Chứng minh r ng m - n nguyên tố m n hai số tự nhiên liên tiếp Giải Ta có 2 m - n = (m + n )(m n ) (m, n Ơ ;m > n ) ẻ Vì m - n số nguyên tố m + n > m - n Nên m - n = Vậy m n hai số tự nhiên liên tiếp đpcm 4.3 ài tập áp ụng Bài Cho p 2p + số nguyên tố lớn Chứng minh r ng 4p + chia hết cho (Đề thi h n h sinh giỏi p huy n ớp năm 2017 - 2018) Bài Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh r ng p+ chia hết cho (Đề thi h n h sinh giỏi p huy n ớp năm 2017 - 2018) Bài Cho p số nguyên tố Chứng minh r ng không tồn cặp số nguyên dương (m,n ) thỏa mãn m 2019 +n (Đề thi h 2019 =p 2018 sinh giỏi ớp p thành phố 2017 - 2018) Bài Chứng minh r ng số nguyên tố lớn có dạng 3k ± Bài Cho p 2p + hai số nguyên tố với p > Chứng minh 4p + hợp số Bài Chứng minh tổng bình phương ba số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài Chứng minh r ng a) p - chia hết cho 24 , với p số nguyên tố lớn 2 b) p - q chia hết cho 24 , với p q số nguyên tố lớn Bài Chứng minh r ng ỗi số nguyên tố p > chia cho số dư b ng b ng a) b) Số dư phép chia số nguyên tố cho 30 b ng số ngun tố Kết uận Đây dạng tốn khó thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp Đối với toán chứng minh số, biểu thức số nguyên tố giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp chứng minh b ng phản chứng Ngoài học sinh cần vận vận dụng giả thiết dấu hiệu chia hết để giải toán Các toán khác iên quan đến số nguyên tố ạng toán thường tốn tương đối khó hay xuất đề thi học sinh giỏi cấp, khơng phân dạng cách cụ thể Đ i hỏi học sinh phải có tư linh hoạt vận dụng giả thiết để giải toán 5.1 Một số v V ụ ụ a) Tổng ba số nguyên tố b ng 1012 Tìm số nhỏ ba số b) Có hay khơng hai số ngun tố có tổng b ng 2003 ? Giải a) Trong tất số nguyên tố, số số chẵn c n lại số lẻ Tổng hai số lẻ số chẵn, tổng ba số lẻ số lẻ ì tổng ba số nguyên tố chẵn nên suy s có số chẵn số hai số lẻ Vì số nguyên tố chẵn nhỏ tất số nguyên tố nên ch nh số cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán b) Trong tất số nguyên tố, số chẵn nhất, c n lại số nguyên tố lẻ Vì tổng hai số nguyên tố 2003 lẻ nên suy phải có số chẵn số phải số lẻ số phải 2003 - = 2001 ) Vì 2001M3 nên 2001 hợp số ậy khơng thể có hai số ngun tố có tổng b ng 2003 Ví ụ Cho số nguyên tố p > iết r ng có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số p n có 20 chữ số Chứng minh r ng 20 chữ số có t chữ số giống Giải Giả sử p n có 20 chữ số, khơng có chữ số giống chữ số p n viết dạng thập phân xuất t hai lần số t đến ) hi tổng chữ số p n 2(0 + + + 9) = 90 + Do p > p nên p n M3 Theo điều giả sử M3 90M3 hay p n M3 giả sử sai ậy p n có t chữ số giống đpcm V ụ Tìm số tự nhiên n để (n + 3)(n + 1) số nguyên tố Giải Số (n + 3)(n + 1) có ước 1, n + 3, n + (n + 3)(n + 1) én = Để (n + 3)(n + 1) số nguyên tố Û + 3= ê êën + nên điều TH : n + = Û n = 0Þ (n + 3)(n + 1) = 3.1 = TH : n + = Û n = - 2< khơng thỏa mãn) thỏa mãn) ậy n = (n + 3)(n + 1) số nguyên tố ụ Nếu a - b2 số nguyên tố a - b2 = a + b V Giải Ta có a - b2 = (a + b)(a - b) Nếu a - b > a + b > Þ a - b hợp số, trái với giả thiết o a - b £ (1) ặt khác a - b2 số nguyên tố Þ a> b Þ a- b> (2) T (1) (2) Þ a - b = ậy a - b2 = a + b V ụ Chứng minh r ng tổng bình phương ba số nguyên tố lớn số nguyên tố Giải Số nguyên tố lớn có dạng 6k ± (k ẻ Ơ * ) Nờn bỡnh phng ca chỳng cú dng 6m + (m ẻ Ơ ) o tổng bình phương ba số ngun tố có dạng 6n + M3 (n > 1) o chứng tỏ tổng bình phương ba số nguyên tố lớn hợp số đpcm V ụ Tìm số nguyên tố p q cho p = 8q + Giải p = 8q + Û p - = 8q Û (p - 1)(p + 1) = 8q Ta nhận thấy 8q + lẻ Þ p lẻ Þ p lẻ Þ p = 2k + hi ta có (2k + 1)2 = 8q + Û k(k + 1) = 2q ới k(k + 1) = 2q suy p có dạng 4t + 4t - hi q có dạng t(2t + 1) t(2t - 1) Vì p,q hai số nguyên tố nên p = 5, q = Thử p = 8q + 1Û 52 = 8.3 + 1Û 25 = 25 thỏa mãn ậy p = 5, q = V ụ Chứng minh r ng (p - 1)! chia hết cho p p hợp số không chia hết cho p p số nguyên tố Giải Nếu p hợp số p t ch th a số nguyên tố nhỏ p số mũ th a số b ng số mũ ch nh th a số (p - 1)! Do (p - 1)! chia hết cho p Nếu p số nguyên tố p > p - nên p nguyên tố với th a số (p - 1)! V ụ (Đề H o (p - 1)! không chia hết cho p đpcm huy n ớp năm 2014 – 2015) Tìm số chia hết cho 105 có 30 ước số Nhận t Đối với tập ta chắn cần sử dụng cách tìm số ước số b ng cách phân t ch số th a số nguyên tố Giải Ta có A = 3a 5b g số cần tìm Theo đề A có 30 ước nên Suy (a + 1)(b + 1)(g + 1) = 30 = 2.3.5 Suy (a, b,l ) Î {(1, 2, 4);(1, 4, 2);(2;1;4);(2;4;1);(4;1;2);(4;2;1)} Nên A số 108075, 90875, 108045, 39375, 19845, 14175 ậy có số thỏa mãn u cầu đề Ví ụ Tìm tất số nguyên dương n cho số 3n – 4, 4n – 5, 5n – số nguyên tố Giải Ta nhận thấy (3n - 4) + (5n – 3) = 8n – số lẻ Suy hai số phải có số chẵn số lẻ + Nếu 3n – chẵn 3n – = Û n = Þ 4n – = 4.2- = 5n – = 5.2- = số nguyên tố Nếu 5n – chẵn 5n – = Û n = Þ 3n – = 3.1- = - 1< + loại ậy n = giá trị thỏa mãn điều kiện đề 5.2 ài tập vận ụng Bài Tìm số chia hết cho 35 có ước Bài a) ột số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r b) ột số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm số dư r biết r ng r không số nguyên tố Bài Cho M = 1242018 + p1.p2 pn (với p1, p2, pn số nguyên tố, n > 2017 Hỏi M có số ch nh phương khơng? (Đề H huy n ớp năm 2017 – 2018) Bài Tìm tất số nguyên tố p để p v a tổng v a hiệu hai số nguyên tố Bài Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chữ số hàng nghìn b ng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm b ng chữ số hàng chục số viết b ng t ch ba số nguyên tố liên tiếp Bài Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố k m đơn vị Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ 50 Bài iết r ng có 25 số nguyên tố 100 Hỏi tổng số nguyên tố chẵn hay lẻ KẾT LUẬN Số nguyên tố khái niệm trung tâm số học Ta thường gặp tốn số ngun tố kì thi học sinh giỏi, thi Olympi toán học di n hàng năm Đề tài em trình bày n t số nguyên tố số dạng tốn số ngun tố Nó giúp biết dạng toán, nắm định hướng cách giải cho toán liên qua đến số ngun tố Ngồi tốn số nguyên tố vô phong phú đa dạng nên bạn đọc phải tham khảo nhiều cách giải lựa chọn cho phương pháp tối ưu để giải tốn Trong khóa luận này, bước đầu nghiên cứu đưa kết đạt số nguyên tố Cụ thể việc đưa số dạng tốn số ngun tố Do nhiều hạn chế mặt thời gian, tài liệu, trình độ, nên em khó tránh khỏi sai sót chưa thể hết vấn đề số nguyên tố Em xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO ũ Hữu Bình (2008), Nâng cao phát triển toán - t p (NXB Giáo dục Thái Nguyên) Nguy n Hữu Hoan, Lí thuy t số (NXB Đại học Sư phạm) Nguy n Hữu Hoan, Nguy n Tiến Tài (chủ biên), Giáo trình Số h c (NXB Giáo dục) Hà Huy Khoái (2006), huy n đề b i ưỡng h c sinh giỏi tốn Trung h c phổ thơng - Số h c (NXB Giáo dục) Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số h c (Nhà xuất Giáo dục) Một số tài liệu khác:  Mạng Internet  Toán  Toán học tuổi trẻ ... nguyên tố với p n Hệ N u số nguyên tố p ước c a tích số ngun tố q1,q2,¼ , p ph i trùng với số nguyên tố c tí h đ qn Hệ Số số nguyên tố nhỏ nh t ũng số nguyên tố chẵn nh t t p h p số nguyên tố, ... nhân Số nguyên tố 4.1 Khái niệm số nguyên tố hợp số Định nghĩa Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước Những số tự nhiên có hai ước gọi hợp số Tập hợp số nguyên tố ký hiệu à Một số ví dụ (i) Một. .. Xây dựng hệ thống tập hợp số tự nhiên giới thiệu số vấn đề số nguyên tố phân dạng toán số nguyên tố Đối tượng phạm vi nghiên cứu Số nguyên tố số dạng toán số nguyên tố Phương pháp nghiên cứu