Biểu diễn phức của nhóm đối xứng theo tiếp cận của okounkov vershik (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN CHINH BIỂU DIỄN PHỨC CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG THEO TIẾP CẬN CỦA Demo Version - Select.Pdf SDK OKOUNKOV - VERSHIK Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN ĐẶNG HỒ HẢI Huế, năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Tác giả Demo Version - Select.Pdf SDK Nguyễn Văn Chinh ii LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo Thầy giáo, TS Nguyễn Đặng Hồ Hải Tơi xin gửi đến Thầy kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Cũng xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng đến q Thầy giáo: PGS TSKH Demo Gia Version Select.Pdf Nguyễn Xuân Tuyến, PGS TS Nguyễn Định,-TS Phan VănSDK Thiện, PGS TS Trần Đạo Dõng, GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Nguyễn Tự Cường, người Thầy tận tình giảng dạy ln động viên, khích lệ tơi suốt q trình học tập Đặc biệt, tơi ln biết ơn Thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết Thầy giáo PGS TS Đoàn Thế Hiếu giúp đỡ tạo điều kiện học tập cho nhiều thời gian qua Tôi xin chân thành cảm ơn BGH Trường ĐHSP Huế, q Thầy Cơ giáo Khoa Tốn Trường ĐHSP Huế, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường ĐHSP Huế quý Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy Cao học Khóa 20, người giúp tơi có kiến thức khoa học điều kiện để hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn người thân, bạn bè quan tâm, giúp đỡ động viên thời gian học tập vừa qua Tác giả iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cám ơn iii Mục lục Lời mở đầu Chương Biểu diễn nhóm hữu hạn 1.1 Định nghĩa biểu diễn nhóm hữu hạn 1.2 Biểu diễn mô-đun 1.3 Biểu diễn 1.4 Biểu diễn bất khả quy 1.5 Bổ đề Schur Demo Version - Select.Pdf SDK 1.6 Đặc trưng biểu diễn 11 1.7 Số biểu diễn bất khả quy 12 1.8 Định lý Wedderburn 15 Chương Biểu diễn phức nhóm đối xứng theo tiếp cận Okounkov-Vershik 17 2.1 Giới thiệu 17 2.2 Cơ sở Gelfand-Tsetlin đại số Gelfand-Tsetlin 19 2.3 Tính đơn phép rẽ nhánh cho nhóm đối xứng 21 2.4 Phần tử Young-Jucys-Murphy 25 2.5 Tác động phần tử sinh Coxeter sở Young đại số H(2) 30 2.6 Véc-tơ nội dung 34 2.7 Biểu đồ Young, đồ thị Young bảng Young 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo Demo Version - Select.Pdf SDK 41 LỜI MỞ ĐẦU Biểu diễn phức nhóm đối xứng vấn đề cổ điển bắt đầu nghiên cứu từ đầu kỷ trước Tiếp cận cổ điển (của Frobenius, Schur, Young, trình bày [1]) sử dụng đối tượng tổ hợp biểu đồ Young, bảng Young để xây dựng mô-đun bất khả quy (sau gọi mô-đun Spetch) chứng minh mô-đun lập thành hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng Sn Các kết lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng (như công thức số chiều biểu diễn bất khả quy, đặc trưng biểu diễn bất khả quy, đặc biệt quy tắc rẽ nhánh, kết quan lý thuyết) chứng minh Demo Version - Select.Pdf SDK từ mơ hình mơ-đun bất khả quy Năm 1996, Okounkov-Vershik [3] đề xuất tiếp cận cho vấn đề tương đối cổ điển Tiếp cận sơ cấp đẹp: giải thích xuất tự nhiên đối tượng tổ hợp (biểu đồ Young, bảng Young) từ cấu trúc nội nhóm đối xứng với số kiện đơn giản lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn (định lý Maschke, Wedderburn) Tiếp cận Okounkov-Vershik mang tính tồn cục, theo nghĩa nghiên cứu lúc lý thuyết biểu diễn tất nhóm đối xứng Sn , n ≥ Tiếp cận bắt đầu việc chứng minh tính đơn quy tắc rẽ nhánh, sau nghiên cứu đồ thị rẽ nhánh cách nghiên cứu phổ phần tử Young-Jucys-Murphy Các phần tử Young-Jucys-Murphy sinh đại số đại số nhóm C[Sn ], mà vai trò đại số tương tự vai trò đại số Cartan lý thuyết Lie Với tiếp cận này, hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy xây dựng đồng thời với quy tắc rẽ nhánh Điều hoàn toàn khác với tiếp cận cổ điển: quy tắc rẽ nhánh chứng minh sau lý thuyết xây dựng mô-đun Spetch chứng minh hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy Mục tiêu luận văn trình bày giới thiệu tiếp cận Okounkov-Vershik cho lý thuyết biểu diễn phức nhóm đối xứng Kết mà luận văn hướng tới quy tắc rẽ nhánh cho biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng, tức lời giải cho toán sau đây: Cho trước biểu diễn bất khả quy phức nhóm đối xứng Sn , phân tích biểu diễn thành tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy nhóm Sn−1 Ở đây, ta xem Sn−1 nhóm Sn cách xem Sn nhóm hoán vị tập hợp {1, 2, , n} Sn−1 nhóm hốn vị tập hợp {1, 2, , n − 1} Chương luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị lý thuyết biểu diễn phức nhóm hữu hạn: định nghĩa biểu diễn, biểu diễn bất khả quy, số biểu diễn bất khả quy, đặc trưng, định lý Maschke, định lý Wedderburn Tài liệu tham khảo cho chương phần I II tài liệu [2] J.-P Serre Chương trình bày nội dung sau đây: sở Gelfand-Tsetlin cho biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng Sn , phần tử Young-Jucys-Murphy đại Demo Version - Select.Pdf SDK số nhóm đối xứng, phổ phần tử Young-Jucys-Murphy, đồ thị rẽ nhánh nhóm đối xứng Tài liệu tham khảo cho chương báo [3] Okounkov-Vershik Bài báo tác giả biên tập lại lấy arXiv:math/0503040 [4] Luận văn giới thiệu tiếp cận thú vị cho lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng mà khơng chứa kết tác giả Độc giả quen với lý thuyết biểu diễn phức nhóm hữu hạn đọc tiếp cận Okounkov-Vershik Chương mà không gặp trở ngại ... biểu diễn phức nhóm đối xứng Kết mà luận văn hướng tới quy tắc rẽ nhánh cho biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng, tức lời giải cho toán sau đây: Cho trước biểu diễn bất khả quy phức nhóm đối xứng. .. thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn (định lý Maschke, Wedderburn) Tiếp cận Okounkov-Vershik mang tính tồn cục, theo nghĩa nghiên cứu lúc lý thuyết biểu diễn tất nhóm đối xứng Sn , n ≥ Tiếp cận bắt... mô-đun lập thành hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng Sn Các kết lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng (như công thức số chiều biểu diễn bất khả quy, đặc trưng biểu diễn bất khả quy, đặc biệt