Tích bện chuẩn và các nhóm con sylow của nhóm đối xứng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Quảng Đại Mưa TÍCH BỆN CHUẨN VÀ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Bùi Xuân Hải Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Sau Đại học Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường THPT An phước, Sở giáo dục tỉnh Ninh thuận, tạo điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Xin chân thành cám ơn quý thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên nghành Đại số Lý thuyết số khóa 21, trang bị cho kiến thức làm tảng quý báu cho trình nghiên cứu Đặc biệt xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS - TS Bùi Xuân Hải tận tình dạy, hướng dẫn trình thực luận văn Cám ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Cám ơn bạn lớp cao học chuyên nghành Đại số Lý thuyết số khóa 21 nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để hoàn thành tốt luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 24 tháng 09 năm 2012 Học viên Quảng Đại Mưa LỜI NÓI ĐẦU Các nhóm hoán vị đóng vai trò quan trọng lý thuyết nhóm theo Định lý Calley nhóm nhúng vào nhóm đối xứng Với hiểu biết cấu trúc nhóm hoán vị mang lại nhiều tiện lợi cho việc hiểu biết nhóm nói chung Vì vậy, khuôn khổ hạn hẹp đề tài, luận văn nghiên cứu xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, sử dụng tích bện chuẩn để mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Để thực mục đích đó, luận chia thành hai chương gồm: Chương 1: Kiến thức sở Trong chương trình bày định nghĩa tính chất nhóm đối xứng, tác động nhóm lên tập hợp, p – nhóm hữu hạn, tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp cần thiết cho chương Chương 2: Xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng Sn Trong chương xây dựng tích bện hai nhóm hoán vị, sau vận dụng Định lý Calley để xây dựng tích bện chuẩn hai nhóm bất kì, vận dụng tích bện chuẩn để mô tả nhóm Sylow nhóm đối xứng S n Cuối cho vài ví dụ để minh họa cụ thể MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng 1.2 Tác động nhóm lên tập hợp 10 1.3 p - nhóm hữu hạn 20 1.4 Tích trực tiếp tích nửa trực tiếp 26 CHƯƠNG XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG S n 29 1.1 Tích bện 29 2.2 Mô tả p- nhóm Sylow nhóm đối xứng S n 36 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Định nghĩa 1.1.1 Cho X ≠ ∅ , tập hợp tất song ánh từ X → X nhóm với phép nhân phép hợp nối ánh xạ, gọi nhóm đối xứng tập X, kí hiệu S X , có phần tử trung hòa ánh xạ đồng id X , phần tử nghịch đảo σ ∈ S X ánh xạ ngược σ −1 Mỗi nhóm nhóm S X gọi nhóm hoán vị tập X Nếu X = {1,2, ,n} ta dùng ký hiệu Sn để thay cho ký hiệu S X gọi Sn nhóm đối xứng bậc n tập X Mỗi phần tử σ nhóm Sn gọi hoán vị bậc n, viết dạng ma trận 1 n  σ = ,  i1 i2 in  đó= ik σ ( k ) , ∀k ∈ {1,2, , n} Vì σ song ánh nên ik khác , chúng hoán vị n phần tử 1,2,…,n Như vậy, số hoán vị tập có n phần tử n! Ví dụ, với n =4, ta có nhóm đối xứng bậc 4, kí hiệu S4 , nhóm hữu hạn có cấp 4! = 24 Định nghĩa 1.1.2 Phần tử σ ∈ Sn gọi k – chu trình hay chu trình độ dài k tồn tập {i1 , i2 , , ik } ⊆ {1,2, , n} cho σ ( i1 ) = i2 ; = σ ( i2 ) i3 ; ;σ = ;σ ( ik ) i1 , σ ( j ) = j , ∀j ∈ {1,2, , n} \ {i1, i2 ( ik −1 ) ik= , , ik } Khi đó, phần tử σ viết đơn giản ( i1 i2 ik ) Một chu trình độ dài chuyển vị Định nghĩa 1.1.3 Hai chu trình σ = ( i1 i2 ik ) τ = ( j1 j2 jk ) gọi độc lập {i1 , i2 , , ik } ∩ { j1 , j2 , , jk } = ∅ 2 Như vậy, hai chu trình độc lập giao hoán với Do đó, chu trình đôi độc lập với giao hoán với Định lý 1.1.4 Cho id ≠ σ ∈ Sn Khi đó, σ phân tích thành tích chu trình đôi độc lập với Sự phân tích sai khác thứ tự chu trình độc lập Chứng minh Lấy id ≠ σ ∈ Sn X = {1,2, , n} Ta nói hai phần tử x, y ∈ X tương đương với , kí hiệu: x  y , tồn số nguyên n cho x = σ n y Khi đó, quan hệ  quan hệ tương đương tập X Mỗi lớp tương đương gọi quỹ đạo σ Nếu x ∈ X , quỹ đạo σ chứa x , kí hiệu: = x {σ n } x | n∈ Do X tập hữu hạn nên tồn c ∈  + cho x = σ c x Gọi m số nguyên dương nhỏ thỏa x = σ m x Khi { } x = x,σ x, ,σ m−1 x ( ) Xét chu trình độ dài m , τ = x σ x σ m−1 x Khi σ y, y ∈ x τy=  y, y∉x Giả sử σ có tất k quỹ đạo C1 , C2 , , Ck Ứng với quỹ đạo, ta có chu trình τ ,τ , ,τ k (xây dựng theo cách làm trên) Do σ y, τi y =   y, y ∈ Ci y ∉ Ci Rõ ràng, i ≠ j Ci ∩ C j = ∅ , τ i τ j chu trình độc lập với Ta chứng minh σ = τ 1τ τ k Thậy vậy, với y ∈ X , đặt z = σ y Khi đó, y z nằm quỹ đạo Ci σ với τ i y = z , ∀i ∈1, k Rõ ràng , ∀i ≠ j , ta có τ j y = y τ j z = z Do τ 1τ τ k ( y )= z= σ y , nên σ = τ 1τ τ k Giả sử, σ = β1β βl phân tích khác σ thành tích chu trình đôi độc lập với Vì phần tử tham gia vào chu trình β j tạo thành quỹ đạo Ci σ Do β j trùng với τ i (ứng với quỹ đạo Ci ) Vì hai phân tích khác thứ tự chu trình đôi độc lập với  Hệ 1.1.5 Cấp hoán vị bội số chung nhỏ chiều dài chu trình phân tích hoán vị thành tích chu trình đôi độc lập với Chứng minh Để chứng minh Hệ 1.5, ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.6 Cho a, b hai phần tử giao hoán với nhóm G Giả sử a có cấp n, b có cấp m a ∩ b = eG Khi đó, cấp phần tử ab bội chung nhỏ m n Chứng minh Đặt d = [ m, n ] nên tồn t1 , t2 ∈  + : d = mt1 = mt2 , mà d a nt1b mt= e= e e Giả sử tồn a n = e, b m = e Khi đó, ta có ( ab )= a d b= d số nguyên dương k thỏa ( ab ) = e Ta chứng minh d | k k Thật vậy, ( ab ) = e , suy a k = b − k ∈ a ∩ b = e Do đó, k −k = a k b= e , nên m | k n | k Suy d = [ m, n ] | k Vậy ab =  a , b   Ta chứng minh Hệ 1.1.5 Giả sử id ≠ σ ∈ Sn có phân tích thành chu trình đôi độc lập σ = σ 1σ σ k Ta chứng minh σ =  σ , σ , , σ k  Thật vậy, đặt d =  σ , σ , , σ k  Khi đó, ta có = σd d (σ= (σ )d (σ= 1.σ σ k ) ) (σ k ) d d id Giả sử tồn số nguyên dương m thỏa σ m = id Ta chứng minh d | m Thật vậy, với k = 2, ta có σ ,σ hai chu trình độc lập nên σ ∩ σ = id Áp dụng Bổ đề 1.1.6, ta d =  σ , σ  | m Giả sử điều khẳng định với trường hợp nhỏ k Vì σ i chu trình đôi độc lập nên ta có m = id σ= (σ 1.σ σ k = ) (σ 1.σ σ k −1 ) (σ k ) m m m , suy (σ 1.σ σ k −1 ) m = (σ k ) −m Hơn σ 1.σ σ k −1 σ k hai chu trình độc lập nên σ 1.σ σ k −1 ∩ σ k = id Áp dụng Bổ đề 1.1.6, ta  σ 1.σ σ k −1 , σ k  | m Theo giả thiết quy nạp σ 1.σ σ k −1 =  σ , σ , , σ k −1  Do d =  σ , σ , , σ k  | m Như σ =  σ , σ , , σ k   Định nghĩa 1.1.7 Các hoán vị σ τ gọi có cấu trúc chu trình σ = σ 1.σ σ k τ = τ 1.τ τ k phân tích σ τ thành tích chu trình độc lập cho đánh số lại thứ tự chu trình độc lập cần, ta luôn có σ i τ i chu trình có độ dài ( ∀i ∈ 1,k ) Mệnh đề 1.1.8 Nếu σ ∈ Sn chu trình độ dài k ∀τ ∈ Sn , τστ −1 chu trình độ dài k Chứng minh Giả sử σ = ( x1 x2 xk ) Khi τ ( x ) , i ∈1, k − , τστ −1= (τ xi ) τσ= ( xi )  i+1 , x i k τ = ( )  mà ∀k ∈ {1,2, , n} \ { xi }i∈1,k τστ −1 (τ k ) = k Do τστ −1 = (τ x1 τ x2 τ xk ) Vậy τστ −1 chu trình độ dài k  Hệ 1.1.9 σ ,τ ∈ Sn , τστ −1 σ hoán vị có cấu trúc chu trình Chứng minh Giả sử σ phân tích thành tích chu trình đôi độc lập σ = σ 1.σ σ k Khi đó, ta có = τστ −1 τ= (σ 1.σ σ k )τ −1 (τσ τ ).(τσ τ ) (τσ τ ) −1 −1 −1 k Vì σ i chu trình đôi độc lập nên τσ iτ −1 , i = 1, k chu trình đôi độc lập với Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.8 , τσ iτ −1 σ i hai chu trình có độ dài , i = 1, k Do τστ −1 σ hoán vị có cấu trúc chu trình  Mệnh đề 1.10 Mỗi hoán vị khác id phân tích thành tích chuyển vị 6 Chứng minh Nhận xét rằng, với chu trình ( i1 i2 ik ) phân tích chuyển vị cách sau: ( i1 i2 ik ) = ( i1 ik ).(i1 ik −1 ) (i1 i2 ) Giả sử id ≠ σ ∈ Sn , áp dụng Định lý 1.1.4, ta có σ = σ 1.σ σ k , với σ i chu trình đôi độc lập, i = 1, k Áp dụng nhận xét để phân tích σ i thành tích chuyển vị  Định nghĩa 1.1.11 Cho σ ∈ Sn Cặp số ( i, j ) gọi nghịch σ ( i − j ) σ ( i ) − σ ( j ) < Nếu số nghịch σ k , dấu σ , kí hiệu sgn (σ ) , hàm định nghĩa sgn (σ ) = ( −1)k Nếu sgn (σ ) = σ gọi hoán vị chẵn, sgn (σ ) = −1 σ gọi hoán vị lẻ Nhận xét i) Ta có sgn ( id ) = 1; ( ) ii) Với σ ∈ Sn , ta có sgn (σ ) = sgn σ −1 ; iii) Nếu σ chuyển vị sgn (σ ) = −1 Định lý 1.1.12 Với σ ∈ Sn chuyển vị (i j) với τ = σ ( i j ) ta có sgn (τ ) = − sgn (σ ) Chứng minh Trường hợp j=i+1: Khi ta có điều sau đây: a) Nếu ( i, j ) nghịch σ ( i, j ) không nghịch τ ngược lại 7 b) Nếu h, k ≠ i, j ( h, k ) nghịch σ ( h, k ) nghịch τ c) Nếu h < i ( h, i ) nghịch σ ( h, j ) nghịch τ d) Nếu j < k ( j , k ) nghịch σ ( i, k ) nghịch τ Những điều chứng tỏ số nghịch σ τ đơn vị Do sgn (τ ) = − sgn (σ ) Trường hợp j – i = s +1, s > 1: Ta phân tích chuyển vị ( i, j ) sau: ( i j )= ( i i + 1)( i + i + ) ( i + s − i + s )( i + s i + s + 1= ( i + s i + s − 1)( i + s − i + s − ) ( i + i + 1)( i + i ) j) Nghĩa ( i j ) phân tích thành tích s + chuyển vị có dạng hai phần tử Khi đó, theo Trường hợp j=i+1 ta thấy tính chẵn, lẻ τ nhận từ tính chẵn, lẻ σ ta thay đổi s + lần Vậy sgn (τ ) = − sgn (σ )  Định lý 1.1.13 Với α , β ∈ Sn , ta có sgn (αβ ) = sgn (α ) sgn ( β ) Chứng minh Ta có α ∈ Sn α = τ 1.τ τ m , τ i chuyển vị , với i ∈1, m , m số nhỏ Nếu m = sgn (αβ ) = sgn (τ 1β ) = − sgn ( β ) = sgn (α ) sgn ( β ) Nếu m > thừa số τ τ m nhỏ , τ τ m = σ 1.σ σ q ,với σ j∈1,q chuyển vị q < m − α = τ 1.σ 1.σ σ q Khi sgn (αβ ) = sgn (τ 1.τ τ m β ) = − sgn (τ τ m β ) ( Định lý 1.1.12) = − sgn (τ τ m ) sgn ( β ) (quy nạp) = sgn = (τ1.τ τ m ).sgn ( β ) sgn (α ).sgn ( β ) (Địnhlý1.1.12)  Hệ 1.1.14 Nếu σ ∈ Sn phân tích thành k chuyển vị sgn (σ ) = ( −1)k Hệ 1.1.15 Nếu σ ∈ Sn k - chu trình i) sgn (σ ) = ( −1)k −1 ; ii) Hoán vị σ chẵn k số lẻ; hoán vị σ lẻ k số chẵn Nhận xét Xét ánh xạ sgn : Sn → {−1;1} σ  sgn (σ ) Khi đó, ánh xạ sgn đồng cấu nhóm Đặt A= ) n : ker ( sgn= {σ ∈ Sn | sgn (σ ) = 1} An gọi nhóm thay phiên hay nhóm đổi dấu Khi đó, An  Sn [ Sn : An ] = Vì An = n! Mệnh đề 1.1.16 Với n ≥ , nhóm thay phiên An sinh chu trình độ dài Chứng minh Với σ ∈ An , σ phân tích thành tích số chẵn phép chuyển vị Nếu hai phép chuyển vị độc lập với nhau, giả sử ( i j) ( k l) ( i j).(k l) = ( j k l) ( i l j) Nếu hai phép chuyển vị phụ thuộc với nhau, giả sử ( i j) ( i k) ( i j).(i k ) = ( i j k) Do đó, σ tích hữu hạn chu trình độ dài  Mệnh đề 1.1.17 Với n ≥ , Sn có nhóm số An Chứng minh Giả sử H ≤ Sn cho [ Sn : H ] = Vì n ≥ , nên lấy = σ σ ∈ Sn cho ( i j k ) ≠ id σ ∈ H σ ∉ H Giả sử σ ∉ H , H ≠ H σ Mà [ Sn : H ] = nên S= H ∪ H σ Suy σ ∈ H n σ ∈ Hσ = σ Nếu σ ∈ H (σ ) 2 ∈ H , σ ∈ H σ σ ∈ H Do đó, chu trình độ dài nằm H Theo Mệnh đề 1.16, suy H = An Vậy An nhóm số Sn Bổ đề 1.1.18 Nhóm đối xứng Sn sinh chu trình (1 n ) (1 ) Chứng minh Đặt σ = (1 n ) τ = (1 ) Gọi G nhóm Sn sinh σ τ Khi G chứa στσ −1 = ( 3) , G chứa σ ( 3)σ −1 = (3 4) … Vậy, cách tổng quát, G chứa tất chuyển vị dạng ( j j + 1) Từ ta thấy G chứa chuyển vị = (1 3) )( 3)(1 ) , (1 ) (1 3)( )(1 3) … (1= Tổng quát, G chứa tất chuyển vị dạng (1 j ) , j ∈ 2, n Nhưng ∀i, j ≠ 1, ta có (i j ) = (1 i )(1 j )(1 i ) Nên G chứa chuyển vị Vậy G = Sn  10 1.2 Tác động nhóm lên tập hợp Định nghĩa 1.2.1 Cho G nhóm với đơn vị e X tập hợp Ta nói nhóm G tác động phải lên tập X có ánh xạ X×G → X ( x, g )  xg cho với g , h ∈ G với x ∈ X ta có x ( gh ) = ( xg ) h x.e = x Khi X gọi G – tập Mệnh đề 1.2.2 Cho X tập hợp K nhóm đối xứng X Giả sử h : G → K đồng cấu nhóm từ G đến K Khi có tác động G lên X cho xg = ( x)(( g )h) với x ∈ X , g ∈ G Chứng minh Với g ∈ G , ta đặt= hg ( g )h ∈ K Cho g1 , g ∈ G x ∈ X , h đồng cấu nên = hg1g2 (= g1 g )h ( g1 )h= ( g )h hg1 hg2 Vì (= xg1 ) g (( x)h= ( x= )hg1 hg2 (= x)hg1g2 ( x)( g1 g ) g1 ) hg Vì h đồng cấu nên= he e) h (= 1X Do = ( x)e x ) he ( x= (= )1X x  Ví dụ 1.2.3 Nhóm G tác động tầm thường lên tập X sau : với g ∈ G, x ∈ X , ta đặt xg = x Ví dụ 1.2.4 Cho G nhóm Khi G tác động lên phép liên hợp sau : Với g , a ∈ G , ta dùng kí hiệu a • g Cho tác động g lên a , đặt a • g = g −1ag , ta gọi g −1ag liên hợp a g 11 Ví dụ 1.2.5 Cho G nhóm Kí hiệu X tập tập G Khi nhóm G tác động lên tập X phép nhân sau : với g ∈ G H ∈ X , ta dùng kí hiệu H • g cho tác động g lên H, đặt H • g = Hg Trước trình bày số ví dụ khác tác động nhóm lên tập hợp , ta có kết sau Bổ đề 1.2.6 Cho G nhóm A nhóm G Với g ∈ G , đặt {g = g −1 Ag −1 } ag : a ∈ A Khi g −1 Ag nhóm G Chứng minh Ta có e = g −1eg Vì g −1 Ag ≠ ∅ Do cho g −1ag , g −1bg ∈ g −1 Ag với a, b ∈ A Ta có −1 ( g −1bg= ) −1 g −1ag g −1b= gg −1ag g −1 (b −1a ) g ∈ g −1 Ag Vì g −1 Ag nhóm G Cho A nhóm nhóm G Nhóm B G gọi liên hợp với A tồn g ∈ G cho B = g −1 Ag Bổ đề 1.2.7 Cho A nhóm nhóm G Nếu B liên hợp với A C liên hợp với B C liên hợp với A −1 để B g= Chứng minh Theo giả thiết tồn g , l ∈ G= Ag , C l −1Bl Suy −1 C l = ( g −1 Ag )l = ( gl )−1 A ( gl ) Do C liên hợp với A  Ví dụ 1.2.8 Cho G nhóm A nhóm G Kí hiệu X tập nhóm G liên hợp với A Khi G tác động lên X cách liên hợp sau: với g ∈ G, B ∈ X , đặt B • g = g −1Bg Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.6 1.2.7 ta có g −1Bg ∈ X , ∀g ∈ G, B ∈ X 12 Với g , l ∈ G, B ∈ X ta có B= • e e −1= Be B B • ( gl ) = ( gl )−1 B ( gl ) ( ) (g = l −1 g −1Bg l = −1 ) Bg • l = ( B • g ) • l Vì qui tắc tác động G lên X  Bổ đề 1.2.9 Cho G nhóm X G- tập Với x ∈ X , đặt Gx =∈ x} Khi Gx nhóm G { g G / xg = Chứng minh Cho x ∈ X Vì xe = x nên e ∈ Gx Cho g , l ∈ Gx , xg = x xl = x Vì x ( gl= ) ( xg )=l xl= x Suy gl ∈ Gx Mặt khác, cho g ∈ Gx Khi xg = x , nên ( ) = x xe = x g g −1= ( xg ) g −=1 xg −1 Suy g −1 ∈ Gx Vậy Gx nhóm G  Nhóm Gx định nghĩa Bổ đề 1.2.9 gọi nhóm đẳng hướng phần tử x Định nghĩa 1.2.10 Cho G nhóm, X G – tập x ∈ X Đặt = G ( x) { xg / g ∈ G} Khi G ( x ) phận x Ta gọi G ( x ) quỹ đạo x X Ví dụ 1.2.11 Xét tác động quy G lên : a • g= ag , ∀g , a ∈ G , kí hiệu G ( a ) = G quỹ đạo a Với l ∈ G, ta có ( ) = l a a −1l ∈ G ( a ) Do G ( a ) = G Vì tác động có quỹ đạo, G Nhóm đẳng hướng ứng với a Ga =∈ a }= { g G : ag = {e} Ví dụ 1.2.12 Xét tác động tầm thường nhóm G lên tập X : x•g = x , với g ∈ G, x ∈ X Với x ∈ X , quỹ đạo x G ( x ) ={ x • g / g ∈ G} ={ x} 13 Vì thế, quỹ đạo gồm phần tử Nhóm đẳng hướng ứng với x Gx = { g ∈ G / x • g = x} = G Ví dụ 1.2.13 Xét tác động nhóm G lên phép liên hợp: a•g = g −1ag với a, g ∈ G Với a ∈ G , quỹ đạo a { } G ( a ) ={a • g / g ∈ G} = g −1ag / g ∈ G Nhóm đẳng hướng ứng với a { } Ga =∈ g G / g −1ag ==∈ a { g G / ag = ga} = C ( a ) Với C(a) tâm hóa tử a Do C ( a ) = G a ∈ Z ( G ) , với Z ( G ) tâm G Ví dụ 1.2.14 Kí hiệu X tập nhóm nhóm G Xét tác động G lên tập X phép liên hợp : với g ∈ G với H ∈ X ta có H •g= g −1Hg { } Với H ∈ X , quỹ đạo H g −1Hg / g ∈ G - tập nhóm liên hợp với H Nhóm đẳng hướng H GH = Hg} = NG ( H ) , { g ∈ G / gH = với N G ( H ) chuẩn hóa tử H G Mệnh đề 1.2.15 Cho G nhóm X G – tập, phát biểu sau (i) G( x ) ≠ ∅ với x ∈ X (ii) X=  G ( x) x∈X (iii) ∅ với x, y ∈ X G ( x ) = G ( y ) G ( x ) ∩ G ( y ) = 14 Chứng minh (i),(ii).Vì = x xe ∈ G ( x ) nên G ( x ) ≠ ∅ , với x ∈ X Vì vậy, X =  G ( x) x∈X (iii) Giả sử G ( x ) ∩ G ( y ) ≠ ∅ Khi tồn g , l ∈ G cho xg = yl Suy = x xe = xgg −= ylg −1 có xa y (lg −1a ) ∈ G ( y ) Cho xa ∈ G ( x ) với a ∈ G , ta= Do G ( x ) ≤ G ( y ) Chứng minh tương tự G ( x ) ≥ G ( y ) Vì G ( x) = G ( y)  Mệnh đề 2.15 tập quỹ đạo X phép phân hoạch X Định lý 1.2.16 Cho G nhóm , X G – tập x ∈ X Kí hiệu G Gx tập lớp ghép phải nhóm đẳng hướng Gx Khi tương ứng f : G Gx → G ( x ) cho f ( Gx g ) = xg song ánh X tập hữu hạn , số Gx số phần tử quỹ đạo G ( x) Hơn , G ( x1 ) , G ( x2 ) , , G ( xt ) quỹ đạo đôi rời X = X t t G ( xi ) ∑ G : Gx  ( ∗) , ∑= =i =i i X cấp X G : Gxi  , i = 1,2, , t số nhóm đẳng hướng Gxi Chứng minh Gx= g Gx l ∈ G Gx Khi lg −1 ∈ Gx Suy xlg −1 = x , xl = xg Vì f ánh xạ Rõ ràng f toàn xạ 15 Mặt khác, ker = f {Gx g / xg= x= } Gx e nên f đơn ánh Suy f song ánh Giả sử X tập hữu hạn Khi quỹ đạo G ( x) tập hữu hạn với x ∈ X Do f song ánh nên [ G : Gx ] = G ( x ) với x ∈ X  Công thức ( ∗) Định lý1 2.16 ta có = G ( a ) ∑ G : C= a∈∆ Z (G ) + ∑ a∈∆ \ Z ( G ) G : C ( a )  (1) Do (1) gọi công thức lớp Với ∆ tập G cho (G ( a )) a∈∆ họ quỹ đạo đôi dời Chú ý 1.2.17 Giả sử G nhóm hữu hạn X G- tập Với x ∈ X theo Định lý 1.2.16 số phần tử quỹ đạo G ( x ) số nhóm đẳng hướng Gx , ước cấp G Sử dụng Định lý 1.2.16 ta có công thức sau Mệnh đề 1.2.18 Nếu H, K nhóm nhóm hữu hạn G ta có HK H ∩ K = H K Chứng minh Kí hiệu X tập lớp ghép phải H G Xét tác động K lên nhóm X phép nhân : Ha • g = Hag , với Ha ∈ X , g ∈ K Nhóm đẳng hướng ứng với He ∈ X K He ={ g ∈ K / Heg =H } ={ g ∈ K / g ∈ H } =H ∩ K Vì số nhóm đẳng hướng ứng với He K H ∩K [...]... ra H = An Vậy An là nhóm con chỉ số 2 duy nhất của Sn Bổ đề 1.1.18 Nhóm đối xứng Sn được sinh bởi các chu trình (1 2 n ) và (1 2 ) Chứng minh Đặt σ = (1 2 n ) và τ = (1 2 ) Gọi G là nhóm con của Sn sinh bởi σ và τ Khi đó G chứa στσ −1 = ( 2 3) , do đó G chứa σ ( 2 3)σ −1 = (3 4) … Vậy, một cách tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng ( j j + 1) Từ đó ta thấy G chứa các chuyển vị = (1 3)... nghịch thế của σ thì ( i, j ) không là nghịch thế của τ và ngược lại 7 b) Nếu h, k ≠ i, j thì ( h, k ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( h, k ) là nghịch thế của τ c) Nếu h < i thì ( h, i ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( h, j ) là nghịch thế của τ d) Nếu j < k thì ( j , k ) là nghịch thế của σ khi và chỉ khi ( i, k ) là nghịch thế của τ Những điều trên chứng tỏ số các nghịch thế của σ và τ hơn... a, b ∈ A Ta có −1 ( g −1bg= ) −1 g −1ag g −1b= gg −1ag g −1 (b −1a ) g ∈ g −1 Ag Vì vậy g −1 Ag là nhóm con của G Cho A là nhóm con của một nhóm G Nhóm con B của G được gọi là liên hợp với A nếu tồn tại g ∈ G sao cho B = g −1 Ag Bổ đề 1.2.7 Cho A là nhóm con của một nhóm G Nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A −1 để B g= Chứng minh Theo giả thiết tồn tại g , l ∈ G= Ag ,... (1) gọi là công thức các lớp Với ∆ là tập con của G sao cho (G ( a )) a∈∆ là họ các quỹ đạo đôi một dời nhau Chú ý 1.2.17 Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là G- tập Với x ∈ X theo Định lý 1.2.16 số phần tử quỹ đạo G ( x ) bằng chỉ số nhóm con đẳng hướng Gx , vì thế nó là ước của cấp G Sử dụng Định lý 1.2.16 ta có công thức sau đây Mệnh đề 1.2.18 Nếu H, K là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G thì ta... tác động lên tập X bằng phép nhân sau : với g ∈ G và H ∈ X , ta dùng kí hiệu H • g cho tác động của g lên H, và đặt H • g = Hg Trước khi trình bày một số ví dụ khác về tác động của nhóm lên tập hợp , ta có những kết quả sau đây Bổ đề 1.2.6 Cho G là nhóm và A là nhóm con của G Với mỗi g ∈ G , đặt {g = g −1 Ag −1 } ag : a ∈ A Khi đó g −1 Ag là nhóm con của G Chứng minh Ta có e = g −1eg Vì thế g −1 Ag... động của G lên X  Bổ đề 1.2.9 Cho G là nhóm và X là G- tập Với x ∈ X , đặt Gx =∈ x} Khi đó Gx là nhóm con của G { g G / xg = Chứng minh Cho x ∈ X Vì xe = x nên e ∈ Gx Cho g , l ∈ Gx , khi đó xg = x và xl = x Vì thế x ( gl= ) ( xg )=l xl= x Suy ra gl ∈ Gx Mặt khác, cho g ∈ Gx Khi đó xg = x , nên ( ) = x xe = x g g −1= ( xg ) g −=1 xg −1 Suy ra g −1 ∈ Gx Vậy Gx là nhóm con của G  Nhóm con Gx... Với a ∈ G , quỹ đạo của a là { } G ( a ) ={a • g / g ∈ G} = g −1ag / g ∈ G Nhóm con đẳng hướng ứng với a là { } Ga =∈ g G / g −1ag ==∈ a { g G / ag = ga} = C ( a ) Với C(a) là tâm hóa tử của a Do đó C ( a ) = G khi và chỉ khi a ∈ Z ( G ) , với Z ( G ) là tâm của G Ví dụ 1.2.14 Kí hiệu X là tập các nhóm con của một nhóm G Xét tác động G lên tập X bằng phép liên hợp : với mọi g ∈ G và với mọi H ∈ X ta... bằng phép liên hợp : với mọi g ∈ G và với mọi H ∈ X ta có H •g= g −1Hg { } Với H ∈ X , quỹ đạo của H là g −1Hg / g ∈ G - tập các nhóm con liên hợp với H Nhóm con đẳng hướng của H là GH = Hg} = NG ( H ) , { g ∈ G / gH = với N G ( H ) là chuẩn hóa tử của H trong G Mệnh đề 1.2.15 Cho G là nhóm và X là G – tập, các phát biểu sau đây là đúng (i) G( x ) ≠ ∅ với mọi x ∈ X (ii) X=  G ( x) x∈X (iii) ∅ với... ( gl ) Do đó C liên hợp với A  Ví dụ 1.2.8 Cho G là nhóm và A là nhóm con của G Kí hiệu X là tập các nhóm con của G liên hợp với A Khi đó G tác động lên X bằng cách liên hợp như sau: với mỗi g ∈ G, B ∈ X , đặt B • g = g −1Bg Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.6 và 1.2.7 ta có g −1Bg ∈ X , ∀g ∈ G, B ∈ X 12 Với g , l ∈ G, B ∈ X ta có B= • e e −1= Be B và B • ( gl ) = ( gl )−1 B ( gl ) ( ) (g = l −1 g −1Bg... Ví dụ 1.2.3 Nhóm G tác động tầm thường lên tập X như sau : với mọi g ∈ G, x ∈ X , ta đặt xg = x Ví dụ 1.2.4 Cho G là một nhóm Khi đó G tác động lên chính nó bằng phép liên hợp như sau : Với g , a ∈ G , ta dùng kí hiệu a • g Cho tác động của g lên a , và đặt a • g = g −1ag , ta gọi g −1ag là liên hợp của a bởi g 11 Ví dụ 1.2.5 Cho G là một nhóm Kí hiệu X là tập các tập con của G Khi đó nhóm G tác