Biểu diễn của nhóm đối xứng

4 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết biểu diễn nhón hữu hạn đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu nhóm hữu hạn Hơn có nhiều ứng dụng Topo đại số, đối đồng nhóm, lý thuyết số, hóa học lượng tử vật lý Vì vậy, hiểu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn vấn đề cần thiết Mục tiêu khóa luận giới thiệu lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng ứng dụng vào việc tính biểu diễn tuyến tính nhóm 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 , 𝑆5 Chúng tơi cố gắng trình bày khóa luận cách rõ ràng chi tiết lý thuyết biểu nhóm đối xứng, nhằm giúp độc giả có nhìn cụ lý thuyết biểu diễn nhóm Bố cục khóa luận gồm năm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức cần thiết nhóm, đồng cấu nhóm, khơng gian vectơ, tích tenxơ, tác động nhóm lên tập hợp, tiền đề để xây dựng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Chương 2: Biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn Chương trình bày vấn đề liên quan đến biểu diễn nhóm hữu hạn biểu diễn bất khả quy, tích tenxơ chúng Chương 3: Lý Thuyết đặc trưng Chương trình bày định nghĩa đặc trưng biểu diễn, biểu diễn quy, biểu diễn bất khả quy Chương 4: Nhóm giao hốn, tích hai nhóm Chương trình bày nhóm giao hốn, tích hai nhóm, tích hai biểu diễn tuyến tính Chương 5: Ứng dụng Chương chúng tơi đề cập đến biểu diễn nhóm 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 , 𝑆5 MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Chương .8 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm cặp 𝑮,∘ G tập hợp khác rỗng ∘ luật hợp thành G thỏa mãn ba điều sau đây: 1.2 Nhóm cyclic nhóm cyclic 1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương .10 1.4 Đồng cấu nhóm 13 1.5 Nhóm đối xứng nhóm thay phiên .14 1.6 Khơng gian Vectơ nhóm tuyến tính tổng qt 18 1.7 Tích Tenxơ 23 1.8 Tác động nhóm lên tập hợp 23 Chương 27 BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHĨM HỮU HẠN .27 2.1 Biểu diễn tuyến tính biểu diễn .27 2.2 Tích tenxơ hai biểu diễn 34 2.3 Bình phương đối xứng bình phương thay phiên 35 Chương 36 LÝ THUYẾT ĐẶC TRƯNG .36 3.1 Đặc trưng biểu diễn 36 3.2 Bổ đề Schur, ứng dụng 39 3.3 Hệ thức trực giao đặc trưng 42 3.4 Khai triển biểu diễn quy 45 3.5 Số biểu diễn bất khả quy .46 3.6 Phân tích rõ ràng biểu diễn 48 Chương 4: NHĨM CON GIAO HỐN, TÍCH CỦA HAI NHĨM CON 51 4.1 Nhóm giao hốn 51 4.2 Tích hai nhóm 52 Chương 5: ỨNG DỤNG 55 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 BẢNG KÍ HIỆU 72 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm cặp (𝑮,∘) G tập hợp khác rỗng ∘ luật hợp thành G thỏa mãn ba điều sau đây: Luật hợp thành có tính kết hợp, tức với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺, (i) (𝑥 ∘ 𝑦 ) ∘ 𝑧 = 𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧 ) Tồn phần tử ∈ 𝐺, gọi phần tử đơn vị, có tính chất (ii) 𝑥 ∘ = ∘ 𝑥 = 𝑥 với 𝑥 ∈ 𝐺 (iii) Với 𝑥 ∈ 𝐺, có phần tử 𝑥′ ∈ 𝐺, gọi nghịch đảo x cho 𝑥 ∘ 𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∘ 𝑥 = Nếu luật hợp thành rõ ràng khơng sợ nhầm lẫn gì, ta nói G nhóm ký hiệu 𝑥 ∘ 𝑦 thành 𝑥𝑦, 𝑥𝑥 = 𝑥 𝑥𝑥 … 𝑥 = 𝑥 𝑛 (có n chữ x) Từ định nghĩa suy mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.1.2 Giả sử (𝐺,∘) nhóm Khi đó, (i) Phần tử đơn vị G nhất, (ii) Với 𝑥 ∈ 𝐺, phần tử nghịch đảo x Khi G có hữu hạn phần tử, bậc nhóm G, ký hiệu |𝐺 |, số phần tử nhóm G Chứng minh: xem mệnh đề 1.15 [2] Định nghĩa 1.1.3 Giả sử G nhóm Một tập khác rỗng 𝑆 ⊂ 𝐺 gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G (tức 𝑥𝑦 ∈ 𝑆 với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) khép kín phép lấy nghịch đảo G (tức 𝑥 −1 ∈ 𝑆 với mọi𝑥 ∈ 𝑆) Khi S trang bị luật hợp thành, hạn chế luật hợp thành 𝐺 Với phép tốn này, S thật lập thành nhóm Thật vậy, luật hợp thành S kết hợp luật hợp thành 𝐺 kết hợp Do 𝑆 ≠ ∅, nên có phần tử 𝑠 ∈ 𝑆 Điều kéo theo 𝑠 −1 ∈ 𝑆, Phần tử đơn vị 𝑒 ∈ 𝐺 đơn vị S Với 𝑥 ∈ 𝑆, nghịch đảo 𝑥 −1 𝑥 G nghịch đảo 𝑥 S Định nghĩa 1.1.4 Cho S tập nhóm G Nhóm sinh S nhóm nhỏ G chứa S kí hiệu 〈𝑆〉 Tập hợp S gọi tập sinh nhóm 〈𝑆〉 Nếu tập hợp S hữu hạn: 𝑆 = {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } ta nói 〈𝑆〉 nhóm hữu hạn sinh với phần tử sinh 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ta thường kí hiệu nhóm {𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } Định lý 1.1.5 Cho S tập nhóm G Khi đó, (i) Nếu 𝑆 = ∅ 〈𝑆〉 = {𝑒}, với e phần tử đơn vị G, (ii) Nếu 𝑆 ≠ ∅ 〈𝑆〉 = {𝑥1 … 𝑥𝑛𝑛 |𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑥𝑖 ∈ 𝑆, 𝜀𝑖 = ±1} 𝜀 𝜀 Chứng mimh: xem mệnh đề 1.24 [2] 1.2 Nhóm cyclic nhóm cyclic Định nghĩa 1.2.1 Cho G nhóm Nhóm 〈𝑎〉 G sinh phần tử 𝑎 ∈ 𝐺 gọi nhóm cyclic sinh a Nếu tồn phần tử 𝑎 ∈ 𝐺 cho 〈𝑎〉 = 𝐺 ta nói G nhóm cyclic a phần tử sinh G Mệnh đề 1.2.2 Nhóm cyclic sinh a tập hợp tất lũy thừa 𝑎𝑛 với 𝑛 ∈ ℤ, nghĩa 〈𝑎〉 = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ ℤ} 10 Cho (𝐺,∘) nhóm 𝑎 ∈ 𝐺 Xét nhóm cyclic 〈𝑎〉, có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp Tất lũy thừa 𝑎𝑛 (𝑛 ∈ ℤ) khác đôi Trong trường hợp 〈𝑎〉 nhóm vơ hạn Trường hợp Tồn lũy thừa a nhau, chẳng hạn 𝑎𝑘 = 𝑎𝑙 (𝑘 > 𝑙) Khi 𝑎𝑘−𝑙 = 𝑒 với 𝑘 − 𝑙 > Do tồn số nguyên dương m cho 𝑎𝑚 = 𝑒 Gọi n số nguyên dương nhỏ cho 𝑎𝑛 = 𝑒 Khi phần tử 𝑒, 𝑎, … , 𝑎𝑛−1 đôi khác 〈𝑎〉 = {𝑒, 𝑎, … , 𝑎𝑛−1 } Định nghĩa 1.2.3 Bậc phần tử a nhóm G bậc nhóm cyclic 〈𝑎〉 Ta thường kí hiệu |𝑎| để bậc phần tử a Hệ 1.2.4 Cho G nhóm 𝑎 ∈ 𝐺 Khi đó, (i) Phần tử a có bậc vơ hạn với 𝑘 ∈ ℤ, 𝑎𝑘 = 𝑒 𝑘 = 0, (ii) Phần tử a có bậc hữu hạn tồn 𝑘 ∈ ℤ\{0} cho 𝑎𝑘 = 𝑒, (iii) Nếu a có bậc hữu hạn bậc a số nguyên dương n nhỏ cho 𝑎𝑛 = 𝑒 Hơn nữa, với 𝑘 ∈ ℤ, 𝑎𝑘 = 𝑒 k bội số n Chứng minh: xem mệnh đề 1.33 [2] 1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương Định lý 1.3.1 Cho G nhóm H nhóm G Xét quan hệ ~ G sau: 𝑥~𝑦 ⇔ 𝑥 −1 𝑦 ∈ 𝐻 Khi đó, (i) Quan hệ ~ quan hệ tương đương G, 11 (ii) Lớp tương đương chứa 𝑥 𝑥̅ = 𝑥𝐻, 𝑥𝐻 = {𝑥ℎ|ℎ ∈ 𝐻 } Ta gọi 𝑥𝐻 lớp ghép trái H (bởi phần tử 𝑥) Tập hợp thương G theo quan hệ ~, ký hiệu 𝐺/𝐻, gọi tập thương G H |𝐺/𝐻 | số nhóm H G, ký hiệu [𝐺: 𝐻 ] Chứng minh Xem mệnh đề 1.60 [2] Hệ 1.3.3 Cho G nhóm hữu hạn Khi đó, (i) Bậc nhóm G ước bậc G, (ii) Bậc phần tử G ước bậc G, (iii) Nếu có bậc nguyên tố G nhóm cyclic G sinh phần tử khác e Chứng minh Xem Định lý 1.63 [2] Định nghĩa 1.3.4 Một nhóm G nhóm G gọi chuẩn tắc với 𝑥 ∈ 𝐺 ℎ ∈ 𝐻, 𝑥 −1 ℎ𝑥 ∈ 𝐻 Ký hiệu 𝐻 ⊲ 𝐺 để H nhóm chuẩn tắc G: 𝑥 −1 𝐻𝑥 = {𝑥 −1 ℎ𝑥|ℎ ∈ 𝐻 } Mệnh đề 1.3.5 Cho H nhóm nhóm G Các mệnh sau tương đương: (i) 𝐻 ⊲ 𝐺, (ii) Với 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥 −1 𝐻𝑥 ⊂ 𝐻, (iii) Với 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥 −1 𝐻𝑥 = 𝐻 Chứng minh Xem Mệnh đề 1.74 [2] Định lý 1.3.6 Cho G nhóm G nhóm chuẩn tắc G Khi đó, 12 (i) Lớp xyH phụ thuộc vào lớp xH yH mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử đại diện x,y lớp đó, (ii) Tập thương G/H với phép toán hân định (𝑥𝐻 )(𝑦𝐻 ) = 𝑥𝑦𝐻 Là nhóm, gọi nhóm thương G H Chứng minh Xem mệnh đề 1.77 [2] Định nghĩa 1.3.7 Cho G nhóm Khi đó, tập hợp 𝑋 (𝐺 ) = {𝑥 ∈ 𝐺|𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺 } Được gọi tâm nhóm G Mệnh đề 1.3.8 Tâm 𝑍(𝐺 ) nhóm chuẩn tắc G Chứng minh Vì 𝑒 ∈ 𝑍(𝐺 ) nên 𝑍(𝐺 ) ≠ ∅ Với 𝑥 ∈ 𝑍 (𝐺 ) với 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, 𝑎 = 𝑥𝑎𝑥 −1 , suy 𝑥 −1 𝑎 = 𝑎𝑥 −1 Nghĩa 𝑥 −1 ∈ 𝑍(𝐺 ) Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍(𝐺 )và với 𝑎 ∈ 𝐺, ta có 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, 𝑎𝑦 = 𝑦𝑎 Suy 𝑥 = 𝑎𝑥𝑎−1 𝑦 = 𝑎𝑦𝑎−1 , ∀𝑎 ∈ 𝐺 Do 𝑥𝑦𝑎 = (𝑎𝑥𝑎−1 )𝑦𝑎 = 𝑎𝑥𝑦 Nghĩa 𝑥𝑦 ∈ 𝑍(𝐺 ) Vậy, 𝑍(𝐺 )là nhóm G 13 Ta chứng minh 𝐻 = 𝑍(𝐺 ) nhóm chuẩn tắc G, nghĩa ta chứng minh 𝐻 = 𝑎𝐻𝑎−1 , với 𝑎 ∈ 𝐺 Với 𝑥 ∈ 𝐻 𝑎 ∈ 𝐺, ta có 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎 Do đó, 𝑥 = 𝑎−1 𝑥𝑎 ∈ 𝑎−1 𝐻𝑎 Suy 𝐻 ⊂ 𝑎−1 𝐻𝑎 Ngược lại 𝑧 ∈ 𝑎−1 𝐻𝑎, 𝑧 = 𝑎−1 𝑧1 𝑎 với 𝑧1 ∈ 𝐻 Vì 𝑧 = 𝑎−1 𝑧1 𝑎 = 𝑎−1 𝑎𝑧1 (𝑑𝑜 𝑧1 ∈ 𝐻 ⇒ 𝑎𝑧1 = 𝑧1 𝑎) Nên 𝑧 ∈ 𝐻 Nghĩa 𝑎−1 𝐻𝑎 ⊂ 𝐻 Do đó, 𝐻 = 𝑎−1 𝐻𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺 Vậy H nhóm chuẩn tắc G 1.4 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.4.1 Giả sử G G’, nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân) Ánh xạ 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝐺 gọi đồng cấu nhóm 𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦), với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 Mệnh đề sau suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 1.4.2 Giả sử 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝐺′ đồng cấu nhóm Khi đó, (i) Đồng cấu 𝜑 chuyển đơn vị G thành đơn vị G’, tức 𝜑 (𝑒 ) = 𝑒 ′ , (ii) Đồng cấu 𝜑 chuyển nghịch đảo phần tử 𝑥 ∈ 𝐺 thành nghịch đảo phần tử 𝜑(𝑥) ∈ 𝐺′, tức 𝜑(𝑥 −1 ) = 𝜑(𝑥)−1 58 Lớp liên hợp 1 2 3 Số phần tử 3 -1 S3    s   s      1 Hơn nữa, ta có: (3 |3 )  3   sS3 Vậy 3 đặc trưng biểu diễn bất khả quy 3 : S3  GL(V3 ) Vậy, ta có bảng đặc trưng S3 : Lớp liên hợp 1 2 3 Số phần tử 1 1 2 -1 3 -1 Bảng nhân S3 : e 12   23  31 123  321 e e 12   23  31 123  321 12  12  e 123  321  23  31  23  23  321 e 123  31 12  59  31  31 123  321 e 12   23 123 123  31 12   23  321 e  321  321  23  31 12  e 123 Biểu diễn đơn vị nhóm S3   e    12     23    31   123  D  321  Biểu diễn dấu nhóm S3   e   1;  123  1;   321  1,  12   1;   23  1;   31  1 Biểu diễn hai chiều nhóm S3 1 0 ; 0 1  e      12          123      1  1  3    ,  321      1        3    ;  31      1      3   1    3   ;  23   1      1   1   60 3.Biểu diễn nhóm đối xứng 𝑺𝟒 Ta có:   1    11  1111 Vậy nhóm đối xứng S4 có năm phân hoạch, nên có năm lớp liên hợp ứng với phân hoạch Số phần tử lớp liên Phân hoạch Phần tử đại diện  4 1, 2,3,   3,1 1, 2,3  2,  1,  3,   2,1,1 1,  1,1,1,1 1 hợp Gọi  1,  ,  ,  ,  lớp liên hợp (1), (1,2), (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,3,4) nhóm S4 Nhóm S4 có năm lớp liên hợp nên S4 có năm biểu diễn bất khả quy Vì nhóm giao hốn tử S4 A4  S4 : A4   nên S4 có hai biểu diễn bất khả quy cấp một, gồm biểu diễn đơn vị 1 biểu diễn dấu 2 Gọi 1  đặc trưng tương ứng 1 2 , giá trị 1  cho bảng sau: Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 61 Số phần tử 1 1 1 2 -1 1 -1 Vì S4 nhóm hoán vị tập X  1, 2,3, 4 nên tồn biểu diễn hoán vị S4 , gọi biểu diễn  p  p : S4  GL V p  ,  p  s  s Trong đó:  p  s  tự đẳng cấu đổi sở V p , ta có:  p  s  : Vp  Vp , ei esi , với s  S4 Gọi  p đặc trưng  p  s  , ta có:  p  s   A với A   x  X |sx  x Do đó, ta có bảng sau: Vì: Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 Số phần tử p 62   |1  S1   s   241  4.1  2.6  1.8  1, nên  p p sS4 p   3 , với 3 đặc trưng biểu diễn tuyến tính 3 S4 , suy ra: Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 Số phần tử 3 1 1 Hơn nữa, ta có: (3 |3 )  S4    s   s   24  3   12.6   1   1  2 sS4 Vậy 3 đặc trưng biểu diễn bất khả quy 3 : S4  GL V3  Xét: 4  2  3 : S4  GL V2  V3   GL V4  , với V4  V2 V3 Gọi  đặc trưng tương ứng 4 , ta có 4  2 3 Khi  cho bảng sau: Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 Số phần tử 4 -1 -1 -1 Hơn nữa, ta có: ( | )  S4    s   s   24    1 sS4    1   1  2 63 Vậy  đặc trưng biểu diễn bất khả quy 4 : S4  GL V3  Gọi X S đặc trưng Sym V4  X A đặc trưng Alt V4  Khi đó:     4  s   4  s2  , 2  A  s   4  s   4  s2  , S  s   với s  S4 Lấy x, y thuộc lớp liên hợp S4 , ta có: gx g 1   gxg 1  gxg 1    gxg 1   y Do đó, x y thuộc lớp liên hợp, suy   s     y  Vì:           2 2  1  1 thuộc lớp liên hợp 1    1,   1 thuộc lớp liên hợp 1     1,2 3,4   1 thuộc lớp liên hợp 1    1, 2,3   3,1,  thuộc lớp liên hợp 1, 2,3    1, 2,3,   1,3 2,  thuộc lớp liên hợp 1,  3,    Nên ta có bảng sau: 64 Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 Số phần tử S 2 0 A -1 -1 Hơn nữa, ta có: ( A | A )  S4    s   s   24    1 A A    1   1  sS4 Nên  A đặc trưng biểu diễn bất khả quy Vậy, ta có bảng đặc trưng S4 : Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 Số phần tử 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 4 1 1 1 A 1 1 65 Biểu diễn nhóm đối xứng S5 Ta có: = 5= +1= +2= + + 1= + + 1= + + 1+ 1= + + + + Vì có bảy phân hoạch, nên nhóm đối xứng S5 có bảy lớp liên hợp ứng với phân hoạch Phân hoạch Phần tử đại diện Số phần tử lớp liên hợp  5 1, 2, 3, 4,  24  4,1 1, 2, 3,  30  3,  1, 2, 3 4, 5 20  3,1,1 1, 2, 3 20  2, 2,1 1,  3,  15  2,1,1,1 1,  10 1,1,1,1,1 1 Gọi  1,  ,  ,  ,  ,  ,  lớp liên hợp (1), (1, 2), (3, 4), (1, 2), (3, 4, 5), (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4, 5) nhóm S5 Nhóm đối xứng S5 có bảy lớp liên hợp, nên S5 có bảy biểu diễn bất khả quy Ta dễ dàng tìm bốn đặc trưng 1, 2 , 3 , 4 66 Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 6 7 Số phần tử 10 15 20 20 30 24 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 4 2 1 1 Ta tìm đặc trưng thứ năm  A , thật vậy: Gọi  S  A đặc trưng tương ứng Sym V4  Alt V4  Khi đó:  s ( s)  (  ( s)   ( s )),  A ( s )  (  ( s )   ( s )), với s  S5 Vì: (1)2  (1) thuộc lớp liên hợp (1), ((1, 2)(3, 4))2  thuộc lớp liên hợp (1), ((1, 2)(3, 4,5))2  (3,5, 4) thuộc lớp liên hợp (1, 2,3), (1, 2,3)2  (1,3, 2) thuộc lớp liên hợp (1, 2,3), (1, 2,3, 4)  (1, 2)(3, 4) thuộc lớp liên hợp (1,2)(3,4), (1, 2,3, 4,5)  (1,3,5, 2, 4) thuộc lớp liên hợp (1, 2,3, 4,5) 67 Nên ta có bảng đặc trưng sau: Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 6 7 Số phần tử 10 15 20 20 30 24 S 10 1 0 A 2 0 Hơn nữa, vì: ( A |  A )  1  A ( s) A ( s)  (62  22.15  12.24)   | S5 | sS5 120 Nên  A đặc trưng biểu diễn bất khả quy Tiếp theo ta tìm đặc trưng lại: Mặt khác, vì: (S | S )     S (s) S (s) | S5 | sS5 (102  42.10  22.15  1.20  1.20)  3, 120 và: (  S |1)  1  S ( s)  (10  10  15  1.20  1.20)  1,  | S5 | SS5 120 (S | 2 )    S (s) (s) | S5 | SS5 68  (  S | 3 )   (1.1.10  (1).10  1.15  (1).1.20  1.1.20)  0, 120   S (s) ( s) | S5 | SS5 (4.10  4.2 10  (1).1.20  1.1.20)  120 Nên S   3  d , với  d đặc trưng biểu diễn tuyến tính S5 Bằng cách tính tốn trực tiếp,  d cho bảng sau: Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 6 7 Số phần tử 10 15 20 20 30 24 d 1 1 1 Vì: (d | d )     d (s) d (s) | S5 | SS5 (5  12.10  1.15  1.20  (1) 20  30)  1, 120 nên 𝜒𝑑 đặc trưng biểu diễn bất khả quy Gọi 𝜑𝑑 biểu diễn bất khả quy tương ứng với đặc trưng 𝜒𝑑 d : S5  GL(Vd ) Để tìm biểu diễn bất khả quy cuối ta lại sử dụng tích hai biểu diễn Xét biểu diễn tuyến tính 𝜑 có đặc trưng tương ứng 𝜒2 𝜒𝑑 , cho bảng: 69 Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 6 7 Số phần tử 10 15 20 20 30 24 -1 -1 -1  Dễ thấy: ( |  )     (s) (s) | S5 | SS5 (5  (1)2 10  1.15  (1) 20  ( 1) 20  30)  1, 120 Nên 𝜒 đặc trưng biểu diễn bất khả quy Vậy ta có bảng đặc trưng 𝑆5 : Lớp liên hợp 1 2 3 4 5 6 7 Số phần tử 10 15 20 20 30 24 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 4 2 1 1 d 1 1 1  -1 -1 -1 A -2 0 70 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tơi viết khóa luận nhằm mục đích trình bày lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn, trình bày cụ việc tính biểu diễn tuyến tính số nhóm đối xứng Các vấn đề trình bày khóa luận với mong muốn tìm cách phân loại nhóm thông qua biểu diễn chúng Trong tương lai, tiếp tục nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn tìm cách biểu diễn nhóm hữu hạn nhóm đối xứng Nếu làm tốt công việc này, giúp cho việc nghiên cứu nhóm hữu hạn quy việc nghiên cứu nhóm đối xứng 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình Đại số Tuyến tính – Phan Hồng Chơn, Đồng Thanh Triết – Đại học Sài Gòn, Khoa Tốn Ứng dụng – 2013 [2] Giáo trình Đại số Đại cương – Tơn Thất Trí, Đồng Thanh Triết – Đại học Sài Gòn, Khoa Tốn Ứng dụng – 2013 [3] Trường lý thuyết Galois – Bùi Xuân Hải – Nhà xuất đại học quốc gia TPHCM – 2013 [4] Nhóm biểu diễn J.L Alperin with Rowen B.Bell, Người dịch: ThS Khuất Văn Thanh, ThS Ngô Mạnh Tường, Hiệu đính: TS: Lê Minh Hà [5] Đại số tuyến tính qua ví dụ tập – Lê tuấn Hoa – Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [6] Liner Representations of Finite Groups – Jean Pierre Serre – Springer 72 BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa Trang 𝜑(𝑠), 𝜑𝑠 biểu diễn tuyến tính G V 30 𝑅𝑠 ma trận đại diện 𝜑𝑠 sở 30 𝑒𝑠 = 𝜑𝑠 (𝑒1 ) ảnh 𝑒1 qua 𝜑𝑠 32 𝜑𝑠𝑊 ánh xạ hạn chế 𝜑𝑠 lên W 33 𝑝0 trung bình liên hợp p 34 (𝑥 |𝑦) tích vô hướng 34 〈𝑥|𝑦〉 = ∑𝑡∈𝐺(𝜑𝑡 (𝑥)|𝜑𝑡 (𝑦)) 34 𝑊 ⊕ 𝑊0 tổng trực tiếp 𝑊 𝑊 25 𝜑𝑠 = 𝜑𝑠1 ⊗ 𝜑𝑠2 tích tenxơ hai biểu diễn 35 𝑆𝑦𝑚2 (𝑉 ) bình phương đối xứng 36 𝐴𝑙𝑡 (𝑉 ) bình phương thay phiên 36 𝑇𝑟(𝑎) = ∑𝑖(𝑎𝑖𝑖 ) vết a 37 𝜒𝜑 (𝑠) = 𝑇𝑟(𝜑𝑠 ) đặc trưng biểu diễn 𝜑 38 ̅̅̅̅̅̅ 𝜒 (𝑠 ) số phức liên hợp 𝜒(𝑠), 38 𝑓: 𝐺 → ℂ hàm lớp 38 (𝜙| 𝜓) ̅̅̅̅̅̅, tích vơ hướng khơng = ∑𝑡∈𝐺 𝜙(𝑡 ) 𝜓(𝑡) 43 𝑔 gian hàm lớp 𝜙 𝜓 𝜑𝑓 = ∑𝑡∈𝐺 𝑓(𝑡)𝜑𝑡 ánh xạ tuyến tính từ V vào V 47 ... Chương 27 BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN .27 2.1 Biểu diễn tuyến tính biểu diễn .27 2.2 Tích tenxơ hai biểu diễn 34 2.3 Bình phương đối xứng bình phương thay... Đồng cấu