Biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng

... DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1.1 Nhóm đối xứng 36 3.1.2 Biểu diễn nhóm đối xứng 36 3.2 BIỂU DIỄN CẢM... lý thuyết nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm đối xứng Khảo sát biểu diễn ma trận, đặc trưng nhóm đối xứng đồng thời mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng... ρ biểu diễn hoán vị G, bậc biểu diễn m 1.1.2 Biểu diễn ma trận Một biểu diễn ma trận xem cách để mô hình hóa nhóm trừu tượng nhóm ma trận cụ thể Trong mục này, đưa định nghĩa biểu diễn ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ LỆ HIỀN BIỂU DIỄN MA TRẬN VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ LỆ HIỀN BIỂU DIỄN MA TRẬN VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.60 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng – Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Thị Lệ Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU............................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................... 1 5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................ 1 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ............................... 2 7. Cấu trúc của luận văn ............................................................ 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ..................................... 4 1.1. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN ........................................ 4 1.1.1. Biểu diễn ........................................................................... 4 1.1.2. Biểu diễn ma trận .............................................................. 8 1.1.3. Biểu diễn tương đương ...................................................... 9 1.2. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY .................................................... 10 1.2.1. Không gian con bất biến.................................................... 10 1.2.2. Biểu diễn bất khả quy ...................................................... 11 1.3. TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH CỦA CÁC BIỂU DIỄN .......... 12 CHƯƠNG 2. ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂN DIỄN ................. 14 2.1. ĐẶC TRƯNG ........................................................................... 16 2.1.1. Vết và tính chất của vết .................................................... 16 2.1.2. Đặc trưng của biểu diễn .................................................... 18 2.2. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG .......................... 23 2.2.1. Bổ đề Schur ...................................................................... 23 2.2.2. Tính trực giao của đặc trưng ........................................... 25 2.3. HÀM LỚP .................................................................................. 31 2.3.1. Tích vô hướng ................................................................... 31 2.3.2. Cơ sở đặc trưng ............................................................... 33 CHƯƠNG 3. BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG .................................................. 36 3.1. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG ......... 36 3.1.1. Nhóm đối xứng ................................................................ 36 3.1.2. Biểu diễn của nhóm đối xứng ........................................... 36 3.2. BIỂU DIỄN CẢM SINH ........................................................... 40 3.2.1. Các đặc trưng thu hẹp và mở rộng .................................. 40 3.2.2. Biểu thức xác định χ ↑G H ................................................. 44 3.3. BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG....................................................................................... 45 3.3.1. Nhóm con Young ............................................................. 45 3.3.2. Bảng đặc trưng ................................................................. 48 3.3.3. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S3 ...................... 49 3.3.4. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 ...................... 50 3.3.5. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S5 ...................... 53 KẾT LUẬN ........................................................................ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Các ký hiệu sau đây sẽ được sử dụng xuyên suốt trong luận văn. "là phân hoạch của" ⊥ "Phần bù trực giao" ≤ "Không gian con của", "Nhóm con của" x1 , x1 , · · · Nhóm sinh ra bởi x1 , x2 , · · · |θ| Tổng từng phần của phân hoạch θ [G : H] Bậc của H trong G, trong đó H < G [T ]A Biểu diễn ma trận T ∈ End(V) 1G Biểu diễn tầm thường của G ι Phần tử đơn vị của G Λ Vành của các hàm đối xứng ρG Biểu diễn của G ρ ↑G H Biểu diễn cảm sinh của G từ H < G, trong đó ρ là một biểu diễn của H σ ↑G H Thu hẹp của biểu diễn σ của G đến H < G là một biểu diễn của H χρ Đặc trưng của biểu diễn ρ crp,q Hệ số liên thông cho các lớp đại số của CG CG Nhóm đại số của G trên C deg(ρ) Bậc của biểu diễn ρ ei Phần tử trong cơ sở chuẩn của Cn g Cấp |G| của G H 1 thì ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr là khả quy vì ρi là một biểu diễn con của ρ. + Nếu ρ1 , · · · ρr đều là bất khả quy thì ρ = ρ1 ⊕ · · · ⊕ ρr được gọi là hoàn toàn khả quy. Một định lí quan trọng trong phần này là định lí Maschke, trước khi tìm hiểu định lí chúng ta sẽ xét các kết quả và khái niệm liên quan sau: Bổ đề 1.1. [3, Lemma 2.5] Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của G, U là một ρ-không gian con bất biến của V . Khi đó, tồn tại một ρ-không gian con bất biến W của V sao cho V = U ⊕ W . Nhận xét 1.3. + Biểu diễn ρ trong Bổ đề 1.1 được gọi là hoàn toàn khả quy. + Mọi biểu diễn bất khả quy là hoàn toàn khả quy. + Cho ρ là một biểu diễn bất khả quy và ρ là một biểu diễn 1-chiều của cùng nhóm G. Khi đó biểu diễn ρρ là bất khả quy. Định lý 1.1. [Maschke] Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của một nhóm hữu hạn G trên một không gian vectơ phức V . Khi đó ρ là hoàn toàn khả quy. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo dimV . - Nếu dimV = 1, thì ρ là bất khả quy và do đó hoàn toàn khả quy. - Giả sử rằng kết quả trên đúng cho tất cả các không gian có chiều nhỏ hơn n, trong đó deg(ρ) = n. + Nếu ρ bất khả quy thì ρ hoàn toàn khả quy, chứng minh hoàn thành. 14 + Nếu ρ khả quy thì V có một ρ-không gian con bất biến U , nên theo Bổ đề 1.1, V = U ⊕ W với ρ-không gian con bất biến W của V . Do đó ρ = ρ |U ⊕ρ |W . Mặt khác: dimU < n và dimV < n. Vậy: Theo nguyên lý quy nạp Toán học định lí được chứng minh. Dưới đây là dạng ma trận của định lí Maschke: Định lý 1.2. Cho X : G → GLn (C) là một biểu diễn ma trận của G. Khi đó tồn tại các biểu diễn ma trận bất khả quy X1 , · · · , Xr của G và ma trận khả nghịch M sao  cho:  X1 (x)] · · · 0  ..  ... MX(x)M−1 =  ... . , với mọi x ∈ G. 0 · · · Xr (x) Tiếp theo chúng ta cần một số khái niệm và kết quả về tích tenxơ sử dụng cho chương cuối của luận văn. Định nghĩa 1.10. Cho V và U là hai không gian vectơ trên trường K. Tích tenxơ của hai không gian vectơ V và U là một không gian vectơ V ⊗U cùng với ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng: ϕ:V ×U →V ⊗U (v, u) → ϕ(v, u) = v ⊗ u. Định nghĩa 1.11. Ký hiệu L(V) và L(U) lần lượt là các không gian các toán tử tuyến tính trên V và U. Với mỗi cặp toán tử tuyến tính α ∈ L(V) và β ∈ L(U), α ⊗ β ∈ L(V ⊗ U) xác định bởi: (α ⊗ β) (v ⊗ u) = α(v) ⊗ α(u), ∀v ⊗ u ∈ V ⊗ U được gọi là tích tenxơ của α và β . Định nghĩa 1.12. Cho ρ : G → GL(V) và π : G → GL(U) là hai biểu diễn tuyến tính của nhóm G. Khi đó, ánh xạ ρπ của G trong không gian vectơ V ⊗ U xác định bởi: 15 ρπ : G → GL(V ⊗ U) x → ρπ(x) := ρ(x) ⊗ π(x) là một biểu diễn của G trong không gian vectơ V ⊗ U và được gọi là biểu diễn tích của ρ và π . 16 CHƯƠNG 2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN Trong chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày về các khái niệm cơ bản và một số kết quả quan trọng về đặc trưng của biểu diễn, tính trực giao của đặc trưng và kiểm tra tính bất khả quy của biểu diễn. Các kiến thức của chương này có thể tham khảo trong tài liệu [3]. 2.1. ĐẶC TRƯNG Ta chỉ xét các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều, và giả thiết trường K = C, tức là chỉ xét các biểu diễn phức. 2.1.1. Vết và tính chất của vết Định nghĩa 2.1. Giả sử A là ma trận vuông bậc n × n. Số phức: n tr(A) = aii i=1 được gọi là vết của A trong đó aij ký hiệu là phần tử hàng i, cột j của A. Như vậy, vết của một ma trận vuông A bậc n × n được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) của A. Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông. Ví dụ 2.1. Cho T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận:   −2 2 −3   −1 1 3  2 0 −1 Vết của T là: tr(T ) = −2 + 1 − 1 = −2. Các tính chất của vết được thể hiện qua một số kết quả quan trọng sau đây: Bổ đề 2.1. Giả sử A là ma trận bậc n × m và B là ma trận bậc m × n. Khi đó: tr(AB) = tr(BA). 17 Chứng minh. Ta có: n n tr(AB) = j=1 [AB]jj = m m j=1 k=1 m n bkj ajk = ajk bkj = k=1 j=1 k=1 [BA]kk = tr(BA). Vậy: tr(AB) = tr(BA). Từ bổ đề trên suy ra: Nếu A và B là những ma trận đồng dạng thì tr(A) = tr(B), và điều này sẽ cần thiết cho định nghĩa tiếp theo. Định nghĩa 2.2. Giả sử T : V → V là một toán tử tuyến tính. Khi đó vết của T là tr(T ) = tr([T ]A ), trong đó A là một cơ sở của V . Các tính chất của vết được thể hiện trong các kết quả sau: Ta ký hiệu: Nn = {1, · · · , n}. Nếu α, β ⊆ Nn và A là một ma trận n × n, thì A [α|β] là ký hiệu ma trận con của A với các phần tử hàng của A được chọn từ các vị trí trong α × β . Đặt: α = Nn − α. Định lý 2.1. [3, Theorem 3.4] Giả sử A, B là các ma trận bậc n × n và Nn = {1, · · · , n}. Cho σ(α) = i∈α i. Khi đó: n (−1)σ(α)+σ(β) (detA [α|β])(detB α|β ). det(A + B) = r=0 α,β⊆Nn trong đó tổng lấy trên mọi α, β sao cho |α| = |β| = r. Bổ đề tiếp theo cho ta thấy sự liên hệ giữa vết với các giá trị riêng: Bổ đề 2.2. Cho A là một ma trận cấp n × n trên C với các giá trị riêng λ1 , · · · , λn . Khi đó: n tr(A) = λi . i=1 Chứng minh. n (x − λi ) là các đa thức đặc trưng của A. Giả sử f (x) = i=1 18 n Suy ra: xn−1 f (x) = − λi . i=1 Mặt khác, theo Định lí 2.1: n (det(−A) [α|α]) det(xI) α ¯ |β¯ f (x) = det(xI − A) = r=0 α⊆Nn ,|α|=r n (−1)r xn−r detA [α|α] . = r=0 α⊆Nn ,|α|=r Nên xn−1 f (x) = − detA [α|α] = −tr(A). α⊆Nn ,|α|=1 Vậy: Bổ đề được chứng minh. 2.1.2. Đặc trưng của biểu diễn Định nghĩa 2.3. Giả sử ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của G, A là cơ sở bất kỳ của V . Hàm số χρ : G → C xác định bởi công thức: χρ (x) = tr([ρ(x)])A được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ. Nói cách khác, đặc trưng χρ của biểu diễn ρ là tổng các phần tử ma trận trên đường chéo chính của ρ. χρ được gọi là bất khả quy nếu ρ bất khả quy. Bậc của χρ là bậc của ρ (= dimV ). Khi ρ đã được xác định rõ ta có thể viết tắt χρ là χ. Ví dụ 2.2. + Đặc trưng của biểu diễn tuyến tính 1-chiều chính là biểu diễn đó. + Đặc trưng của biểu diễn tầm thường là một hằng số và bằng số chiều của biểu diễn. Ví dụ 2.3. Cho ρ = altSn , khi đó: χρ (x) = sgn(x). χρ (x) được gọi là đặc trưng thay phiên, thường xuất hiện trong hàm định thức. 19 Chứng minh. Ta có: χρ (x) = tr(sgn(x)) = sgn(x). Do đó: χρ (x) = sgn(x). Ví dụ 2.4. Với x ∈ Sn , đặt fix(x) = {i|x(i) = i, 1 ≤ i ≤ n}. Giả sử ρ = natSn , khi đó: χρ (x) = |fix(x)|. Chứng minh. Gọi X là biểu diễn ma trận liên hợp với ρ đối với cơ sở A = {v1 , ..., vn }. Khi đó, từ Ví dụ 1.3 ta có:  1 nếu x(i) = j [X(x)]i,j = 0 trong các trường hợp khác. Do đó: χρ (x) = |{i : x(i) = i, 1 ≤ i ≤ n}| = |fix(x)| . Ví dụ tiếp theo nói về đặc trưng của biểu diễn chính quy. Ví dụ 2.5.  |G| nếu x = ι regG χ (x) = 0 nếu x = ι. Chứng minh. Giả sử G = {x1 , ..., xn }, A = {vx1 , ..., vxn }, và V = span(A). Khi đó, từ Ví dụ 1.4 ta có: regG (x)vxi = vxxi , với i = 1, ..., n. Nên:  1 nếu xx = x i j [[regG (x)]A ]i,j = 0 nếu xx = x . i Để xây dựng vết, ta cần i = j . Lại có: xxi = xj khi và chỉ khi x =  ι. n nếu x = ι regG Do đó: χ (x) = tr [regG (x)] = 0 nếu x = ι.  |G| nếu x = ι regG Vậy: χ (x) = 0 nếu x = ι. j 20 Ví dụ 2.6. Giả sử ρi : G → GL(Vi ), i = 1, ..., r là các biểu diễn của G và ρ = ρ1 ⊕ ... ⊕ ρr . Khi đó: χρ = χρ1 + ... + χρr . Chứng minh. Đặt: V = V1 ⊕ ... ⊕ Vr . Suy ra: ρ là một biểu diễn của G, V là không gian biểu diễn của ρ. Giả sử Ai là một cơ sở của Vi với i = 1, ..., r ta có: χρ (x) = tr [(ρ1 ⊕ ... ⊕ ρr )(x)]A = tr [ρ1 (x)]A1 + ... + tr [ρ1 (x)]Ar = χρ1 (x) + ... + χρr (x), với mọi x ∈ G. Vậy: χρ = χρ1 + ... + χρr . Định nghĩa 2.4. Giả sử X : G → GLn (C) là một biểu diễn ma trận của G. Đặc trưng của X là hàm χ : G → C sao cho: χ(x) = tr(X(x)). Các kết quả dưới đây cho ta một số tính chất cơ bản của đặc trưng: Bổ đề 2.3. Cho ρ và ρ là các biểu diễn của G. Nếu ρ ∼ ρ thì χρ = χρ . Chứng minh. Từ Định nghĩa 1.3, tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho: ρ (x) = Pρ(x)P−1 , với mọi x ∈ G. Khi đó từ Bổ đề 2.1, ta có: χρ (x) = tr(ρ (x)) = tr(Pρ(x)P−1 ) = tr(ρ(x)) = χρ (x). Vậy: Nếu ρ ∼ ρ thì χρ = χρ . 21 Khẳng định ngược lại của bổ đề này cũng đúng, chúng ta sẽ chứng minh nó trong Định lí 2.4 ở phần sau. Bổ đề này cho ta thấy được tầm quan trọng của các đặc trưng. Tính chất được trình bày dưới đây nói về đặc trưng của liên hợp và khả nghịch. Định lý 2.2. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và ρ là một biểu diễn của G. Khi đó: 1. χρ (ι) = deg(ρ), 2. χρ y −1 xy = χρ (x), với mọi x ∈ G, 3. χρ x−1 = χρ (x). Chứng minh. 1. Xét ρ : G → GL(V) trong đó dimV = n. Giả sử A là một cơ sở của V . Khi đó: χρ (ι) = tr(ρ(ι)) = tr([ρ(ι)]A ) = tr(In ) = n = dimV = deg(ρ). Vậy: χρ (ι) = deg(ρ). 2. Ta có: χρ (y −1 xy) = tr(ρ(y −1 xy)) = tr(ρ(y −1 )ρ(x)ρ(y)) = tr(ρ(x)) = χρ (x). Vậy: χρ y −1 xy = χρ (x), với mọi x ∈ G. 3. Trong quá trình chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng kết quả sau: Bổ đề. Cho G là nhóm hữu hạn, và x ∈ G. Khi đó: x|G| = ι. Từ Bổ đề 2.2 ta có: χ(x) = tr(ρ(x)) = λ, λ∈spec(ρ(x)) trong đó: spec(ρ(x)) là tập hợp tất cả các giá trị riêng của ρ(x) (bao gồm các giá trị riêng lặp lại). Do λ ∈ spec(ρ(x)), nên tồn tại một vectơ khác vectơ không v ∈ V sao cho ρ(x)v = λv. 22 Suy ra: λ = 0 vì ρ(x) khả nghịch. Do đó: λ−1 là một giá trị riêng của ρ(x−1 ). Ta được: χρ (x−1 ) = λ−1 . λ∈spec(ρ(x)) Đặt: g = |G|. Áp dụng kết quả đã nêu đầu chứng minh ta được: χg v = ρ(x)g v = ρ(ι)v = lV v = v. Từ đó: λg = 1. Suy ra: |λ| = 1 nên λλ = 1. Ta được: λ−1 = λ. Khi đó: χρ (x−1 ) = λ−1 = λ∈spec(ρ(x)) λ = χρ (x). λ= λ∈spec(ρ(x)) λ∈spec(ρ(x)) Vậy: χρ x−1 = χρ (x). Định lý được chứng minh. Nhận xét 2.1. Khẳng định (2) của Định lí 2.2 chứng tỏ rằng χρ là hằng số trên các lớp liên hợp của G, và được gọi là hàm lớp của G. Hai hệ quả được phát biểu sau đây có liên quan đến các đặc trưng thực: Hệ quả 2.1. Cho G là một nhóm hữu hạn và χ là một đặc trưng của ρG . Nếu x và x−1 liên hợp trong G thì χ(x) ∈ R. Chứng minh. Vì x và x−1 liên hợp trên G nên tồn tại y ∈ G sao cho x−1 = yxy −1 . Suy ra, từ Định lí 2.2, χ(x) = χ(x−1 ) = χ(yxy −1 ) = χ(x). Vậy: Bổ đề được chứng minh. Hệ quả 2.2. Giả sử χ là một đặc trưng của Sn . Khi đó χ(x) ∈ R với mọi x ∈ R. Chứng minh. Vì x và x−1 liên hợp trên Sn , nên chứng minh tương tự Hệ quả 2.1 ta cũng được điều phải chứng minh. 23 Hệ quả trên rất quan trọng cho việc nghiên cứu chi tiết hơn về đặc trưng của nhóm đối xứng trong chương 3 của luận văn. 2.2. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG 2.2.1. Bổ đề Schur Các bổ đề cơ bản dưới đây được sử dụng nhiều trong các phần sau. Bổ đề 2.4. [Schur] Cho ρ : G → GL(V) và ρ : G → GL(V ) là các biểu diễn bất khả quy của G. Nếu T : V → V là một biến đổi tuyến tính sao cho T ρ(x) = ρ (x)T với mọi x ∈ G, thì: 1. (a) T = 0V , (b) hoặc T là một đẳng cấu. 2. Hơn nữa (a) Nếu ρ ρ thì T = 0V , (b) Nếu ρ = ρ thì T = αlV với mọi α ∈ C. Chứng minh. 1. Ta xét ker(T ). Lấy v ∈ ker(T ), khi đó T ρ(x)v = ρ T v = 0 nên ρ(x)v ∈ kerT . Suy ra: ker(T ) là một ρ−bất biến. Lại có: ρ bất khả quy. Do đó: ker(T ) = {0} hay ker(T ) = V . Có 2 trường hợp xảy ra: Trường hợp (1a): Nếu ker(T ) = V thì T = 0V và bổ đề được chứng minh. Trường hợp (1b): Nếu ker(T ) = {0} thì T = 0V . Ta cần chứng minh rằng T V là một ρ -không gian con bất biến của V . Lấy v ∈ T V thì v = T v , với mọi v ∈ V . Với x ∈ G, ta có: ρ (x)v = ρ (x)T v = T ρ(x)v nên ρ (x)v ∈ T V . Suy ra: T V là một ρ -không gian con bất biến của V . Lại có: ρ bất khả quy nên T V = {0} hay T V = V . Nhưng: T V = {0} vì T = 0V . Do đó: T V = V , ta được T là một toàn ánh. 24 Mặt khác: ker(T ) = {0}, suy ra: T là một đơn cấu. Vậy: T là một đẳng cấu. 2(a). Giả sử ρ ρ . Nếu T = 0V thì từ (1b) ta có T là một đẳng cấu nên ρ ∼ ρ . Điều này mâu thuẫn. Vậy: T = 0V . (2b). Giả sử ρ ∼ ρ . Khi đó: T ρ(x) = ρ(x)T , với mọi x ∈ G. Với α ∈ C, (T − αl)ρ(x) = ρ(x)(T − αl). Từ (1) suy ra: T − αl = 0V hay T − αl là một đẳng cấu. Lại có: spec(T ) = ∅, nên ta chọn α ∈ spec(T ). Suy ra: tồn tại v = 0, v ∈ V sao cho T v = αv , do đó (T − αl)v = 0. Vì v = 0, ker(T ) = {0} nên T − αl không phải là một đẳng cấu. Vậy: T − αl = 0V . Bổ đề được chứng minh. Bổ đề tiếp theo cho ta thể hiện ma trận của kết quả này. Bổ đề 2.5. [Schur] [3, Lemma 4.2] Giả sử X : G → GLn (C) và X : G → GLm (C)) là các biểu diễn bất khả quy của G, M là một ma trận sao cho MX(x) = X (x)M với mọi x ∈ G. Khi đó: 1. (a) M = 0n , (b) hoặc M khả nghịch. 2. Hơn nữa (a) Nếu X X thì M = 0n , (b) Nếu X = X thì M = αIn , với mọi α ∈ C. Kết quả sau đây là một kỹ thuật thường được sử dụng trong các phần tiếp theo. Hệ quả 2.3. Giả sử X : G → GLn (C) và X : G → GLm (C) là các biểu diễn bất khả quy của G, M là một ma trận bậc n × m trên C, và N là ma 25 trận bậc n × m sao cho: N= 1 X(x)MX (x−1 ). |G| x∈G Khi đó: N= 1 n (tr(M))In nếu 0n nếu X=X X=X. Chứng minh. Ta sẽ kiểm tra X(y)N = NX (y), với mọi y ∈ G, và sau đó áp dụng Bổ đề Schur để chứng minh. Ta có: X(y)N = = 1 |G| 1 |G| X(yx)MX (x−1 ), vì X là một biểu diễn x∈G X(yx)MX (x−1 y −1 )X (y), vì X (y −1 )X (y) = In x∈G 1 = ( |G| X(z)MX (z −1 ))X (y) = NX (y). z∈G Từ Bổ đề Schur, nếu X X thì N = 0n . Mặt khác, nếu X = X thì N = αIn với mọi α ∈ C, nên tr(N) = nα. Tuy nhiên: 1 tr(N) = |G| tr(X(x)MX(x−1 )) x∈G = = 1 |G| 1 |G| tr(X(x)−1 X(x)M), từ Bổ đề 2.1 x∈G tr(M) = tr(M). x∈G Vậy: α = n1 tr(M). 2.2.2. Tính trực giao của đặc trưng Trước hết, chúng ta xây dựng một không gian vectơ trong đó chứa các đặc trưng. Giả sử G là một nhóm hữu hạn. Tập hợp CG = {f : G → C} cùng 26 với các phép toán: (f + g)(x) = f (x) + g(x), với mọi x ∈ G, = λf (x), với mọi x ∈ G, λ ∈ C. (λf )(x) là một không gian vectơ. Nếu χ là một đặc trưng của G thì χ ∈ CG . Giả sử: ., . CG : CG × CG → C được xác định bởi: f, g Khi đó ., . CG CG = 1 f (x)g(x), với mọi f, g ∈ CG . |G| x∈G là tích vô hướng trên CG , viết tắt là ., . . Tích vô hướng có thể được dùng để phân biệt các biểu diễn bất khả quy. Tính trực giao của đặc trưng được thể hiện qua định lí sau: Định lý 2.3. Hệ thức trực giao loại 1 Cho χ, χ là các đặc trưng bất khả quy tương ứng với  các biểu diễn 1 nếu ρ ∼ ρ bất khả quy ρ, ρ của nhóm hữu hạn G. Khi đó: χ, χ = 0 nếu ρ ρ . Chứng minh. Giả sử X, X là các biểu diễn ma trận tương ứng với ρ, ρ . Ta có: χ, χ = = = = 1 |G| 1 |G| 1 |G| 1 |G| χ(x)χ(x) x∈G χ(x)χ(x−1 ), từ định lí 2.2(3) x∈G tr(X(x))tr(X (x−1 )) x∈G n m i=1 j=1 x∈G [X(x)]i,i X (x−1 ) j,j . Gọi Pi,j là ma trận bậc n × m với phần tử hàng i, cột j bằng δi,k δl,j . 27 Đặt: Si,j = 1 |G| X(x)P i,j X (x−1 ). x∈G Khi đó: Si,j i,j = = = 1 |G| 1 |G| 1 |G| x∈G k,l x∈G k,l x∈G [X(x)]i,k Pi,j X (x−1 ) k,l [X(x)]i,k δi,k δl,j X (x−1 ) [X(x)]i,i X (x−1 ) Nên ta được: n j,j l,j l,j . m Si,j χ, χ = i,j . i=1 j=1 Từ Hệ quả 2.3, ta có: Si,j  0 n×m =  1 (tr(Pi,j ))I n n nếu X X nếu X ∼ X . Lại có: tr(Pi,j ) = 0 với i = j , trong trường hợp này tr(Pi,j ) = 1. Do đó: Si,j i,j    0 nếu X X , = 0 nếu i = j,   1 n nếu i = j và X ∼ X . Bây giờ, nếu X = X thì χ = χ , từ Bổ đề 2.3 ta có:  1 nếu χ ∼ χ χ, χ = 0 nếu χ χ . Suy ra ta được điều phải chứng minh. Khi kiểm tra một biểu diễn có bất khả quy hay không bằng cách sử dụng định nghĩa ta thường gặp khó khăn, vì vậy sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp ứng dụng đặc trưng để kiểm tra tính bất khả quy của một biểu diễn. Cho G là một nhóm hữu hạn. Giả sử ρi là các biểu diễn của G và mi ρi = ρi ⊕ ... ⊕ ρi . mi 28 Từ định lý Maschke ta đã biết, bất kỳ một biểu diễn ρ của G đều có thể phân tích thành các biểu diễn bất khả quy như sau: ρ = m1 ρ1 ⊕ ... ⊕ mr ρr . Số nguyên mi được gọi là số bội của ρi trong ρ. Bổ đề 2.6. Cho ρ1 , · · · , ρr là các biểu diễn bất khả quy của nhóm hữu hạn G và ρ(x) = m1 ρ1 (x) ⊕ ... ⊕ mr ρr (x), ∀x ∈ G. Khi đó: r ρ ρ χ ,χ m2i . = i=1 Chứng minh. Áp dụng Định lí 2.3, ta có: χρ , χρ = ri,j=1 mi mj χρi , χρj  1 nếu i = j r = i,j=1 mi mj δij , trong đó δij = 0 nếu i = j. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Từ Bổ đề 2.6, ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.4. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và ρ là một biểu diễn của G. Khi đó ρ là biểu diễn bất khả quy khi và chỉ khi χρ , χρ = 1. Ví dụ 2.7. Cho: S3 = {ι, (12), (13), (23), (123), (132)} . Biểu diễn ma trận X cấp 2 của S3 có dạng: X(ι) = 1 0 , 0 1 1 2 − 43 X(13) = , −1 − 12 X(123) = − 12 − 43 , −1 − 12 X(12) = X(23) = X(132) = −1 0 , 0 1 1 2 3 4 1 − 12 , − 21 − 34 . 1 − 12 29 Kí hiệu χ là đặc trưng của biểu diễn này. Khi đó, bằng tính toán trực tiếp với các biểu diễn ma trận, ta được: χ, χ = 1 |G| χ(x)χ(x) x∈S3 = 16 (2.2 + 0.0 + 0.0 + 0.0 + (−1)(−1) + (−1)(−1)) = 1. Do đó, từ Hệ quả 2.4 suy ra biểu diễn trên là bất khả quy. Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu về mối liên hệ giữa các biểu diễn tương đương và các đặc trưng tương đương, đồng thời chứng tỏ rằng tất cả các biểu diễn bất khả quy đều xuất hiện ít nhất một lần trong biểu diễn chính quy regG của G. Hệ quả 2.5. Cho G là một nhóm hữu hạn. Giả sử ρ1 , ..., ρr là các biểu diễn bất khả quy của G. Khi đó: (1). Số bội của ρi trong regG là deg(ρi ). r (2). |G| = (deg(ρi ))2 . i=1 (3). 1 ≤ r ≤ |G|. Chứng minh. (1). Ta có: χregG , χρi = Từ Ví dụ 2.5, χ regG 1 |G| χregG (x)χρi (x). x∈G (x) = |G| nếu x = ι, và bằng 0 nếu x = ι, nên: χregG , χρi = 1 regG χ (ι)χρi (ι) = χρi (ι) = deg(ρi ). |G| Áp dụng định lý Maschke, ta có: regG = ⊕rj=1 mj ρj trong đó m1 , ..., mj là các số nguyên không âm. Theo tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy (Định lí 2.3), ta có: r χ regG ρi ,χ r ρj = ρi mj χ , χ j=1 trong đó: regG = ⊕rj=1 (deg(ρj ))ρj . Vậy: (1) được chứng minh. mj χρj , χρi = mi , = j=1 30 (2). Giả sử V là không gian biểu diễn đối với regG . Từ (1) ta có: r |G| = dimV = χ regG r ρj (ι) = j=1 r Vậy: |G| = (degρj )2 . (degρj )χ (ι) = j=1 (deg(ρi ))2 . i=1 (3). Ta có: deg(ρi ) ≥ 1, nên từ (2) suy ra: 1 ≤ r ≤ |G|. Do đó trong regG tất cả các biểu diễn bất khả quy của G xuất hiện với số lần bằng với bậc của nó. Điều này có thể giúp ta chứng minh được kết quả ngược lại của Bổ đề 2.3, được thể hiện qua định lý sau: Định lý 2.4. Giả sử ρ, ρ là các biểu diễn của nhóm G hữu hạn. Khi đó ρ ∼ ρ khi và chỉ khi χρ = χρ . Chứng minh. Nếu ρ ∼ ρ thì theo Bổ đề 2.3 ta được χρ = χρ . Bây giờ ta chứng minh ý ngược lại. Vì G hữu hạn, ρ và ρ hoàn toàn khả quy nên áp dụng định lý Maschke ta có ρ = ⊕ri=1 mi ρi và ρ = ⊕rj=1 nj ρj trong đó ρ1 , ..., ρr là các biểu diễn bất khả quy của G. r Khi đó χ = i=1 r mi χρi và χ = ni χρi . Áp dụng tính trực giao của biểu j=1 diễn bất khả quy (Định lý 2.3) ta suy ra: mi = χρ , χρi = χρ , χρi = ni , với i = 1, ..., n. Do đó: ρ ∼ ρ . Vậy: Định lý được chứng minh. Như vậy, có thể nói việc mô tả χ, χ rất dễ dàng khi χ và χ là các đặc trưng bất khả quy của G. Từ Định lý 2.2(2) ta thấy rằng χ là hằng số trên các lớp liên hợp của G. 31 Giả sử C là một lớp liên hợp của G và x ∈ C , ký hiệu giá trị của χ trên bất kỳ phần tử nào trong C là χ(C). Do đó χ(x) = χ(C). Hệ quả 2.6. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và C1 , ..., Ck là các lớp liên hợp của G. Gọi χ, χ là các đặc trưng bất khả quy của G. Khi đó: (1). χ, χ = 1 |G| k |Ci |χ(Ci )χ (Ci ). i=1 (2). χ, χ = δχχ . Chứng minh. (1). Ta có: χ, χ = 1 |G| χ(x)χ (x) = x∈G 1 |G| k χ(x)χ (x). i=1 x∈Ci Vì theo Định lý 2.2(2), χ và χ là hằng số trên các lớp liên hợp của G nên suy ra: 1 χ, χ = |G| k |Ci |χ(Ci )χ (Ci ). i=1 (2). Giả sử ρ và ρ là các biểu diễn tương ứng với χ và χ . Từ tính trực giao của các đặc trưng (Định lí 2.3), ta có:  1 nếu ρ ∼ ρ χ, χ = 0 nếu ρ ρ . Lại có theo Định lý 2.4, ρ ∼ ρ khi và chỉ khi χ = χ . Vậy: χ, χ = δχχ . Hệ quả được chứng minh. 2.3. HÀM LỚP 2.3.1. Tích vô hướng Xét tập hợp: CG = {f : G → C} với phép toán tổng và tích theo thành phần, là một vành. Hơn nữa, ta có: f, g CG = là tích vô hướng của f, g ∈ CG . 1 f (x)g(x) |G| x∈G 32 Định nghĩa 2.5. Nếu f ∈ CG thỏa mãn f (x) = f (yxy −1 ), ∀x, y ∈ G thì f được gọi là một hàm lớp. Tập hợp tất cả các hàm lớp của G được ký hiệu là R(G). Giả sử ρ là một biểu diễn của G. Khi đó hiển nhiên χρ ∈ CG . Thực ra, từ Định lý 2.2(2) ta có thể khẳng định rằng χρ ∈ R(G). Bổ đề 2.7. dim(R(G)) = k , trong đó k là số các lớp liên hợp của G. Chứng minh. Để xác định được dim(R(G)) ta cần xác định một cơ sở của R(G). Với i = 1, ..., k , cho ei ∈ CG được xác định bởi:  1 nếu x ∈ Ci ei (x) = −1 trong các trường hợp khác. Khi đó ei ∈ R(G), với i = 1, · · · , k . Giả sử f (Ci ) ký hiệu cho giá trị của f ∈ R(G) và với bất kỳ x ∈ G, ta có f (x) = f (C1 )e1 (x) + · · · + f (Ck )ek (x), ∀x ∈ G. f = f (C1 )e1 + · · · + f (Ck )ek . R(G) ≤ span {e1 , · · · , ek }. Khẳng định ngược lại là hiển nhiên, và e1 , · · · , ek là rõ ràng nên {e1 , · · · , ek } là một cơ sở của R(G), trong đó dim(R(G)) = k. Suy ra Do đó Bổ đề sau đây chỉ ra rằng các đặc trưng bất khả quy của G lập thành một cơ sở khác của R(G). Bổ đề 2.8. Giả sử ρ là một biểu diễn bất khả quy của G và f ∈ R(G). Khi đó f (x)ρ(x) = x∈G trong đó V là không gian biểu diễn. |G| χρ , f degρ CG lV , 33 Chứng minh. Đặt T = f (x)ρ(x). Bây giờ, với y ∈ G, ta có: x∈G f (x)ρ(yx) ρ(y)T = x∈G f (x)ρ(yxy −1 )ρ(y) = x∈G f (yxy −1 )ρ(yxy −1 )ρ(y) vì f ∈ R(G) = x∈G =( f (z)ρ(z))ρ(y) = T ρ(y). x∈G Suy ra ρ(y)T = T ρ(y), ∀y ∈ G. Do vậy, từ Bổ đề Shur (Bổ đề 2.4(2b)) ta được T = αlV , ∀α ∈ C. f (x)ρ(x) = αlV và lấy vết, ta được: Khi đó x∈G f (x)χρ (x) = |G| χρ , f CG , tr(αlV ) = αtr(lV ) = αdimV = αdegρ, trong đó αdegρ = |G| χρ , f CG . f (x)ρ(x)) = tr( x∈G f (x)tr(ρ(x)) = x∈G x∈G và Vậy ta được điều phải chứng minh. 2.3.2. Cơ sở đặc trưng Các kết quả sau đây cho ta cơ sở đặc trưng của R(G). Định lý 2.5. Giả sử G là một nhóm hữu hạn. Khi đó tập hợp tất cả các đặc trưng bất khả quy của G là một cơ sở trực chuẩn của R(G). Chứng minh. Giả sử V là một không gian biểu diễn đối với regG , vì vậy V = span {vx : x ∈ G} . Khi đó dim(V) = |G|. Vì G hữu hạn nên từ Định lý Maschke, ta có regG = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mr ρr trong đó V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr , 34 và ρi : G → GL(Vi ), ∀i = 1, · · · , r là các biểu diễn bất khả quy của G. Gọi k là số các lớp liên hợp của G, từ Bổ đề 2.7 suy ra dim(R(G)) = k . Tuy nhiên χρ1 , · · · , χρr ∈ R(G) nên r ≤ k . Giả sử r = k . Khi đó tồn tại một hàm khác không f ∈ R(G) sao cho nó trực giao với χρ1 , · · · , χρr . Suy ra χρi , f = 0, ∀i = 1, · · · , r. f (x)reg(x) = 0V . Vậy, từ Bổ đề 2.8, x∈G Lấy y ∈ G, ta được: 0 = 0V vy = f (x)reg(x)vy = x∈G f (zy −1 )vz . f (x)vxy = x∈G x∈G Mặt khác, {vx : x ∈ G} là một cơ sở của V , nên f (zy −1 ) = 0, ∀y, z ∈ G, trong đó f (x) = 0, ∀x ∈ G. Suy ra f = 0. Điều này vô lý, do đó r = k . Khi đó span {χρ1 , · · · , χρk } ≤ R(G). Vì χρ1 , · · · , χρk độc lập tuyến tính theo Hệ quả 2.6 nên chúng đôi một trực giao với nhau. Vậy {χρ1 , · · · , χρk } là một cơ sở trực chuẩn của R(G). Định lý được chứng minh. Để biết được số các biểu diễn bất khả quy phân biệt của G, ta tìm hiểu hai hệ quả sau. Hệ quả 2.7. Giả sử G là một nhóm có đúng k lớp liên hợp. Khi đó G có đúng k đặc trưng phân biệt (và do đó có k biểu diễn bất khả quy phân biệt). Chứng minh. Trước hết từ Định lý 2.5 ta có dimR(G) = k. Hơn nữa từ Định lý 2.4 ta khẳng định χρi = χρj khi và chỉ khi ρi ∼ ρj . Suy ra điều phải chứng minh. 35 Đáng chú ý hơn là kết quả sau: Hệ quả 2.8. Giả sử G là một nhóm có đúng k lớp liên hợp, và ρ1 , · · · , ρk là các biểu diễn bất khả quy của G. Khi đó, với x ∈ G 1 |G| k (degρi )χρi (x) = δι,x . i=1 Chứng minh. Từ Hệ quả 2.7, G có k biểu diễn bất khả quy phân biệt, nên suy ra: regG = ⊕ki=1 (degρi )ρi . Khi đó χregG = Nên χregG (x) = k (degρi )χρi . i=1 k (degρi )χρi (x), ∀x ∈ G. i=1 Từ Ví dụ 2.5 ta được χregG (x) = |G|διx và từ Hệ quả 2.5(2) ta có: k (degρi )2 . |G| = i=0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 36 CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Trong chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu các nhóm đối xứng qua việc xét các biểu diễn và đặc trưng tương ứng. Ở phần đầu của chương, chúng tôi đề cập đến một số khái niệm, kết quả về nhóm đối xứng, biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng, bảng đặc trưng, ... Các kiến thức này rất cần thiết cho việc nghiên cứu phần cuối của luận văn là thể hiện cho trường hợp các nhóm đối xứng cụ thể. Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong tài liệu [1], [2], [3], [4]. 3.1. BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 3.1.1. Nhóm đối xứng Trong chương 1 chúng ta đã định nghĩa tập hợp Sn gồm tất cả các phép thế của n phần tử {1, ..., n} cùng với phép nhân các ánh xạ lập thành một nhóm, được gọi là nhóm đối xứng bậc n. Từ định nghĩa ta có các chú ý sau: Chú ý 3.1. + Số phần tử của nhóm Sn là n!. + Mỗi phần tử σ ∈ Sn đều có thể viết dưới dạng tích của các chuyển trí, tức là các hoán vị ở đó chỉ có hai phần tử chuyển chỗ cho nhau. + Một phép thế (hoán vị) luôn phân tích được thành tích của các vòng xích, nghĩa là một hoán vị (i1 , ..., ir ) với ij → i1 nếu r > 1 và là đồng nhất nếu r = 1. + Mỗi một hoán vị có một phân tích duy nhất thành một tích các vòng xích rời nhau. 3.1.2. Biểu diễn của nhóm đối xứng Trong phần này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày các kết quả quan trọng giúp cho việc xác định và mô tả các biểu diễn bất khả quy của 37 nhóm đối xứng Sn . Mệnh đề 3.1. Cho V là một không gian vectơ n-chiều trên trường K và gọi v = {v1 , ..., vn } là một cơ sở của V . Khi đó tương ứng ρ : Sn → GL(V) σ → ρ(σ) : V → V v → ρ(σ)vi = vσ(i) , i = 1, n là một biểu diễn tuyến tính của nhóm Sn trên trường K. Chứng minh. Để chứng minh ρ là một biểu diễn tuyến tính của nhóm Sn ta cần chứng minh ρ là một ánh xạ và là một đồng cấu nhóm. a) ρ là một ánh xạ. Lấy σ, π ∈ Sn sao cho ρ(σ) = ρ(π), từ đó ta suy ra: ρ(σ)vi = ρ(π)vi , ∀i = 1, n ⇔ vσ(i) = vπ(i) , ∀i = 1, n. ⇔ σ = π. Ta được ρ là một ánh xạ. b) ρ là một đồng cấu nhóm. Với mọi σ, π ∈ Sn , ta có: ρ(σπ)vi = vσπ(i) , ∀i = 1, n. ⇒ ρ(σπ) = ρ(σ)ρ(π). Suy ra ρ là một đồng cấu nhóm. Vậy từ a) và b) ta được ρ là một biểu diễn tuyến tính của Sn trên K. Tiếp theo ta xét mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2. Cho V là một không gian vectơ n-chiều trên trường K và v = {v1 , ..., vn } là một cơ sở của V . Gọi ρ là biểu diễn của Sn được xác định trong Mệnh đề 3.1, tức là: ρ(σ)vi = vσ(i) , ∀σ ∈ Sn , ∀i = 1, n, 38 và ρ(σ)v là ma trận của toán tử ρ(σ)(σ ∈ Sn ) đối với cơ sở v của V . Khi đó trρ(σ)v chính là số các phần tử bất biến qua phép thế σ . Chứng minh. Với mọi σ ∈ Sn , ta có  0  ρ(σ)v =  0 0   1...  i .. . 0 σ(i). 1. Khi đó trT (σ)(e) = i=1,n σ(i)=i Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 3.1. Cho V là một không gian vectơ n-chiều trên trường K có đặc số không và gọi v = {v1 , ..., vn } là một cơ sở của V . Khi đó biểu diễn ρ của Sn xác định trong Mệnh đề 3.1 là hoàn toàn khả quy. Chứng minh. Giả sử Vo = xi ei | i xi i = 0 và V1 = vi lần lượt là không gian i con (n − 1)-chiều và 1-chiều của V . Suy ra ta sẽ chứng minh rằng Vo và V1 là các không gian con bất biến cực tiểu qua ρ và V = Vo ⊕ V1 . Ta có: a) Với mọi σ ∈ Sn , ∀x = xi vi ∈ Vo , ta suy ra: i ρ(σ)x = ρ(σ)( xi vi ) = i xi vσ(i) ∈ Vo . xi ρ(σ)vi = i b) Với mọi σ ∈ Sn , ∀x = λ i vi ∈ V1 , suy ra: i ρ(σ)x = ρ(σ)(λ vi ) = λ i vσ(i) = x ∈ V1 . ρ(σ)vi = λ i i Từ đó ta được Vo và V1 là các không gian con bất biến qua ρ. Vì dimV1 = 1 nên rõ ràng V1 là không gian con bất biến cực tiểu . 39 Mặt khác theo đề đặc số của K là không nên suy ra V1 = Vo . Suy ra V = Vo ⊕ V1 . Tiếp theo ta sẽ chứng minh Vo là một không gian con bất biến cực tiểu. Gọi U ⊂ V là không gian con bất biến qua ρ và {0} = U ⊂ Vo . xi vi ∈ U {0}, vì x = V1 do đó trong tập các số xi , i = 1, n Với mọi x = i luôn tồn tại hai số phân biệt, và không mất tính tổng quát ta giả sử hai giá trị phân biệt đó là x1 = x2 , nên: ρ((12))x − x = (x2 − x1 )(v1 − v2 ) ∈ U vì x, ρ((12))x ∈ U. Từ đó suy ra v1 − v2 ∈ U . Bằng cách chứng minh tương tự ta có: ρ((1j))(v1 − v2 ) − (v1 − v2 ) = vj − v1 ∈ U, ∀j = 2. ρ((ij))(vj − v1 ) − (vj − v1 ) = vi − vj ∈ U, ∀i = 1. Vì thế vi − vj ∈ U, ∀i, j = 1, n. xi vi | Tuy nhiên: Vo = i xi = 0 = vi − vj , i = j nên U = Vo . i Từ ý chứng minh trên ta suy ra V không có không gian con bất biến nào khác không và chứa thực sự trong Vo , nghĩa là Vo là không gian con bất biến cực tiểu trong V . Vậy: ρ là biểu diễn hoàn toàn khả quy vì không gian biểu diễn V có thể phân tích thành tổng trực tiếp của hai không gian con bất biến cực tiểu Vo và V1 . Định lý được chứng minh. Định lý chúng ta tìm hiểu dưới đây cho ta thấy rằng nhóm đối xứng Sn luôn có một biểu diễn bất khả quy với số chiều là n − 1. Định lý 3.2. Cho V là một không gian vectơ n-chiều trên trường K có đặc số không. Khi đó nhóm Sn luôn có một biểu diễn bất khả quy (n−1)-chiều. Chứng minh. Giả sử v = {v1 , ..., vn } là một cơ sở của V . 40 Gọi ρ là biểu diễn của nhóm Sn được xác định trong Mệnh đề 3.1, Vo = vi − vj , i = j là không gian con (n − 1)-chiều của V . Xét ρo = ρ|Vo là hạn chế của ρ lên không gian con Vo và được gọi là biểu diễn tiêu chuẩn của Sn . Khi đó: ρo = ρ|Vo : Sn → GL(Vo ) là biểu diễn tuyến tính (n − 1)−chiều của Sn trong Vo . Suy ra Vo không có không gian con bất biến không tầm thường nào qua ρo (chứng minh Định lý 3.1). Do đó ρo là một biểu diễn bất khả quy. Vậy ρo là biểu diễn bất khả quy n − 1 chiều của Sn . Định lý 3.3. Nhóm Sn có hai biểu diễn tuyến tính 1-chiều, đó là biểu diễn tầm thường 1Sn và biểu diễn 1-chiều π chuyển tất cả các phép thế chẵn đến 1 và tất cả các phép thế lẻ đến −1. Chứng minh. Trong quá trình chứng minh định lý này, ta sử dụng kết quả sau: Tất cả các biểu diễn tuyến tính của nhóm Zm = Z/mZ đều thu được qua sự phân tích các biểu diễn tuyến tính ρ của Z với tính chất: ρ(m) = ρ(1)m = lV . Vì nhóm thương Sn /An Z2 có hai biểu diễn tuyến tính 1-chiều (sử dụng kết quả vừa nêu) nên bằng phép nâng hai biểu diễn 1-chiều này ta thu được hai biểu diễn 1-chiều của Sn : biểu diễn tầm thường 1Sn và biểu diễn 1-chiều π chuyển tất cả các phép thế chẵn đến 1 và tất cả các phép thế lẻ đến −1. 3.2. BIỂU DIỄN CẢM SINH Giả sử H < G. Trong phần này chúng tôi sẽ xét đến một biểu diễn của H từ một biểu diễn của G, và ngược lại. 3.2.1. Các đặc trưng thu hẹp và mở rộng 41 Định nghĩa 3.1. Giả sử G là một nhóm, và H ≤ G. X là một biểu diễn ma trận của G. Khi đó thu hẹp của X đến H được ký hiệu là X ↓G H , trong đó X ↓G H (x) = X(x), ∀x ∈ X. X ↓G H là một biểu diễn. Để chứng minh khẳng định trên ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1. Giả sử G là một nhóm và H ≤ G. Cho (t1 , · · · , tl ) là hệ đại biểu đối với các lớp kề trái của H trong G. Y là một biểu diễn ma trận của H. Cho X : G → GLn (C) sao cho với mọi x ∈ G X(x) = Y (t−1 i xtj ) l×l là một ma trận khối, trong đó Y (y) = 0 nếu y ∈ / H . Khi đó X là một biểu diễn của G. Chứng minh. Giả sử x, y ∈ G. Khi đó, bằng phép nhân các ma trận khối ta có: −1 [X(x)X(y)]p,q = Y (t−1 i xtj )Y (ti ytj ) l = j=1 l×l −1 Y (t−1 p xtj )Y (tj ytq ). Xét hai trường hợp xảy ra: TH1: Giả sử t−1 / H. p xtq ∈ −1 −1 Mà: t−1 p xtq = (tp xtj )(tj ytq ). Suy ra: t−1 / H hoặc (t−1 / H. p xtq ∈ j ytq ) ∈ −1 Khi đó: Y (t−1 / HY (tj ytq ), ∀i = 1, · · · , l. p xtj ) ∈ Nên: [X(x)X(y)]p,q = 0. −1 Lại có: Y (t−1 / H. p xtq ) = 0 vì tp xtq ∈ Vì vậy: [X(xy)]p,q = [X(x)X(y)]p,q . TH2: Giả sử z = t−1 / H. p xtq ∈ Vì ytq ∈ G, nên chỉ có đúng một lớp tr H của H trong G. Suy ra ytq = tr u, với u ∈ H vì thế u = t−1 r utq ∈ H và r là duy nhất. Do đó thể hiện điều này cho [X(x)X(y)]p,q ta được: −1 [X(x)X(y)]p,q = Y (t−1 p xtr )Y (tr utq ). 42 −1 −1 −1 −1 ∈ H vì z, u ∈ H. Tuy nhiên t−1 p xtr = (tp xytq )(tq y tr ) = zu Suy ra: [X(x)X(y)]p,q = Y (t−1 p xytq ) = [X(xy)]p,q . Từ hai trường hợp trên ta kết luận: X(xy) = X(x)X(y). Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng X(ι) = I. Ta có: X(ι) = [Y (t−1 i tj )]l×l . Giả sử t−1 i ∈ H với i = j . Khi đó: tj = ti v với v ∈ H , trong đó tj = ti vH = ti H. / H với i = j . Mà: tj H ∩ ti H = ∅. Điều này mâu thuẫn, nên t−1 i tj ∈ Nếu i = j thì Y (t−1 i tj ) = Y (ι) = I. Do đó: X(ι) = I ⊕ · · · ⊕ I = I. Vậy X là một biểu diễn ma trận của G. Bổ đề này làm rõ hơn cho định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2. Giả sử G là một nhóm và H ≤ G. Cho (t1 , · · · , tl ) là hệ đại biểu đối với các lớp kề trái của H trong G, Y là một biểu diễn ma trận của H. Khi đó biểu diễn cảm sinh của G bởi H được định nghĩa là Y ↑G H xác định bởi: −1 Y ↑G / H. H (x) = [Y (ti xtj )]l×l và Y (y) = 0 nếu y ∈ Ví dụ 3.1. Cho G = S3 và H = {ι, (23)}. Các lớp kề trái của H trong G là D1 = ιH = (23)H = {ι, (23)}, D2 = (12)H = (132)H = {(12), (132)}, D3 = (13)H = (123)H = {(13), (123)} . Khi đó {ι, (12), (13)} là hệ đại biểu của H trong G. Nếu Y là một  biểu diễn  ma trận của H thì   I 0 0 0 I 0     X ↑G X ↑G 0 , H (ι) = 0 I 0 H (12) =  I 0 0 0 I 0 0 Y (23) 43     0 0 I I 0 0     X ↑G X ↑G 0 Y (23) , H (13) = 0 Y (23) 0 H (13) = 0 I 0 0 0 Y (23) 0     I Y (23) 0 0 0 Y (23)     X ↑G 0 I  X ↑G 0 . H (123) =  0 H (132) = I 0 Y (23) 0 0 0 I 0 Kiểm tra lại ta thấy rằng (12)(23) = (132). G G Vậy: X ↑G H (12)X ↑H (23) = X ↑H (132). Ta có thể kiểm chứng lại điều này bằng phép nhân các ma trận tương ứng. Bổ đề 3.2. Giả sử G là một nhóm và H ≤ G. Cho (s1 , · · · , sl ) và (t1 , · · · , tl ) là các hệ đại biểu đối với các lớp kề trái của H trong G. Gọi Y là biểu diễn ma trận của H. Khi đó tr Y (s−1 i xsj ) l×l = tr Y (t−1 i xtj ) l×l , ∀x ∈ G. Chứng minh. Vì (s1 , · · · , sl ) và (t1 , · · · , tl ) là hệ đại biểu đối với lớp kề trái của H trong G nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ti H = si H , với i = 1, · · · , l. Suy ra: ti ai = si bi , với ai .bi ∈ H . Nên: si = ti ci trong đó ci = ai b−1 i ∈ H. −1 −1 Ta được: s−1 i xsi = ci (ti xti ci ). −1 Suy ra s−1 i xsi và ti xti là liên hợp. −1 Do đó, nếu t−1 i xti ∈ H thì si xsi ∈ H . −1 Vì thế: tr[Y (s−1 i xsj )]l×l = tr[Y (ti xtj )]l×l . Mặt khác, nếu t−1 / H thì s−1 / H. i xti ∈ i xsi ∈ −1 Khi đó: Y (s−1 i xsj ) = 0 = Y (ti xtj ). Và ta được l tr Y (t−1 i xtj ) l×l = l tr Y (t−1 i xtj ) l×l i=0 = tr[Y (s−1 i xsj )]l×l . Vậy: Bổ đề được chứng minh. tr Y (s−1 i xsi ) = i=0 l×l , 44 Từ bổ đề trên ta có hệ quả sau: Hệ quả 3.1. Giả sử G là một nhóm và H ≤ G. Cho (t1 , · · · , tl ) là hệ đại biểu đối với lớp kề trái của H trong G. Gọi ρ là một biểu diễn của H và có đặc trưng là χ. Khi đó χ ↑G H không phụ thuộc vào việc chọn hệ đại biểu. 3.2.2. Biểu thức xác định χ ↑G H Kết quả trình bày trong bổ đề tiếp theo cho một công thức giúp chúng ta có thể xác định χ ↑G H một cách dễ dàng. Bổ đề 3.3. Giả sử G là một nhóm hữu hạn, Y là một biểu diễn của H trong đó H ≤ G, và χ là đặc trưng của Y. Khi đó χ ↑G H= 1 |H| h(r) |G| z∈C χ(z) trong đó x ∈ Cr . r ∩H Chứng minh. Trong chứng minh này, ta ký hiệu ZG = {g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ G} là tâm của nhóm G và Zx là tâm hóa của x ∈ G. Đặt φ = χ ↑G H , và gọi {t1 , · · · , tl } là hệ đại biểu của H trong G. l Từ Định nghĩa 3.2 ta có: φ(x) = i=1 χ(t−1 i xti ). Với bất kỳ a ∈ H, {t1 a, · · · , tl a} cũng là một hệ đại biểu của H trong G nên theo Bổ đề 3.2: l χ(a−1 t−1 i xti a). φ(x) = i=1 Do đó lấy tổng trên tất cả a ∈ H ta được: l χ(a−1 t−1 i xti a) = |H|φ(x) = a∈H i=1 χ(b−1 xb) vì G = t1 H ∪ · · · ∪ tk H. b∈G Ta xét một liên hợp b−1 1 xb1 của x ∈ Cr với b1 không đổi, b1 ∈ G. −1 Gọi b−1 2 xb2 là một liên hợp của b1 xb1 . −1 −1 −1 Bây giờ b−1 ∈ Zx . 1 xb1 = b2 xb2 ⇔ x = x(b2 b ) ⇔ b2 b Suy ra mỗi liên hợp b−1 1 xb1 của x được xây dựng |Zx | lần trong tổng trên 45 b ∈ G. Vậy: χ(b−1 xb) = |Zx | χ(z) = |Zx | z∈Cr ∩H z∈Cr b∈G χ(z) vì từ Định nghĩa 3.2, χ(z) = 0 nếu z ∈ / H. Bây giờ −1 −1 b−1 1 xb1 = b2 xb2 ⇔ b2 b1 ∈ Zx ⇔ b2 b−1 1 Zx = Zx −1 ⇔ b−1 1 Zx = b 2 Zx . Nên số các lớp liên hợp của x bằng số các lớp của Zx trong G. Nhưng Zx G và x ∈ Cr , do đó h(r) = [G : Zx ] = |G|/|H| vì G hữu hạn. Suy ra |Zx | = |G|/hr . Từ đó ta được χ(b−1 xb) = |Zx | |H|φ(x) = b∈G χ(z) = z∈Cr ∩H |G| h(r) z∈C χ(z). r ∩H Suy ra điều phải chứng minh. 3.3. BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn để mô tả các đặc trưng bất khả quy của nhóm đối xứng Sn . Từ Hệ quả 2.2 ta đã biết đặc trưng của Sn là thực. Tiếp theo đây chúng ta sẽ xét các đặc trưng bất khả quy của nhóm đối xứng. 3.3.1. Nhóm con Young Định nghĩa 3.3. Cho θ = (θ1 , θ2 , ..., θr ) là một phân hoạch của n, ký hiệu là θ n trong đó l(θ) = r. Khi đó Sθ = S{1,··· ,θ1 } × S{θ1 +1,··· ,θ1 +θ2 } × · · · × S{θ1 +···+θr−1 +1,··· ,θ1 +···+θr } . được gọi là nhóm con Young của Sn . 46 Các nhóm con Young này được đặt tên để tưởng nhớ Đức Cha Alfred Young, một trong những người đầu tiên đã xây dựng các biểu diễn bất khả quy của Sn . Bây giờ ta bắt đầu bằng việc xây dựng đặc trưng thông qua các kết quả được thể hiện trong các bổ đề sau: Bổ đề 3.4. [3, Lemma 8.1] Giả sử α, θ n và x ∈ Cα . Khi đó: 1 ↑SSnθ (x) = [mθ ] pα . Để có được các đặc trưng bất khả quy, chúng ta sẽ sử dụng các kết quả dưới đây về vành Λ của các hàm đối xứng theo các biến x1 , x2 , .... Với α ∈ Nn , cho: α aα = det xi j n×n . Giả sử δ = (n − 1, n − 2, · · · , 1, 0). Khi đó (xj − xi ) aδ = 1≤ij≤n được gọi là định thức Vandermonde. Đồng nhất thức Jacobi -Trudi có dạng sλ (x1 , ..., xn ) = aδ+λ aδ , trong đó sΛ là hàm Schur cho bởi Λ phân hoạch của n. Dạng ., . Λ trên Λ được xác định bởi pα , pβ Λ = z(α)δα,β với |α| = |β|, được mở rộng tuyến tính, là một tích vô hướng trên Λ. Hơn nữa, sα , sβ Λ = δα,β nên sθ : θ n là một cơ sở trực giao của Λ(n) , vành của các hàm đối xứng cấp n. R(G) là tập hợp tất cả các hàm lớp trong CG . Lấy ξ ∈ R(G). Khi đó, từ Định lý 2.5, ξ = c1 χρ1 + ... + ck χρk trong đó ρ1 , ..., ρk là các biểu diễn bất khả quy của G, c1 , ..., ck ∈ C và k là số các lớp liên hợp của G. Ta gọi ξ là một đặc trưng tùy ý của G. 47 + Nếu c1 , ..., ck là số nguyên thì ξ được gọi là đặc trưng tổng quát của G. + Nếu c1 , ..., ck là các số nguyên không âm thì có một biểu diễn của G sao cho ξ là một đặc trưng. Bổ đề 3.5. Giả sử ξ là một đặc trưng tổng quát của G. Nếu ξ, ξ CG =1 và ξ (ι) > 0 thì ξ là một đặc trưng bất khả quy của G. Chứng minh. Ta có ξ là một đặc trưng tổng quát của G nên ξ = n1 χρ1 + ... + nk χρk trong đó n1 , ..., nk là các số nguyên. Vì ξ, ξ CG = 1, nên từ tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy ta có n21 + ... + n2k = 1. Do đó k = 1, dẫn đến n21 = 1 nên n1 = ±1. Khi đó ξ = ±χρ1 . Tuy nhiên ξ (ι) > 0, và χρ1 = degρ1 > 0 nên ξ = χρ1 . Suy ra điều phải chứng minh. Vì chỉ xét nhóm Sn , nên chúng ta sẽ bổ sung các ký hiệu đối với các đặc trưng bất khả quy. Một nhóm hữu hạn tùy ý G có k đặc trưng bất khả quy, trong đó k cũng là số các lớp liên hợp của G. Đối với Sn , k = p(n) là số phân hoạch của n, {θ : θ n} là một tập hợp các chỉ số đối với đặc trưng bất khả quy của Sn . Thật ra, đây là tập chỉ số tự nhiên đối với các đặc trưng bất khả quy, nói cách khác θ là một chỉ số tự nhiên đối với các lớp liên hợp của Sn và các biểu diễn bất khả quy có thể được xây dựng từ các lớp liên hợp. χθ : θ n là một tập hợp đầy đủ của các biểu diễn bất khả quy đối với Sn . Nếu x ∈ Sn , giá trị của χθ tại x ∈ Cα được ký hiệu là χθα . Từ Hệ quả 2.2, χθα ∈ Sn , với mọi α n. Định lý sau đây cho thấy tầm quan trọng của các quan hệ trực giao đối với các đặc trưng bất khả quy của Sn . 48 Định lý 3.4. Các hệ thức trực giao [3, Theorem 8.3] 1. n!1 α n hα χθα χφα = δθφ trong đó θ, φ n, 2. 1 n! θ θ α n χα χβ = hα δαβ trong đó α, β n. Kết quả tiếp theo cho ta biểu thức nổi tiếng của Frobenius đối với các chuỗi tổng quát của một biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng các số hạng của hàm Schur. Định lý 3.5. [3, Theorem 8.4] Giả sử λ n, sΛ là hàm Schur cho bởi Λ phân hoạch của n. Khi đó sλ = 1 n! hα χλα pα . α n 3.3.2. Bảng đặc trưng Bảng đặc trưng của một nhóm hữu hạn G là một bảng được hình thành như sau: Cột của nó tương ứng với các lớp liên hợp của G và các hàng tương ứng với các đặc trưng χi của các biểu diễn bất khả quy không tương đương của G. Lớp liên hợp thứ j Cj được chỉ định bằng cách hiển thị một biểu diễn cj ∈ Cj . Trong cột i, hàng j ta đặt χi (cj ) như sau: c1 c2 ··· cn χ1 χ1 (c1 ) χ1 (c2 ) ··· χ1 (cn ) χ2 .. . χ2 (c1 ) χ2 (c2 ) .. . ··· χ2 (cn ) χn χn (c1 ) χn (c2 ) ··· χn (cn ) Thông thường ta lấy c1 = ι và χ1 là đặc trưng tầm thường tương ứng với biểu diễn tầm thường 1-chiều. Khi χ1 (x) = 1, với x ∈ G, thì đầu bảng luôn có dạng: 49 χ1 c1 c2 ··· cn 1 1 1 1 Ngoài ra, cột đầu tiên là số chiều của các biểu diễn bất khả quy ρi , χi (ι). Để sử dụng các bảng đặc trưng, trước tiên ta cần phải xác định các đặc trưng bất khả quy. Số lượng của các hàng bằng số lượng của các lớp liên hợp của nhóm G và sự tồn tại của các đặc trưng tầm thường 1-chiều. Các đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy phức bất kỳ của G là các đặc trưng bất khả quy của G. Khi chúng ta có bảng đặc trưng của nhóm G ta có thể phân tích một biểu diễn tùy ý thành các thành phần bất khả quy của nó. Trong phần cuối của luận văn, chúng tôi tập trung mô tả biểu diễn bất khả quy của một số nhóm đối xứng và cụ thể là mô tả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng Sn với n = 3, 4 và 5. 3.3.3. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S3 Ta có nhóm S3 có hai biểu diễn bất khả quy 1−chiều là: biểu diễn tầm thường ρ1 = 1S3 và biểu diễn 1−chiều ρ2 = π (Định lý 3.3). Mặt khác: S3 có 3! = 6 phần tử, 6 = 12 + 12 + 22 nên theo Hệ quả 2.3, còn có một biểu diễn bất khả quy 2-chiều. Ta xây dựng biểu diễn đó như sau: trong mặt phẳng Euclide E ta xét một tam giác đều E1 E2 E3 có tâm tại gốc. Khi đó, tương ứng xác định bởi: ρ : S3 → GL(E) σ → ρ3 (σ) : E → E Ei → ρ3 (σ)Ei = Eσi , i = 1, 2, 3 là một biểu diễn thực bất khả quy. Suy ra, ρ3 (σ) hoặc là một phép biến đổi đồng nhất, hoặc là phép quay góc quay 2π 3 hay − 2π 3 , hoặc là phép đối xứng qua đường cao của tam giác. 50 Vì vậy, ρ3 là một biểu diễn thực 2-chiều của S3 và ρ3 là bất khả quy. Kiểm tra ta thấy rằng: ρo ρ3 . Chúng ta sẽ sử dụng phép quay trong mặt phẳng để mô tả ρ3 và tính đặc trưng của nó. Xét trong cơ sở trực chuẩn, ma trận của ρ3 có dạng: 1 0 ρ3 (ι) = 0 1 ⇒ χ3 (ι) = trρ3 (ι) = 2. 1 0 ρ3 ((12)) = 0 −1 ⇒ χ3 ((12)) = 0. √ − 23 ρ3 ((123)) = ⇒ χ3 ((123)) = −1. − 12 Khi đó bằng tính toán, dưới đây ta có bảng đặc trưng của biểu diễn S3 1 − √2 3 2 với dòng đầu là các lớp liên hợp phân biệt của S3 và dòng cuối là số các phần tử trong mỗi lớp tương ứng: ι (12) (123) χ1 1 1 1 χ2 1 -1 1 χ3 2 0 -1 1 3 2 3.3.4. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 Trước khi mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 , thông qua định lý sau đây giúp chúng ta xác định các biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 từ các biểu diễn bất khả quy của nhóm S3 . Định lý 3.6. Gọi x = (12)(34), y = (13)(24), z = (14)(23). Khi đó nhóm con A = {ι, x, y, z} là chuẩn tắc aben trong S4 và S4 /A Chứng minh. Kiểm tra ta thấy rằng A là một nhóm con của S4 . Khi đó, ta sẽ chứng minh σπσ −1 ∈ A, ∀σ ∈ S4 , ∀π ∈ A. S3 . 51 Có hai trường hợp xảy ra: TH1: Nếu π = ι thì hiển nhiên ta có σπσ −1 ∈ A. TH2: Nếu π = ι, gọi i, j là hai phần tử trong một vòng xích (chuyển trí) của π , nghĩa là π(i) = j và π(j) = i. Giả sử σ(i) = h và σ(j) = k . Khi đó, ta có: (σπσ −1 )(h) = (σπ)(i) = σ(j) = k, và (σπσ −1 )(k) = (σπ)(i) = σ(i) = h. Giả sử σ(i1 ) = h1 và σ(j1 ) = k1 , thì hoàn toàn tương tự như trên ta có: (σπσ −1 )(h1 ) = k1 , và (σπσ −1 )(k1 ) = h1 . Từ đó suy ra: σπσ −1 ) = (hk)(h1 k1 ) ∈ A. Vậy A là nhóm con chuẩn tắc của S4 . Ta có bảng nhân sau đây thể hiện tính giao hoán của A: ι x y z ι ι x y z x x ι z y y y z ι x z z y x ι Bây giờ, xét nhóm thương S4 /A thì S4 /A S3 do mỗi lớp của A trong S4 đều chứa đúng một phép thế giữ 1 cố định. Ta có mô tả biểu diễn bất khả quy của S4 như sau: Ta kiểm tra được nhóm S4 có 5 lớp liên hợp phân biệt với các phần tử đại diện là: ι, (12), (12)(34), (123) và (1234) trong đó số các phần tử lần lượt trong mỗi lớp là 1, 6, 3, 8 và 6. Suy ra theo Hệ quả 2.7, S4 có 5 biểu diễn bất khả quy, cụ thể là: 52 a) Hai biểu diễn bất khả quy 1−chiều là biểu diễn tầm thường 1S4 và biểu diễn 1-chiều π . b) S4 có một biểu diễn bất khả quy 2−chiều ρp bằng phép nâng biểu diễn bất khả quy 2−chiều của S3 (từ Định lý 3.6). c) S4 có một biểu diễn bất khả quy 3−chiều ρo (từ Định lý 3.2). Lại có: 12 + 12 + 22 + 32 = 15 và |S4 | = 4! = 24 nên theo Hệ quả 2.3 suy √ ra nhóm S4 còn có một biểu diễn bất khả quy với số chiều 24 − 15 = 3. Vì theo Nhận xét 1.3 ta có ρo là bất khả quy và π là biểu diễn 1−chiều nên ρo π là một biểu diễn bất khả quy và ρo π ρo nên biểu diễn bất khả quy 3−chiều còn lại là ρo π . Giả sử V là không gian biểu diễn của biểu diễn ρ xác định trong Mệnh đề 3.1 của S4 có cơ sở là {v1 , v2 , v3 , v4 }. Chọn {v4 − v1 , v4 − v2 , v4 − v3 } là một cơ sở của Vo = vi − vj , i = j , khi đó ta có: ρo = ρ|Vo : S4 → GL(Vo ) σ → ρo (σ) : Vo → Vo v4 − vi → vσ(4) − vσ(i) , i = 1, 2, 3. Tính toán trực 1 ρo (ι) = 0 0 tiếp ta được: 0 0 1 0 , 0 1 0 1 0 ρo ((12)(34)) = 1 0 0 , −1 −1 −1 −1 −1 −1 ρo ((1234)) = 1 0 0 . 0 1 0 0 1 0 ρo ((12)) = 1 0 0 , 0 0 1 0 0 1 ρo ((123)) = 1 0 0 , 0 1 0 Giả sử v là không gian biểu diễn của π . Theo Định nghĩa 1.11 về tích tenxơ của các biểu diễn ta có: ρo π : S4 → GL(Vo ⊗ v ) σ → ρo π(σ) : Vo ⊗ v (v4 − vi ) ⊗ v → Vo ⊗ v → (vσ(4) − vσ(i) ) ⊗ π(σ)v . 53 Tính toán tương tự như trên ta được: 0 −1 0 −1 0 0 , ρo π((12)(34)) = 0 0 −1 ρo π((12)) = 0 −1 0 −1 0 0 ... 1 1 −1 Hoặc ta có thể tính toán nhanh hơn dựa vào công thức χρo π = χρo .χπ , nên từ đặc trưng của các biểu diễn ρo và π ta đã có thể suy ra đặc trưng của ρo π . Từ đó ta có bảng đặc trưng của biểu diễn S4 như sau: ι (12) (12)(34) (123) (1234) χ1 1 1 1 1 1 χπ 1 -1 1 1 -1 χρ p 2 0 2 -1 0 χρo 3 1 -1 0 -1 χρ o π 3 - 1 -1 0 1 1 6 3 8 6 Bên cạnh việc tính toán trên các lớp liên hợp của nhóm S4 , ta có thể sử dụng các phép quay tụ trùng của một hình lập phương để mô tả các biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 . 3.3.5. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S5 Ta có nhóm S5 có 7 lớp liên hợp phân biệt với các phần tử đại diện là: ι, (12), (123), (1234), (12345), (12)(34) và (12)(345) với số các phần tử tương ứng trong mỗi lớp là 1, 10, 20, 30, 24, 15 và 20. a) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 1-chiều là biểu diễn tầm thường 1S5 và biểu diễn 1−chiều π . b) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 4-chiều là ρo và ρo π . Vì S5 có 7 lớp liên hợp phân biệt nên theo Hệ quả 2.7, S5 có đúng 7 biểu diễn bất khả quy. Xét Λ2 Vo là không gian vectơ các 2−dạng ngoài trên Vo . Khi đó Λ2 Vo là một không gian vectơ con bất biến qua ρ2o = ρo .ρo nên Λ2 ρo = ρ2o |Λ2 ρo là một biểu diễn con của ρo . 54 Ta có công thức: 2 χΛ ρo (x) = 1 2 χρo (x) 2 − χρo (x2 ) . Tính toán cụ thể trên từng lớp liên hợp phân biệt cho ta: 2ρ χΛ o ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 6 0 0 0 1 -2 0 Ta kiểm tra được χΛ 2 ρo 2 , χΛ ρo = 1 nên Λ2 ρo là một biểu diễn bất khả quy 6-chiều của S5 . Gọi n1 , n2 là số chiều của hai biểu diễn bất khả quy còn lại. Vì 5! = 120 = 12 + 12 + 42 + 42 + 62 + n21 + n22 . Suy ra: n21 + n22 = 50. Vì hai biểu diễn bất khả quy còn lại có chiều lớn hơn 1 nên trường hợp n1 = 1, n2 = 7 là không xảy ra. Do đó n1 = n2 = 5. Gọi ρ là một trong hai biểu diễn bất khả quy 5-chiều đó và χρ ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 5 α1 α2 α3 α4 α5 α6 Sử dụng hệ thức trực giao ta thu được hệ phương trình:  5 + 10α1 + 20α2 + 30α3 + 24α4 + 15α5 + 20α6 = 0    5   − 10α1 + 20α2 − 30α3 + 24α4 + 15α5 − 20α6 = 0 20 + 20α1 + 20α2 − 24α4 − 20α6 = 0 20 − 20α + 20α − 24α + 20α6 = 0 1 2 4    30 − 24α4 − 30α5 =0   25 + 10α12 + 20α22 + 30α32 + 24α42 + 15α52 + 20α62 = 0 Giải hệ phương trình ta được nghiệm: α1 = α5 = α6 = 1, α2 = α3 = −1, α4 = 0. Ngoài ra ta còn giải được: α1 = α2 = α6 = −1, α3 = α5 = 1, α4 = 0. Đây chính là các giá trị đặc trưng của biểu diễn ρπ trên các lớp liên hợp 55 được chỉ ra ở bảng sau. Suy ra ρπ ρ. Vậy ta có bảng đặc trưng của 7 biểu diễn bất khả quy trên 7 lớp liên hiệp phân biệt của nhóm S5 là: 1S5 π ρo ρo π Λ2 ρ o ρ ρπ ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 4 2 1 0 -1 0 -1 4 -2 1 0 -1 0 1 6 0 0 0 1 -2 0 5 1 -1 -1 0 1 1 5 -1 -1 1 0 1 -1 1 10 20 30 24 15 20 56 KẾT LUẬN Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau: • Tổng quan và hệ thống khá đầy đủ các khái niệm, kết quả về biểu diễn ma trận, đặc trưng của nhóm đối xứng thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. • Trình bày và mô tả chi tiết biểu diễn bất khả quy, bảng đặc trưng tương ứng của các nhóm đối xứng S3 , S4 , S5 . • Thể hiện tường minh một số các định lý, bổ đề và hệ quả quan trọng có liên quan đến luận văn. Với những gì khảo sát được luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hy vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về nhóm đối xứng. Trong điều kiện thời gian và khuôn khổ của luận văn nên tôi chưa đi sâu nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của các nhóm đối xứng Sn , với n > 5. Đó như là hướng phát triển của luận văn. Tôi rất mong nhận được những sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc để có thể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu và phát triển luận văn sau này. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số Đại cương, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội. Tiếng Anh [2] Andrew Baker (2011), Representations of Finite Group, Lecture Notes, University of Glasgow, USA. [3] D.M. Jackson (2004), Notes on the Representations of Finite Groups, and invariant theory Lecture Notes. [4] Ernest B. Vinberg (1989), Linear Representations of Groups, Birkhauser Verlarg - Basel. Boston, Berlin. QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN [...]... G, và bậc của biểu diễn là m 1.1.2 Biểu diễn ma trận Một biểu diễn ma trận có thể xem là cách để mô hình hóa một nhóm trừu tượng bằng một nhóm các ma trận cụ thể Trong mục này, chúng tôi đưa ra định nghĩa về biểu diễn ma trận và sau đó xét ví dụ cụ thể Ký hiệu: ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của nhóm G cấp n và Xρ là ánh xạ được xác định bởi: Xρ : G → GLn (C) x → [ρ(x)]A , trong đó A là một cơ sở của. .. là biểu diễn tích của ρ và π 16 CHƯƠNG 2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN Trong chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày về các khái niệm cơ bản và một số kết quả quan trọng về đặc trưng của biểu diễn, tính trực giao của đặc trưng và kiểm tra tính bất khả quy của biểu diễn Các kiến thức của chương này có thể tham khảo trong tài liệu [3] 2.1 ĐẶC TRƯNG Ta chỉ xét các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều, và giả... là cơ sở bất kỳ của V Hàm số χρ : G → C xác định bởi công thức: χρ (x) = tr([ρ(x)])A được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ Nói cách khác, đặc trưng χρ của biểu diễn ρ là tổng các phần tử ma trận trên đường chéo chính của ρ χρ được gọi là bất khả quy nếu ρ bất khả quy Bậc của χρ là bậc của ρ (= dimV ) Khi ρ đã được xác định rõ ta có thể viết tắt χρ là χ Ví dụ 2.2 + Đặc trưng của biểu diễn tuyến tính... là một không gian vectơ trên K Một biểu diễn (tuyến tính) của nhóm G là một đồng cấu nhóm ρG : G → GL(V) Số chiều của V trên K được gọi là cấp của ρG và ký hiệu là deg(ρG ) V được gọi là không gian biểu diễn của G (hay đơn giản là G-không gian) Đặc biệt, nếu K = Q, R hoặc C, ta nói ρG là biểu diễn hữu tỉ, biểu diễn thực hoặc biểu diễn phức Sau đây là một số các biểu diễn quan trọng được sử dụng nhiều... 1.1, V = U ⊕ W với ρ-không gian con bất biến W của V Do đó ρ = ρ |U ⊕ρ |W Mặt khác: dimU < n và dimV < n Vậy: Theo nguyên lý quy nạp Toán học định lí được chứng minh Dưới đây là dạng ma trận của định lí Maschke: Định lý 1.2 Cho X : G → GLn (C) là một biểu diễn ma trận của G Khi đó tồn tại các biểu diễn ma trận bất khả quy X1 , · · · , Xr của G và ma trận khả nghịch M sao  cho:  X1 (x)] · · · 0... Tổng và giao của các không gian con bất biến là không gian con bất biến + {0} và V là không gian con bất biến tầm thường của V 11 Định nghĩa 1.7 Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của G và U ⊂ V là không gian con bất biến qua ρ Khi đó ρU : G → GL(U) x → ρU (x) := ρ(x)|U là các đồng cấu nhóm và được gọi là biểu diễn con của biểu diễn tuyến tính ρ 1.2.2 Biểu diễn bất khả quy Định nghĩa 1.8 Biểu. .. sử G là một nhóm hữu hạn và ρ là một biểu diễn của G Khi đó ρ là biểu diễn bất khả quy khi và chỉ khi χρ , χρ = 1 Ví dụ 2.7 Cho: S3 = {ι, (12), (13), (23), (123), (132)} Biểu diễn ma trận X cấp 2 của S3 có dạng: X(ι) = 1 0 , 0 1 1 2 − 43 X(13) = , −1 − 12 X(123) = − 12 − 43 , −1 − 12 X(12) = X(23) = X(132) = −1 0 , 0 1 1 2 3 4 1 − 12 , − 21 − 34 1 − 12 29 Kí hiệu χ là đặc trưng của biểu diễn này Khi... G Vậy: χρ = χρ1 + + χρr Định nghĩa 2.4 Giả sử X : G → GLn (C) là một biểu diễn ma trận của G Đặc trưng của X là hàm χ : G → C sao cho: χ(x) = tr(X(x)) Các kết quả dưới đây cho ta một số tính chất cơ bản của đặc trưng: Bổ đề 2.3 Cho ρ và ρ là các biểu diễn của G Nếu ρ ∼ ρ thì χρ = χρ Chứng minh Từ Định nghĩa 1.3, tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho: ρ (x) = Pρ(x)P−1 , với mọi x ∈ G Khi đó từ... khái niệm của phép biểu diễn nhóm và một số kết quả cần cho các chương sau Các khái niệm và kết quả của chương này được tham khảo trong tài liệu [3] 1.1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN 1.1.1 Biểu diễn Cho V là một không gian vectơ trên trường K, End(V) là tập các tự đồng cấu tuyến tính của V và GL(V) = T ∈ End(V) : T khả nghịch Khi đó GL(V) cùng với phép nhân ánh xạ tạo thành một nhóm được gọi là nhóm tuyến... hoàn toàn khả quy + Cho ρ là một biểu diễn bất khả quy và ρ là một biểu diễn 1-chiều của cùng nhóm G Khi đó biểu diễn ρρ là bất khả quy Định lý 1.1 [Maschke] Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của một nhóm hữu hạn G trên một không gian vectơ phức V Khi đó ρ là hoàn toàn khả quy Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo dimV - Nếu dimV = 1, thì ρ là bất khả quy và do đó hoàn toàn khả quy - Giả