Biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng

... DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36 3.1.1 Nhóm đối xứng 36 3.1.2 Biểu diễn nhóm đối xứng 36 3.2 BIỂU DIỄN CẢM... lý thuyết nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm đối xứng Khảo sát biểu diễn ma trận, đặc trưng nhóm đối xứng đồng thời mô tả biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng... ρ biểu diễn hoán vị G, bậc biểu diễn m 1.1.2 Biểu diễn ma trận Một biểu diễn ma trận xem cách để mô hình hóa nhóm trừu tượng nhóm ma trận cụ thể Trong mục này, đưa định nghĩa biểu diễn ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng – Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Lệ Hiền

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN 4

1.1.1 Biểu diễn 4

1.1.2 Biểu diễn ma trận 8

1.1.3 Biểu diễn tương đương 9

1.2 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY 10

1.2.1 Không gian con bất biến 10

1.2.2 Biểu diễn bất khả quy 11

1.3 TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH CỦA CÁC BIỂU DIỄN 12

CHƯƠNG 2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂN DIỄN 14

2.1 ĐẶC TRƯNG 16

2.1.1 Vết và tính chất của vết 16

2.1.2 Đặc trưng của biểu diễn 18

2.2 TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG 23

2.2.1 Bổ đề Schur 23

2.2.2 Tính trực giao của đặc trưng 25

2.3 HÀM LỚP 31

2.3.1 Tích vô hướng 31

2.3.2 Cơ sở đặc trưng 33

CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36

3.1 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 36

3.1.1 Nhóm đối xứng 36

3.1.2 Biểu diễn của nhóm đối xứng 36

3.2 BIỂU DIỄN CẢM SINH 40

3.2.1 Các đặc trưng thu hẹp và mở rộng 40

3.2.2 Biểu thức xác định χ ↑GH 44

3.3 BIỂU DIỄN VÀ ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG 45

3.3.1 Nhóm con Young 45

3.3.2 Bảng đặc trưng 48

3.3.3 Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S3 49

3.3.4 Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4 50

3.3.5 Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S5 53

KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

Các ký hiệu sau đây sẽ được sử dụng xuyên suốt trong luận văn.

≤ "Không gian con của", "Nhóm con của"

hx1, x1, · · · i Nhóm sinh ra bởi x1, x2, · · ·

[G : H] Bậc của H trong G, trong đó H < G

ρ ↑GH Biểu diễn cảm sinh của G từ H < G, trong đó ρ

là một biểu diễn của H

σ ↑GH Thu hẹp của biểu diễn σ của G đến H < G là một

biểu diễn của H

crp,q Hệ số liên thông cho các lớp đại số của CG

deg(ρ) Bậc của biểu diễn ρ

H < G H là nhóm con của G

GLn(C) Tập hợp tất cả ma trận khả nghịch n × n trên C

tr Hàm vết

tuyến tính T : V → W

sgn(π) Biểu diễn dấu của π ∈ Sn

Xρ , Yρ Biểu diễn ma trận của biểu diễn ρ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng củanhóm Abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau

đó mở rộng sang cho nhóm Abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickel-berger

Lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷXIX trong các công trình của Frobenius, Schur và Burnside

Nói một cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu các cách

mà một nhóm tác động trên không gian vectơ bằng các tự đẳng cấu tuyếntính Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trongđại số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số,

tổ hợp và cả vật lý

Có thể nói một trong các bài toán quan trọng và mang tính thời sựtrong lý thuyết biểu diễn nhóm là mô tả và phân lớp các nhóm, đặc biệt

là các nhóm hữu hạn Đóng vai trò quan trọng cho việc khảo sát cấu trúc

và phân lớp các nhóm hữu hạn là lý thuyết cấu trúc, cho phép mô tả cácnhóm hữu hạn thông qua các bảng đặc trưng tương ứng

Xuất phát từ những vấn đề trên, với mong muốn tìm hiểu thêm vềbiểu diễn nhóm hữu hạn và được sự gợi ý của PGS.TS Trần Đạo Dõng,tôi đã chọn đề tài: "Biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đốixứng"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các tính chất cơ bản của biểudiễn ma trận và lý thuyết đặc trưng của nhóm hữu hạn Từ đó ứng dụng

để khảo sát biểu diễn của nhóm đối xứng gồm các hoán vị bậc n

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết nhóm hữu hạn, đặc biệt đối với nhóm đối xứng.Khảo sát biểu diễn ma trận, đặc trưng của nhóm đối xứng đồng thời

mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng của đề tài là khảo sát biểu diễn ma trận và đặc trưng củanhóm hữu hạn, ứng dụng để xác định biểu diễn ma trận và đặc trưngtương ứng của nhóm đối xứng

5 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài.Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trongluận văn

Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar vớigiáo viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng quan các kết quả liên quan đến biểu diễn ma trận và đặc trưngcủa nhóm hữu hạn

Góp phần làm rõ cấu trúc của nhóm đối xứng thể hiện qua biểu diễn

ma trận và bảng đặc trưng tương ứng

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung nghiên cứu của đề tài chialàm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, kết quả vềbiểu diễn của nhóm hữu hạn, biểu diễn bất khả quy, tổng trực tiếp củacác biểu diễn có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu các chương sau

Chương 2: Đặc trưng của biểu diễn

Chương này chúng tôi tiếp tục trình bày về các khái niệm cơ bản vàmột số kết quả quan trọng về đặc trưng của biểu diễn, tính trực giao củađặc trưng và kiểm tra tính bất khả quy của biểu diễn, một số kết quảquan trọng trên hàm lớp

Chương 3: Biểu diễn và đặc trưng của nhóm đối xứng.Đây là chương chính của luận văn Trong chương này chúng tôi tậptrung xác định và mô tả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng,đặc trưng bất khả quy của nhóm đối xứng.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm, một số ví dụ

để minh họa cho các khái niệm của phép biểu diễn nhóm và một số kếtquả cần cho các chương sau

Các khái niệm và kết quả của chương này được tham khảo trong tàiliệu [3]

1.1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Số chiều của V trên K được gọi là cấp của ρG và ký hiệu là deg(ρG)

V được gọi là không gian biểu diễn của G (hay đơn giản là G-không gian).Đặc biệt, nếu K = Q,R hoặc C, ta nói ρG là biểu diễn hữu tỉ, biểudiễn thực hoặc biểu diễn phức

Sau đây là một số các biểu diễn quan trọng được sử dụng nhiều trongluận văn Trong mỗi trường hợp chúng tôi định nghĩa ρG(x), x ∈ G bằngcách xác định tác động của nó lên một cơ sở của V

Ví dụ 1.1 Biểu diễn tầm thường

Xét đồng cấu nhóm ρG : G → GL(V)

x 7→ lV

Khi dim(V) = 1, ta gọi ρG là biểu diễn tầm thường và ký hiệu là 1G.Tiếp theo là một ví dụ về biểu diễn không tầm thường bậc một.Giả sử A = {1, , n} Khi đó ánh xạ

σ : A → A

i 7→ σ(i)

được gọi là một phép thế (hoán vị) của tập n phần tử {1, , n}

Tập Sn gồm tất cả các phép thế của n phần tử {1, , n} cùng với phépnhân các ánh xạ lập thành một nhóm, được gọi là nhóm đối xứng bậc n.Với x ∈ Sn, hàm xác định bởi:

sgn(x) =



1 nếu x là hoán vị chẵn

−1 nếu x là hoán vị lẻ

gọi là hàm dấu của một hoán vị

Một trong các tính chất của hàm dấu là sgn(x) = det(Px), với

là một biểu diễn của Sn và được gọi là biểu diễn thay phiên, trong đó C∗

là nhóm nhân các số phức khác 0, được đồng nhất với nhóm các tự đẳngcấu GL1(C)

Chứng minh

Cho A = {v1, , vn} là một cơ sở của V

Với x ∈ G, lấy Tx ∈ GL(V) sao cho Txvi = vx(i), i = 1, · · · , n

Khi đó: [Tx]A = Px, với mọi x ∈ G

Lấy y ∈ G, ta có:

Txyvi = v(xy)(i) = Txvy(i) = (TxTy)vi,với i = 1, , n

nên tác động của Txy và TxTy lên một cơ sở là như nhau.

Ta được: Txy = TxTy

Suy ra:sgn(xy) = det(Txy) = det(TxTy) = det(Tx)det(Ty) = sgn(x)sgn(y)

Do đó: altSn(xy) = altSn(x)altSn(y)

= (natG(x)natG(y))vi, với i = 1, · · · , n

Suy ra: natG(xy) = natG(x)natG(y)

Lại có: natG(ι)vi = Tιvi = vi = lVvi.

Nên: natG(ι) = lV

Vậy: natG là một biểu diễn

Ví dụ tiếp theo liên quan đến tác động của G lên tập hợp{vx : x ∈ G}

gồm các vectơ độc lập tuyến tính có tập sinh là V

Ví dụ 1.4 Biểu diễn chính quy

Xét ánh xạ:

regG : G → GL(V)

x 7→ Tx,trong đó Tz(vx) = vzx, V = spanC({vx : x ∈ G})

regG được gọi là biểu diễn chính quy (trái), và deg(regG) = |G|

Chứng minh

Lấy y, z ∈ G, ta có:

(TyTz)vx = Tyvzx = vyzx = v(yz)x = Tyzvx,với mọi x ∈ G,

nên

(regG(y)regG(z)) vx = regG(yz)vx,với mọi x ∈ G

Do đó: (regG(y)regG(z)) = regG(yz), với mọi x ∈ G

Khi đó: regG(ι) = regG(xx−1) = regG(x)regG(x−1) = TxTx−1 = lV

Vậy: regG là một biểu diễn

Cuối cùng là một ví dụ tổng quát, liên quan đến tác động của G lênmột tập S = {S1, , Sn} và chứng minh tương tự các ví dụ trên

Ví dụ 1.5 Biểu diễn của nhóm hoán vị

Cho tậpS = {s1, · · · , sm}và G tác động lên S,V = span {vs1, · · · , vsm}.Xét tương ứng:

ρ : G → GL(V)

x 7→ Tx,trong đó:

Tz : V → V

vsi 7→ vz(si)

được mở rộng tuyến tính tới V

Ta nói ρ là một biểu diễn hoán vị của G, và bậc của biểu diễn là m

1.1.2 Biểu diễn ma trận

Một biểu diễn ma trận có thể xem là cách để mô hình hóa một nhómtrừu tượng bằng một nhóm các ma trận cụ thể Trong mục này, chúng tôiđưa ra định nghĩa về biểu diễn ma trận và sau đó xét ví dụ cụ thể

Ký hiệu: ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của nhóm G cấp n và Xρ

là ánh xạ được xác định bởi:

Xρ : G → GLn(C)

x 7→ [ρ(x)]A,trong đó A là một cơ sở của V, GLn(C) là tập hợp tất cả các ma trận

n × n khả nghịch trên C, được xét như là một nhóm với phép nhân matrận thông thường Từ định nghĩa ta có: Xρ là một biểu diễn

Thật vậy, lấy x, y ∈ G Rõ ràng: Xρ(x) khả nghịch vì ρ(x) và [·]A đều khảnghịch

Khi đó:Xρ(xy) = [ρ(xy)]A = [ρ(x)ρ(y)]A = [ρ(x)]A[ρ(y)]A = Xρ(x)Xρ(y)

Để hiểu rõ hơn định nghĩa, ta tìm hiểu các ví dụ sau:

3 4

3 4

3 4

1 −12

#

= X(23)

1.1.3 Biểu diễn tương đương

Giả sử V và V0 là các không gian vectơ và P : V → V0 là một đẳngcấu tuyến tính

Cho ρ là một biểu diễn của G xác định bởi:

Lại có: σ(ι) = P ρ(ι)P−1 = P P−1 = lV0.

Vậy: σ là một biểu diễn của G

Ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3 Hai biểu diễn ρ : G → GL(V) và ρ0 : G → GL(V0) của

G được gọi là tương đương nếu tồn tại một đẳng cấu P : V → V0 sao cho

ρ0(x) = P ρ(x)P−1 với mọi x ∈ G Ký hiệu: ρ ∼ ρ0

Chú ý rằng trong trường hợp này dimV = dimV0

Định nghĩa 1.4

Hai biểu diễn ma trận X : G → GLn(C) và X0 : G → GLm(C) của Gđược gọi là tương đương nếu tồn tại một ma trận khả nghịch M sao cho

X0(x) = MX(x)M−1 với mọi x ∈ G

Chú ý rằng trong trường hợp này m = n

1.2 BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY

Có thể nói, các biểu diễn bất khả quy là nền tảng cơ bản cho lýthuyết nhóm Trước hết chúng tôi trình bày một số khái niệm về khônggian con bất biến

1.2.1 Không gian con bất biến

Định nghĩa 1.5 Cho T : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của

G trong V Khi đó, không gian con U 6 V được gọi là bất biến qua biểudiễn T (hay G-bất biến nếu biểu diễn T đã được chỉ rõ) nếu:

Tx(u) ∈ U , ∀u ∈ U , ∀x ∈ G

Định nghĩa 1.6 Một không gian con bất biến được gọi là cực tiểu (khônggian con bất biến cực tiểu) nếu nó chứa trong tất cả các không gian conbất biến khác không

Nhận xét 1.1 Từ các định nghĩa trên, ta có nhận xét sau:

+ Tổng và giao của các không gian con bất biến là không gian con bấtbiến

+ {0} và V là không gian con bất biến tầm thường của V

Định nghĩa 1.7 Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của

G và U ⊂ V là không gian con bất biến qua ρ Khi đó

ρU : G → GL(U )

x 7→ ρU(x) := ρ(x)|U

là các đồng cấu nhóm và được gọi là biểu diễn con của biểu diễn tuyếntính ρ

1.2.2 Biểu diễn bất khả quy

Định nghĩa 1.8 Biểu diễn tuyến tính ρ : G → GL(V) được gọi là bấtkhả quy nếu V không có không gian con ρ-bất biến không tầm thường nào,nghĩa là ρ không nhận bất cứ biểu diễn con không tầm thường nào

Sau đây là ví dụ về biểu diễn bất khả quy:

Ví dụ 1.7 Nếu deg(ρ) = 1 thì ρ : G → GL(V) là bất khả quy vì chỉ códuy nhất hai không gian con là {0} và V Do đó, biểu diễn tầm thường 1G

Lấy v∈ U, suy ra: v = λu, với λ ∈ C.

Do đó: regG|U là một biểu diễn con của regG.

Mặt khác, với mọi v ∈ U ta có:

(regG|U(x))(v) = regG(x)|U(λu) = λregG|U(u) = λu = v = 1G(x)v

Nên: regG|U là một biểu diễn tầm thường

Suy ra: Biểu diễn tầm thường là một biểu diễn con của regG

Vậy: regG là khả quy

Tuy nhiên, trong Hệ quả 2.5 chúng ta sẽ chứng minh regG chứa tất

cả các biểu diễn bất khả quy của G

1.3 TỔNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH CỦA CÁC BIỂU DIỄN

Ký hiệu: V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr và Ai là một cơ sở của Vi, i = 1, · · · , r,

ta có: A = A1 ∪ · · · ∪ Ar là một cơ sở của V

Xét Ti : Vi → V là các toán tử tuyến tính, i = 1, · · · , r

Ánh xạ: T1 ⊕ · · · ⊕ Tr : V → V được xác định bởi:

(T1 ⊕ · · · ⊕ Tr)v = T1v1 + · · · + Trvr,trong đó: v = v1 + · · · + vr và vi ∈ Vi, i = 1, · · · , r

Khi đó: T1 ⊕ · · · ⊕ Tr là một toán tử tuyến tính trên V, và:

Cho các biểu diễn tuyến tính: ρi : G → GL(Vi), với i = 1, · · · , r

Với các ký hiệu trên ta có định nghĩa tổng hữu hạn của các biểu diễnnhư sau:

Định nghĩa 1.9 Giả sử ρ1, ρ2· · · , ρr là các biểu diễn của G, khi đó

Nhận xét 1.3.

+ Biểu diễn ρ trong Bổ đề 1.1 được gọi là hoàn toàn khả quy

+ Mọi biểu diễn bất khả quy là hoàn toàn khả quy

+ Cho ρ là một biểu diễn bất khả quy và ρ0 là một biểu diễn 1-chiều củacùng nhóm G Khi đó biểu diễn ρρ0 là bất khả quy

Định lý 1.1 [Maschke] Cho ρ : G → GL(V) là một biểu diễn của mộtnhóm hữu hạn G trên một không gian vectơ phức V Khi đó ρ là hoàn toànkhả quy

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo dimV

- Nếu dimV = 1, thì ρ là bất khả quy và do đó hoàn toàn khả quy

- Giả sử rằng kết quả trên đúng cho tất cả các không gian có chiều nhỏhơn n, trong đó deg(ρ) = n

+ Nếu ρ bất khả quy thì ρ hoàn toàn khả quy, chứng minh hoànthành

+ Nếu ρ khả quy thì V có một ρ-không gian con bất biến U, nêntheo Bổ đề 1.1, V = U ⊕ W với ρ-không gian con bất biến W của V.

Do đó ρ = ρ |U ⊕ρ |W

Mặt khác: dimU < n và dimV < n

Vậy: Theo nguyên lý quy nạp Toán học định lí được chứng minh

Dưới đây là dạng ma trận của định lí Maschke:

Định lý 1.2 Cho X : G → GLn(C) là một biểu diễn ma trận của G.Khi đó tồn tại các biểu diễn ma trận bất khả quy X1, · · · , Xr của G và

Định nghĩa 1.11 Ký hiệu L(V) và L(U ) lần lượt là các không gian cáctoán tử tuyến tính trên V và U Với mỗi cặp toán tử tuyến tính α ∈ L(V)

và β ∈ L(U ), α ⊗ β ∈ L(V ⊗ U ) xác định bởi:

(α ⊗ β) (v ⊗ u) = α(v) ⊗ α(u), ∀v ⊗ u ∈ V ⊗ U

được gọi là tích tenxơ của α và β

Định nghĩa 1.12 Cho ρ : G → GL(V) và π : G → GL(U ) là hai biểudiễn tuyến tính của nhóm G Khi đó, ánh xạ ρπ của G trong không gianvectơ V ⊗ U xác định bởi:

ρπ : G → GL(V ⊗ U )

x 7→ ρπ(x) := ρ(x) ⊗ π(x)

là một biểu diễn của G trong không gian vectơ V ⊗ U và được gọi là biểudiễn tích của ρ và π

CHƯƠNG 2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN

Trong chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày về các khái niệm cơbản và một số kết quả quan trọng về đặc trưng của biểu diễn, tính trựcgiao của đặc trưng và kiểm tra tính bất khả quy của biểu diễn

Các kiến thức của chương này có thể tham khảo trong tài liệu [3]

Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông

Ví dụ 2.1 Cho T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận:

tr(AB) = tr(BA)

Vậy: tr(AB) = tr(BA).

Từ bổ đề trên suy ra: Nếu A và B là những ma trận đồng dạng thì

tr(A) = tr(B), và điều này sẽ cần thiết cho định nghĩa tiếp theo

Định nghĩa 2.2 Giả sử T : V → V là một toán tử tuyến tính Khi đóvết của T là tr(T ) = tr([T ]A), trong đó A là một cơ sở của V

Các tính chất của vết được thể hiện trong các kết quả sau:

Ta ký hiệu: Nn = {1, · · · , n} Nếu α, β ⊆ Nn và A là một ma trận n × n,thì A [α|β] là ký hiệu ma trận con của A với các phần tử hàng của A

trong đó tổng lấy trên mọi α, β sao cho |α| = |β| = r

Bổ đề tiếp theo cho ta thấy sự liên hệ giữa vết với các giá trị riêng:

Bổ đề 2.2 Cho A là một ma trận cấp n × n trên C với các giá trị riêng

Vậy: Bổ đề được chứng minh.

2.1.2 Đặc trưng của biểu diễn

Định nghĩa 2.3 Giả sử ρ : G → GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của

G, A là cơ sở bất kỳ của V Hàm số χρ : G → C xác định bởi công thức:

χρ(x) = tr([ρ(x)])A

được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ

Nói cách khác, đặc trưng χρ của biểu diễn ρ là tổng các phần tử matrận trên đường chéo chính của ρ χρ được gọi là bất khả quy nếu ρ bấtkhả quy

Bậc của χρ là bậc của ρ (= dimV)

Khi ρ đã được xác định rõ ta có thể viết tắt χρ là χ

Ví dụ 2.2

+ Đặc trưng của biểu diễn tuyến tính 1-chiều chính là biểu diễn đó.+ Đặc trưng của biểu diễn tầm thường là một hằng số và bằng số chiềucủa biểu diễn

Ví dụ 2.3 Cho ρ = altSn, khi đó:

χρ(x) = sgn(x)

χρ(x) được gọi là đặc trưng thay phiên, thường xuất hiện trong hàm địnhthức

Chứng minh.

Ta có: χρ(x) = tr(sgn(x)) = sgn(x)

Do đó: χρ(x) = sgn(x)

Ví dụ 2.4 Với x ∈ Sn, đặt fix(x) = {i|x(i) = i, 1 ≤ i ≤ n}

Giả sử ρ = natSn, khi đó:

Do đó: χρ(x) = |{i : x(i) = i, 1 ≤ i ≤ n}| = |fix(x)|

Ví dụ tiếp theo nói về đặc trưng của biểu diễn chính quy

Ví dụ 2.6 Giả sử ρi : G → GL(Vi), i = 1, , r là các biểu diễn của G

và ρ = ρ1 ⊕ ⊕ ρr Khi đó:

χρ = χρ1 + + χρr

Chứng minh

Đặt: V = V1 ⊕ ⊕ Vr

Suy ra: ρ là một biểu diễn của G, V là không gian biểu diễn của ρ

Giả sử Ai là một cơ sở của Vi với i = 1, , r ta có:

Các kết quả dưới đây cho ta một số tính chất cơ bản của đặc trưng:

Bổ đề 2.3 Cho ρ0 và ρ là các biểu diễn của G Nếu ρ0 ∼ ρ thì χρ0 = χρ.Chứng minh

Từ Định nghĩa 1.3, tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho:

ρ0(x) = Pρ(x)P−1,với mọi x ∈ G

Khi đó từ Bổ đề 2.1, ta có:

χρ0(x) = tr(ρ0(x)) = tr(Pρ(x)P−1) = tr(ρ(x)) = χρ(x)

Vậy: Nếu ρ0 ∼ ρ thì χρ0 = χρ

Khẳng định ngược lại của bổ đề này cũng đúng, chúng ta sẽ chứngminh nó trong Định lí 2.4 ở phần sau Bổ đề này cho ta thấy được tầmquan trọng của các đặc trưng.

Tính chất được trình bày dưới đây nói về đặc trưng của liên hợp vàkhả nghịch

Định lý 2.2 Giả sử G là một nhóm hữu hạn và ρ là một biểu diễn của

Giả sử A là một cơ sở của V

Khi đó: χρ(ι) = tr(ρ(ι)) = tr([ρ(ι)]A) = tr(In) = n = dimV = deg(ρ)

Vậy: χρ(ι) = deg(ρ)

2 Ta có:

χρ(y−1xy) = tr(ρ(y−1xy)) = tr(ρ(y−1)ρ(x)ρ(y)) = tr(ρ(x)) = χρ(x)

Vậy: χρ y−1xy
= χρ(x), với mọi x ∈ G

3 Trong quá trình chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng kết quả sau:

Bổ đề Cho G là nhóm hữu hạn, và x ∈ G Khi đó: x|G| = ι

số trên các lớp liên hợp của G, và được gọi là hàm lớp của G.

Hai hệ quả được phát biểu sau đây có liên quan đến các đặc trưngthực:

Hệ quả 2.1 Cho G là một nhóm hữu hạn và χ là một đặc trưng của ρG.Nếu x và x−1 liên hợp trong G thì χ(x) ∈ R.

Chứng minh

Vì x và x−1 liên hợp trên G nên tồn tại y ∈ G sao cho x−1 = yxy−1.Suy ra, từ Định lí 2.2, χ(x) = χ(x−1) = χ(yxy−1) = χ(x)

Vậy: Bổ đề được chứng minh

Hệ quả 2.2 Giả sử χ là một đặc trưng của Sn Khi đó χ(x) ∈ R với mọi

x ∈ R

Chứng minh

Vì xvà x−1 liên hợp trênSn, nên chứng minh tương tự Hệ quả 2.1 ta cũngđược điều phải chứng minh

Hệ quả trên rất quan trọng cho việc nghiên cứu chi tiết hơn về đặctrưng của nhóm đối xứng trong chương 3 của luận văn.

2.2 TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG

2.2.1 Bổ đề Schur

Các bổ đề cơ bản dưới đây được sử dụng nhiều trong các phần sau

Bổ đề 2.4 [Schur] Cho ρ : G → GL(V) và ρ0 : G → GL(V0) là các biểudiễn bất khả quy của G Nếu T : V → V0 là một biến đổi tuyến tính saocho T ρ(x) = ρ0(x)T với mọi x ∈ G, thì:

Do đó: ker(T ) = {0} hay ker(T ) = V

Có 2 trường hợp xảy ra:

Trường hợp (1a): Nếu ker(T ) = V thì T = 0V và bổ đề được chứngminh

Trường hợp (1b): Nếu ker(T ) = {0} thì T 6= 0V

Ta cần chứng minh rằng T V là một ρ0-không gian con bất biến của V0.Lấy v0 ∈ T V0 thì v0 = T v, với mọi v ∈ V

Với x ∈ G, ta có: ρ0(x)v0 = ρ0(x)T v = T ρ(x)v nên ρ0(x)v0 ∈ T V

Suy ra: T V là một ρ0-không gian con bất biến của V0

Lại có: ρ0 bất khả quy nên T V = {0} hay T V = V0

Nhưng: T V 6= {0} vì T 6= 0V

Do đó: T V = V0, ta được T là một toàn ánh

Mặt khác: ker(T ) = {0}, suy ra: T là một đơn cấu.

Từ (1) suy ra: T − αl = 0V hay T − αl là một đẳng cấu

Lại có: spec(T ) 6= ∅, nên ta chọn α ∈ spec(T )

Suy ra: tồn tại v 6= 0, v ∈ V sao cho T v = αv, do đó (T − αl)v = 0

Vì v 6= 0, ker(T ) 6= {0} nên T − αl không phải là một đẳng cấu

(b) Nếu X = X0 thì M = αIn, với mọi α ∈C.

Kết quả sau đây là một kỹ thuật thường được sử dụng trong cácphần tiếp theo

Hệ quả 2.3 Giả sử X : G → GLn(C) và X0 : G → GLm(C) là các biểudiễn bất khả quy của G, M là một ma trận bậc n × m trên C, và N là ma

2.2.2 Tính trực giao của đặc trưng

Trước hết, chúng ta xây dựng một không gian vectơ trong đó chứacác đặc trưng

Giả sử G là một nhóm hữu hạn Tập hợp CG = {f : G → C} cùng