7. Cấu trúc của luận văn
3.3.5. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S5
Ta có nhóm S5 có 7 lớp liên hợp phân biệt với các phần tử đại diện là: ι,(12),(123),(1234),(12345),(12)(34) và (12)(345) với số các phần tử tương ứng trong mỗi lớp là 1,10,20,30,24,15 và 20.
a) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 1-chiều là biểu diễn tầm thường
1S5 và biểu diễn 1−chiều π.
b) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 4-chiều là ρo và ρoπ.
Vì S5 có 7 lớp liên hợp phân biệt nên theo Hệ quả 2.7, S5 có đúng 7 biểu diễn bất khả quy.
Xét Λ2Vo là không gian vectơ các 2−dạng ngoài trên Vo. Khi đó Λ2Vo là một không gian vectơ con bất biến qua ρ2o = ρo.ρo nên Λ2ρo = ρ2o|Λ2ρo là một biểu diễn con của ρo.
Ta có công thức: χΛ2ρo(x) = 1 2 χρo(x)2 −χρo(x2) .
Tính toán cụ thể trên từng lớp liên hợp phân biệt cho ta:
ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345)
χΛ2ρo 6 0 0 0 1 - 2 0
Ta kiểm tra được
D
χΛ2ρo, χΛ2ρo
E
= 1 nên Λ2ρo là một biểu diễn bất khả quy 6-chiều của S5.
Gọi n1, n2 là số chiều của hai biểu diễn bất khả quy còn lại. Vì 5! = 120 = 12 + 12 + 42 + 42 + 62 +n21 + n22.
Suy ra: n21 +n22 = 50.
Vì hai biểu diễn bất khả quy còn lại có chiều lớn hơn 1 nên trường hợp
n1 = 1, n2 = 7 là không xảy ra. Do đó n1 = n2 = 5.
Gọi ρ là một trong hai biểu diễn bất khả quy 5-chiều đó và
ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345)
χρ 5 α1 α2 α3 α4 α5 α6
Sử dụng hệ thức trực giao ta thu được hệ phương trình:
5 + 10α1 + 20α2 + 30α3 + 24α4 + 15α5 + 20α6 = 0 5−10α1 + 20α2 −30α3 + 24α4 + 15α5 −20α6 = 0 20 + 20α1 + 20α2 −24α4 −20α6 = 0 20−20α1 + 20α2 −24α4 + 20α6 = 0 30 −24α4 −30α5 = 0 25 + 10α21 + 20α22 + 30α23 + 24α24 + 15α52 + 20α26 = 0
Giải hệ phương trình ta được nghiệm:
α1 = α5 = α6 = 1, α2 = α3 = −1, α4 = 0.
Ngoài ra ta còn giải được:
α1 = α2 = α6 = −1, α3 = α5 = 1, α4 = 0.
được chỉ ra ở bảng sau. Suy ra ρπ 6' ρ.
Vậy ta có bảng đặc trưng của 7 biểu diễn bất khả quy trên 7 lớp liên hiệp phân biệt của nhóm S5 là:
ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 1S5 1 1 1 1 1 1 1 π 1 -1 1 -1 1 1 - 1 ρo 4 2 1 0 -1 0 - 1 ρoπ 4 -2 1 0 -1 0 1 Λ2ρo 6 0 0 0 1 - 2 0 ρ 5 1 -1 -1 0 1 1 ρπ 5 -1 -1 1 0 1 -1 1 10 20 30 24 15 20
KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau:
• Tổng quan và hệ thống khá đầy đủ các khái niệm, kết quả về biểu diễn ma trận, đặc trưng của nhóm đối xứng thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.
• Trình bày và mô tả chi tiết biểu diễn bất khả quy, bảng đặc trưng tương ứng của các nhóm đối xứng S3, S4, S5.
• Thể hiện tường minh một số các định lý, bổ đề và hệ quả quan trọng có liên quan đến luận văn.
Với những gì khảo sát được luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hy vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về nhóm đối xứng.
Trong điều kiện thời gian và khuôn khổ của luận văn nên tôi chưa đi sâu nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của các nhóm đối xứng Sn, với
n > 5. Đó như là hướng phát triển của luận văn. Tôi rất mong nhận được những sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc để có thể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu và phát triển luận văn sau này.
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số Đại cương, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] Andrew Baker (2011), Representations of Finite Group, Lecture Notes, University of Glasgow, USA.
[3] D.M. Jackson (2004),Notes on the Representations of Finite Groups, and invariant theory Lecture Notes.
[4] Ernest B. Vinberg (1989),Linear Representations of Groups, Birkhauser Verlarg - Basel. Boston, Berlin.