7. Cấu trúc của luận văn
2.1.2. Đặc trưng của biểu diễn
Định nghĩa 2.3. Giả sử ρ : G→ GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của G, A là cơ sở bất kỳ của V. Hàm số χρ : G→ C xác định bởi công thức:
χρ(x) = tr([ρ(x)])A
được gọi là đặc trưng của biểu diễn ρ.
Nói cách khác, đặc trưng χρ của biểu diễn ρ là tổng các phần tử ma trận trên đường chéo chính của ρ. χρ được gọi là bất khả quy nếu ρ bất khả quy.
Bậc của χρ là bậc của ρ (= dimV).
Khi ρ đã được xác định rõ ta có thể viết tắt χρ là χ.
Ví dụ 2.2.
+ Đặc trưng của biểu diễn tuyến tính 1-chiều chính là biểu diễn đó. + Đặc trưng của biểu diễn tầm thường là một hằng số và bằng số chiều của biểu diễn.
Ví dụ 2.3. Cho ρ = altSn, khi đó:
χρ(x) = sgn(x).
χρ(x) được gọi là đặc trưng thay phiên, thường xuất hiện trong hàm định thức.
Chứng minh.
Ta có: χρ(x) =tr(sgn(x)) =sgn(x). Do đó: χρ(x) =sgn(x).
Ví dụ 2.4. Với x ∈ Sn, đặt fix(x) = {i|x(i) = i,1 ≤ i ≤n}. Giả sử ρ = natSn, khi đó:
χρ(x) = |fix(x)|.
Chứng minh.
Gọi X là biểu diễn ma trận liên hợp với ρ đối với cơ sở A = {v1, ..., vn}. Khi đó, từ Ví dụ 1.3 ta có: [X(x)]i,j = 1 nếu x(i) = j 0 trong các trường hợp khác. Do đó: χρ(x) =|{i : x(i) = i,1 ≤ i ≤n}| = |fix(x)|.
Ví dụ tiếp theo nói về đặc trưng của biểu diễn chính quy. Ví dụ 2.5. χregG(x) = |G| nếu x = ι 0 nếu x 6= ι. Chứng minh. Giả sử G = {x1, ..., xn}, A = {vx1, ..., vxn}, và V = span(A). Khi đó, từ Ví dụ 1.4 ta có: regG(x)vxi = vxxi, với i = 1, ..., n. Nên: [[regG(x)]A]i,j = 1 nếu xxi = xj 0 nếu xxi 6= xj. Để xây dựng vết, ta cần i = j.
Lại có: xxi = xj khi và chỉ khi x= ι.
Do đó: χregG(x) = tr[regG(x)] = n nếu x = ι 0 nếu x 6= ι. Vậy: χregG(x) = |G| nếu x = ι 0 nếu x 6= ι.
Ví dụ 2.6. Giả sử ρi : G → GL(Vi), i = 1, ..., r là các biểu diễn của G và ρ = ρ1 ⊕...⊕ρr. Khi đó:
χρ = χρ1 + ...+χρr.
Chứng minh.
Đặt: V = V1 ⊕...⊕ Vr.
Suy ra: ρ là một biểu diễn của G, V là không gian biểu diễn của ρ. Giả sử Ai là một cơ sở của Vi với i = 1, ..., r ta có:
χρ(x) =tr[(ρ1 ⊕...⊕ρr)(x)]A = tr[ρ1(x)]A 1 + ...+tr[ρ1(x)]A r = χρ1(x) +...+χρr(x), với mọi x ∈ G. Vậy: χρ = χρ1 +...+χρr. Định nghĩa 2.4.
Giả sử X :G → GLn(C) là một biểu diễn ma trận của G. Đặc trưng của X là hàm χ : G →C sao cho:
χ(x) =tr(X(x)).
Các kết quả dưới đây cho ta một số tính chất cơ bản của đặc trưng: Bổ đề 2.3. Cho ρ0 và ρ là các biểu diễn của G. Nếu ρ0 ∼ ρ thì χρ0 = χρ. Chứng minh.
Từ Định nghĩa 1.3, tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho:
ρ0(x) = Pρ(x)P−1,với mọi x ∈ G.
Khi đó từ Bổ đề 2.1, ta có:
χρ0(x) =tr(ρ0(x)) = tr(Pρ(x)P−1) =tr(ρ(x)) = χρ(x).
Khẳng định ngược lại của bổ đề này cũng đúng, chúng ta sẽ chứng minh nó trong Định lí 2.4 ở phần sau. Bổ đề này cho ta thấy được tầm quan trọng của các đặc trưng.
Tính chất được trình bày dưới đây nói về đặc trưng của liên hợp và khả nghịch.
Định lý 2.2. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và ρ là một biểu diễn của G. Khi đó: 1. χρ(ι) =deg(ρ), 2. χρ y−1xy = χρ(x), với mọi x ∈ G, 3. χρ x−1= χρ(x). Chứng minh. 1. Xét ρ : G→ GL(V) trong đó dimV = n. Giả sử A là một cơ sở của V.
Khi đó: χρ(ι) = tr(ρ(ι)) = tr([ρ(ι)]A) = tr(In) = n = dimV = deg(ρ).
Vậy: χρ(ι) =deg(ρ). 2. Ta có:
χρ(y−1xy) = tr(ρ(y−1xy)) =tr(ρ(y−1)ρ(x)ρ(y)) =tr(ρ(x)) = χρ(x).
Vậy: χρ y−1xy = χρ(x), với mọi x∈ G.
3. Trong quá trình chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng kết quả sau:
Bổ đề. Cho G là nhóm hữu hạn, và x ∈ G. Khi đó: x|G| = ι.
Từ Bổ đề 2.2 ta có:
χ(x) =tr(ρ(x)) = X
λ∈spec(ρ(x))
λ,
trong đó: spec(ρ(x)) là tập hợp tất cả các giá trị riêng của ρ(x) (bao gồm các giá trị riêng lặp lại).
Do λ ∈ spec(ρ(x)), nên tồn tại một vectơ khác vectơ không v ∈ V sao cho ρ(x)v = λv.
Suy ra: λ 6= 0 vì ρ(x) khả nghịch.
Do đó: λ−1 là một giá trị riêng của ρ(x−1). Ta được: χρ(x−1) = P
λ∈spec(ρ(x))
λ−1.
Đặt: g = |G|.
Áp dụng kết quả đã nêu đầu chứng minh ta được:
χgv = ρ(x)gv = ρ(ι)v = lVv = v.
Từ đó: λg = 1.
Suy ra: |λ| = 1 nên λλ= 1.
Ta được: λ−1 = λ. Khi đó: χρ(x−1) = X λ∈spec(ρ(x)) λ−1 = X λ∈spec(ρ(x)) λ = X λ∈spec(ρ(x)) λ = χρ(x). Vậy: χρ x−1 = χρ(x). Định lý được chứng minh. Nhận xét 2.1. Khẳng định (2) của Định lí 2.2 chứng tỏ rằng χρ là hằng số trên các lớp liên hợp của G, và được gọi là hàm lớp của G.
Hai hệ quả được phát biểu sau đây có liên quan đến các đặc trưng thực:
Hệ quả 2.1. Cho G là một nhóm hữu hạn và χ là một đặc trưng của ρG. Nếu x và x−1 liên hợp trong G thì χ(x) ∈ R.
Chứng minh.
Vì x và x−1 liên hợp trên G nên tồn tại y ∈ G sao cho x−1 = yxy−1. Suy ra, từ Định lí 2.2, χ(x) = χ(x−1) = χ(yxy−1) =χ(x).
Vậy: Bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 2.2. Giả sử χ là một đặc trưng của Sn. Khi đó χ(x) ∈ R với mọi
x ∈ R.
Chứng minh.
Vì xvà x−1 liên hợp trênSn, nên chứng minh tương tự Hệ quả 2.1 ta cũng được điều phải chứng minh.
Hệ quả trên rất quan trọng cho việc nghiên cứu chi tiết hơn về đặc trưng của nhóm đối xứng trong chương 3 của luận văn.