7. Cấu trúc của luận văn
3.3.1. Nhóm con Young
Định nghĩa 3.3. Cho θ = (θ1, θ2, ..., θr) là một phân hoạch của n, ký hiệu là θ ` n trong đó l(θ) =r. Khi đó
Sθ = S{1,···,θ1} ×S{θ1+1,···,θ1+θ2} × · · · ×S{θ1+···+θr−1+1,···,θ1+···+θr}.
Các nhóm con Young này được đặt tên để tưởng nhớ Đức Cha Alfred Young, một trong những người đầu tiên đã xây dựng các biểu diễn bất khả quy của Sn.
Bây giờ ta bắt đầu bằng việc xây dựng đặc trưng thông qua các kết quả được thể hiện trong các bổ đề sau:
Bổ đề 3.4. [3, Lemma 8.1] Giả sử α, θ ` n và x ∈ Cα. Khi đó:
1↑Sn
Sθ (x) = [mθ]pα.
Để có được các đặc trưng bất khả quy, chúng ta sẽ sử dụng các kết quả dưới đây về vành Λ của các hàm đối xứng theo các biến x1, x2, .... Với α ∈ Nn, cho: aα = detxαj i n×n. Giả sử δ = (n−1, n−2,· · · ,1,0). Khi đó aδ = Y 1≤ij≤n (xj −xi)
được gọi là định thức Vandermonde.
Đồng nhất thức Jacobi -Trudi có dạng sλ(x1, ..., xn) = aδ+λ
aδ , trong đó sΛ
là hàm Schur cho bởi Λ phân hoạch của n. Dạng h., .iΛ trên Λ được xác định bởi
hpα, pβiΛ = z(α)δα,β
với |α| = |β|, được mở rộng tuyến tính, là một tích vô hướng trên Λ. Hơn nữa, hsα, sβiΛ = δα,β nên sθ : θ ` n là một cơ sở trực giao của Λ(n), vành của các hàm đối xứng cấp n.
R(G) là tập hợp tất cả các hàm lớp trong CG. Lấy ξ ∈ R(G).
Khi đó, từ Định lý 2.5, ξ = c1χρ1 + ...+ ckχρk trong đó ρ1, ..., ρk là các biểu diễn bất khả quy của G, c1, ..., ck ∈ C và k là số các lớp liên hợp của G. Ta gọi ξ là một đặc trưng tùy ý của G.
+ Nếu c1, ..., ck là số nguyên thì ξ được gọi là đặc trưng tổng quát của G. + Nếu c1, ..., ck là các số nguyên không âm thì có một biểu diễn của G sao cho ξ là một đặc trưng.
Bổ đề 3.5. Giả sử ξ là một đặc trưng tổng quát của G. Nếu hξ, ξi
CG = 1
và ξ(ι) > 0 thì ξ là một đặc trưng bất khả quy của G. Chứng minh.
Ta có ξ là một đặc trưng tổng quát của G nên ξ = n1χρ1 + ...+ nkχρk
trong đó n1, ..., nk là các số nguyên. Vì hξ, ξi
CG = 1, nên từ tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy ta có n21 +...+n2k = 1.
Do đó k = 1, dẫn đến n21 = 1 nên n1 = ±1. Khi đó ξ = ±χρ1.
Tuy nhiên ξ(ι) > 0, và χρ1 = degρ1 > 0 nên ξ = χρ1.
Suy ra điều phải chứng minh.
Vì chỉ xét nhóm Sn, nên chúng ta sẽ bổ sung các ký hiệu đối với các đặc trưng bất khả quy.
Một nhóm hữu hạn tùy ý G có k đặc trưng bất khả quy, trong đó k cũng là số các lớp liên hợp của G. Đối với Sn, k = p(n) là số phân hoạch của n,
{θ : θ ` n} là một tập hợp các chỉ số đối với đặc trưng bất khả quy của
Sn.
Thật ra, đây là tập chỉ số tự nhiên đối với các đặc trưng bất khả quy, nói cách khác θ là một chỉ số tự nhiên đối với các lớp liên hợp của Sn
và các biểu diễn bất khả quy có thể được xây dựng từ các lớp liên hợp.
χθ : θ ` n là một tập hợp đầy đủ của các biểu diễn bất khả quy đối với
Sn.
Nếu x ∈ Sn, giá trị của χθ tại x ∈ Cα được ký hiệu là χθα. Từ Hệ quả 2.2, χθα ∈ Sn, với mọi α ` n.
Định lý sau đây cho thấy tầm quan trọng của các quan hệ trực giao đối với các đặc trưng bất khả quy của Sn.
Định lý 3.4. Các hệ thức trực giao[3, Theorem 8.3] 1. n1! P
α`nhαχθαχφα = δθφ trong đó θ, φ ` n,
2. n1! P
α`nχθαχθβ = hαδαβ trong đó α, β ` n.
Kết quả tiếp theo cho ta biểu thức nổi tiếng của Frobenius đối với các chuỗi tổng quát của một biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng các số hạng của hàm Schur.
Định lý 3.5. [3, Theorem 8.4]
Giả sử λ ` n, sΛ là hàm Schur cho bởi Λ phân hoạch của n. Khi đó sλ = 1 n! X α`n hαχλαpα. 3.3.2. Bảng đặc trưng
Bảng đặc trưng của một nhóm hữu hạn G là một bảng được hình thành như sau:
Cột của nó tương ứng với các lớp liên hợp của G và các hàng tương ứng với các đặc trưng χi của các biểu diễn bất khả quy không tương đương của G.
Lớp liên hợp thứ j Cj được chỉ định bằng cách hiển thị một biểu diễn
cj ∈ Cj.
Trong cột i, hàng j ta đặt χi(cj) như sau:
c1 c2 · · · cn χ1 χ1(c1) χ1(c2) · · · χ1(cn) χ2 χ2(c1) χ2(c2) · · · χ2(cn) .. . . .. χn χn(c1) χn(c2) · · · χn(cn)
Thông thường ta lấy c1 = ι và χ1 là đặc trưng tầm thường tương ứng với biểu diễn tầm thường 1-chiều.
c1 c2 · · · cn χ1 1 1 1 1
Ngoài ra, cột đầu tiên là số chiều của các biểu diễn bất khả quy ρi, χi(ι).
Để sử dụng các bảng đặc trưng, trước tiên ta cần phải xác định các đặc trưng bất khả quy. Số lượng của các hàng bằng số lượng của các lớp liên hợp của nhóm G và sự tồn tại của các đặc trưng tầm thường 1-chiều. Các đặc trưng của các biểu diễn bất khả quy phức bất kỳ của G là các đặc trưng bất khả quy của G.
Khi chúng ta có bảng đặc trưng của nhóm G ta có thể phân tích một biểu diễn tùy ý thành các thành phần bất khả quy của nó.
Trong phần cuối của luận văn, chúng tôi tập trung mô tả biểu diễn bất khả quy của một số nhóm đối xứng và cụ thể là mô tả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng Sn với n = 3,4 và 5.
3.3.3. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S3
Ta có nhóm S3 có hai biểu diễn bất khả quy 1−chiều là: biểu diễn tầm thường ρ1 = 1S3 và biểu diễn 1−chiều ρ2 = π (Định lý 3.3).
Mặt khác: S3 có 3! = 6 phần tử, 6 = 12 + 12 + 22 nên theo Hệ quả 2.3, còn có một biểu diễn bất khả quy 2-chiều.
Ta xây dựng biểu diễn đó như sau: trong mặt phẳng Euclide E ta xét một tam giác đều E1E2E3 có tâm tại gốc.
Khi đó, tương ứng xác định bởi:
ρ : S3 →GL(E)
σ 7→ ρ3(σ) : E →E
Ei 7→ρ3(σ)Ei = Eσi, i = 1,2,3
là một biểu diễn thực bất khả quy.
Suy ra, ρ3(σ) hoặc là một phép biến đổi đồng nhất, hoặc là phép quay góc quay 23π hay −23π, hoặc là phép đối xứng qua đường cao của tam giác.
Vì vậy, ρ3 là một biểu diễn thực 2-chiều của S3 và ρ3 là bất khả quy. Kiểm tra ta thấy rằng: ρo ' ρ3.
Chúng ta sẽ sử dụng phép quay trong mặt phẳng để mô tả ρ3 và tính đặc trưng của nó.
Xét trong cơ sở trực chuẩn, ma trận của ρ3 có dạng:
ρ3(ι) = 1 0 0 1 ⇒χ3(ι) = trρ3(ι) = 2. ρ3((12)) = 1 0 0 −1 ⇒ χ3((12)) = 0. ρ3((123)) = −1 2 − √ 3 2 √ 3 2 −12 ! ⇒χ3((123)) = −1.
Khi đó bằng tính toán, dưới đây ta có bảng đặc trưng của biểu diễn S3
với dòng đầu là các lớp liên hợp phân biệt của S3 và dòng cuối là số các phần tử trong mỗi lớp tương ứng:
ι (12) (123)
χ1 1 1 1
χ2 1 - 1 1
χ3 2 0 - 1 1 3 2
3.3.4. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4
Trước khi mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S4, thông qua định lý sau đây giúp chúng ta xác định các biểu diễn bất khả quy của nhóm
S4 từ các biểu diễn bất khả quy của nhóm S3.
Định lý 3.6. Gọi x = (12)(34), y = (13)(24), z = (14)(23). Khi đó nhóm con A = {ι, x, y, z} là chuẩn tắc aben trong S4 và S4/A ' S3.
Chứng minh.
Kiểm tra ta thấy rằng A là một nhóm con của S4.
Có hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu π = ι thì hiển nhiên ta có σπσ−1 ∈ A.
TH2: Nếu π 6= ι, gọi i, j là hai phần tử trong một vòng xích (chuyển trí) của π, nghĩa là π(i) = j và π(j) = i.
Giả sử σ(i) = h và σ(j) = k. Khi đó, ta có:
(σπσ−1)(h) = (σπ)(i) =σ(j) = k,
và
(σπσ−1)(k) = (σπ)(i) =σ(i) = h.
Giả sử σ(i1) = h1 và σ(j1) =k1, thì hoàn toàn tương tự như trên ta có:
(σπσ−1)(h1) =k1,
và
(σπσ−1)(k1) =h1.
Từ đó suy ra: σπσ−1) = (hk)(h1k1) ∈ A.
Vậy A là nhóm con chuẩn tắc của S4.
Ta có bảng nhân sau đây thể hiện tính giao hoán của A:
ι x y z
ι ι x y z
x x ι z y
y y z ι x
z z y x ι
Bây giờ, xét nhóm thương S4/A thì S4/A ' S3 do mỗi lớp của A trong
S4 đều chứa đúng một phép thế giữ 1 cố định.
Ta có mô tả biểu diễn bất khả quy của S4 như sau:
Ta kiểm tra được nhóm S4 có 5 lớp liên hợp phân biệt với các phần tử đại diện là: ι,(12),(12)(34),(123) và (1234) trong đó số các phần tử lần lượt trong mỗi lớp là 1,6,3,8 và 6.
a) Hai biểu diễn bất khả quy 1−chiều là biểu diễn tầm thường 1S4
và biểu diễn 1-chiều π.
b) S4 có một biểu diễn bất khả quy 2−chiều ρp bằng phép nâng biểu diễn bất khả quy 2−chiều của S3 (từ Định lý 3.6).
c) S4 có một biểu diễn bất khả quy 3−chiều ρo (từ Định lý 3.2). Lại có: 12 + 12 + 22 + 32 = 15 và |S4| = 4! = 24 nên theo Hệ quả 2.3 suy ra nhóm S4 còn có một biểu diễn bất khả quy với số chiều √
24−15 = 3. Vì theo Nhận xét 1.3 ta có ρo là bất khả quy và π là biểu diễn 1−chiều nên ρoπ là một biểu diễn bất khả quy và ρoπ 6' ρo nên biểu diễn bất khả quy 3−chiều còn lại là ρoπ.
Giả sử V là không gian biểu diễn của biểu diễn ρ xác định trong Mệnh đề 3.1 của S4 có cơ sở là {v1, v2, v3, v4}. Chọn {v4 −v1, v4 −v2, v4 −v3} là một cơ sở của Vo = hvi−vj, i6= ji, khi đó ta có: ρo = ρ|Vo : S4 → GL(Vo) σ 7→ρo(σ) : Vo → Vo v4 −vi 7→vσ(4) −vσ(i), i = 1,2,3. Tính toán trực tiếp ta được:
ρo(ι) = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ! , ρo((12)) = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ! , ρo((12)(34)) = 0 1 0 1 0 0 −1 −1 −1 ! , ρo((123)) = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ! , ρo((1234)) = −1 −1 −1 1 0 0 0 1 0 ! .
Giả sử hvi là không gian biểu diễn của π.
Theo Định nghĩa 1.11 về tích tenxơ của các biểu diễn ta có:
ρoπ : S4 → GL(Vo ⊗ hvi)
σ 7→ρoπ(σ) : Vo ⊗ hvi → Vo ⊗ hvi
Tính toán tương tự như trên ta được: ρoπ((12)) = 0 −1 0 −1 0 0 0 0 −1 ! , ρoπ((12)(34)) = 0 −1 0 −1 0 0 1 1 −1 ! ...
Hoặc ta có thể tính toán nhanh hơn dựa vào công thứcχρoπ = χρo.χπ, nên từ đặc trưng của các biểu diễn ρo và π ta đã có thể suy ra đặc trưng của ρoπ.
Từ đó ta có bảng đặc trưng của biểu diễn S4 như sau:
ι (12) (12)(34) (123) (1234) χ1 1 1 1 1 1 χπ 1 -1 1 1 -1 χρp 2 0 2 - 1 0 χρo 3 1 - 1 0 -1 χρoπ 3 - 1 - 1 0 1 1 6 3 8 6
Bên cạnh việc tính toán trên các lớp liên hợp của nhóm S4, ta có thể sử dụng các phép quay tụ trùng của một hình lập phương để mô tả các biểu diễn bất khả quy của nhóm S4.
3.3.5. Mô tả biểu diễn bất khả quy của nhóm S5
Ta có nhóm S5 có 7 lớp liên hợp phân biệt với các phần tử đại diện là: ι,(12),(123),(1234),(12345),(12)(34) và (12)(345) với số các phần tử tương ứng trong mỗi lớp là 1,10,20,30,24,15 và 20.
a) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 1-chiều là biểu diễn tầm thường
1S5 và biểu diễn 1−chiều π.
b) S5 có hai biểu diễn bất khả quy 4-chiều là ρo và ρoπ.
Vì S5 có 7 lớp liên hợp phân biệt nên theo Hệ quả 2.7, S5 có đúng 7 biểu diễn bất khả quy.
Xét Λ2Vo là không gian vectơ các 2−dạng ngoài trên Vo. Khi đó Λ2Vo là một không gian vectơ con bất biến qua ρ2o = ρo.ρo nên Λ2ρo = ρ2o|Λ2ρo là một biểu diễn con của ρo.
Ta có công thức: χΛ2ρo(x) = 1 2 χρo(x)2 −χρo(x2) .
Tính toán cụ thể trên từng lớp liên hợp phân biệt cho ta:
ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345)
χΛ2ρo 6 0 0 0 1 - 2 0
Ta kiểm tra được
D
χΛ2ρo, χΛ2ρo
E
= 1 nên Λ2ρo là một biểu diễn bất khả quy 6-chiều của S5.
Gọi n1, n2 là số chiều của hai biểu diễn bất khả quy còn lại. Vì 5! = 120 = 12 + 12 + 42 + 42 + 62 +n21 + n22.
Suy ra: n21 +n22 = 50.
Vì hai biểu diễn bất khả quy còn lại có chiều lớn hơn 1 nên trường hợp
n1 = 1, n2 = 7 là không xảy ra. Do đó n1 = n2 = 5.
Gọi ρ là một trong hai biểu diễn bất khả quy 5-chiều đó và
ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345)
χρ 5 α1 α2 α3 α4 α5 α6
Sử dụng hệ thức trực giao ta thu được hệ phương trình:
5 + 10α1 + 20α2 + 30α3 + 24α4 + 15α5 + 20α6 = 0 5−10α1 + 20α2 −30α3 + 24α4 + 15α5 −20α6 = 0 20 + 20α1 + 20α2 −24α4 −20α6 = 0 20−20α1 + 20α2 −24α4 + 20α6 = 0 30 −24α4 −30α5 = 0 25 + 10α21 + 20α22 + 30α23 + 24α24 + 15α52 + 20α26 = 0
Giải hệ phương trình ta được nghiệm:
α1 = α5 = α6 = 1, α2 = α3 = −1, α4 = 0.
Ngoài ra ta còn giải được:
α1 = α2 = α6 = −1, α3 = α5 = 1, α4 = 0.
được chỉ ra ở bảng sau. Suy ra ρπ 6' ρ.
Vậy ta có bảng đặc trưng của 7 biểu diễn bất khả quy trên 7 lớp liên hiệp phân biệt của nhóm S5 là:
ι (12) (123) (1234) (12345) (12)(34) (12)(345) 1S5 1 1 1 1 1 1 1 π 1 -1 1 -1 1 1 - 1 ρo 4 2 1 0 -1 0 - 1 ρoπ 4 -2 1 0 -1 0 1 Λ2ρo 6 0 0 0 1 - 2 0 ρ 5 1 -1 -1 0 1 1 ρπ 5 -1 -1 1 0 1 -1 1 10 20 30 24 15 20
KẾT LUẬN
Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về biểu diễn ma trận và đặc trưng của nhóm đối xứng, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau:
• Tổng quan và hệ thống khá đầy đủ các khái niệm, kết quả về biểu diễn ma trận, đặc trưng của nhóm đối xứng thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn.
• Trình bày và mô tả chi tiết biểu diễn bất khả quy, bảng đặc trưng tương ứng của các nhóm đối xứng S3, S4, S5.
• Thể hiện tường minh một số các định lý, bổ đề và hệ quả quan trọng có liên quan đến luận văn.
Với những gì khảo sát được luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục đi sâu nghiên cứu sau này và hy vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về nhóm đối xứng.
Trong điều kiện thời gian và khuôn khổ của luận văn nên tôi chưa đi sâu nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của các nhóm đối xứng Sn, với