Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HOC VINH LÊ HOÀI THANH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HOC VINH LÊ HOÀI THANH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƢỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS: MAI VĂN TƢ NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Trang DANH MỤC KÍ HIỆU LỜI NĨI ĐẦU Chƣơng :Một số kiến thức 1.1 Một số khái niệm đƣờng cong chỉnh hình 1.2 Các hàm lý thuyết Nevanlinna- Cartan Chƣơng 2: Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình phức 12 2.1 Các bổ đề khái niệm .12 2.2Chứng minh định lý 2.1.6 20 KẾTLUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 DANH MỤC KÍ HIỆU W trƣờng đóng đại số với đặc số P n ( W) không gian xạ ảnh n chiều trƣờng W T f (r ) hàm đặc trƣng f hàm phân hình N f (r , D) hàm đếm kể bội N Mf (r , D) hàm đếm bội cắt cụt , M số bội cắt cụt m f (r , D) hàm xấp xỉ f n f (r , D) số không điểm Q  f đĩa n Mf (r , D) số không điểm z  r , kể bội Q  f đĩa z  r , bội cắt cụt số nguyên dƣơng M  f (D) số khuyết  fM (D) số khuyết cắt cụt đừơng cong f kết hợp với siêu mặt D , M số nguyên dƣơng LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna đƣợc đánh giá nhƣ thành tựu sâu sắc đẹp đẽ toán học kỷ XX Đƣợc hình thành từ năm đầu kỷ XX, lý thuyết Nevanlinna bắt đầu cơng trình Hadamard, Borel ngày có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Lý thuyết phân bố giá trị tổng quát hoá Định lý đại số, xác lý thuyết nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình C Trung tâm lý thuyết hai định lý Định lý thứ nhất, cách viết khác công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ hàm đặc trƣng T f (r ) hàm phân hình f với hàm đặc trƣng Tr (r, a) hàm Định lý thứ hai thể kết đẹp sâu sắc lý f a thuyết, đƣợc phát biểu dƣới nhiều dạng khác nhau: Quan hệ hàm đặc trƣng với hàm đếm, hàm đếm bội cắt cụt, hàm xấp xỉ,… Kí hiệu K trƣờng đóng đại số, có đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, W C K , P n (W) không gian xạ ảnh n chiều trƣờng W Một vấn đề tự nhiên đƣợc nhà toán học đặt là: Nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna chiều cao, tức xét phân bố giá trị cho ánh xạ chỉnh hình đa tạp W Đầu tiên phải kể tới cơng trình H.Cartan công bố vào năm 1933 Về sau, việc tiếp tục phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ chỉnh hình nghiên cứu ứng dụng lý thuyết lĩnh vực khác toán học phát triển mạnh mẽ thu hút đƣợc quan tâm nhiều nhà toán học giới Về đƣờng cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : C  Pn (C) q siêu phẳng H1 , , H q vị trí tổng quát P n (C) Năm 1933 H Cartan chứng minh: Với   , với r  đủ lớn nằm tập có độ đo Lebesgue hữu hạn q q  n    T f (r )   N nf (r , H j )  0(1) j 1 Kết H Cartan dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình từ C vào P n (C) khơng suy biến tuyến tính kết hợp với siêu phẳng vị trí tổng qt Cơng trình ơng đƣợc đánh giá quan trọng, mở hƣớng nghiên cứu việc phát triển lý thuyết phân bố giá trị nghiên cứu phân bố giá trị ánh xạ phân hình mà ngày gọi “ Lý thuyết Nevanlinna- Cartan” Các kết nghiên cứu nhà toán học lý thuyết thời gian gần tập trung vào hai vấn đề: Xây dựng dạng Định lý thứ hai với mục tiêu siêu mặt cố định di động, thiết lập quan hệ hàm đặc trƣng Nevanlinna- Cartan với hàm xấp xỉ, hàm đếm đƣợc hay hàm đếm bội cắt cụt Từ suy kết quan hệ số khuyết Nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna- Cartan vấn đề khác toán học, chẳng hạn, nghiên cứu suy biến đƣờng cong đại số, xây dựng tập xác định cho ánh xạ phân hình,… Một ứng dụng quan trọng Định lý thứ hai với bội cắt cụt lý thuyết Nevanlinna -Cartan nghiên cứu xác định ánh xạ phân hình thơng qua ảnh ngƣợc hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, A Boutabaa, W Cherry, M Ru nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh: Hai hàm phân hình phức khác f , g thỏa mãn f f  g 1 1 (ai )  g (ai ) , i  1,2, ,5 Năm 1975 H Fujimoto mở rộng kết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tập xác định kể bội gồm 3n  siêu phẳng vị trí tổng quát cho họ ánh xạ phân hình phức khơng suy biến tuyến tính Năm1983, L.Smeley chứng minh kết xác định ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính ảnh ngƣợc họ hữu hạn siêu phẳng, vấn đề đƣợc H Fujjmoto nghiên cứu lại năm 1998 Năm 2006, G Dethloff T V Tan xem xét vấn đề tƣơng tự cho trƣờng hợp siêu phẳng di động Năm 2002 2003, V H An Đ Q Manh đƣa số điều kiện đại số tập hợp xác định điều kiện không kể bội cho ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức không Acsimet trƣờng hợp siêu phẳng cố định Năm 2008, việc sử dụng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình AnPhuong, Dulock Ru chứng minh định lý cho đƣờng cong chỉnh hình trƣờng hợp siêu mặt Thời gian gần nhà toán học tập trung vào việc nghiên cứu vấn đề: Tìm đặc trƣng tập xác định dạng tập xác định với số phần tử Chú ý rằng, hầu hết chứng minh kết tập xác định dựa vào dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt Sự lựa chọn đề tài: “Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh” tác giả luận văn nhằm tiếp tục tìm hiểu lý thuyết Nevanlinna-Cartan Luận văn trình bày số dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức khơng Acsimet Nội dung luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày số kiến thức liên quan đến hàm chỉnh hình lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna- Cartan Chƣơng 2: Tìm hiểu Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 dạng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình từ C vào P n (C) kết hợp với siêu mặt cố định vị trí tổng quát P n (C) , cho thấy quan hệ hàm đặc trƣng T f (r ) đƣờng cong chỉnh hình f : C  Pn (C) với hàm đếm bội cắt cụt N Mf (r , D) , cách tƣờng minh số bội cắt cụt Luận văn đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh, dƣới hƣớng dẫn TS Mai Văn Tƣ Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Văn Tƣ định hƣớng nghiên cứu, thƣờng xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Trƣờng Đại học Vinh động viên suốt trình học tập, nghiên cứu nhƣ trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn đƣợc hoàn thiện vinh, tháng năm 2012 tác giả CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm chỉnh hình f : C  C , điểm z0 C đƣợc gọi không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z ) không triệt tiêu lân cận U z cho lân cận U hàm f đƣợc biểu diễn dƣới dạng f ( z )  ( z  z )k h( z) Nghĩa f ( z0 )  f / ( z0 )   f ( k 1) ( z0 )  f ( k ) ( z0 )  Với z  C , ta kí hiệu: k z không điểm bội k f , ord f ( z)    f ( z)  Giả sử f hàm phân hình, f  f1 , f1 , f f2 hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm chung Số phức z gọi không điểm bội k f z không điểm bội k f1 , z gọi cực điểm bội k f z không điểm bội k f 1.1 Một số khái niệm đƣờng cong chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Một ánh xạ chỉnh hình từ C vào P n (C) hay gọi đƣờng cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh P n (C) đƣợc định nghĩa ánh xạ: f  f ; ; f  : C  P C Z   f  z  : f n n n  z  Trong đó, f j ,0  j  n , hàm nguyên C Nếu f j , j  o, , n , đa thức f đƣợc gọi đường cong đại số 1.1.2 Định nghĩa Đƣờng cong chỉnh hình f : C  Pn (C) đƣợc gọi suy biến tuyến tính ảnh f chứa đa tạp tuyến tính thực khơng gian xạ ảnh P n (C) Đƣờng cong f đƣợc gọi suy biến đại số ảnh f chứa đa tạp đại số thực P n (C) 1.1.3 Định nghĩa Cho đƣờng cong chỉnh hình f  ( f0 , , f n ) : C  Pn (C) f , , f n hàm ngun, khơng có khơng điểm chung C Ta gọi ánh xạ f  ( f0 , f n ) : C  Cn1 \ 0 biểu diễn tối giản f Mệnh đề sau đƣợc suy trực tiếp từ định nghĩa, sử dụng để chứng minh hai đƣờng cong chỉnh hình đồng 1.1.4 Mệnh đề Cho f , g : C  Pn (C) , hai đường cong chỉnh hình khác ( f , , f n ), ( g , , g n ) biểu diễn tối giản f , g Khi f  g fi g j  f j gi với cặp số phân biệt i, j  0,1, , n Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trƣng, hàm xấp xỉ, hàm đếm đƣợc đƣờng cong kết hợp với siêu mặt cố định Cho đƣờng cong chỉnh hình f : C  Pn (C) biểu diễn tối giản ( f , , f n ) f 1.2 Các hám lý thuyết Nevanlinna - Cartan 1.2.1 Định nghĩa Hàm T f (r )  2 2  || f (re i ) || d 14 Từ cấu trúc đồng cấu  , ta chọn đƣợc sở S (i ) từ tập S (i / ) hợp tất lớp tƣơng đƣơng có dạng g1i .g ni  modulo S i ,  n / đơn thức biến z0 , z n với bậc tổng cộng   d (i) Vì tập hợp tất đơn thức biến z0 , z n với bậc tổng cộng   d (i) tạo nên sở V  d (i ) nên ta có điều cần chứng minh  Nhƣ hệ trực tiếp bổ đề 2.1.1 2.1.3, ta có bổ đề sau đƣa đánh giá số chiều không gian thƣơng hai không gian liên tiếp lọc 2.1.4 Bổ đề Giả sử g1 , , g n đa thức bậc d C[ z0 , , zn ] Nếu  (i)   / d  n i : dim S( i ) S( i / )  d n Khi xem xét bội không điểm đƣờng cong, ngƣời ta thƣờng xem xét hàm Wronskian Để tiện theo dỏi chúng tơi nhắc lại số tính chất quen thuộc hàm Cho đƣờng cong chỉnh hình f : C  Pn (C) biểu diễn tối giản ( f , , f n ) f , Wronskian đƣờng cong f hàm W ( f )  W ( f , , f n ) : f f n f 0/ f n/  f 0( n ) f n( n ) 2.1.5 Bổ đề Cho n  dạng tuyến tính độc lập tuyến tính L0 , , Ln P n (C) Với j  0, , n đặt Fj  L j ( f , , f n ) W ( F0 , , Fn )  C.W ( f , , f n ), 15 Trong C  số phụ thuộc vào hệ số L j , j  1, , n , không phụ thuộc vào f , , f n Kí hiệu L  L( f )  L( f , , f n )  Khi L( f )  f / f f n/ / f n /  f 0( n ) / f f n( n ) / f n W ( f , , f n ) f , , f n Sau phát biểu chứng minh dạng định lý thứ hai bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình từ C vào P n (C) kết hợp với siêu mặt vị trí tổng quát 2.1.6 Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số f : C  Pn (C) họ siêu mặt D j ,1  j  q P n (C) có bậc d j tương ứng vị trí tổng quát Gọi d bội số chung nhỏ d j Với    M  2d[2n (n  1)n(d  1) 1 ]n , ta có q (q  (n  1)   )T f (r )   d j N Mf (r , D j ) , (2.1) j 1 Trong bất đẳng thức với r  đủ lớn nằm ngồi tập thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn Để chứng minh Định lý 2.1.6 ta cần bổ đề sau 2.1.7 Bổ đề Giả sử f : C  Pn (C) đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số D j ,1  j  q , siêu mặt bậc d vị trí tổng quat P n (C) Gọi 16 Q j , j  1, , q , đa thức bậc d xác định siêu mặt D j tương ứng Khi q  m f (r , Q j )  j 1 2  || f (rei ) || d  0(1), i k 1 | Qi k  f ( re ) | 2 n max log  {i1 , ,i n } (2.2) Trong maximum đƣợc lấy cách chọn n số {i1 , , in } tập {1, , q} Chứng minh Lấy tùy ý z  C , tồn hốn vị {i1 , , iq } số {1, , q} cho Qi1  f ( z )  Qi2  f ( z )   Qiq  f ( z ) (2.3) Do Qi ,1  j  n , vị trí tổng quát theo Hilberts Nullstelensatz ta có với j số nguyên k ,0  k  n , tồn số nguyên m k  d cho n 1 z kmk   b jk ( z , , z n )Qi j ( z , , z n ), j 1 Trong b jk ,1  j  n  1,0  k  n , đa thức bậc mk  d với hệ số lấy C Suy n 1 | f k ( z ) |mk   | b jk ( f ( z ), , f n ( z )) | | Qi j ( f ( z ), , f n ( z )) | (2.4) j 1 Do b jk đa thức bậc mk  d nên  b jk ( f0 ( z ), , f n ( z ))  c jk max f ( z )   c jk max  f0 ( z) , , f n( z)   mk  d mk  d , , f n ( z )  c jk f ( z ) mk  d mk  d  , Trong c jk tổng môđun hệ số b jk Hiển nhiên c jk phụ thuộc vào b jk mà không phụ thuộc vào f , , f n Mặt khác, với k  0,1, , n , ta có 17 n 1 | Q ( f j 1 Đặt ( z ), , f n ( z )) | (n  1) max{| Qi1  f ( z ) |, , | Qi n   f ( z ) |} c1  (n  1) max{ c jk : j  1, , n  : k  0, , n} Bất đẳng thức 2.4 kéo theo | f k ( z) |mk  c1 || f ( z) || mk  d max {| Qi1  f ( z ) |, , | Qin 1  f ( z ) |} (2.5) Trong c1 số dƣơng phụ thuộc vào hệ số đơn thức b jk ,1  j  n  1,0  k  n , tức phụ thuộc vào hệ số đa thức Qi , i  1, q Chú ý 2.5 với k , nên || f k ( z) || mk  c1 || f ( z) || mk  d max {| Qi1  f ( z ) |, , | Qin 1  f ( z ) |} Hay || f k ( z) || d  c1 max {| Qi  f ( z) |, , | Qi  f ( z) |} n 1 (2.6) Kết hợp (2.3) (2.6) suy d  n f ( z)   f ( z )  k 1 Qik f ( z )  q f ( z) j 1 j Q d  n f ( z)    k  n1 Qi f ( z ) k  d d  n f ( z)   c1q 1   f ( z ) k 1 Qi k  Từ định nghĩa hàm xấp xỉ ta có q m j 1 f 2 q f (rei ) j 1 j (r , Q j )   log  Q 2  n  log  Q k 1 2  d f (rei ) 2 f (rei ) d  (q  n) log c1 f (re ) 2 ik n i1 , ,in d i  max log  Q d k 1 f (rei ) ik d d  (q  n) log c1 , f (re ) 2 i Trong maximum đƣợc lấy cách chọn n số {i1 , , in } tập {1, , q} Bổ đề đƣợc chứng minh  18 Giả sử  , .,  n đa thức bậc d xác định đa tạp có số chiều P n (C) Với số nguyên dƣơng   nd , theo lập luận trên, ta xây dựng đƣợc lọc không gian S (i ) V dựa đa thức  , .,  n Theo bổ đề 2.1.4, ta có i : dim S( i ) S( i / )  d n Với cặp n-bộ số tự nhiên (i / ), (i) liên tiếp cho (i / )  (i)  (i), (i / )   / d  n Đặt M  dim V  :   (i )i j Chú ý  không phụ thuộc vào j với (i ) 1 j  n 2.1.8 Bổ đề Với đường cong chỉnh hình f  Định lý 2.1.6,   d (2(n  1)(nd  n)(2n  1) 1 )  3nd , M   d (n  1)  T f (r ) ,  (2.7) Chứng minh Ta biết số m số nguyên không âm mà tổng  S  Z với số m  số nguyên không âm mà tổng S  S  m   Giả sử  chia hết cho d , từ bổ đề 2.1.4 ta có  m   :  i j  (i )   i  / d  i  / d  n n 1 dn  n   j 1 i j (i ) d   / d  n  d  / d  / d  n     d    nd  , n 1 n 1  n  d (n  1)! n   i j  (i )  n i     19 Trong   (i) đƣợc lấy tất (n  1) số ngun khơng âm với tổng xác  / d  n Mặt khác   n  M    n  (2.8) M a  1 a  n d n  1   n    d n  1    d    nd      nd  n Nên (2.9) Nếu ta chọn   d (2(n  1)(nd  n)(2n  1) 1 )  3nd ,  chia hết cho d n  nd    n    1    1    nd     nd   n    2n  1 n nd  n   1   nd 2d  n  1 n  `1  n   nd  n  r r 1     r     nd  Kết hợp bất đẳng thức 2.9 2.10 ta có kết luận bổ đê (2.10)  Định lý sau dạng Định lý thứ hai cho đƣờng cong chỉnh hình từ C vào khơng gian xạ ảnh kết hợp phức với siêu phẳng Định lý đƣợc chứng minh M Ru vào năm 1997, cần thiết cho việc chứng minh Định lý 2.1.6 2.1.9 Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f  ( f0 , , f n ) : C  Pn (C) q siêu phẳng phân biệt H1 , , H q P n (C ) Goị L j ,1  j  q , dạng tuyến tính xác định siêu phẳng H j tương ứng Kí hiệu W Wronskian f Khi 2 || f (rei ) || || L j || d  NW (r ,0)  (n  1)T f (r )  0(T f (r )), | L j ( f )(rei ) | 2 jK  max log  K 20 Trong maximum đƣợc lấy tất tập K 1,2, , q cho dạng tuyến tính L j , j  K , độc lập tuyến tính | L j | giá trị lớn môđun hệ số L j 2.2 Chứng minh định lý 2.1.6 Định lý Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số f : C  Pn (C) họ siêu mặt D j ,1  j  q P n (C) có bậc d j tương ứng vị trí tổng quát Gọi d bội số chung nhỏ d j Với    M  2d[2n (n  1)n(d  1) 1 ]n , ta có q (q  (n  1)   )T f (r )   d j N Mf (r , D j ) , (2.1) j 1 Trong bất đẳng thức với r  đủ lớn nằm ngồi tập thích hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn Chứng minh Giả sử ( f , , f n ) biểu diển tối giản f Q j ,1  j  q đa thức bậc d j C[ z0 , , zn ] định nghĩa D j Do D j ,1  j  q , vị trí tổng quát nên q  n  Trƣớc hết ta khẳng định rằng: Chỉ cần chứng minh Định lý trƣờng hợp d1   d q  d Thật vậy, định lý trƣờng hợp với   M nhƣ Định lý 2.1.6 ta có q (q  (n  1)   )T f (r )   d 1 N Mf (r , Q j d /d j ) j 1 Trong d bội số chung nhỏ d j , Q dj / d , j  1, , q , j đa thức bậc d Thấy rằng, z C không điểm Q j  f với bội  z khơng điểm D j d /d j  f với bội  d dj 21 d Suy N (r , Q )  dj j M f d M N f (r , Q j ) dj Điều kéo theo q (q  (n  1)   )T f (r )   d 1 N Mf (r , Q j d /d j j 1 q )   d j N Mf (r , Q j ) j 1 Nhƣ vậy, khơng tính tổng quát ta giả thiết đa thức Q1 , , Qq có bậc d Theo bổ đề 2.1.7, ta có 2 q m j 1 f (r , Q j )  n  max log  Q i1 , ,in k 1 f (rei ) ik d d  0(1) , f (re ) 2 i (2.11) Trong maximun đƣợc lấy cách chọn n số (i1 , , in ) tập {1, , q} Ta lấy tùy ý n đa thức phân biệt  , ,  n {Q1 , , Qq } Từ giả thiết vị trí tổng quát họ siêu mặt D1 , , Dq suy  , ,  n xác định đa tạp có số chiều P n (C) Gọi   nd số nguyên dƣơng cố định (ta chọn sau) V không gian đa thức bậc  C[ z0 , , zn ] Theo lập luận trên, ta xây dựng đƣợc lọc không gian S (i ) V dựa đa thức  , ,  n Đặt M  dim V Bây ta chọn sở thích hợp { , , M } V quy nạp nhƣ sau : Ta bắt đầu với không gian khác S (i ) lọc chọn sở Giả sử (i / )  (i) hai n liên thứ tự từ điển cho d (i), d (i / )   ta xây dựng đƣợc sở  (i / ) S (i ) Từ định nghĩa không gian thƣơng không gian liên tiếp, 22 lấy đƣợc biểu diễn S (i ) phần tử không gian thƣơng S (i ) / S (i / ) có dạng  1i . ni  tập biểu diễn nhƣ Khi  (i ) n  V  d (i ) gọi  (i )   ( i / )   (i ) sở khơng gian S (i ) Qúa trình quy nạp đƣợc tiếp tục S(i )  V dừng lại Bằng đƣờng nhƣ ta thu đƣợc sở { , , M } V Giả sử {1 , , M } sở cố định V , đa thức  , , M đƣợc biểu diễn dạng tuyến tính L1 , , LM phần tử 1 , , M Tức  t  Lt (1 , , M ), t  1, , M kéo theo  f ( f )  Lt ( F ) Trong F : (1 ( f ), , M ( f )) : C  P M 1 (C) Do {1 , , M } { , , M } sở V nên dạng tuyến tính L1 , , LM độc lập tuyến tính Tiếp theo ta chứng minh F khơng suy biến tuyến tính Thật vậy, ngƣợc lại tồn siêu phẳng H P M 1 (C) xác định dạng tuyến tính m LH   l j  j cho F (C)  H , tức l11 ( f )   lM M ( f )  j 1 Chú ý Q j , j  1, , M , đa thức bậc  biến z0 , , zn Nhƣ f chứa đa tạp đại số bậc  P n (C) , suy f suy biến đại số, mâu thuẫn với giả thiết f M M t 1 t 1 Với z  C , ƣớc lƣợng log  | Lt ( F )( z ) | log  |  t ( f )( z ) | Giả sử (i)  (i0 , , in )  I , d  t   (i ) phần tử sở xây dựng Khi  t   1i  ni  ,   V d (i ) kéo theo n n 23 |  t  f ( z) ||   f ( z) |i1 |  n  f ( z) |i n |   f ( z ) |  c2 |   f ( z) |i1 |  n  f ( z ) |i n || f ( z) ||  d (i ) Trong c2 số dƣơng phụ thuộc vào  t , không phụ thuộc vào z Suy log | t  f ( z) | i1 log |   f ( z) |   in log |  n  f ( z) | (  d (i)) log || f ( z) || c3  i1 (log |   f ( z) |  log || f ( z) || d )   in (log |  n  f ( z) |  log || f ( z) || d  log || f ( z) || c3 || f ( z ) || d || f ( z ) || d  i1 log   in   log || f ( z ) || c3 , |   f ( z) | |  n  f ( z) | Trong c3 số khơng phụ thuộc vào f z Chí ý rằng, có  (i ) hàm  t nhƣ sở { , , M } Nhƣ M M t 1 t 1 log  | Lt ( F )( z ) | log  |  t  f ( z ) |    (i ) (i1 log (i ) (2.12) || f ( z ) || d || f ( z ) || d   in log )  M log || f ( z ) ||  Mc3 |   f ( z) | |  n  f ( z) | || f ( z ) || d  (  (i )i j ) log  M log || f ( z ) ||  Mc3 |  j  f ( z) | (i ) j 1 n Trong  (i ) đƣợc lấy tất n -bộ (i)  I , d Chú ý  :  (i )  (i )i j không phụ thuộc vào j,1  j  n , nên 2.12 trở thành M || f ( z ) || d  M log || f ( z ) ||  Mc3 j 1 |  j  f ( z ) | n log  | Lt ( F )( z ) |  log  t 1 Điều kéo theo M || f ( z ) || d || F ( z ) || M M  log   log || F ( z ) ||  log || f ( z )  c4    j 1 |  j  f ( z ) | t 1 | Lt  F ( z ) | n log  (2 13) Trong c4 số dƣơng không phụ thuộc vào f z Chú ý rằng, ta có số hữu hạn cách chọn đa thức  , ., n tập 24 {Q1 , , Qq } , nên có họ hữu hạn dạng tuyến tính L1 , , Lu Nhắc lại dạng L1 , , LM {L1 , , Lu } độc lập tuyến tính, nên 2.13 kéo theo 2 || f (rei ) || d d i k 1 | Qi k  f ( re ) | 2 n max log   {i1 , ,i n } (2 14) || F (rei ) |||| L j || d M 2 M   max log   TF (r )  T f (r )  c5 , i   K   j K | L j ( F )(re ) | 2 Trong đo max K đƣợc lấy tất tập K {1, , u} cho dạng tuyến tính L j , j  K , độc lập tuyến tính, c5 số độc lập với r Áp dụng Định lý 2.1.9 cho đƣờng cong chỉnh hình F : C  P M 1 (C) siêu phẳng xác định dạng tuyến tính L1 , , Lu , ta có || F (rei ) |||| L j || d i j  K | L j ( F )(re ) | 2 2  max log  K (2.15)   NW (r,0)  MTF (r )  0(TF (r )) Trong W Wronskian hàm F1 , , FM Kết hợp 2.11, 2.14 2.15 ta đƣợc q m i 1 f (r , Qi )   M NW (r ,0)  T f (r )  0(TF (r ))   Theo định lý thứ nhất, ta có TF (r )  T f (r )  0(1), q m Suy i 1 Cộng q N j 1 f f (r , Qi )   M NW (r ,0)  T f (r )  0(T f (r ))   (2.16) (r , Q j ) vào hai vế 16 áp dụng Định lý thứ nhất, ta đƣợc (qd  q M )T f (r )   N f (r , Q j )  NW (r ,0)  0(T f (r ))   j 1 (2.17) 25 Bây ta ƣớc lƣợng vế trái 2.17 Theo bổ đề 2.1.8 chọn   d (2(n  1)(nd  n)(2n  1) 1 )  3nd Do (qd  M   d (n  1)  T f (r )  M  )T f (r )  d (q  n   )T f (r )   Chú ý rằng, r đủ lớn 0(T f (r ))  T f (r ) Nhƣ (qd  M )T f (r )  0(T f (r ))  d (q  n    )T f (r )  (2.18 ) Khi r đủ lớn Bây ta ƣớc lƣợng M Theo 1.8 với    M (  n) n (d[2(n  1)(nd  n)(2n  1) 1 ]  4nd ) n   2d [2n (n  1)n(d  1) 1 ]n n! n! Tiếp theo ta ƣớc lƣợng q N j 1 f (r , Q j )  NW (r ,0) vế phải bất đẳng thức  2.17 Ta sẻ chứng minh q  N f (r , Q j )  j 1 q NW (r ,0)   N Mf (r , Q j )  j 1 (2.19) Thật vậy, với   C , không tính tổng quát, ta giả thiết Q j  f triệt tiêu  với  j  q1 Q j  f không triệt tiêu  với j  q1 Từ giả thiết siêu mặt D j , j  1, , q , vị trí tổng qt , ta có q1  n Nhƣ tồn số nguyên k j  hàm g j không triệt tiêu lân cận U z cho Q j  f ( z )  ( z   ) j g j ( z ) với j  1, , q, k Trong kj  q1  j  q Với cách chọn đa thức {1 , , n }  {1 , , q } , ta thu đƣợc sở { , , M } V dạng tuyến tính độc lập tuyến tính L1 , , LM cho  t  f  Lt (F ) Theo bổ đề 2.1.5 ta có 26 W  W ( F1 , , FM )  CW ( L1 ( F ), , LM ( F )) C   f  M  f (  f ) / ( M  f ) /  (  f ) ( M 1) ( M  f ) ( M 1) Chú ý rằng, với (i)  (i0 , , in )  I , d  t   (i ) , ta biểu diễn   Q1i Qni  ,  V  d (i ) Khi n   f  (Q1  f )i (Qn  f )i (  f ) n Trong (Q j  f )i ( z)  ( z   )i j j k j g j j ( z ), j  1, , n Ta giả thiết i k j  M  j  q0  k j  M q0  j  q1 Ta biết  (i ) phần tử  nhƣ sở { , , M } Nhƣ W triệt tiêu  với bậc q0 q0 ( i ( k  M ))   j j  i j  i   (i ) (i ) Bởi j 1 q  N f (r , Q j )  j 1 i  j 1 k q0  M    j  j 1 k j  M q NW (r ,0)   N Mf (r , Q j )  j 1 Bất đẳng thức 2.19 đƣợc chứng minh Kết hợp bất đẳng thức 2.18 2.19 vào bất đẳng thức 2.17 với giả thiết nhƣ Định lý 2.1.6, ta có q (q  n    )T f (r )   N Mf (r , Q j ) j 1 d Đúng với số thực r đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý đƣợc chứng minh  27 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Trong luận văn hệ thống lại đƣợc kết sau: Chƣơng 1: Chúng hệ thống lại đƣợc số khái niệm đƣờng cong chỉnh hình hàm lý thuyết Nevanlinna- Cartan Chƣơng 2: Tìm hiểu Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình phức 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Tạ Thị Hoài An (2000) Về tập xác định đa thức cho hàm phân hình, Luận án Tiến sĩ Tốn học - ĐHSP Vinh [2] Đồn Quang Mạnh (2003) Các định lý kiểu Picard tập xác định cho ánh xạ chỉnh hình p-adic nhiều biến, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán Học [3] Hà Trần Phƣơng (2009) Định lý thứ với bội cắt cụt tập xác định nhất, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [4] T T H An (2007) A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, Proc Amer Math Soc 135, no 5, 1255-1261 [5] T T H An and J T Y Wang (2007) Unique range sets and uniqueness polynomials for algebraic curves, Trans Amer Math Soc 359, no 3, 937-964 ... lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 dạng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình từ C vào P n (C) kết hợp với siêu mặt cố định vị... xác định với số phần tử Chú ý rằng, hầu hết chứng minh kết tập xác định dựa vào dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt Sự lựa chọn đề tài: ? ?Định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong chỉnh hình. .. xác định điều kiện không kể bội cho ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian xạ ảnh phức không Acsimet trƣờng hợp siêu phẳng cố định Năm 2008, việc sử dụng định lý thứ hai với bội cắt cụt cho đƣờng cong