Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
848,62 KB
Nội dung
B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN THm THU H S TềN TI VECTOR RIấNG m m CA TON T Uo- LếM CHNH QUY TC DNG TRONG KHễNG GIAN BANACH VI NểN c m c TR Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THAC s TON HOC Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Nguyn Ph Hy H NI - 2015 LI CM N Lun c hon thnh ti trng HSP H Ni di s hng dn ca PGS.TS Nguyn Ph Hy Tụi xin by t lũng bit n n PGS.TS Nguyn Ph Hy ngi thy ó hng dn tụi sut quỏ trỡnh thc hin lun Tụi xin cm n cỏc GS, TS ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ca trng HSP H Ni 2, cỏc thy cụ th vin nh trng, cỏc bn hc viờn cao hc Toỏn gii tớch KI ó giỳp tụi ong quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Thu H LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca PGS.TS Nguyn Ph Hy Tụi xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ghi rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Thu H MC LC M U 1 Lý chn ti .1 Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu i tng v phm vi nghiờn cu Phng phỏp nghiờn c u Nhng úng gúp ca lun Chng 1: KIN THC CHUN B 1.1 Khụng gian Banach na sp th t .4 1.1.1 nh ngha nún v mt s tớnh cht s cp 1.1.2 Quan h sp th t khụng gian Banach 1.2 Quan h thong c gia cỏc phn t 1.3 Phn t Uo - o c 11 1.4 Nún chun tc v nún cc 1.4.1 Nún chun tc v tớnh cht .15 .15 1.4.2 Nún cc tr 19 1.5 Khụng gian Banach na sp th t Rn , C[a.b] 19 1.5.1 Khụng gian R \nG N* 19 1.5.2 Khụng gian C[a.b] 29 Chng s TN s TN TI VECTOR RIấNG CA TON T o uO- LếM CHNH QUY TC DNG TRONG KHễNG GIAN BANACH VI NểN c c TR 40 2.1 nh ngha toỏn t u0 - lừm chớnh quy v tớnh cht s cp 40 2.2.Toỏn t u0-lừm chớnh quy tỏc dng ong cỏc khụng gian Banach 43 2.3 S tn ti vect riờng ca toỏn t u0 - lừm chớnh quy tỏc dng khụng gian Banach vi nún cc tr 46 2.3.1 o hm tim cn ca toỏn t .47 2.3.2 u0- o hm Frộchet ca toỏn t 50 2.4.V d 54 KT LUN 59 TI LIU THAM KHO 60 M U Lý chn ti Lý thuyt im bt ng l mt ngnh toỏn hc lý thuyt cú nhiu ng dng Lý thuyt im bt ng c nghiờn cu theo nhiu hng khỏc v gn lin vúi tờn tui ca nhiu nh toỏn hc ni ting nh: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Cỏc nh toỏn hc ó xột cỏc toỏn t khỏc nhau: Toỏn t n iu, toỏn t o c, toỏn t cú o hm Frechet hay o hm tim cn, toỏn t lừm Nh toỏn hc Nga ni ting Kraxnoxelxki ó nghiờn cu cỏc nghim riờng ca cỏc phng trỡnh toỏn t (1962), toỏn t lừm tỏc dng khụng gian Banach thc vi mt nún c nh (1956) GS TS Bakhtin nghiờn cu v cỏc phng trỡnh khụng tuyn tớnh vi cỏc toỏn t lừm v lừm u (1959), cỏc nghim dng ca cỏc phng trỡnh khụng tuyn tớnh vi cỏc toỏn t lừm (1984), sau ú m rng cho toỏn t (K, u0) - lừm tỏc dng khụng gian Banach thc vi hai nún c nh giao khỏc rng (1984) Cỏc lp toỏn t c cỏc giỏo s Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiờn cu v cụng b nhng kt qu v lp toỏn t lừm tỏc dng ong khụng gian Banach vi mt nún c nh, cỏc toỏn t cú chung tớnh cht u0 - o c Nm 1987, PGS.TS Nguyn Ph Hy ó nghiờn cu v cỏc vect riờng ca toỏn t lừm chớnh quy v cỏc vect riờng dng ca toỏn t (K, Uo) -lừm chớnh quy (2013) Tỏc gi ó m rng v phỏt in cỏc kt qu v toỏn t lừm cho lp toỏn t lừm chớnh quy tỏc dng ong khụng gian Banach vi mt nún c nh nhng khụng yờu cu toỏn t cú tớnh cht u0 - o c chng minh s tn ti vector riờng ca cỏc toỏn t, cụng trỡnh ca cỏc nh toỏn hc k trờn ó b sung cỏc iu kin phự hp cho cỏc toỏn t Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lp toỏn t ny, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca Thy giỏo, PGS.TS Nguyn Ph Hy tụi chn nghiờn cu ti: S tn ti vector riờng ca toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng khụng gian Banach vi nún cc tr Mc ớch nghiờn cu ti ny nhm nghiờn cu, m rng mt s nh lớ v s tn ti vect riờng ca toỏn t Uo - lừm chớnh quy theo hng b sung cỏc iu kin cho nún Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu v khụng gian Banach thc na sp th t Tỡm hiu v s tn ti vect riờng ca toỏn t toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng ong khụng gian Banach vi nún cc tr Toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng khụng gian Rn S m rng ca nh lớ tn ti vect riờng i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc kin thc c s cn thit, cỏc kt qu v toỏn t u0 - lừm chớnh quy S tn ti vect riờng ca toỏn t Uo- lừm chớnh quy tỏc dng ong khụng gian Banach vi nún cc tr Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc cú liờn quan n vect riờng ca toỏn t Uo- lừm chớnh quy tỏc dng ong khụng gian Banach vi nún cc t r Phng phỏp nghiờn cu Thu thp ti liu v cỏc bi bỏo v vect riờng ca toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng ong khụng gian Banach vi nún cc tr Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc khỏi nim, tớnh cht Tham kho ý kin ca giỏo viờn hng dn Nhng úng gúp ca lun Lun trỡnh by tng quỏt v: Khụng gian Banach thc na sp th t Mt s tớnh cht v toỏn t Uo- lừm v u0- lừm chớnh quy Toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng khụng gian Rn S m rng nh lý tn ti vect riờng Cỏc kt qu thu c cú th m rng cho mt s lp toỏn t khỏc Hy vng lun cú th s dng lm ti liu tham kho cho bn c CHNG KIN THC CHUN B 1.1 Khụng gian Banach thc na sp th t 1.1.1 nh ngha nún v quan h sp th t khụng gian Banach nh ngha 1.1.1 Cho khụng gian Banach thc E K l khỏc rng ca E Tp K c gi l mt nún, nu K tha cỏc iu kin sau: Ni, K l mt úng ong khụng gian E ; N2, Nu xG K v y G K, ta cú X + y GK ; Na, Nu X G K v t l s thc khụng õm, ta cú tx G K ; N4, Nu X E K v X ^ ta cú -X K ( l kớ hiu phn t khụng ca khụng gian E) inh lớ 1.1.2 Nu K l mt nún khụng gian nh chun thc thỡ G K v K l mt li Tht vy *) V X G K, V t G R, t > ta cú tx G K ú vi t = ta cú = o.x G K *) V X, y G K, V t G [ 0; 1] ta cú tx G K, (1- t)y G K suy tx + ( l - t ) y G K Vy K l li J inh tớ 1.1.3 Giao ca mt s hu hn tựy ý nún cha ớt nht hai phn t l mt nún Gi Ki, K2, K n l cỏc nún ( n G N*, n > ) ong khụng gian E v K= n cha ớt nht hai phn t j=1 ' Ta chng minh K l mt nún *) Do cỏc Kl, K2, ,Kn l cỏc úng, nờn K úng khụng gian E *) V X, y G K thỡ X, y G Kj, (j = l,n) => X + y G Kj, (j = l,n) => X + y G K *) V X e K, t > thỡ X G Kj, (j = l,n) nờn tx G Kj, (j = l,n) => tx G K *) V X G K, X ^ thỡ X G Kj, (j = l,n) nờn - X Kj, (j = l,n ) => - X K Vy K l mụt nún J nh lớ 1.1.4 Gi s F l mt khỏc rng ong khụng gian E Nu F l mt li, úng, b chn khụng gian E v khụng cha phn t khụng, thỡ K(F) = { z e E : z = tx, X G F, t G R+ } l mt nún Chng minh Ta thy F K(F) m F 4- nờn K(F) 4- 0- Vi mi X G F ta chng minh tn ti s thc dng m, M cho m < ||x|| < M Tht vy, F b chn nờn tn ti M > : ||x|| < M, Vx GF t m = inf||x|L xeF Gi s m = thỡ tn tai dóy n c F cho limllxJ = hay lim xn =0 nằ00 nằ00 khụng gian E Do F l úng nờn E F, trỏi vi gi thit F khụng cha phn t khụng Vy m > v ||x|| > inf ||x|| = m > 0, Vx GF xeF +) K(F) l úng Ly dóy bt kỡ {zn} nằ00 z= g K(F) M * N u z ^ th ỡv i e = |z|> ,3 n e N :V n> n0 tacú \\zn- z |< E = |z| 1 \\z - z < z -z < ^ z => z < zn < T z , Vn > n n n 2 Khi ú Vỡ zn G K(F) nờn zn = tn.xn vi tn > 0, xn G F 44 Neu Xi = thỡ Ci = Wi = Nu Xj > thỡ C -t < W- t e (0; 1) Vy w > tz ngha l Atx > tAx *)(VxeK\{0}) (V t G (0; 1)) Ta chn r\ = > => 1H- 77 = => (1 + rĂ)t Do X G K\{0} nờn Xi > 0, Xi > vi i G {1, 2, Khi ú A tx = w = (l+r|)tAx = y f p z = n } (w ) =1trong ú Wi = kh i Xi > 0, Wi = kh i Xi = 0; (hi)n=1 ong ú h - \ft^ Xi > 0,hi = Xi = Nu Xi = thỡ Wj = hj = Nu Xi > thỡ h - < W= 1do t e (0; 1) \ft*z < w=> Atx > (l+i)tAx Vy A l toỏn t u0 - lừm chớnh quy V d Toỏn t A: R" - R x= (xĂ)=, ^ Ax = z =(^>r=i vi = < Xj = ^ +1 Xj ^ Ta ch A l toỏn t u0 - lừm chớnh quy Tht vy: *) Vx=(xj)"=1 e K => Xi > vi mi i = 1, 2, , n t Ax = z =(Zi)n=1 Vi Xi = thỡ Zj = Vi Xi > thỡ Z = ix~i + > V ỡ Xi > , v i = l , , , n => Zi > , V i = l , , , n A x = z G K 45 Vy AK c= K Vi mi X, y G K: X< y ta cú < Xi thỡ Zi = < V= y- + Nu < Xi < yĂ thỡ Z = +1 ^ +1 = V Vy Ax < Ay *) (Vx K\{0}) (V t G (0; 1)) Ta c ú A tx = w = ( vv,-) " , tx1=0 Xj =0 W r -/x^+l tX^O x* tAx = tz = (c-)" , v iJi=1 C \ r[ / ( ^ +1) Vỡ X G K\{0}=> Xi > 0, Xi > vi i G {1, 2, =0 x ^ O n } N u Xj = thỡ Cj = Wi = Nu Xi> thỡ C = t ( ^ +1), W = ^ +1 ú wi ~ ci = ^ / ^ H- 1(ớ^/xT + ớ) = ^ ( l - ^ ) + ( l - > t e (0; 1) Vy w > tz ngha l Atx > tAx *) (Vx K\{0} ) (V t G (0; 1)) Ta chon 11= - 7= -1 > => 1+ *7 = - 7= => (1 + 77)ớ = Vỡ X G K\{0}=> xĂ > 0, xĂ > vi i G {1, 2, n } Ta cú Atx = w = (w )" ú W = N//x~ +1 Xi > o, Wi = o Xj = 0; 46 (l+r|)tAx = yĂt*z = {h)n=1trong ú h = +1 ) Xi > 0, hi = k h i Xi = Nu Xj = thỡ hi = Wi = Nu Xi > thỡ wi - h i = J õ i + l - ù l ? ( f i ' i +ù) = Jõ'i( l - t ) + ( l - ợ l ? ) > t e (0; 1) z^> hi < Wi => yfp'z < w=> Atx > (l+i)tAx Vy A l toỏn t u0 - lừm chớnh quy 2.3 S tn ti vecttf riờng ca toỏn t Uo - lừm chớnh quy tỏc dng khụng gian Banach vi nún cc tr Gi s E l khụng gian Banach thc na sp th t theo nún K c E, u0 ẫ K\{0}, A: E ằ E l toỏn t U o - lừm chớnh quy 2.3.1 o cn m hm tim m m ca toỏn t nh ngha 2.3.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn Q: E > E c gi l o hm tim cn ca toỏn t A theo nún K, nu Ax = Qx + W(x) , vi xG K; lim JceJf,|jc|->+00 IIWYxill TpY 1= X ỡnh tớ 2.3.2 Nu Q l o hm tim cn ca toỏn t A theo nún K thỡ Qx < Ax vúi mi X e K Chng minh (V X G K\{0} ) ta cú : ||Atx-Qtx|| ||W(tx)|| Um11 1= Um11 I " =0 ớ^+c0 ớ.x ớ^+c0 tx Nờn vi t > 1, 3ci= Ci(x,t) > 47 1 1 Wớtxi Ax = A (-tx )> (l+ c 1)-Atx > -A tx - -[Q(tx)+W(tx)] = Qx + t t => A x > Q x + ^ , V t t t ( >l Cho t >+00, ta c : Qx < Ax Hin nhiờn, Q0 = < A0 Vy Qx < Ax vi mi xG K J inh lớ 2.3.3 ó Gi s cỏc iu kin sau c tha món: 1, A l toỏn t Uo- lừm chớnh quy ờn nún K, (3 vG K(u0))(Vx EK) Ax < v; 2, o hm tim cn Q theo nún K ca toỏn t A cú ong K(u0) vect tiờng Xq tng ng vi giỏ tri riờng 1q > 0; 3, K l nún cc tr Khi ú, toỏn t A cú vect riờng ong K(u0) Chng minh *) Gi s to G (0; 1) Kớ hiu x =t 0lAxQ Theo gi thit, Xq g K(u0), a l toỏn t u0 - lừm chớnh quy, nờn Bc^qClAxQ^o) > cho A x0A (tnlQAxQ) > (1+C)t0A(lqAxq ) > (1+q )t0A(1qQxq)=(l+c1)t0Axq ^ x = ^0^Qi^x Q Iq ( l + c l) A x t A = ẽq{ 1+ C)A ta cú : Ai l toỏn t Uo- lừm chớnh quy (3 Xo e K(u0ằ Xo < AiXo ửl = /ò 'O + O 'ử l o hm tim cn ca toỏn t Ai theo nún K vi bỏn kớnh ph rx(Q ) = /g1(1 + C )_1r(Q) = (1 + C )_1< 48 *) Xột dóy im xn = AiXn.! ( n = 1, 2, , ) x0 < AiXo = Xi < AiXi = x2 < < AiXn_i = xn < < u, u = Ql(1+ C ^ V G K(u0) Dóy im (xn)đ=1 c K(u0) c K \ { v n = 1, , ò ò Xột ỏnh x f : R > E t I> f(t) = xn- tx* vi n l s nguyờn dng, f liờn tc nh tớnh liờn tc ca cỏc phộp toỏn i s ờn khụng gian E T ú v t tớnh úng ca nún K ong khụng gian E ta cú f^ K ) l úng ong khụng gian R Kớ hiu tn = sup f (K), thỡ < aò"1 < tn < 1, vỡ tn > => xn tnx* > => xn > tnx* > X*, mu thun vi (2.2) Hin nhiờn, tn G f 1(K) Hn na, Xn+1 - tnx* > xn - tnx* > tn+l tn Ta nhn c dóy s (ớn)=1 dng, khụng gim v b chn ờn bi 1, nờn tn ti limlliJ = te [ a ò ~ l; 1] M>00 Gi s t < 1, thỡ 3c = c(x*, t) > cho Aitx* > (1 + c)tAix* > (1 + c)tx* => xn+2 = A2xn ^ = Ai^tX*) > ^Atx* ớ> > (l + c)A, tx* > (l + c)ớnx* ớ> (ô = ,2 , ) t => tn+2 > (1 + c )t n ( n = 1, , ) c bit, t2k+i > (1 + c )t2k-i Suy ra, ta +1 > (1 + c )t2k-i ( n = 1, , ) > > (l+c)kti > (k = 1, , ), t = lim tn = lim t2k+ớ = 00, mõu thun vi iu gi s t < Nờn t = n >00 *) Mt khỏc ỡc>00 50 tnAiX* < Aitn X* < AiXn = x n+1 < X* ( n = 1, , ) Cho n >00 ta c Aix* < X*, T (2.1) v (2.3) ta cú Aix* = X* (2.3) => Ax* = 1q (1 + C i ) x * Ngha l toỏn t A cú vector riờng ong K(uo) J 2.3.2 Uo - o hm Frộchet ca toỏn t nh ngha 2.3.4 Toỏn t tuyn tớnh P: E > E c gi l Uo - o hm Frộchet ca toỏn t A tai khụng ( kớ hiờu l ) theo nún K, nu lim ||Ax-A0-Px|| - = x e Jfir,||x||>0 X ỡnh tớ 2.3.5 Nu p l u0- o hm Frộchet ca toỏn t A ti theo nún K, thỡ: a, Ax < Px vi mi X G K; b, ( Vx, y e K: X< y ) Px < Py Chng minh a, Gi s x e ^ \ { } theo nh ngha Uo - o hm Frộchet ||Pớx-Aớx|| ||Pớx-Aớx|| lim - = lim - ~ X =0 ớx Do ú lim Ptx-Atx /->0+ ằ0 Pớx-Atx = lim - ^ ^ = ớ->0+ t ngha l, (V->0)(3ớ0e(0;l)) cho Vớe(0;ớ0] tacú: Ptx - Atx t - Ê u n + A x ,V i e( ; in] t t Nh tớnh cht nh tựy ý ca s Ê > ta c Ax < Px, VX e K \ { d ) Vi X = e thỡ A0 = < P0 = Vy Ax < Px vi mi X G K b, Gi s X, y e K, X < y v t > tựy ý, ta cú Py-Px- P ty - ty t P tx - A tx t A ty -A tx > - ÊU q t ( (2.4)) T h thc trờn v t tớnh cht tựy ý ca s Ê > 0, ta c Px < Py, Vx, y e K, X < y J inh lớ 2.3.6 ó Gi s cỏc iu kin sau tha món: 1, A l toỏn t Uo - lừm chớnh quy v b chn ờn bi phn t V G K(u0) trờn nún K, A0 = 0; 2, u - o hm Frộchet p ca toỏn t A ti theo nún K cú vect riờng Xpe K(u0) tng ng vi giỏ riờng lp > 3, K l nún cc tr v chun tc Khi ú, toỏn t A cú vect riờng ong khụng gian K(u0) Chng minh *) Gi s a, b l hai s dng cho au0 < Xp < bu0 Theo gi thit lim Atx pn- Ptx pn /->n+ lim /->0+ =lim AtxnP t x pn p /->0+ AtxnP t x pn p = lim ô0 /->0+ tx ô0 =0 AtxnP tx pn p ô0 = Suy ra, vi s e = (lp - )a > 0, 3to G (0; 1), vt G (0; to ] 52 Atx pn- Ptx pn < Ê =>- Ê U n < Atx pn- Ptx pn ÊU , V At0Xp-Pt0Xp Do ú = - (V/ /> -/)aun + // >x/ >n / > -(' / p - / )' x pn + /px p =/x p t x0 = toXp , Ai = 1_1A ta thy x0 G K(u0), Al l toỏn t u - lừm chớnh quy v x0 = t0Xp < l^AtoXp = AiX0 *) Xột dóy im xn = AiXn_i ( n = 1, 2, , ) x0 < AiX0 = Xi < AiXi = x2 < < xn = AiXn_i < < rV , ong ú x0 G K(u0), u = Ylv E K(u0), nờn dóy im (xn)=1 K(u0), khụng gim v b chn ờn bi phn t 1_1V G K(u0) Hn na, dóy (xn)c0=1 b chn theo chun nờn (3N > 0)(VnEN*) ||xw||^ JV||/-V|=M-1||v|| Nh tớnh cc ca nún K, tn ti cn ờn ỳng sup(xn )^_j=x*er\{} T tớnh cht ca cn ờn ng v tớnh cht ca toỏn t A , ta c x < x n < X* < u, x n < Xn+1 = AiXn < AiX* => X* < A iX * (2.5) Gi X, y l nhng s dng cho Uo < x0 < xn < X* < u < Xuo , (2.6) ngha l X* G K(u0) v xn >u0 = ^u0 >^x*=>xn - ^ x * > *) Xột ỏnh x (ô=1,2, ) 53 g : R >E t g(t) = xn- tx* , ú n l s nguyờn dng g liờn tc nh tớnh liờn tc ca cỏc phộp toỏn i s trờn khụng gian E Nún K l úng ong khụng gian E, nờn g_1(K) l úng ong khụng gian R t tn = sup g^K), ta thy yX'1 G g_1(K), t G g_1(K) => t < 1, vỡ nu t > thỡ xn - tx* > ^ xn > tx* > X*, mõu thun vi (2.6) Do ú tn G g_1(K) v tn G [ X'1 ; 1] vi n = 1, 2, *) Xột dóy s dng (tn)=1 D dng thy X-n+l tnx ^ xn tnx ^ tn+1 tn ( n 1,2, ) Dóy s dng {tn)=1 khụng gim, b chn trờn bi 1, nờn tn ti lim tn ô->00 n = t e(0; v 1] J Gi s t < Khi ú, 3c2 = c2(x*, t) > cho Aitx* > (1 + c2)tAix* > (1 + c2)tx* => xn+2 = A Xn > AbnX* = > (ỡ + c2)tx* - (ỡ + c2)tnx* t => tn+2 > (1 + c )tn ^ Atx* ẻ ợ (ô=1,2, ) ( n = 1, , ) Suy ra, 2k+1 ^ (1 + C2 )t2k-i > > ( +02)^! > ( k = 1,2 , ) Do ú, t = n lim tn = lim t2k+l =+00, mõu thun vi iu gi s t < Nờn t = H-00 H-00 *) Mt khỏc tnAix* < A itnx* < AiXn = x n+i < X* ( n = 1, , Cho n >+00 ta c AlX* Ax* = lx* Ngha l toỏn t Uo - lừm chớnh quy A cú vector riờng ong K(u0) J 2.4 Vớ d ằ Ta a vớ d v tớnh v s tn ti vector riờng ca toỏn t u - lừm chớnh quy V d 1: Toỏn t tha y cc iu kin ca nh l 2.3.3 Xột nún K = { X = ( X i, x2, , xn) Ê Rn : Xj > 0, i = 1, , n } Gi s Uo = ( U i, u2, .,un) E K\{0}, Ui > 0, Vi = 1, 2, n Theo mc 1.5.1 trang 24 thỡ K l nún cc v K(u0) = { X = ( Xi, x2, xn) G Rn: Xi > } Toỏn t A : Rn > Rn X i-> Ax = z = (z ,)^ ) x , = X > Theo mc 2.2 ta cú A l toỏn t Uo - lừm chớnh quy Khi ú, chn V = K(u0) cho Vi = 1, V i = 1, , n thỡ Zj < Vi =1, V i = 1, , n => z < V Vy Vx = (xĂ)"=1G K ta cú Ax < V Ngha l, A l toỏn t Uo - lừm chớnh quy ờn nún K, tn ti vG K(u0) cho vi mi xG K thỡ Ax < V Xột toỏn t Q : Rn > Rn X h-> Qx = Ta cú Q l toỏn t tuyn tớnh b chn Khi ú Ax = Qx + W(x) = W(x) , vi X G K < Zi < 1, V i = 1, , n Suy 55 0=> lim xeớT,||x||H-oo ||x nờn toỏn t Q l o hm tim cn ca toỏn t A theo nún K Nh vy, cỏc iu kin ca nh lớ 2.3.3 c tha Vy toỏn t A cú vector riờng K(u0) Ta cú th chng minh trc tip toỏn t A cú vector riờng K(u0) nh sau Ta ch ng vi mi s vi mi s X > luụn tn ti giỏ Xe K(u0) Ax = x Gi s X = (Xj)"=1 e K(u0) ú Xi > o, V i = 1, 2, , n nờn Ax = z = (Z)n=1 vúi Zj = 1, V i = 1, , n ; x - (yớ,xĂ)"=1 Vy Ax = Xx < ằl = /lx,Vj = , , X= >0,V = 1,2, ,ô Do ú ng vi mi s vi mi s X > luụn tn ti vector riờng x = (xớ)"=1 eK( u0)vi X = >0,V= 1,2, ,ô V d 2: Toỏn t khụng tha y cc iu kin ca nh lớ 2.3.3 nhng tn ti vector riờng thuc K(uo) Xột nún K = { X = ( X i, x2, , xn) e Rn : Xi > 0, i = , , n } Gi s Uo = ( Ui, u2, .,un) G K\{0}, Ui > 0, Vi = 1, 2, n Theo mc 1.5.1 trang 24 thỡ K l nún cc v K(u0) = { X = ( Xi, x 2, xn) G Rn: Xi > } Xột toỏn t u0 - lừm chớnh quy vớ d ca mc 2.2 Toỏn t u0 - lừm chớnh quy A: Rnằ Rn x = (xi).l ^ Ax = z =(z.)ỡ.l Xj = J\x~\ +1khi Xj ^ 56 Xột toỏn t Q : Rn > Rn X h-> Qx = Ta cú Q l toỏn t tuyn tớnh b chn Khi ú Ax = Qx + W(x) = W(x) , vi X G K n |W(x)| 0< X |Ax| X n Z xi + 2Z v x^+w i=1 i=1 ^ ||xI ||xI Theo bt ng thc Bunyakovsky ta cú: x \ i=1 J i=1 = > x , Ê > /ủ ||x || i=1 < n-\/ủ||x|=> 2^^yx~ < 2-^n2 ||x|| V=1 y Suyra 0< =1 =1 U ||x || ||W(x)|| llvll HI o< II lớ MI 2-^n2 ||x|| + < lim xeJf, X >+00 Km X e J f , | x | - H -00 II II2 MI M lim n _ + II w2 ~ \ llvll + MI i yfủ jHxeJf,X INI n y/ủ y x\\ t >+00 ||x ||2 |x|2 n + II II p| = 1*1 =o X nờn toỏn t Q l o hm tim cn ca toỏn t A theo nún K Ta chng minh toỏn t Uo - lừm chớnh quy A ờn nún K khụng b chn ờn bi vG K(u0) Tht vy, gi s toỏn t b chn trờn bi phn t V = (v-)" G K(u0) thỡ Vi Vi = 1, 2, , n v Ax < V, Vx G K Ax < V, Vx e K => + 1 > 0, 57 Ta chn u = (m)"=1G K vi Ui = v f , vi = 1, , n, thỡ Au = (w)=1, vúi W = yjvf +1 > v , Vi = 1, , n nờn Au > V, mõu thun vi iu gi s Nh vy, nh lớ 2.3.3 thiu iu kin toỏn t Uo - lừm chớnh quy A ờn nún K b chn ờn bi vG K(u0) nhng toỏn t A cú vector riờng ong K(u0) Tht vy Ta ch ng vi mi s vi mi s X > luụn tn ti giỏ tr X e K(u0) Ax = x Gi s X = (xĂ)"=1 e K(u0) ú Xi > o, V i = 1, 2, , n nờn Ax = z = (Zj)"=1 v ú i z i = ^ x ^ + l , V i = 1, 2, Vy Ax = Xx n ; ^x=(XxĂ)"=1 +1 = X o X - ^ / x ~ - l = 0,v = 1,2, ,ô I 1+ y+ 1+ ' + Vl + = - = >0=>x, = - - >0, V = 1,2, ,ô v 22 Nh vy ng vi mi giỏ tr riờng X > luụn tn ti vector riờng ^ a Vớ \ ' _ 1+ 2A + Vl + 4/1 x = (xi);=i e K(uo) vi x = - - > Ngha l, iu kin toỏn t u0 - lừm chớnh quy A b chn trờn bi phn t ve K(u0) ch l iu kin toỏn t u0 - lừm chớnh quy A cú vector riờng K(uo) 58 KT LUN Lun : S tn ti vector riờng ca toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng khụng gian Banach vi nún cc tr trỡnh by mt s nh lớ v s tn ti vector riờng ca toỏn t Uo - lừm chớnh quy theo hng b sung cỏc iu kin cho nún Lun chia lm chng: Chng Kin thc chun b Trỡnh by h thng kin thc v khụng gian Banach na sp th t, nh ngha nún, nún chun tc, nún cc tr, khụng gian Eu v K(uo) Sau ú trỡnh by hai vớ d v nún khụng gian Rn, c[a.b] Chng 2: S tn ti vector riờng ca toỏn t u0- lừm chớnh quy tỏc dng ong khụng gian Banach vúi nún cc Trỡnh by v toỏn t u0- lừm chớnh quy, trỡnh by v chng minh nh lớ v tn ti vector riờng, mt s vớ d ỏp dng cỏc nh lớ ú i vúi cỏc toỏn t u0- lừm chớnh quy ong cỏc khụng gian Rn Do thi gian v kin thc cũn hn ch nờn lun khụng th trỏnh nhng thiu xút, rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n ! [...]... hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K ừong không gian E suy ra f ^ K ) là tập đóng trong không gian R Giả sử inf f ^1(K) = - 00 Khi đó 3 (tn)°° 00 Với n đủ lớn tn < 0, nên 1 ^(tnu0-x)GK 1, X _ - u 0+ -^x= n n Cho qua giới hạn trong biểu thức -u0+ —X khi n... dãy cơ bản Ịje(fe)) hội tụ theo tọa độ tói X nên hội tụ tói X khi k —> 00 trong Rn Vậy Rn là không gian Banach e) Xét K = { X = ( X i, x2, , xn) e Rn : Xi > 0, i = 1, 2 , n } e Rn Ta chứng minh K là một nón trong Rn Thật vậy * ) K ^ 0 v ì e = (O, 0 0 ) £ K *) Giả sử (*(fe)) c= K , x w - (jt^, Rn, ừong đó X và lim^:(fe) = X trong không gian = ( X i, x2, , xn) G Rn Do sự hội tụ ừong Rntương đương... các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón J 1.1.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E Với x , y e E , ta viết x< y nếu y - x e K, X < y nếu y - X e K\{ 0} Đinh ã tí 1.1.6 Quan hệ “ < “ xác định ừong định nghĩa 1.1.5 là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E Chứng minh Thật vậy: *) (VxeE)x n0) tn < 0 Do... Eu Do đó X= xn - (xn - X ) GEu và xn ~ x u ^ £ 5V n > nữ , hay dãy ( xn)n=1 hội tụ trong Eu theo Uo - chuẩn Vậy Eu là không gian Banach theo u0 - chuẩn J 1.4.2 Nón cực trị m Ị Định nghĩa 1.4.4 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K c E Nón K được gọi là cực ừị, nếu đối mỗi dãy (xn)“=1 c K không giảm, bị chặn ừên bỏi u G K, bị chặn theo chuẩn và đối với mỗi dãy ( yn)n=i c K không... w Đinh í lí 1.1.10 Các phần tử cận trên đứng và cận dưới đúng ( nếu tồn tại ) là duy nhất Chứng minh • Giả sử tập M có hai cận ừên đứng là z và z ’ , z G E, z ’ G E thì 9 ( Vx GM) X OJjd = 0-G>max{a(x);/?(x)} = 0 0 1 n“o 1M “o a (x) = ß • (x) = 0 X = 6 (Vjc g Eu ) (XG R) ta tìm được số không âm ti, t2 sao cho : -ti.Uo < x < t 2.u0 Suy ra : Nếu X > 0 ta có : —Ầti M0 < Ãx < Ắt2.u0 Nếu X < 0 thì -X > 0 và ta có - (—Ä)tvu0 < —Ăx... max{inf(t1+ /3),inf(t2+ /4) = II*+ y|| Vậy||jc+v|L I ll«o