phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẬU PHƯƠNG PHÁP TÔ PÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẬU PHƯƠNG PHÁP TÔ PÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hậu i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K19 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Hậu ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 1 LÝ THUYẾT BẬC ÁNH XẠ 8 1.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Định nghĩa bậc ánh xạ C 1 trong R n . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Định nghĩa bậc ánh xạ C trong R n . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Ứng dụng của bậc ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH 24 2.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Một số kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, nhiều hiện tượng tự nhiên và vấn đề khoa học có thể mô tả bằng ngôn ngữ toán học qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số, chẳng hạn như hiện tượng thời tiết, quá trình sinh trưởng của động vật, sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kì, sự phát triển gen của các tế bào sinh vật, các phản ứng hóa học vật lý, . . . Việc nghiên cứu các lĩnh vực này cần nhiều sự hỗ trợ của lý thuyết rẽ nhánh. Đây là vấn đề được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ và ứng dụng trong những bài toán thực tế. Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó tìm những giá trị tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi. Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những môn khoa học tự nhiên khác. Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã và đang giải quyết có hiệu quả những vấn đề nảy sinh trong khoa học cũng như thực tế cuộc sống. Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánh đối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người quan tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học. Nói một cách ngắn gọn, cho trước một phương trình phụ thuộc tham số, phương trình này có thể có nghiệm với giá trị nào đó của tham số, khi giá trị tham số thay đổi thì tính duy nhất nghiệm của phương trình 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn có thể không được đảm bảo. Hiện tượng này có mô tả toán học như sau. Cho hàm số F : Λ × D → Y , trong đó Λ là không gian mêtric với metric d, D là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn X, và Y là không gian định chuẩn. Giả thiết rằng với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình: F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × ¯ D. (0.1) Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường ( ¯ λ, 0) mà tại những lân cận của nó có tính chất: với δ > 0,  > 0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × ¯ D của phương trình trên với d(λ, ¯ λ) < δ và 0 < u < . Nghiệm tầm thường ( ¯ λ, 0) này được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1) và ¯ λ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình được gọi là bài toán rẽ nhánh. Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường đề cập tới những bài toán sau: 1) Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh; 2) Tồn tại những nhánh nghiệm; 3) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ; 4) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh; 5) Một số bài toán khác. Có rất nhiều phương pháp toán học khác nhau nghiên cứu những bài toán trên như: - Phương pháp biến phân đã được Wainberg và Krasnoselski đưa ra từ những năm 50 của thế kỉ trước trong [4], [12]; - Phương pháp tô pô sử dụng bậc ánh xạ đã được Krasnoselski đưa ra trong [3], [5], [10]; - Phương pháp giải tích cho những toán tử khả vi dựa trên các định lý hàm ẩn đã được trình bày trong [8], [11], . . . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau. Dựa vào định lí hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên, không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Ví dụ 0.1. Xét hệ phương trình vi phân: u” + λ[u + v(u 2 + v 2 )] = 0 trong (0, 1) (0.2) v” + λ[v − u(u 2 + v 2 )] = 0 trong (0, 1) (0.3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = 0. (0.4) Ta dễ dàng thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội hai λ n với n = 1, 2, . . . Nhân phương trình (0.2) với v và nhân phương trình (0.3) với u, sau đó lấy tích phân của từng phương trình và sử dụng điều kiện (0.4) rồi trừ hai phương trình đó cho nhau, ta được λ 1  0 (u 2 + v 2 )dx = 0 ⇒ v = u = 0. Tức là với mỗi n thì λ n không phải là điểm rẽ nhánh. Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho các bài toán 1) - 3) với các phương pháp biến phân, tô pô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt tham số là những số thực có dạng T (v) −λC(v) = 0 (λ, v) ∈ R × ¯ D. Trong trường hợp X là không gian Hilbert, T là toán tử đồng nhất, C là toán tử hoàn toàn liên tục từ X → X với C(0) = 0 và là đạo hàm của một hàm liên tục yếu g nào đó, thì Krasnoselski [4] đã chỉ ra: mỗi giá trị riêng của phần tuyến tính đều là điểm rẽ nhánh. Ông đã sử dụng phương pháp biến phân dựa trên tư tưởng của Lyusternik - Schnirelman. Kết quả này đã được Berger tổng quát hóa trong công trình [1]. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho X là không gian Banach, T = id, C = L+H, trong đó L là toán tử đạo hàm Fréchet của C tại 0 và H có tính chất lim v→0 H(v) v = 0. Nếu C là toán tử hoàn toàn liên tục, thì mỗi giá trị riêng của L với bậc đại số lẻ đều là điểm rẽ nhánh. Kết quả này được Petryshyn mở rộng cho lớp ánh xạ tổng quát hơn trong [7]. Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởng của Liapunov - Schmidt sử dụng phép chiếu là đưa phương trình nghiên cứu về hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với số chiều là p; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao. Tức là, ta chuyển bài toán về một hệ p + 1 phương trình p ẩn. Phần nằm trong không gian hữu hạn chiều thường được gọi là phương trình rẽ nhánh. Phương trình nằm trong không gian vô hạn chiều thì giải được duy nhất nghiệm. Nếu phương trình rẽ nhánh giải được thì bài toán cũng giải được. Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp kết hợp giữa phương pháp tô pô và phương pháp giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một số vấn đề về lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương pháp tô pô và giải tích để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình toán tử và ứng dụng trong thực tế. Trình bày các kiến thức học tập về phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh phân dưới dạng một luận văn thạc sĩ với những sáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh; - Các nhánh nghiệm; - Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ. 4. Phương pháp nghiên cứu Phân tích, sử dụng phương pháp tô pô và giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh. Vận dụng kiến thức của bậc ánh xạ và của giải tích hàm, giải tích hiện đại và lý thuyết phương trình toán tử để xét sự rẽ nhánh của phương trình nghiên cứu. 5. Bố cục của Luận văn Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1. Trình bày lý thuyết bậc ánh xạ với các nội dung sau. Cho D là tập mở giới nội trong R n với biên ∂D, ta định nghĩa C(D, R n ) = {f : ¯ D → R n | f liên tục trên ¯ D}, C r (D, R n ) = {f ∈ C(D, R n ) | f có các đạo hàm riêng cấp r trong D và liên tục trên ¯ D}. Với mỗi D, φ ∈ C(D, R n ), p ∈ ∂D ta cho tương ứng với một số nguyên và được gọi là bậc ánh xạ φ tại p trong D như sau: 1) Trường hợp φ −1 (p) ∩ Z = ∅, deg(p, φ, D) được định nghĩa deg(p, φ, D) =  φ(x)=p sign|J φ (x)|. 2) Trường hợp φ −1 (p) ∩ Z = ∅, khi ấy tồn tại q m → p(m → ∞), q m ∈ φ −1 (∂D)∩Z, ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim m→∞ deg(q m , φ, D). 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... minh nhiều định lý có điểm trong tô pô và giải tích như Định lý không co rút được và Định lý điểm bất động của Brouwer 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH Trong suốt chương này, X, Y luôn được coi là không gian Banach thực với đối ngẫu tương ứng là X ∗ và Y ∗ Λ là một tập con mở của không gian định chuẩn Chuẩn và tích vô hướng... này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số Cho X là không gian Banach với tích vô hướng và chuẩn · D là tập mở chứa 0 trong X và Λ là một tập mở của không gian định ¯ chuẩn, F : Λ × D → X là toán tử phi tuyến Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình ¯ F (λ, v) = 0 với (λ, v) ∈ Λ × D, với F (λ, v) có dạng F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), trong đó T : X → Y là toán... luân, tính cộng tính, tính khoét, và tính chỉ phụ thuộc vào giá trị trên biên Cuối cùng ta đưa ra các ứng dụng của bậc ánh xạ Chương 2 Trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Liapunov - Schmidt để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều... ¯ và T − L(λ, ) là ánh xạ 1-1 lên, thì theo định lí hàm ẩn (λ, 0) không là ¯ nghiệm rẽ nhánh vì với mọi lân cận của (λ, 0) chỉ có nghiệm dạng (λ, 0) ¯ ¯ Do đó, (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) chỉ khi λ là giá trị ¯ riêng của cặp (T, L) hay ker(T − L(λ, )) = {0} Tuy nhiên, không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh Vì vậy, để nghiên ¯ cứu sự rẽ nhánh của phương. .. nghiệm tầm thường của phương trình (2.1) Một nghiệm ¯ tầm thường (λ, 0) được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) nếu với mọi δ, > 0 đều tồn tại một nghiệm không tầm thường (λ, v) ∈ ¯ ¯ ¯ Λ × D với |λ − λ|Λ < δ và 0 < v < Hay nói cách khác (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh nếu ¯ ¯ (λ, 0) ∈ cl{(λ, v) ∈ Λ × D/F (λ, v) = 0, v = 0}, với cl(A) là bao đóng của tập A Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình (2.1)... xp (α) ∈ U ∗ và một nghiệm không tầm ¯ λ và thường λ(α), v(α) của phương trình (0.1) với λ(α) = 1 + |α|a−1 p ¯ |α|xj (α)v j + o(|α|) khi α → 0 thỏa mãn |λ(α) − λ| < δ và v(α) = j=1 0 < v(α) < Từ các giả thiết này ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1) 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 LÝ THUYẾT BẬC ÁNH... H : Λ × D → Y ¯ và K : Λ × D → Y là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình F (λ, v) = 0 ¯ ¯ Cho λ ∈ Λ, theo định lí hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình F (λ, v) = 0 là: ¯ ker(T − L(λ, )) = {0} Tiếp theo, để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1)... một điểm x ∈ Rp và tồn tại một lân cận U ∗ ¯ p của x = (¯1 , , xp ) = 0 trong R sao cho deg(0, A, U ∗ ) = 0, trong đó ¯ x ¯ p ánh xạ A : R → Rp , A = (A1 , , Ap ) được định nghĩa bởi p Ai (x) =< T p xj v j ¯ − H λ, j=1 xj v j , ψ i >, j=1 với i = 1, , p và x = (x1 , , xp ) ∈ Rp ¯ Ta chỉ ra rằng với > 0 cho trước và giả thiết 1-3 thỏa mãn, (λ, 0) là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1)... rằng |Jφ (x)| = 0 tại mọi điểm trong U i Trong trường hợp này, dấu của |Jφ | trên mỗi U i là không đổi Do đó, có thể áp dụng định lý cổ điển về sự thay đổi biến trong một tích phân đối với φ : U i → K i Ta có k sign|Jφ (xi )| = deg(p, φ, D) f (φ(x))|Jφ (x)|dx = D i=1 Đây có thể coi là một cách định nghĩa khác của deg(p, φ, D) trong trường hợp φ−1 (p) ∩ Z = ∅ Vậy định lý đã được chứng minh Tiếp theo,... , 4 và phương trình ψ(x) = p sẽ có ít nhất một nghiệm trong B1 Kết quả trên cũng đúng cho mỗi Bj và ta có ψ −1 (p) ∩ Bj = {¯j }, j = 1, , k Kết hợp y với phương trình (1.5) có p − ψ(y1 ) = φ(y1 ) − ψ(y1 ) < deg(p, ψ, D) = sign Jψ (¯j ) = y j sign Jφ (yj ) = deg(p, φ, D) j Bây giờ chuyển sang định nghĩa bậc cho ánh xạ thuộc lớp C(D, Rn ) Định nghĩa bậc ánh xạ C trong Rn 1.3 Cho φ ∈ C(D, Rn ) và p . Nếu phương trình rẽ nhánh giải được thì bài toán cũng giải được. Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp kết hợp giữa phương pháp tô pô và phương pháp giải tích để chỉ ra. nghiệm rẽ nhánh. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một số vấn đề về lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương pháp tô pô và giải tích để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình toán tử và ứng dụng trong. kiến thức học tập về phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh phân dưới dạng một luận văn thạc sĩ với những sáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh. 4 Số hóa bởi