Phương pháp tôpô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2015 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 03 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 03 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ tuyến tính Fredholm 1.2 Định lý Sard hệ 10 1.3 Định lí hàm ẩn 12 Bậc Tôpô ánh xạ 13 2.1 Định nghĩa bậc ánh xạ C Rn 13 2.2 Ứng dụng bậc ánh xạ 19 Sự rẽ nhánh phương trình toán tử 21 3.1 Một vài ký hiệu bổ đề 22 3.2 Các kết 32 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv DANH MỤC KÍ HIỆU x∈M Phần tử x thuộc tập M y∈ /M Phần tử y không thuộc tập M ∅ Tập rỗng M ⊂N M tập N M ∪N Hợp hai tập hợp M N M ∩N Giao hai tập M N M ×N Tích Đề-các hai tập M N ∀x Với x ∃x Tồn x supx∈K f (x) supremum tập {f (x)|x ∈ K} inf x∈K f (x) infimum tập {f (x)|x ∈ K} co D Bao lồi tập D coD Bao lồi đóng tập D int D Phần tập D x Rn Chuẩn X không gian định chuẩn X Không gian Euclide n chiều Lời mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt tìm giá trị tham số mà cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi Thời gian gần đây, lý thuyết sử dụng nhiều để giải vấn đề nảy sinh vật lí, sinh học môn khoa học tự nhiên khác Nhiều kết lí thuyết rẽ nhánh giải có hiệu vấn đề khoa học thực tế sống vai trò ngày trở nên quan trọng Việc nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số nhiều người quan tâm nghiên cứu Với tham số phương trình cho có nghiệm, tính nghiệm có không đảm bảo, có hai nhiều nghiệm khác Về mặt toán học ta mô tả sau: Cho F hàm số từ tích không gian Metric Λ với D, lân cận điểm không gian định chuẩn X vào không gian Y Giả thiết với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = Bằng cách tịnh tiến, ta giả thiết v(λ) = Mỗi nghiệm (λ, 0) gọi nghiệm tầm thường phương trình: F (λ, v) = 0, ¯ (λ, v) ∈ Λ × D (1) ¯ 0) mà lân cận Ta tìm nghiệm tầm thường (λ, có tính chất: với δ > 0, ε > cho trước, tồn nghiệm không tầm thường ¯ < δ < u < ε ¯ phương trình với d(λ, λ) (λ, u) ∈ Λ × D ¯ 0) gọi nghiệm rẽ nhánh phương Nghiệm tầm thường (λ; ¯ gọi điểm rẽ nhánh Những toán nghiên cứu nghiệm trình (1) (λ) rẽ nhánh phương trình (1) gọi toán rẽ nhánh Có nhiều phương pháp toán học khác để nghiên cứu toán như: • Phương pháp biến phân Vainberg Krasnoselski đưa từ năm 50 kỷ trước • Phương pháp Tôpô sử dụng bậc ánh xạ Krasnoselski đưa • Phương pháp giải tích cho toán tử khả vi dựa định lý hàm ẩn Mỗi phương pháp ứng dụng cho phương trình khác nhau, dựa vào định lý hàm ẩn, ta có điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính phương trình Tuy nhiến giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân: u′′ + λ(u + v(u2 + v 2)) = 0, (0; 1); (2) v ′′ + λ(v − u((u2 + v 2)) = 0, (0; 1); (3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = (4) Dễ thấy phần tuyến tính hệ có giá trị riêng bội hai λn với n = 1, 2, Bây ta nhân phương trình (2) với v phương trình (3) với u, sau lấy tích phân phương trình sử dụng điều kiện (4) trừ hai phương trình cho được: (u2 + v )dx = λ Như vậy, ta suy ra: u = v = Tức với n λn điểm rẽ nhánh Rất nhiều công trình tác giả khác cho toán (1)(3) với phương pháp biến phân, tôpô, giải tích cho trường hợp đặc biệt, tham số số thực dạng: T (v) − λC(v) = 0, ¯ (λ, v) ∈ R × D (5) Trong trường hợp X không gian Hilbert, T toán tử đồng nhất, C toán tử hoàn toàn liên tục từ X vào X với C(0) = đạo hàm hàm liên tục yếu g đó, Krasnoselski [3] ra: giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Ông sử dụng phương pháp biến phân dựa tư tưởng Lyusternik - Schnirelman Kết Berger tổng quát hóa công trình [1] Cho X không gian Banach, T = id, C = L + H, L toán tử đạo hàm Fréchet C H có tính chất H(v) v v →0 lim = C toán tử hoàn toàn liên tục giá trị riêng L với bậc đại số lẻ điểm rẽ nhánh Kết Petryshyn mở rộng cho lớp ánh xạ tổng quát [6] Phương pháp giải tích lí thuyết rẽ nhánh dựa tư tưởng Liapunov - Schimidt sử dụng phép chiếu đưa phương trình nghiên cứu hai phần: nằm không gian hữu hạn chiều với số chiều p; phần lại không gian vô hạn chiều trực giao Tức là, ta chuyển toán hệ p + phương trình p ẩn Phần nằm không gian hữu hạn chiều thường gọi phương trình rẽ nhánh Phương trình nằm không gian vô hạn chiều giải nghiệm Nếu phương trình rẽ nhánh giải toán giải Trong luận văn này, ta trình bày nghiên cứu rẽ nhánh phương pháp tôpô giải tích để giá trị riêng phần tuyến tính nghiệm rẽ nhánh Luận văn gồm chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị", trình bày số kiến thức trước tiếp cận với lí thuyết rẽ nhánh, bao gồm số định nghĩa định lí sử dụng việc chứng minh bổ để định lý lý thuyết rẽ nhánh Chương "Bậc Tôpô ánh xạ" Cho D tập mở giới nội Rn với biên ∂D, ta định nghĩa: ¯ → Rn , f liên tục D ¯ , C(D, Rn) = f : D C r (D, Rn) = {f ∈ C(D, Rn) , f có đạo hàm riêng cấp r D ¯ liên tục D Với D, φ ∈ C 1(D, Rn ), p ∈ / φ(∂D) ta cho tương ứng số nguyên 34 (ε1, , εp) ∈ U2 D2 ⊂ QX (D(0, ε)), với D(0, ε) hình cầu mở X, tâm bán kính ε Với (t, α, x) ∈ [0, 1] × I2 × U2, t = 0, α = 0, i = 1, , p, ta đặt p g1i(t, α, x) = T w(|tα|a−1 , |tα| x1, , |tα| xp xj v + ) , ψi |tα| j=1 j p g2i(t, α, x) = − + |tα| a−1 λ xj v j + H a−1 , + |tα| j=1 w(|tα|a−1 , |tα| x1, , |tα| xp + ) , ψi ; |tα| p + |tα| g3i(t, α, x) = − a−1 |tα| −a λ K |tα| xj v j a−1 , + |tα| j=1 + w(|tα|a−1 , |tα| x1, , |tα| xp) , ψ i , với α ∈ I, α = 0, ta định nghĩa hàm Aα : [0, 1] × Rp → Rp , Aαi (t, x) =    m=1 gmi (t, α, x),  Ai (x) Aα = (Aα1 , , Aαp, ) t = 0, t = 0, i = 1, , p ; 35 Họ Aα họ ánh xạ liên tục từ [0, 1] × Rp → Rp Bây ta giả sử có lân cận I3 0, I3 ⊂ I2 cho với α ∈ I3, t ∈ [0, 1], x ∈ ∂U ∗, Aα (t, x) = 0, (3.18) với αU ∗ ⊂ U2 Thật vậy, phủ định giả sử tồn dãy In lân cận 0, In+1 ⊂ In ⊂ I2, ∩In = {0}, giả thiết với n = 3, 4, có αn ⊂ In , tn ∈ [0, 1], xn ∈ ∂U ∗ với Aαn (tn , xn) = Bằng cách trích dãy con, cần thiết giả sử αn → 0, tn → t∗ ∈ [0, 1], xn → x¯∗ ∈ ∂U ∗ x∗ ) Từ (3.19) tính liên tục H K ta suy Aαn (tn , xn) tiến đến A(¯ A(¯ x∗) = Điều mâu thuẫn với định nghĩa bậc tôpô A Từ có chứng minh (3.18) Do có (3.18) nên với α ∈ I3 ánh xạ Aα (1, ) đồng luân với Aα (0, ) = A U ∗ Mặt khác, theo định lý bậc tôpô ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều ta có deg(Aα(1, ), U ∗, 0) = deg(A, U ∗, 0) = Hơn nữa, ta kết luận với α ∈ I3, α = 0, x(α) ⊂ U ∗ cho 36 Aα (1, x(α)) = Theo định nghĩa Aα (1, ) p w(|α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) xj (α)v + |α| j=1 j T p a−1 − (1 + |α| λ xj (α)v j )M a−1 ), |α| + |α| j=1 w(|α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp(α) + , ψi |α| = 0, i = 1, , p Nhân hai vế với |α|a ta p a−1 |α| |α| xj (α)v j + w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp(α) T j=1 p a−1 − (1 + |α| λ ) |α| M |α| xj (α)v j a−1 , + |α| j=1 a +w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) , ψi |α| = 0, i = 1, , p (3.19) Vì λ giá trị riêng (T, L), nên p p |α| xj (α)v j T |α| xj (α)v j − L λ, j=1 = j=1 Mặt khác T : X1 → X1 , ta suy T w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) − L(λ, w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) , ψ i = 0, 37 với i = 1, , p Từ suy p |α| xj (α)v j + w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) − L(λ, T j=1 p |α| xj (α)v j + w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) , ψi = j=1 (3.20) Cộng (3.19) (3.20) ta p a−1 (1 + |α| |α| xj (α)v j + w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) )T j=1 p |α| xj (α)v j + w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp (α) − L(λ, j=1 p − (1 + |α| a−1 λ |α| xj (α)v j + )M a−1 , + |α| j=1 + w |α|a−1 , |α| x1(α), , |α| xp(α) , ψi = 0, với i = 1, , p Chia hai vế cho (1 + |α|a−1) ta T (v(α)) − L λ , v(α) + |α|a−1 −M λ i a−1 , v(α) , ψ + |α| = 0, i = 1, , p, (3.21) với p |α| xj (α)v j + w |α|a−1 , |α| x1 (α), , |α| xp(α) v(α) = j=1 38 Theo Bổ đề 3.2 ta có QY T (v(α)) − L λ , v(α) − M + |α| λ , v(α) + |α| λ , v(α) + M + |α| λ , v(α) + |α| = từ suy T (v(α)) = L Vậy λ 1+|α| , v(α) nghiệm phương trình ta có λ |α|a−1 λ → 0, −λ = + |α| + |α|a−1 α → Bây ta phải chứng minh v(α) = 0, v(α) → 0, α → Thật vậy, giả sử v(α) = với α = ta có p xj (α)v j = − j=1 w |α|a−1 , |α| x1 (α), , |α| xp(α) |α| Mặt khác, ta có X = X0 ⊕ X1 (X0 ⊥ X1 ) suy p j j=1 xj (α)v = Hơn nữa, (v 1, , v p) độc lập tuyến tính nên xj (α) = với α = Tức x(α) = (x1(α), , xp(α)) mà x ∈ U ∗ (lân cận điểm khác 0) Điều vô lý Vậy v(α) = với α = (với v(α) xác định (3.21)) hiển nhiên v(α) → α → Như vậy, định lý chứng minh Từ định lý trên, ta rút vài ý hệ sau Chú ý 3.2.1 Nếu có hai điểm phân biệt x¯1 x¯2 ∈ Rp hai lân cận 39 rời U1∗ , U2∗, (U1∗ ∩ U2∗ = ∅) Rp x¯1 x¯2 (theo thứ tự) thỏa mãn giả thiết I , I 2, v1, v2 tồn Định lý 3.1 tương ứng với x¯1, U1∗, x¯2, U2∗ v1(α) = v2(α) với α ∈ I ∩ I , α = Thật vậy, giả sử có v1(α) = v2(α) với α ∈ I ∩ I , α = Từ suy p x1j (α) − x2j (α) v j = 0, j=1 với x1(α) = (x11(α), , x1p(α)) ∈ U1∗, x2(α) = x21(α), , x2p(α) ∈ U2∗ Do đó, x1(α) = x2(α) Điều mâu thuẫn với U1∗ ∩ U2∗ = ∅ Vậy điều giả sử sai Nghĩa v1(α) = v2(α) với α ∈ I ∩ I , α = Chú ý 3.2.2 Nếu ta giả thiết 1-3 thỏa mãn, a số chẵn, a ≥ PY H(λ, tv) = tα PY H(λ, tv) với t ∈ [−1, 1], (λ, v) ∈ Λ × D Khi đó, áp dụng Định lý 3.1 Định lý [11] để nhận lân cận I nghiệm λi (α), vi(α) , α ∈ I, i = 1, 2, 40 λ1 (α) = λ , + |α|a−1 λ2 (α) = λ , + αa−1 p |α| x1j (α)v j + o(|α|), v1(α) = j=1 p αx2j (α)v j + o(|α|), α ∈ I α → v2(α) = j=1 Ta dễ dàng thấy λ1 (α) = λ2 (α) vớiα ∈ I, α < Vì trường hợp này, kết luận lân cận (λ, 0) tồn hai nghiệm rẽ nhánh khác phương trình (3.1) Điều thấy rõ qua ví dụ sau Ví dụ 3.2.1 Xét rẽ nhánh phương trình −u” = 3λu + 2u3 + 4u5 thỏa mãn u(0) = u(1) = với u = u(x), với x ∈ (0, 1) 41 Ta xét không gian L1 [0, 1] = {f : [0, 1] → R khả tích} L [0, 1] = 1 f ∈ L [0, 1] : |f |2 dx < +∞ , X = u ∈ L2[0, 1] cho u′ , u ∈ L1 [0, 1] u(0) = u(1) = ′′ Ta định nghĩa tích vô hướng u, v = u′v ′ dx, chuẩn u Khi (X, · 0) = u, v (u′)2dx không gian Hilbert Mặt khác, theo định lý Riez tồn ánh xạ T : X → X, L : R × X → X, H : R × X → X, K : R × X → X cho T (u), v = u” , v , L(λ, u), v = λu, v , H(λ, u), v = u3, v , K(λu, v = u5, v , với v ∈ X 42 Do đó, phương trình vi phân tương đương với phương trình T (u) = L(λ, u) + H(λ, u) + K(λ, u) Hơn ta dễ dàng nhận thấy X = X ∗ với X ∗ không gian liên hợp X Bây giờ, ta xét X = {sin nπt}, (n = 1, 2, ) Để giải phương trình toán tử trên, ta tìm giá trị đặc trưng cặp (T, L) Tức tìm λ cho T (u) = L(λ, u) Điều tương đương với T (sin nπt) − L(λ, sin nπt), sin nπt = 0, ∀n = 1, 2, Từ ta có 1 −(sin nπt)” sin nπtdt − λ sin nπt sin nπtdt = 0, 0 hay 2 2 (sin nπt) dt = (n π −3λ) (sin nπt) dt−3λ nπ 0 (sin nπt)2 dt = 0 Như vậy, suy n2 π − 3λ = 0, với n = 1, 2, Do λ = n2 π với n = 1, 2, Với giá trị riêng tìm được, ta tìm x = cho n n A(x) = T xi v i −H xi v i , ψ i λ, = i=1 i=1 Lấy λ = λ1 = π , ta có v = sin πt Do vậy, 1 T (xv , v ) = 1 T (xv )v dt = 0 π2x , xπ sin πtdt = 2 43 H(λ1, xv 1), v = x3 sin3 πt sin πtdt = x3 Khi A(x) = T (xv 1, v 1) − H(λ1, xv 1), v = π2 ⇔ A(x) = x − x3 = ⇔ x = ± Do A′(x) = π2 det A′ π − 94 x2 nên π = −π = 0, det A′ − π = −π = Vì vậy, λ = điểm rẽ nhánh phương trình cho, hay (1, 0) nghiệm rẽ nhánh phương trình cho Chính xác tồn I3, I4 ⊂ (−1, 1) hàm số liên tục x1 : R → I3 , x2 : R → I4 cho x1(0) = π, x2(0) = − π để nghiệm tầm thường phương trình có dạng (λ1 , v1), (λ2 , v2) với , v1(α) = αx1(α) sin πt + w α2 , αx1(α) , 1+α , v2(α) = αx2(α) sin πt + w α2 , αx2(α) λ2 (α) = 1+α λ1 (α) = Với n = 2, 3, , ta làm tương tự Hệ sau tồn điểm rẽ nhánh cho phương trình toán tử 44 Hệ 3.1 Giả sử giả thiết 1, thỏa mãn, ánh xạ A xác định (3.17) toán tử với h có x¯ cực tiểu địa phương điểm tới hạn cô lập, x¯ = Lúc đó, kết luận Định lý 3.1 áp dụng cho số lân cận U ∗ x¯ Rp Chứng minh Từ x¯ = điểm tới hạn cô lập điểm cực tiểu địa phương hàm h Ta chứng minh có lân cận mở U ∗ x¯ không chứa cho deg(A, U ∗, 0) = i(A, x ¯, 0) = Vì vậy, giả thiết thỏa mãn Áp dụng Định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh Hệ 3.2 Giả sử giả thiết 1,2 thỏa mãn, ánh xạ A định nghĩa (3.17) khả vi, x¯ ∈ Rp , x¯ = cho (3.22) A(¯ x) = γ¯ = det ∂Ai (¯ xk) ∂Ax = (3.23) i,k=1, ,p Khi kết luận Định lý 3.1 tiếp tục áp dụng cho lân cận mở U ∗ x¯ Rp Chứng minh Từ x¯ = thỏa mãn điều kiện (3.22), (3.23) tồn lân cận mở U ∗ x¯ Rp cho A(x) = 0, với x ∈ U ∗ , x = x¯ Vì vậy, bậc Tôpô deg(A, U ∗, 0) A U ∗ xác định 45 Từ (3.23) định nghĩa bậc Tôpô ta có deg(A, U ∗, 0) =   1,  −1, γ > 0, γ < Khi đó, giả thiết thỏa mãn, áp dụng Định lý 3.1, hệ chứng minh 46 Kết luận Bản luận văn trình bày định nghĩa bậc tôpô cho lớp toán tử liên tục tính chất nó, đưa ứng dụng bậc tôpô Nội dung luận văn trình bày sử dụng phương pháp kết hợp tôpô giải tích để đưa phương trình nghiên cứu hai phần: phần nằm không gian hữu hạn chiều với số chiều p; phần lại nằm không gian vô hạn chiều trực giao Phần nằm không gian vô hạn chiều có nghiệm Phần nằm không gian hữu hạn chiều phương trình rẽ nhánh Theo định lý hàm ẩn, ta thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính Tuy nhiên, giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Khi viết luận văn sử dụng tài liệu tham khảo, nêu điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh công thức biểu diễn nghiệm phương trình theo giá trị riêng 47 Tài liệu tham khảo [1] M Berger, A bifucartion theory for nonlinear elliptic partial differential equations and related systems In: Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems, Ed., by J.B.Keller and S.Antman New York, Amsterdam: Benjamin 1969, pp 113-190 [2] M Crandall anh P Rabinawiter, Bifurcation at simple eigenvalues, J.Funct, Anal.8 (1971), 321-340 [3] M A Krasnoselki, Topological method in the theory of nonliner integral equations, Moscow 1956 (in Lussian) [4] M A Krasnoselki, Positive solutions of operator equations, Noordhoff, Groningen, Netherland 1964 [5] R J Magnus, Applications of topological degree to the theory of branching, Battelle Math Report, No90 (1974) [6] W V Petryshyn, Bifurcation and asymptotic bifurcation for equations involving A-proper mappings with applications to differential equations J.Diff.Eq28(1978), 124-154 [7] J T Schwartz, Nonliner functionl analysis, Gordon anh Breach Science Publishers New York-London-Paris 48 [8] N X Tan, Some applications of degree theory to bifurcation problems, Z.Anal.und Anwendungen 4(1986) 347-366 [9] N X Tan, Bifurcation problems for equation involing lipschitz continuous mappings, Vol.154, No.1, Janualy 1, 1991 Printed in Belgim [10] N X Tan, An analytical approach to bifurcation problems with applications involing Fredholm mappings, proc Roy Soc Edinburgh Sect.A110 (1988), 199-225 [11] N X Tan, Bifurcation Problems for equations involving Lipschitz continuous mapping, Journal of Math Anal Appl 154 (1991), 2242 [12] M M Vainberg and V A Trenogin, The methods of LiapunovSchmidt in the theory of nonlinear equations, Uspekhi Math.Nauk [...]... về lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương pháp tôpô và giải tích để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình toán tử và ứng dụng trong thực tế Trình bày các kiến thức học tập về phương pháp tôpô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh dưới dạng một luận văn thạc sĩ với những sáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc các tài liệu về định nghĩa bậc ánh xạ và phương. .. ánh xạ và của giải tích hàm, giải tích hiện đại và lý thuyết phương trình toán tử để xét sự rẽ nhánh của phương trình nghiên cứu 6 Đóng góp mới của đề tài Luận văn trình bày tổng quát về lý thuyết bậc, nội dung lý thuyết bậc và lược đồ Liapunov-schmidt sử dụng trong lý thuyết rẽ nhánh 9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trước khi tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, ... phương pháp LiapunovSchimidt để giải phương trình toán tử và áp dụng chúng để giải phương trình rẽ nhánh 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh; - Các nhánh nghiệm; - Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ 5 Phương pháp nghiên cứu Phân tích, sử dụng phương pháp tôpô và giải tích để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh Vận... của bậc Tôpô Chương 3 "Sự rẽ nhánh của phương trình toán tử" Trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Liapunov - Schimidt để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: Phần dễ giải nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian hữu hạn chiều Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số... ) là ánh xạ 1-1 và lên, thì theo Định lý hàm ẩn (λ, ¯ 0) không là và T − L(λ, ¯ 0) chỉ có nghiệm dạng (λ, 0) nghiệm rẽ nhánh vì với mọi lân cận của (λ, ¯ 0) là nghiệm rẽ nhánh của (3.1) chỉ khi λ ¯ là giá trị riêng của cặp Do đó (λ, (T, L) hay ¯ ) = {0} ker T − L(λ, Tuy nhiên không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh Vì vậy, để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình (3.1),... thuyết rẽ nhánh 9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trước khi tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh 1.1 Ánh xạ tuyến tính Fredholm Cho X, Y là hai không gian Banach trên cùng một trường số K, ánh xạ A : X → Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu: A(αx... = id Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3 Từ đó ta có điều cần chứng minh 21 Chương 3 Sự rẽ nhánh của phương trình toán tử Trong suốt chương này, X, Y luôn luôn được coi là không gian Banach thực với đối ngẫu tương ứng là X ∗ và Y ∗ Λ là một tập con mở của không gian định chuẩn Chuẩn và tích vô hướng giữa các phần tử của X, X ∗ và Y, Y ∗ được ký hiệu theo thứ tự là và , Chuẩn của không gian định chuẩn... không gian đối ngẫu X ∗ và tích vô hướng x, f = f (x) D là tập mở chứa 0 trong X và Λ là một tập mở ¯ → X là toán tử phi tuyến Ta xét trong không gian định chuẩn, F : Λ × D sự rẽ nhánh của phương trình F (λ, v) = 0, ¯ (λ, v) ∈ Λ × D, (1) với F (λ, v) có dạng: F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v) Trong đó T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, ) : X → Y là 6 ¯ → Y và toán tử tuyến tính... với (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình (1) ¯ 0) Cho mọi λ ∈ Λ, theo định lý hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (λ, là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) là ¯ ker T − L λ, = {0} Tiếp theo để chỉ ra sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1), ta đưa ra 3 giả thiết: ¯ v = L αλ, ¯ v với mọi v ∈ D, ¯ α ∈ [0; 1] Giả thiết 1: αL λ, ¯ Hơn Giả thiết 2: H và K là các toán tử liên tục Lipschitz... thì tồn tại lân cận I3 của 0 trong R sao cho với mỗi α ∈ I3, α = 0 có thể tìm được x(α) = (x1(α1), , xp(α)) ∈ U ∗ và một nghiệm không tầm thường (λ(α), v(α)) của phương trình (1) với ¯ λ λ(α) = 1 + |α|a−1 và p |α| xj (α)v j + o(|α|) khi α → 0 v(α) = j=1 thỏa mãn ¯ < và 0 < v(α) < ε λ(α) − λ Từ kết quả này ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) Các Chương 1,