Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh là một trong những vấn đề quan trọng của hình học phức. Sự phát triển của lý thuyết Nevanlinna đã mang lại những công cụ mạnh mẽ và đẹp đẽ trong nghiên cứu vấn đề này. Cho đến nay, hướng nghiên cứu về vấn đề này đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Đặc biệt, năm 1975, H. Fujimoto đã chứng minh rằng nếu hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f và g từ C m vào P (C) có chung ảnh ngược (tính cả bội) của 3n + 2 siêu phẳng thì chúng trùng nhau. Năm 1983, L. Smiley chỉ ra rằng nếu hai ánh xạ phân hình f và g có chung ảnh ngược không kể bội của 3n +2 siêu phẳng, giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai và hai ánh xạ này trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này thì f = g. Các kết quả trên có thể xem là những kết quả đầu tiên và đẹp đẽ nhất trong việc mở rộng “Định lý 4 điểm và 5 điểm” của R. Nevanlinna. Trong những năm gần đây, G. Dethloff, T. V. Tấn, Đ. Đ. Thái, S. Đ. Quang [7], [30], [31], Z. Chen, Q. Yan [6] và nhiều tác giả khác đã nhận được những kết quả sâu sắc hơn về tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình từ C vào P n n (C). Tuy nhiên, vấn đề trên hầu như chỉ có thể được xem xét trong trường hợp “ giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai ”. Đây là một điều kiện không được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong các chứng minh của các tác giả trên. Do vậy, việc tổng quát điều kiện trên hoặc đưa ra một điều kiện yếu hơn trong nghiên cứu vấn đề này là một câu hỏi mở. Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ C vào P (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau như G. Dethloff, S. Đ. Quang và T. V. Tấn [7], Z. H. Wang và Z. H. Tu [39] và một số tác giả khác. Tuy nhiên, những tác giả này chỉ xem xét vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với các ánh xạ không suy biến tuyến tính. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Liệu có hay n m mkhông một định lý về vấn đề hữu hạn khi ánh xạ f có thể suy biến? Đồng thời, trong những năm qua, bằng việc áp dụng Định lý cơ bản thứ hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình, như S. Đ. Quang và T.V. Tấn [19], Z. H. Tu và P. Li [38]. Các tiêu chuẩn này cho phép kiểm tra được tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình trên một miền trong C vào không gian xạ ảnh P (C) dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất 2n + 1 siêu phẳng di động. Dựa vào mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính thác triển được qua một tập giải tích có đối chiều 1, T. V. Tấn và N. T. T. Hằng [13], Z. H. Tu [37] và nhiều tác giả khác đã sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ chỉnh hình. Tuy nhiên, trong đó các tác giả đều yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần ít nhất là 2n + 1 và các kỹ thuật mà họ sử dụng không thể áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng ít hơn. Nguyên do là phần bù của hợp một số siêu mặt trong giao một số siêu mặt trong trường hợp đó không còn tính hyperbolic nữa. Chúng tôi đặt vấn đề sẽ nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ như trên, nhưng với số siêu phẳng ít hơn. Để làm được điều này, chúng tôi sử dụng một phương pháp hoàn toàn khác, đó là sử dụng mối liên hệ giữa độ tăng của hàm đặc trưng của đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng với tính kì dị bỏ được tại tâm của đĩa. Do vậy, chúng tôi sẽ đi tìm cách thiết lập được các Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không gian xạ ảnh để nghiên cứu sự thác triển của các đường cong như vậy. Thông qua các kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính thác triển của ánh xạ phân hình từ một miền bất kỳ qua một tập giải tích có đối chiều 1. n Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “ Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc hơn các tính chất của ánh xạ phân hình vào P (C) dưới điều kiện về ảnh ngược của một họ các siêu phẳng cho các trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng có đối chiều ít nhất là 2 hoặc thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính bởi ánh xạ có thể suy biến với bài toán duy nhất và hữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động ít hơn 2n + 1 đối với bài toán về sự thác triển của ánh xạ phân hình. n 2. Tính cấp thiết của đề tài Các tác giả trước đây đều chứng minh định lý duy nhất hay hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ C m vào P (C) với điều kiện “ giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”. Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu bằng 2n + 1 n mlà điều kiện then chốt trong chứng minh của các tác giả trước về vấn đề thác triển của ánh xạ phân hình. Đây là một điều kiện hạn chế. Do đó, việc đưa ra định lý duy nhất và hữu hạn với điều kiện tổng quát về số chiều của giao nghịch ảnh và tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n+1 là hết sức cần thiết. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ C m vào P (C) đối với các trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động và có bội bị chặn. Ngoài ra, luận án còn chứng minh định lý thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. n 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính bội đối với các siêu phẳng cố định hoặc siêu phẳng di động và vấn đề thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng. Mục đích của luận án là chứng minh các định lý hữu hạn, duy nhất và sự thác triển của ánh xạ phân hình với các điều kiện tổng quát, yếu hơn các nghiên cứu trước đó về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phát triển và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình đối với họ các siêu phẳng cố định và siêu phẳng di động, cũng như đưa ra các kết quả mới về tính thác triển của ánh xạ phân hình qua tập giải tích có đối chiều 1. Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu và phần phụ lục, luận án bao gồm bốn chương được viết theo tư tưởng kế thừa. Chương 1 là phần Tổng quan - phân tích đánh giá các công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến luận án. Ba chương còn lại của luận án được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng. Chương 1: Tổng quan. Chương 2: Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định.

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, công bố tạp chí Toán học nước Các kết viết chung với PGS.TSKH Sĩ Đức Quang ThS Lê Ngọc Quỳnh đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Nghiên cứu sinh Hà Hương Giang LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình PGS TSKH Sĩ Đức Quang Tôi mong muốn gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS TSKH Đỗ Đức Thái lời khuyên quý báu giáo sư trình hoàn thành luận án Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến ThS Lê Ngọc Quỳnh, người có nhiều trao đổi khoa học hữu ích với suốt thời gian làm Nghiên cứu sinh Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học Phòng Khoa học Công nghệ trường tạo điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô Khoa Toán - Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, Bộ môn Toán thuộc Trường ĐH Điện lực Hà Nội, thành viên Seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán -Tin, bạn đồng nghiệp động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt trình học tập công tác Cuối cùng, xin bày tỏ lòng cảm ơn tận đáy lòng đến bố mẹ, chồng chấp nhận khó khăn, thiệt thòi năm tháng qua để hoàn thành luận án Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số quy ước kí hiệu TỔNG QUAN 10 TÍNH DUY NHẤT CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH 18 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 19 2.2 Định lý cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định 22 TÍNH HỮU HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG 35 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 36 3.2 Tính hữu hạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động 38 3.3 Ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng di động khác 48 TÍNH THÁC TRIỂN ĐƯỢC CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 61 4.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 62 4.2 Thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động 66 4.3 Định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính 72 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 75 Kết luận 75 Kiến nghị nghiên cứu 76 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 78 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn luận án, ta thống số kí hiệu sau • Pn (C): không gian xạ ảnh phức n− chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm • B(r) := {z ∈ Cm : z < r} hình cầu mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : z = r} mặt cầu bán kính r Cm √ −1 c • d = ∂ + ∂, d := (∂ − ∂): toán tử vi phân 4π • υm−1 := (ddc z )m−1 : (m − 1, m − 1) dạng vi phân Cm • σ := dc log z ∧ (ddc log z )m−1 : 2m − dạng vi phân • O(1): hàm bị chặn • O(r): vô lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vô bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, x • “|| P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • ♯ S: lực lượng tập hợp S • Zero(F ): tập không điểm hàm chỉnh hình F • Nếu A = ∅ dim A = −∞ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh vấn đề quan trọng hình học phức Sự phát triển lý thuyết Nevanlinna mang lại công cụ mạnh mẽ đẹp đẽ nghiên cứu vấn đề Cho đến nay, hướng nghiên cứu vấn đề đạt nhiều kết sâu sắc thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước Đặc biệt, năm 1975, H Fujimoto chứng minh hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f g từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược (tính bội) 3n + siêu phẳng chúng trùng Năm 1983, L Smiley hai ánh xạ phân hình f g có chung ảnh ngược không kể bội 3n + siêu phẳng, giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai hai ánh xạ trùng ảnh ngược siêu phẳng f = g Các kết xem kết đẹp đẽ việc mở rộng “Định lý điểm điểm” R Nevanlinna Trong năm gần đây, G Dethloff, T V Tấn, Đ Đ Thái, S Đ Quang [7], [30], [31], Z Chen, Q Yan [6] nhiều tác giả khác nhận kết sâu sắc tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Tuy nhiên, vấn đề xem xét trường hợp “giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai ” Đây điều kiện không tự nhiên, khó để kiểm tra đóng vai trò then chốt chứng minh tác giả Do vậy, việc tổng quát điều kiện đưa điều kiện yếu nghiên cứu vấn đề câu hỏi mở Hơn nữa, gần nhiều tác giả đưa định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ C m vào Pn (C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng khác G Dethloff, S Đ Quang T V Tấn [7], Z H Wang Z H Tu [39] số tác giả khác Tuy nhiên, tác giả xem xét vấn đề hữu hạn ánh xạ không suy biến tuyến tính Câu hỏi đặt cách tự nhiên là: Liệu có hay không định lý vấn đề hữu hạn ánh xạ f suy biến? Đồng thời, năm qua, việc áp dụng Định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đưa tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình, S Đ Quang T.V Tấn [19], Z H Tu P Li [38] Các tiêu chuẩn cho phép kiểm tra tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình miền Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) điều kiện bội giao ánh xạ với 2n + siêu phẳng di động Dựa vào mối liên hệ tính chuẩn tắc tính thác triển qua tập giải tích có đối chiều 1, T V Tấn N T T Hằng [13], Z H Tu [37] nhiều tác giả khác sử dụng tiêu chuẩn để nghiên cứu tính thác triển ánh xạ chỉnh hình Tuy nhiên, tác giả yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần 2n + kỹ thuật mà họ sử dụng áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng Nguyên phần bù hợp số siêu mặt giao số siêu mặt trường hợp không tính hyperbolic Chúng đặt vấn đề nghiên cứu tính thác triển ánh xạ trên, với số siêu phẳng Để làm điều này, sử dụng phương pháp hoàn toàn khác, sử dụng mối liên hệ độ tăng hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình đĩa thủng với tính kì dị bỏ tâm đĩa Do vậy, tìm cách thiết lập Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không gian xạ ảnh để nghiên cứu thác triển đường cong Thông qua kết đó, nghiên cứu tính thác triển ánh xạ phân hình từ miền qua tập giải tích có đối chiều Vì lí trên, lựa chọn đề tài “Tính hữu hạn thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc tính chất ánh xạ phân hình vào Pn (C) điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng cho trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao ảnh ngược hai siêu phẳng có đối chiều thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính ánh xạ suy biến với toán hữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động 2n + toán thác triển ánh xạ phân hình Tính cấp thiết đề tài Các tác giả trước chứng minh định lý hay hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện “giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai” Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu 2n + điều kiện then chốt chứng minh tác giả trước vấn đề thác triển ánh xạ phân hình Đây điều kiện hạn chế Do đó, việc đưa định lý hữu hạn với điều kiện tổng quát số chiều giao nghịch ảnh tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ 2n + cần thiết Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động có bội bị chặn Ngoài ra, luận án chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính bội siêu phẳng cố định siêu phẳng di động vấn đề thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh điều kiện ảnh ngược siêu phẳng Mục đích luận án chứng minh định lý hữu hạn, thác triển ánh xạ phân hình với điều kiện tổng quát, yếu nghiên cứu trước vấn đề Hơn nữa, tình mà nghiên cứu kỹ thuật phương pháp tác giả trước giải Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận án góp phần làm phát triển sâu sắc kết tính hữu hạn ánh xạ phân hình họ siêu phẳng cố định siêu phẳng di động, đưa kết tính thác triển ánh xạ phân hình qua tập giải tích có đối chiều Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu phần phụ lục, luận án bao gồm bốn chương viết theo tư tưởng kế thừa Chương phần Tổng quan - phân tích đánh giá công trình nghiên cứu tác giả nước liên quan đến luận án Ba chương lại luận án viết dựa bốn công trình đăng nhận đăng Chương 1: Tổng quan Chương 2: Tính ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Chương 3: Tính hữu hạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Chương 4: Tính thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh Nơi thực đề tài luận án Trường Đại học sư phạm Hà Nội Chương Tổng quan I Tính ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Để thuận tiện cho việc trình bày, đưa số ký hiệu định nghĩa sau: Cố định hệ tọa độ (ω0 : · · · : ωn ) không gian xạ ảnh phức Pn (C) Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ) cho H siêu phẳng Pn (C) xác định phương trình a0 ω0 + · · · + an ωn = Đặt (f, H) := a0 f0 + · · · + an fn Ta định nghĩa hàm ν(f,H) Cm với giá trị không âm sau:  0 ν(f,H) (z) = k (f, H)(z) = 0, z không điểm bội k (f, H) Cho {Hi }qi=1 q siêu phẳng Pn (C), q trí tổng quát n i=0 n + Ta nói họ {Hi }qi=1 vị Hji = ∅, với họ số j0 < · · · < jn q Cho d số nguyên dương, ≤ d ≤ n Giả sử f ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính {Hi }qi=1 (q n + 1) q siêu phẳng vị trí tổng quát thỏa mãn d+1 f −1 (Hij ) dim j=1 m − 2, với ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q Với f thỏa mãn điều kiện với số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, {Hj }qj=1 , d, k) tập tất ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) cho: a) b) min{ν(g,Hj ) , k} = min{ν(f,Hj ) , k}, với g(z) = f (z) q j=1 {z j ∈ Cm : ν(f,Hj ) (z) > 0} 10 q 67 Bổ đề 4.2.4 Cho f đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), cho fn+1 = −f0 − · · · − fn cho i∈I fi = 0, ∀I {0, , n + 1} Khi đó, ta có n+1 || Tf (r) ≤ N [n] (r, νf0i ) + O(log+ Tf (r)) + O(log r) i=0 Chứng minh Đặt A = {f0 , , fn+1 } Theo giả thiết, tồn phân hoạch A = A1 ∪ ∪Ak tập khác rỗng A′s (1 ≤ i ≤ k − 1) Bổ đề 4.2.3 Bằng cách thay đổi số cần thiết, ta giả sử: A1 = {0, 1, , t1 }, As = {ts−1 + 1, ts−1 + 2, , ts }, t0 = 0, tk = n + 1, ≤ s ≤ k Vì A1 tối tiểu nên tồn số khác không α1i (0 ≤ i ≤ t1 ) để t1 α1i fi = i=0 Tương tự, với s > 1, As ∪ A′s−1 tối tiểu nên tồn số khác không αsi (ts−1 < i ≤ ts ) số αsi (0 ≤ i ≤ ts−1 ) để ts αsi fi = i=0 Đặt αsi = 0, với i > ts , s ≥ Khi đó, ta có k ts (4.7) αsi fi = s=1 i=ts−1 +1 Vì A1 \ {0} As (s ≥ 2) độc lập tuyến tính nên Ds = det D l (αsi fi ); ≤ l ≤ ts − ts−1 − 1, ts−1 + ≤ i ≤ ts = Ở đây, D l toán tử đạo hàm bậc l Gọi T and T hai ma trận cấp (n+1)×(n+2) xác định sau T = D l (αsi fi ) 0≤l≤ts −ts−1 −1,1≤s≤k, 0≤i≤n+1 , 68 Dl ( T = αsi fi ) f0 0≤l≤ts −ts−1 −1,1≤s≤k, 0≤i≤n+1 Ký hiệu Bi Bi tương ứng định thức ma trận tạo cách xóa cột thứ (i + 1) ma trận T T Vì tổng hàng T T không nên k k i Bi = (−1) B0 = (−1) i Di = Di = (−1)i f0n+1 B0 = f0n+1 Bi (−1)i f0n+1 i=1 i=1 Dễ thấy, tồn số C > để f (z) ≤ C max{|f0 (z)|, , |fn+1(z)|} với z ∈ ∆∗ Do đó, ta có C max{|f0 (z)|, , |fn+1 (z)|}.|B0 (z)| f (z) |B0 (z)| ≤ n+1 n+1 |f (z)| |f (z)| i i i=0 i=0 Điều kéo theo |B0 (z)| ≤ n+1 i=0 |fi (z)| log f (z) + log n+1 log+ i=0 n+1 log+ = i=0 |Bi (z)| n+1 j=0,j=i |fj (z)| + O(1) |Bi (z)| fj n+1 j=0,j=i | f0 (z)| + O(1) Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên Γ(r) áp dụng Bổ đề đạo hàm logarit, ta có Tf (r) + 2π log Γ(r) |B0 | dθ n+1 i=0 |fi | ≤ O(log+ Tf (r)) + C1 log r Do k Tf (r) ≤ ( s=1 fi ∈As N(r, νfi ) − N(r, νAs )) + O(log+ Tf (r)) + C1 log r k ≤ N [ts −ts−1 −1] (r, νfi ) + O(log+ Tf (r)) + C1 log r s=1 fi ∈As n+1 ≤ N [n] (r, νfi ) + O(log+ Tf (r)) + C1 log r i=0 Bổ đề chứng minh Bổ đề 4.2.5 Cho f đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn (C), cho a1 , , an+2 n + siêu phẳng di động Pn (C) ∆ vị trí tổng quát, 69 cho tồn hàm phân hình khác không αi (1 ≤ i ≤ n + 2) ∆ thỏa mãn: n+2 i=1 αi (f, ) = i∈I αi (f, ) = 0, ∀I {1, , n + 2} Giả sử f giao với ∆∗ với bội mi , m1 , , mn+2 số nguyên cố định +∞, thỏa mãn n+2 i=1 1 < mi n Khi đó, f thác triển ∞ thành đường cong chỉnh hình f từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào Pn (C) Chứng minh Không làm tính tổng quát, ta giả sử αi (1 ≤ i ≤ n + 2) không điểm cực điểm chung Gọi divisor ν(z) ∆∗ xác định sau: ν(z) = min{ναi (f,ai ) (z); ≤ i ≤ n + 2} Vì f chỉnh hình nên Supp (ν) tập n+1 {z | rankC (ai0 (z), , ain (z)) ≤ n} ∪ 1≤i0 < [...]... chỉnh hình với tính chuẩn tắc của một ánh xạ chỉnh hình, và mối liên hệ giữa tính tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình với tính thác triển được của các ánh xạ đó Sử dụng các tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh cùng với các mối liên hệ trên, nhiều tác giả đã thiết lập một số tiêu chuẩn cho tính thác triển được của ánh xạ thông qua điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu... trên và Định lý cơ bản thứ 16 hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình dưới điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu phẳng, như: S Đ Quang và T V Tấn [19], Z H Tu và P Li [38], và nhiều tác giả khác Như chúng ta đã biết rằng, có một mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình. .. 3) và n + 1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f s , a1in+1 ) (f s , a1i1 ) = · · · = (f t , a2i1 ) (f t , a2in+1 ) Nếu q i=1 III Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh Năm 2003, các tác giả Đ Đ Thái, P Đ Hương, P N T Trang [33] đã đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian phức Bằng việc kết hợp giữa tiêu chuẩn của. .. i=0 q − 2N − 1 1 < + 1 mi Lf Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C) Ở đó, Lf là số chiều của không gian con tuyến tính nhỏ nhất của Pn (C) chứa f (D \ S) Chương 2 Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Như đã trình bày trong phần mở đầu mục đích của chương 1 là chỉ ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện d+1 dim j=1 f... [18]) Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) và cho q siêu phẳng cố định H1 , , Hq (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát trong Pn (C) Khi đó, q (q − n − 1)Tf (r) ≤ 2.2 [n] N(f,Hj ) (r) + o(Tf (r)) j=1 Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) Cho... định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau Từ đó mở ra một hướng tiếp cận vấn đề duy nhất mới so với trước đây Điển hình, chúng ta có thể kể đến các kết quả của G Dethloff , S.Đ Quang và T.V Tấn [7] vào năm 2010, T.B Cao và H.X Yi [4] vào năm 2011, hay của Z Wang và Z.H Tu [39] vào năm 2013 Kết hợp ý tưởng trên của chúng tôi về việc... các hàm phân hình chỉ trùng nhau trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng và họ đã đưa ra một định lý duy nhất với tập đồng nhất của hai ánh xạ phân hình f và g trong điều kiện (b) nhỏ hơn Tiếp tục ý tưởng trên của chúng tôi, chúng tôi đã mở rộng các kết quả trong [35] của ba tác giả trên như sau Định lý 2 Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C) Cho số nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) và cho... là một ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn (C)∗ , và siêu phẳng a được nói là di động chậm so với ánh xạ f nếu || Ta (r) = o(Tf (r)) khi r −→ +∞ Gọi R({ai }qi=1 ) là trường con nhỏ nhất của trường các hàm phân hình trên Cm chứa aij C và tất cả , với ail ≡ 0 Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ) Ta kí ail hiệu F (f, {ai }qi=1 , d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) không. .. quyết bài toán hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với họ siêu phẳng di động, trong trường hợp d tùy ý, chúng tôi phải cải tiến cách ánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan cho ba hàm phân hình Cụ thể, chúng tôi phải coi mỗi không điểm của hàm phụ trợ Cartan chứa trong nhiều ảnh ngược của các siêu phẳng di động, từ đó có được các ánh giá về hàm đếm tốt hơn Mục tiêu thứ hai của chương 3... giải quyết bài toán hữu hạn cho trường hợp các ánh xạ phân hình có thể suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác nhau và không cùng bội chặn Để làm được điều này, thay vì sử dụng Định lý cơ bản thứ hai thông thường như các tác giả trước đó, chúng tôi phải sử dụng Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính của tác giả S Đ Quang