Định lý forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ LOAN ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN PHỨC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Phạm Thị Loan i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy cô giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học Em chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên khích lệ suốt q trình hồn thành, bảo vệ luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Thị Loan ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa tập đa cực 1.1.1 Hàm đa điều hòa 1.2.2 Tập đa cực 1.2 Ánh xạ chỉnh hình 1.3 Không gian phức 1.4 Khơng gian phức lồi chỉnh hình 1.5 Khơng gian phức có tính chất thác triển Hartogs 1.6 Không gian K𝑎̈ hler phức 1.6.1 Dạng Kä hler 1.6.2 Không gian Kä hler 1.7 Không gian Stein 12 Chương 2: ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN PHỨC 16 2.1 Khơng gian phức có tính chất Forelli 16 2.2 Định lý Forelli không gian phức kiểu Hartog 20 2.3 Định lý Forelli đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình 24 2.4 Định lý Forelli đa tạp phức lồi chỉnh hình 25 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 iii MỞ ĐẦU Ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức từ lâu trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Một số tác giả tiếng Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thanh Vân, J Sicial, Shiffman, T.Terada, chứng minh số kết đẹp đẽ sâu sắc ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Những cơng trình thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Ngày nay, nhiều nhà toán học giới quan tâm đến vấn đề cách tiếp cận khác nhằm giải tốn cụ thể đặt lĩnh vực Như biết định lý cổ điển Hartogs khẳng định hàm giá trị phức 𝑓(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) xác định 𝑧 = (𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) ∈ 𝑈 ⊂ ℂ𝑛 , (𝑛 ≥ 2) hàm chỉnh hình tách, tức chỉnh hình theo biến biến khác cố định 𝑓 chỉnh hình thực Đây số kết quan trọng giải tích phức nhiều biến Năm 1978, Forelli chứng minh kết đáng ý sau đây: Nếu f hàm xác định hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 ⊂ ℂ𝑛 , chỉnh hình giao 𝔹𝑛 với đường thẳng phức l qua điểm gốc f khả vi lớp 𝐶 ∞ lân cận điểm gốc f chỉnh hình 𝔹𝑛 Năm 2004 tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai [14] nghiên cứu đưa số kết mở rộng định lý Forelli ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết, rõ ràng kết nghiên cứu Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai định lý Forelli ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn chương bao gồm số kiến thức giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, khơng gian phức, khơng gian phức lồi chỉnh hình, khơng gian phức kiểu Hartogs, khơng gian K𝑎̈ hler phức, không gian Stein Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định lý mở rộng định lý Forelli bao gồm  Khơng gian phức có tính chất Forelli  Định lý Forelli khơng gian phức kiểu Hartogs  Định lý Forelli đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình  Định lý Forelli đa tạp phức lồi chỉnh hình Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa tập đa cực 1.1.1 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1.1 [5] Giả sử D tập mở ℝ𝑛 Hàm 𝑢: 𝐷 → [−∞, ∞), 𝑢 ≠ −∞ thành phần liên thông D gọi điều hòa D u thỏa mãn hai điều kiện sau: i Hàm u nửa liên tục D, tức tập {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) < 𝑠} mở với số thực s ii Với tập mở compact tương đối G D, với hàm ℎ: 𝐺 → ℝ ̅ 𝑢 ≤ ℎ 𝜕𝐺 𝑢 ≤ ℎ G điều hòa G liên tục 𝐺: Định nghĩa 1.1.2 [5] Giả sử Ω tập mở ℂ𝑛 Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) gọi đa điều hòa Ω nếu: i 𝜑 nửa liên tục Ω 𝜑 ≠ −∞ thành phần liên thông Ω ii Với điểm 𝑧 ∈ Ω đường thẳng phức 𝑙(𝜉) = 𝑧 + 𝑤 𝜉 qua 𝑧0 (ở Ω ∈ ℂ𝑛 , 𝜉 ∈ ℂ), hạn chế 𝜑 lên đường thẳng này, tức hàm 𝜑 ∘ 𝑙(𝜉) điều hòa ≡ −∞ thành phần liên thông tập mở {𝜉 ∈ ℂ: 𝑙(𝜉) ∈ Ω} Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa sau: Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) nửa liên tục miền Ω⊂ ℂ𝑛 đa điều hòa Ω : với 𝑧0 ∈ Ω 𝑤 ∈ ℂ𝑛 , tồn 𝑟0 = 𝑟0 (𝑧 , 𝑤) cho 𝜑(𝑧 ) ≤ 2𝜋 ∫ 𝜑(𝑧 2𝜋 + 𝑤𝑟𝑒 𝑖𝑡 )𝑑𝑡, với 𝑟 < 𝑟0 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian phức Một hàm đa điều hòa X hàm 𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) thỏa mãn : Với 𝑥 ∈ 𝑋 tồn lân cận 𝑈 𝑥 ánh xạ song chỉnh hình ℎ: 𝑈 → 𝑉, với 𝑉 khơng gian phức đóng miền 𝐺 ℂ𝑛 , tồn hàm đa điều hòa 𝜑̃: 𝐺 → [−∞, ∞) cho 𝜑|𝑈 = 𝜑̃ ∘ ℎ Để ý định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn đồ địa phương Formaess Narasimha chứng minh rằng: Hàm nửa liên tục 𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) đa điều hòa 𝜑 ∘ 𝑓 điều hòa 𝜑 ∘ 𝑓 ≡ −∞ với ánh xạ chỉnh hình 𝑓: ∆→ 𝑋, ∆ đĩa đơn vị mở ℂ Ký hiệu PSH(X) tập tất hàm đa điều hòa khơng gian phức X 1.2.2 Tập đa cực Định nghĩa 1.2.2 Giả sử X không gian phức Một tập 𝐸 ⊂ 𝑋 gọi đa cực (đa cực đầy) với điểm 𝑎 ∈ 𝐸 tồn lân cận 𝑉 𝑎 hàm đa điều hòa 𝜑: 𝑉 → [−∞, ∞) cho 𝐸 ∩ 𝑉 ⊂ {𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞} (𝐸 ∩ 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞}) Định lý 1.2.2 (Định lý Josefson)[5] Nếu 𝐸 ⊂ ℂ𝑛 tập đa cực tồn hàm 𝑢 ∈ 𝑃𝑆𝐻(ℂ𝑛 ) cho 𝐸 ⊂ {𝑧 ∈ ℂ𝑛 : 𝑢(𝑧) = −∞} Định lý mở rộng cách tự nhiên lên không gian Stein Định lý 1.2.3 [5] Hợp đếm tập đa cực tập đa cực 1.2 Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập mở ℂn 𝑓: 𝑋 → ℂ hàm số Hàm f gọi khả vi phức 𝑥0 ∈ 𝑋 tồn ánh xạ tuyến tính λ: ℂn → ℂ cho |f(x0 + h) − f(x0 ) − λ(h)| = 0, |h|→0 |h| lim ℎ = (ℎ1 , … , ℎ𝑛 ) ∈ ℂ |ℎ| = (∑𝑛𝑖=1 |ℎ𝑖 |2 )2 ) 𝑛 Hàm f gọi chỉnh hình 𝑥0 ∈ 𝑋 𝑓 khả vi phức lân cận 𝑥0 Hàm f gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X Định nghĩa 1.2.2 Cho X tập mở ℂ𝑛 i Một ánh xạ 𝑓: 𝑋 → ℂ𝑚 viết dạng 𝑓 = (𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ), 𝑓𝑖 = 𝜋𝑖 ∘ 𝑓: 𝑋 → ℂ, 𝑖 = 1, … , 𝑚 hàm tọa độ Khi 𝑓 gọi chỉnh hình 𝑋 hàm 𝑓𝑖 chỉnh hình 𝑋 với 𝑖 = 1, … , 𝑚 ii Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑓(𝑋) ⊂ ℂ𝑛 gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình 𝑓 −1 ánh xạ chỉnh hình 1.3 Không gian phức Định nghĩa 1.3.1 Giả sử 𝑍 đa tạp phức Một khơng gian phức đóng 𝑋 tập đóng 𝑍 mà mặt địa phương xác định hữu hạn phương trình giải tích Tức là, với 𝑥0 ∈ 𝑋 tồn lân cận mở 𝑉 x 𝑍 hữu hạn hàm chỉnh hình 𝜑1 , … , 𝜑𝑚 𝑉 cho 𝑋 ∩ 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉|𝜑𝑖 (𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X không gian phức đa tạp phức Z - Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 gọi điểm quy X a có lân cận U Z cho 𝑈 ∩ 𝑋 đa tạp phức Tập điểm quy X kí hiệu Xreg - Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 gọi điểm kỳ dị X khơng điểm quy Tập điểm kỳ dị X kí hiệu 𝑋𝑠𝑖𝑛 Định lý 1.3.1 Trong khơng gian phức X, tập điểm quy 𝑋𝑟𝑒𝑔 đa tạp phức mở tập điểm kì dị 𝑋𝑠𝑖𝑛 khơng gian phức với 𝐼𝑛𝑡𝑋𝑠𝑖𝑛 = ∅ Định nghĩa 1.3.3 Giả sử X không gian đa tạp phức 𝑍 Hàm 𝑓: 𝑋 → ℂ gọi chỉnh hình 𝑋 với điểm 𝑥 ∈ 𝑋 tồn lân cận 𝑈(𝑥) ⊂ 𝑍 hàm chỉnh hình 𝑓̂ 𝑈 cho 𝑓̂|𝑈∩𝑋 = 𝑓|𝑈∩𝑋 Định nghĩa 1.3.4 Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑌 ánh xạ hai không gian phức 𝑋 𝑌 𝑓 gọi chỉnh hình với hàm chỉnh hình 𝑔 tập mở 𝑉 𝑌, hàm hợp 𝑔 ∘ 𝑓 hàm chỉnh hình 𝑓 −1 (𝑉) Kí hiệu Hol(X,Y) tập ánh xạ chỉnh hình từ 𝑋 vào 𝑌 trang bị tô pô compact mở Giả sử {𝑓𝑛 : 𝑋 → 𝑌} dãy ánh xạ chỉnh hình không gian phức 𝑋, 𝑌 Nếu {𝑓𝑛 } hội tụ tới 𝑓 Hol(X,Y) 𝑓 ánh xạ chỉnh hình Định lý 1.3.2 (Định lý Hironaka giải kỳ dị) Giả sử X không gian phức Khi đó, với 𝑥 ∈ 𝑋 tồn lân cận mở U chứa x, tồn đa tạp giải tích M ánh xạ chỉnh hình 𝜋: 𝑀 → 𝑈 lên U cho: i 𝜋 ánh xạ riêng Đặt 𝔹𝑛∗ = 𝔹𝑛 \ {𝑧𝑛 = 0} Xét ánh xạ chỉnh hình 𝜑: 𝔹𝑛∗ → ℂ𝑛 cho 𝜑(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) = ( 𝑧1 𝑧𝑛−1 ,…, , 𝑧𝑛 ) 𝑧𝑛 𝑧𝑛 Đặt 𝜑(𝔹𝑛∗ ) = 𝑇 𝑣à xác định 𝜑1 :𝔹𝑛∗ → 𝑇 𝑏ở𝑖 𝜑1 (𝑧) = 𝜑(𝑧) cho 𝑧𝜖 𝔹𝑛∗ Khi 𝜑1 song chỉnh hình Đặt 𝑔 = 𝑓 °𝜑1−1 ∶ 𝑇 → 𝑀 TR,h = {𝑡 = (𝑡 ′ , 𝑧𝑛 ) ∈ 𝑇: ‖𝑡 ′ ‖ < 𝑅 𝑣à < |𝑧𝑛 |2 < ℎ 1+𝑅 )} cho 𝑅 > < h ≤ {𝑇𝑅,ℎ } tích hai tập mở nên tập mở Hiển nhiên ℎ tăng bán kính tập mở thứ hai tăng Do {𝑇𝑅,ℎ } họ tập mở tăng ℎ tăng 𝑇 =∪ {𝑇𝑅,1 : 𝑅 ∈ 𝑄+∗ } Từ (1) ta có 𝑔 chỉnh hình 𝑇𝑅,𝑟02 với 𝑅 > Định nghĩa ∆̃𝑅 =𝐴̅√1|(1+𝑅2) = {𝑧 ∈ 𝐶: |𝑧| ≤ √1/(1 + 𝑅2 )}, SR = ′ ̃ {𝑤 ′ ∈ 𝔹𝑛−1 𝑅 : 𝑔 không thác triển đến lân cận (𝑤 × ∆𝑅 ) ∩ 𝜑1 (𝔹𝑛∗ )} Theo định nghĩa trên, phần bù 𝑆𝑅 tập mở 𝑆𝑅 đóng Chúng ta phải chứng minh 𝑆𝑅 đa cực Thật vậy, theo giả thiết 1+‖𝑤 ′ ‖2 > 1+𝑅 với 𝑤 ′ ∈ 𝔹𝑛−1 𝑅 , Ta có ánh xạ 𝑔𝑤 ′ (𝑤𝑛 ) = 𝑔(𝑤 ′ , 𝑤𝑛 ) = 𝑓(𝑤𝑛 𝑤 ′ , 𝑤𝑛 ) chỉnh hình lân cận ∆̃𝑅 Theo Bổ đề 2.1.1 tồn tập đa cực đóng 𝑆𝑅′ 𝔹𝑛−1 cho 𝑅 ′ ̃ g thác triển thành ánh xạ chỉnh hình 𝑔̃ : (𝔹𝑛−1 𝑅 \ 𝑆𝑅 ) × ∆𝑅 ) → 𝑀 Rõ ràng SR⊂ 𝑆𝑅′ SR đa cực Đặt 𝑆̃R = SR× ∆̃R 𝑆̃ = ∪𝑅∈𝑄+∗ 𝑆̃R Rõ ràng 𝑆̃ tập đa cực T 19 Lấy điểm 𝑧 = (𝑧 ′ , 𝑧 𝑛 ) ∈ 𝑇\𝑆̃ Vì T = ∪𝑅∈𝑄+∗ TR,1, nên tồn R∈ 𝑄+∗ cho z∈ 𝑇R,1 Mặt khác, theo định nghĩa SR 𝑆̃R,ta có z’∉ 𝑆R Vì g thác triển chỉnh hình lân cận (𝑧 ′ × ∆̃R)∩ 𝑇 Điều có nghĩa g chỉnh hình lân cận mở 𝑧 Từ suy g chỉnh hình lân cận mở T \ 𝑆̃ Xét ánh xạ 𝑝 ∶ ℂ𝑛 → ℂ𝑛−1 cho (𝑧1 , , 𝑧𝑛 ) ↦ (𝑧1 , , 𝑧𝑛−1 ) đặt 𝑇 ∗ = {𝑧: 𝑧 ∈ 𝑇 𝑣à 𝑝(𝑧) ∉∪𝑅∈𝑄+∗ 𝑆𝑅 } Vì 𝑇 ∗ ⊂ 𝑇\𝑆̃ nên 𝑔 chỉnh hỉnh lân cận mở 𝑇 ∗ 𝑛 Hơn 𝔹𝑛 = ∪𝑗=1 (𝔹𝑛 \ {𝑧𝑗 = 0})∪ 𝔹𝑛𝑟0 nên 𝑓 chỉnh hình lân cận mở 𝔹𝑛 \ ∪𝑎∈𝑆 la 𝑆 đa cực ℙ𝑛−1 (ℂ) 2.2 Định lý Forelli không gian phức kiểu Hartogs Để chứng minh định lý Forelli không gian phức kiểu Hartogs ta cần số kết sau: Định lý 2.2.1 [14] Cho 𝑈, 𝑉 tập mở ℂ𝑚 , ℂ𝑛 tương ứng K tập compact liên thông ℂ𝑛 chứa V X khơng gian giải tích phức f:V→ 𝑋 ánh xạ chỉnh hình Nếu 𝑓𝑧 thác triển chỉnh hình tới K với z∈ U Khi tồn ̃ (𝑈\𝐸) × 𝐾 → 𝑋 tập đóng E có độ đo U ánh xạ chỉnh hình 𝑓: cho 𝑓 = 𝑓̃ (𝑈\𝐸) × 𝑉 Chứng minh [7]: Kí hiệu E tập điểm 𝑧 ∈ 𝑈 cho 𝑓 thác triển chỉnh hình lên lân cận (trong 𝑈 × ℂ𝑛 ) {𝑧} × 𝐾 Khi 𝐸 tập 𝑈 Giả sử 𝐸 có độ đo dương Như chứng minh Bổ đề 2.1.1 Ta chọn 𝐸 ′ tập điểm 𝑧 ∈ 𝐸 cho 𝑓𝑧 ∈ 𝑁(𝑟; 𝑗1 , … , 𝑗𝑟 , 𝑘1 , … , 𝑘𝑟 ) cho 𝐸 ′ có độ đo dương 𝐸 ′ khơng tập đa cực Định lý 2.2.1 chứng minh hoàn toàn tương tự chứng minh Bổ đề 2.1.1 ∎ 20 Bổ đề sau lớp khơng gian phức có tính chất (HEP) Bổ đề 2.2.1 [7] Giả sử X khơng gian giải tích phức Khi khẳng định sau tương đương: i X có tính chất (HEP) ii Nếu D miền ℂ2 𝑝 ∈ 𝜕𝐷 cho D có 𝐶 biên p D khơng giả lồi Levi p ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐷 → 𝑋 thác triển thành ánh xạ chỉnh hình tập mở chứa 𝐷 ∪ {𝑝} iii ̃ cho 𝐷 ̃ bao chỉnh hình Nếu D miền đa tạp Stein 𝐷 D ánh xạ chỉnh hình 𝑓: 𝐷 → 𝑋 thác triển chỉnh hình tới ̃ 𝐷 Bổ đề 2.2.2 [7] Cho U, V có miền tương ứng ℂ𝑀 , ℂ𝑁 , cho 𝑉0 tập mở V, cho E tập đóng có độ đo U Khi bao chỉnh hình 𝑉0 ∪ (𝑈\𝐸) × 𝑉 chứa U×V Bổ đề 2.2.3 [7] Giả sử M khơng gian phức có tính chất thác triển Hartogs (HEP) Giả sử U,V miền xác định ℂ𝑛 ,ℂ𝑚 tương ứng giả sử V0 tập mở V Nếu f: U × 𝑉0 → 𝑀 ánh xạ chỉnh hình fz thác triển chỉnh hình đến V cho tất điểm z ∈ 𝑈 Khi f thác triển chỉnh hình đến U × 𝑉 Chứng minh Xét miền tùy ý 𝑉 ′ với 𝑉0 ⊂ 𝑉 ′ ⊆ 𝑉 Theo Định lý 2.2.1 tồn tập đóng 𝐸 có độ đo 𝑈 cho 𝑓 thác triển chỉnh hình đến tập 𝐷 = ̃ 𝐷 chứa 𝑉 ′ Vì 𝑈×𝑉0 ∪ (𝑈\𝐸) × 𝑉 ′ Theo Bổ đề 2.2.2 bao chỉnh hình 𝐷 theo Bổ đề 2.2.1, 𝑓 thác triển chỉnh hình đến 𝑈 × 𝑉 ′ Vì 𝑉 ′ tùy ý nên định lý chứng minh.∎ Forelli chứng minh kết đáng ý sau đây: 21 Định lý 2.2.2 [14] (Định lý Forelli) Nếu f hàm xác định hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 ⊂ ℂ𝑛 , chỉnh hình giao 𝔹𝑛 với đường thẳng phức l qua điểm gốc f khả vi lớp 𝐶 ∞ lân cận điểm gốc f chỉnh hình 𝔹𝑛 Đỗ Đức Thái Phạm Ngọc Mai chứng minh định lý Forelli không gian phức kiểu Hartogs sau: Định lý 2.2.3 [14] Giả sử M khơng gian phức kiểu Hartogs Khi M có tính chất Forelli Chứng minh Theo Định lý 2.2.2 (Forelli), tồn 𝑟 > cho 𝑓 chỉnh hình 𝔹𝑛𝑟0 Đặt 𝑟 ∗ = sup{𝑟 ∈ (0,1): 𝑓 chỉnh hình 𝔹𝑛𝑟 } Khi 𝑓 chỉnh hỉnh 𝔹𝑛𝑟 ∗ Giả sử 𝑟 ∗ > Bước Lấy 𝑝0 ∈ 𝜕𝔹𝑛𝑟 ∗ Với điểm 𝑓(𝑝0 ) ∈ 𝑀 lấy 𝑊0 = 𝑊𝑓(𝑝0 ) , r0= 𝑟𝑓(𝑝0) , S0 = 𝑆𝑓(𝑝0) định nghĩa kiểu Hartogs 1.5.2 (ii), tức với 𝜑 ∈ 𝐻𝑜𝑙(∆, 𝑀) 𝜑(0) ∈ 𝑊0 𝜑(∆𝑟0 ) ⊂ 𝑆0 lim− Vì ||𝑝||(1−𝛼) 𝛼→1 1−𝛼(𝑟 ∗ )2 = < 𝑟0 nên tồn 𝛼0∈ (0,1) cho r *(1   )  r0 , f ( p0 )  W0   (r*)2 Hơn nữa, lim ‖𝑝‖(1−𝛼0 ) 𝑝→𝑝0 1−𝛼0 ‖𝑝‖2 = 𝑟 ∗ (1−𝛼0 ) 1−𝛼0 (𝑟 ∗ )2 < r0, nên tồn 𝔹(𝑝0 , 𝛿) ⊂ 𝔹𝑛 cho ‖𝑝‖(1 − 𝛼0 )/(1 − 𝛼0 ‖𝑝‖2 ) < 𝑟0 , với 𝑝 ∈ 𝔹(𝑝0, 𝛿) 𝑓(𝛼0 𝔹(𝑝0 , 𝛿)) = 𝑓 (𝔹(𝛼0 𝑝0 , 𝛼0 , 𝛿)) ⊂ 𝑊0 22 Bây chứng minh 𝑓(𝔹(𝑝0 , 𝛿)) ⊂ 𝑆0 Thực vậy, lấy 𝑝 ∈ 𝔹(𝑝0 , 𝛿) Xét ánh xạ 𝑀𝑜̈ 𝑏𝑖𝑢𝑠 ψ: ∆→ ∆ đượ𝒄 cho 𝜓(𝑧) = 𝑧 − ‖𝛼0 𝑝‖ − ‖𝛼0 𝑝‖𝑧 Đặt 𝜓(‖𝑝‖) = 𝑝’ Xét ánh xạ 𝜑: ∆→ 𝔹𝑛 cho bới 𝜑(𝑧) = 𝑧𝑝/||𝑝|| ánh xạ hợp thành 𝛷 ≔f∘ 𝜑 ∘ 𝜓 −1 : ∆→ 𝑀 Khi 𝛷(0) = 𝑓(𝛼0 𝑝) ∈ 𝑊0 , 𝛷(𝑝′ ) = 𝑓(𝑝) Mặt khác, |𝑝’| = ‖𝑝‖(1 − 𝛼0 ) < 𝑟0 , − 𝛼0 ‖𝑝‖2 nên ta có 𝑝’ ∈ ∆𝑟0 𝛷(𝑝′ ) = 𝑓(𝑝) ∈ 𝑆0 Bước Ta chứng minh rằng, 𝑝0 ∈ 𝔹𝑛𝑟 ∗ , tồn 𝛿𝑝0 > cho thu hẹp f 𝔹(𝑝0 , 𝛿𝑝0 ) chỉnh hình Khơng tính tổng qt giả thiết 𝑝0 = (0, ,0, 𝑟 ∗ ) Do 𝑓, 𝜑1−1 ánh xạ chỉnh hình 𝑔 = 𝑓 ∘ 𝜑1−1 nên theo định nghĩa 𝑇 𝑇𝑅,ℎ ta có g chỉnh hình 𝑇𝑅,(𝑟 ∗ )2 với 𝑅 > Theo bước 1, 𝜑1 song chỉnh hình nên tồn 𝛿 > cho g(𝔹(𝑝0 , 𝛿) chứa tập S0 kiểu Hartogs Chú ý 𝜑1 (𝑝0 ) = 𝑝0 Lấy 𝛿1 > đủ nhỏ cho ∆𝑛−1 𝛿1 × ∆(𝑝0,𝛿1 ) ⊂ 𝐵(𝑝0 , 𝛿) Vì lim+ 𝛿→0 (𝑟 ∗ )2 1+(𝑛−1)𝛿 = (𝑟 ∗ )2 > (𝑟 ∗ − 𝛿1 ), tồn 𝜎2 > cho (𝑟 ∗)2 𝜎1 ∗ > (𝑟 − ) , + (𝑛 − 1)𝜎22 23 < 𝛿2 < 𝛿1 Do ∗ ∆𝑛−1 𝜎2 × ∆(𝑟 − 𝜎1 𝛿1 ∗ , ) ⊂ ∆𝑛−1 𝛿2 × ∆(𝑟 ,𝛿1 )⊂ 𝔹(𝑝0 , 𝛿) ∗ ∆𝑛−1 𝛿2 × ∆(𝑟 − 𝛿1 𝛿1 , ) ⊂ 𝑇𝛿2,(𝑟 ∗)2 ∗ Theo Bổ đề 2.2.2, 𝑔 chỉnh hình ∆𝑛−1 𝛿2 × ∆(𝑟 , 𝛿1 ) Vì 𝜑1 ánh xạ song chỉnh hình Bước Cho 𝑝 ∈ ̅̅̅̅̅ 𝔹𝑛𝑟 ∗ đặt 𝛿𝑝 = sup{𝛿: 𝑓 chỉnh hình 𝔹(𝑝, 𝛿)} Theo bước 2, 𝛿𝑝 số dương Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta có |𝛿𝑝0 − 𝛿𝑝1 | ≤ ‖𝑝0 − 𝑝1 ‖, ∀𝑝0 , 𝑝1 ∈ ̅̅̅̅̅ 𝔹𝑛𝑟 ∗ Từ suy hàm 𝛿: ̅̅̅̅̅ 𝔹𝑛𝑟 ∗ →ℝ+ 𝑛 𝛿(𝑝) = 𝛿𝑟 ∗ > ̅̅̅̅̅ ∗ liên tục Do min𝑝∈𝔹 ∗ 𝑟 Khi f chỉnh hình 𝔹𝑛𝑟 ∗+𝛿𝑟∗ ⊋ 𝔹𝑛𝑟 ∗ Điều mâu thuẫn với giả sử 𝑟 ∗ = sup{𝑟 ∈ (0,1): 𝑓 chỉnh hình 𝔹𝑛𝑟 } ∎ 2.3 Định lý Forelli đa tạp K𝒂̈ hler phức compact lồi chỉnh hình Bổ đề 2.3.1 [14] Giả sử M khơng gian phức K𝑎̈ hler lồi chỉnh hình Khi M có tính chất thác triển Hartogs M không chứa đường cong hữu tỉ Định lý 2.3.1[14] Giả sử M không gian K𝑎̈ hler phức lồi chỉnh hình Khi M có tính chất thác triển Hartogs M có tính chất Forelli Chứng minh Điều kiện đủ: 𝑀 khơng gian phức có tính chất thác triển Hartogs nên 𝑀 khơng gian phức kiểu Hartogs Do theo Định lý 2.2.2, 𝑀 có tính chất Forelli Điều kiện cần: Theo Bổ đề 2.3.1, để chứng minh 𝑀 khơng gian phức có tính chất thác triển Hartogs ta cần chứng minh 𝑀 không chứa đường cong hữu tỷ 24 Giả sử rằng: (1) Tồn đường cong hữu tỷ 𝜑: ℙ1 (ℂ) → 𝑀 𝑣à 𝜑 ≠ số Xét ánh xạ f : 𝔹2 → ℙ1 (ℂ) cho (z,w) ↦ [(𝑧 + 𝑤 − 1)2 : (𝑧 − 𝑤)2 ] với 1 1 (z,w) ≠ ( , ) 𝑣à 𝑓( , ) = [1:1] 𝑓 khả vi lớp 𝐶 ∞ lân cận mở 2 2 điểm gốc hạn chế f đường thẳng phức qua điểm gốc chỉnh hình Vì 𝑀 có tính chất Forelli, 𝜑 ∘ 𝑓 chỉnh hình Đặc biệt, 𝜑 ∘ 𝑓 liên tục tồn giới hạn sau: (2) lim 1 (𝜑 ∘ 𝑓)(𝑧, 𝑤) = 𝛼 ∈ 𝑀 (𝑧,𝑤)→( , ) 22 Từ (1) suy 𝜑 −1 (𝛼) tập hữu hạn ℙ1 (ℂ) (3) Đặt 𝑤 = + 𝜆(𝑧 − ), 𝜆 ∈ ℂ Khi đó, lim 11 (𝑧,𝑤)→( , ) 22 𝑓(𝑧, 𝑤) = [(1 + 𝜆)2 : (1 − 𝜆)2 ] Từ (2), ta có {[(1 + 𝜆)2 : (1 − 𝜆)2 ]: 𝜆 ∈ ℂ} ⊂ 𝜑 −1 (𝛼) Điều mâu thuẫn với (3) Do 𝑀 khơng chứa đường cong hữu tỷ.∎ 2.4 Định lý Forelli đa tạp phức lồi chỉnh hình Định nghĩa 2.4.1 Cho 𝑋, 𝑌 hai không gian phức Một tương ứng 𝑓: 𝑋 → 𝑌 thỏa mãn điều kiện sau gọi ánh xạ phân hình hai khơng gian phức 𝑋, 𝑌 Với điểm 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓(𝑥) tập compact khác rỗng 𝑌 Đồ thị 𝐺𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑌; 𝑦 = 𝑓(𝑥)} không gian phức liên thơng 𝑋 × 𝑌 với 𝑑𝑖𝑚𝐺𝑓 = 𝑑𝑖𝑚𝑋; Tồn tập trù mật 𝑋 ∗ X cho 𝑓(𝑥) điểm đơn với 𝑥 ∈ 𝑋∗ Bổ đề 2.4.1 [8] Cho U tập mở ℂ𝑚 cho 𝑉0 , 𝑉1 , 𝑉 tập mở liên thông ℂ với 𝑉0 ⊂ 𝑉1 ⊆ 𝑉 Giả sử 𝑓: 𝑈 × 𝑉0 → 𝑋 ánh xạ phân hình đến 25 khơng gian lồi X Nếu 𝑓𝑧 có thác triển chỉnh hình V với 𝑧 ∈ 𝑈, tồn tập mở 𝑈0 có độ đo đủ Lebesgue U ánh xạ chỉnh hình ̃ 𝑈0 × 𝑉1 → 𝑋 cho 𝑓 = 𝑓̃ 𝑈0 × 𝑉0 𝑓: Chứng minh Chọn tập mở khác rỗng 𝑉0′ ⊆ 𝑉0 đặt 𝑈 ′ = 𝑈\𝜋𝑈 (𝐼𝑓 ∩ (𝑈 × ̅̅̅ 𝑉0′ )), 𝜋𝑈 : 𝑈 × 𝑉 → 𝑈 phép chiếu Vì 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑓 ≤ 𝑚 − 1, nên 𝑈 ′ có độ đo đủ U Đặt 𝑓 ′ = 𝑓|𝑈 ′×𝑉0′ 𝑓 ′ : 𝑈 ′ × 𝑉0′ → 𝑋 chỉnh hình 𝑓𝑧′ có thác triển chỉnh hình đến V với hầu hết z ∈ 𝑈 ′ Do đó, theo Định lý [7] tồn tập mở 𝑈0 có độ đo đủ 𝑈 ′ ánh xạ chỉnh hình 𝑓̃: 𝑈0 × 𝑉1 → 𝑋 cho 𝑓 = 𝑓̃ vào 𝑈0 × 𝑉0′ theo ngun lí ánh xạ chỉnh hình 𝑓 = 𝑓̃ vào 𝑈0 × 𝑉0 ∎ Bổ đề 2.4.2[8] Cho f : E→X ánh xạ từ tập E⊂ ∆𝑚 × ∆ vào không gian phức X Giả sử  Tồn tập 𝐴1 có độ đo ∆𝑚 cho 𝐸𝑧 có độ đo đủ ∆ 𝑓𝑧 có thác triển chỉnh hình ∆ với 𝑧 ∈ ∆𝑚 \𝐴1 ,  Tồn tập 𝐴2 độ đo ∆ cho 𝐸 𝑤 có độ đo đủ ∆𝑚 𝑓 𝑤 phân hình ∆𝑚 với 𝑤 ∈ ∆\𝐴2 Khi tồn tập mở khơng rỗng 𝑈 ⊂ ∆𝑚 , 𝑉 ⊂ ∆ ánh xạ chỉnh hình 𝑓 ′ : 𝑈 × 𝑉 → 𝑋 cho 𝑓 = 𝑓̃ vào 𝐸 ∩ (𝑈 × 𝑉)\(𝐴1 × 𝐴2 ) Chứng minh Chọn tập hợp đếm {Ω𝑘 } có tập Stein mở X với tập mở Ω′𝑘 ⊆ Ω𝑘 cho ∪ Ω′𝑘 = 𝑋 Đặt {𝑈𝑗 } sở đếm tập mở liên thông ∆𝑚 Kí hiệu 𝑓 𝑤∗ : ∆𝑚 → 𝑋 thác triển phân hình 𝑓 𝑤 vào ∆𝑚 với 𝑤 ∈ ∆\𝐴2 , kí hiệu 𝑓𝑧∗ : ∆→ 𝑋 thác triển chỉnh hình 𝑓𝑧 với 𝑧 ∈ ∆𝑚 \𝐴1 Xét tập 26 𝑄𝑗,𝑘 = {𝑤 ∈ ∆\𝐴2 : 𝑓 𝑤∗ |𝑈𝑗 chỉnh hình 𝑓 𝑤∗ (𝑈𝑗 ) ⊂ Ω′𝑘 } Vì ∪ 𝑄𝑗,𝑘 = ∆\𝐴2 , cố định j,k cho 𝑄𝑗,𝑘 có độ đo Lebesgue ngồi dương (trong ∆) Kí hiệu F tập 𝑤 ∈ ∆ cho 𝑄𝑗,𝑘 ∩ 𝑁 có độ đo Lebesgue dương với lân cận N w Khi F đóng ∆ có độ đo dương Chọn tập compact 𝐾2 ⊂ 𝐹 có độ đo dương Viết 𝑈 ′ = 𝑈𝑗 Ta xác định 𝑓1 : 𝑈 ′ × 𝐾2 → ̅̅̅̅ Ω′𝑘 ⊂ 𝑋 cho 𝑓1𝑤 chỉnh hình với 𝑤 ∈ 𝐾2 𝑓1 (𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑧∗ (𝑤) 𝑣ớ𝑖 (𝑧, 𝑤) ∈ (𝑈 ′ \𝐴1 ) × 𝐾2 Để xác định 𝑓1 , trước hết chọn tập đếm trù mật {𝑧 𝜇 } 𝑐ó 𝑈 ′ \𝐴1 Bây ta cho 𝑤0 ∈ 𝐾2 cố định, chọn dãy điểm 𝑤𝑣 ∈ 𝑄𝑗,𝑘 ∩ (∩𝜇 𝐸𝑧 𝜇 ) với 𝑤𝑣 → 𝑤0 Vì Ω𝑘 song chỉnh hình với đa tạp không gian Euclidean (sau co Ω𝑘 cần) 𝑓 𝑤𝑣∗ : 𝑈 ′ → Ω′𝑘 ⊆ Ω𝑘 , cách bỏ qua dãy cần, giả sử dãy { 𝑓 𝑤𝑣∗ } hội tụ tập compact 𝑈 ′ Ta định nghĩa 𝑓1 (𝑧, 𝑤0 ) = lim 𝑓 𝑤𝑣∗ (𝑧) với 𝑧 ∈ 𝑈 ′ 𝑣→∞ 𝑤0 Rõ ràng 𝑓1 chình hình 𝑈 ′ Vì (𝑧𝜇 , 𝑤𝑣 ) ∈ 𝐸 𝑣à 𝑧 𝜇 ∉ 𝐴1 , nên ta có 𝑓1 (𝑧 𝜇 , 𝑤0 ) = lim 𝑓(𝑧𝜇 , 𝑤𝑣 ) = lim 𝑓𝑧∗𝜇 (𝑤𝑣 ) = 𝑓𝑧∗𝜇 (𝑤0 ) 𝑣→∞ 𝑣→∞ 𝑤0 Với 𝜇 = 1,2,3, … 𝑓1 khơng phụ thuộc vào cách chọn 𝑤𝑣 mà thỏa mãn điều kiện Đăc biệt, điểm cố định 𝑝 ∈ 𝑈 ′ \𝐴1 , thay {𝑧 𝜇 } {𝑧 𝜇 } ∪ {𝑝} lập luận tương tự trên, ta có 𝑓1 (𝑝, 𝑤0 ) = 𝑓𝑝∗ (𝑤0 ), 𝑓1 ánh xạ cần xác định Bây chọn tập mở Ω′ với Ω′𝑘 ⊆ Ω′′ ⊆ Ω𝑘 Vì 𝑓𝑧∗ (𝐾2 ) ⊂ Ω′′ với 𝑧 ∈ 𝑈 ′ \𝐴1 , chọn tập mở liên thông 𝑉 ′ với 𝐾2 ⊂ 𝑉 ′ ⊂ ∆ tập 𝑃 ⊂ 𝑈 ′ \𝐴1 cho 𝑃 có độ đo Lebesgue dương 27 𝑓𝑧∗ (𝑉 ′ ) ⊂ Ω′′ với 𝑧 ∈ 𝑃 Chúng ta chọn tập compact 𝐾1 ⊂ 𝑈 ′ có độ đo dương cho 𝑃 ∩ 𝑁 có độ đo Lebesgue dương với tập mở 𝑁 giao với 𝐾1 ′′ sau: với 𝑧 ∈ 𝐾 điểm cố định ̅̅̅̅ Chúng ta định nghĩa 𝑓2 : 𝐾1 × 𝑉 ′ → Ω chọn dãy{ 𝑧 𝑣 } ⊂ 𝑃 cho 𝑧 𝑣 → 𝑧 𝑓𝑧∗𝑣 hội tụ tập compact 𝑉 ′ Thế 𝑓2 xác định sau 𝑓2 (𝑧, 𝑤) = lim 𝑓𝑧∗𝑣 (𝑤), 𝑣→∞ với 𝑤 ∈ 𝑉 ′ Rõ ràng, (𝑓2 )𝑧 chỉnh hình 𝑉 ′ Vì 𝑓𝑧∗𝑣 (𝑤) = 𝑓1 (𝑧𝑣 , 𝑤) với 𝑤 ∈ 𝐾2 , nên 𝑓2 = 𝑓1 𝐾1 × 𝐾2 (𝑓2 )𝑧 khơng phụ thuộc vào cách chọn 𝑧 𝑣 → 𝑧 Hơn cách lập luận tương tự ta có 𝑓2 (𝑧, 𝑤) = 𝑓 𝑤∗ (𝑧) 𝑣ớ𝑖 (𝑧, 𝑤) ∈ 𝐾1 × (𝑉 ′ \𝐴2 ) ′′ ⊂ Ω cho 𝑓 𝑓 Theo ̅̅̅̅ Đặt 𝑆 = (𝑈′ × 𝐾2 ) ∪ (𝐾1 × 𝑉 ′ ) 𝑓̃:𝑆 → Ω 𝑘 lập luận trên, 𝑓̃𝑧 chỉnh hình 𝑉 ′ với 𝑧 ∈ 𝐾1 𝑓̃ 𝑤 chỉnh hình 𝑈 ′ với 𝑤 ∈ 𝐾2 Hơn nữa, 𝑓 = 𝑓̃ 𝐸 ∩ {[(𝑈′ \𝐴1 ) × 𝐾2 ] ∪ [(𝐾1 × (𝑉 ′ \𝐴2 )]} Ta tim tập mở liên thơng khác rỗng 𝑈 ⊂ 𝑈 ′ , 𝑉 ⊂ 𝑉 ′ Và ánh xạ chỉnh hình 𝑓 ′ : 𝑈 × 𝑉 → Ω𝑘 cho 𝑈 ∩ 𝐾1 𝑉 ∩ 𝐾2 có độ đo dương 𝑓 ′ = 𝑓 𝑆 ∩ (𝑈 × 𝑉);vì 𝑓 ′ = 𝑓 𝐸 ∩ {[(𝑈\𝐴1 ) × (𝐾2 ∩ 𝑉)] ∪ [(𝐾1 ∩ 𝑈) × (𝑉\𝐴2 )} Đặc biệt, với 𝑧 ∈ 𝑈\𝐴1 , 𝑓𝑧′ = 𝑓𝑧 𝐸𝑧 ∩ 𝐾2 ∩ 𝑉 𝑓𝑧′ = 𝑓𝑧 𝐸𝑧 ∩ 𝑉; Tương tự với 𝑤 ∈ 𝑉\𝐴2 , 𝑓 ′𝑤 = 𝑓 𝑤 𝐸 𝑤 ∩ 𝐾1 ∩ 𝑈 𝑓 ′𝑤 = 𝑓 𝑤 𝐸 𝑤 ∩ 𝑈 Do 𝑓 ′ = 𝑓 𝐸 ∩ (𝑈 × 𝑉\𝐴1 × 𝐴2 ) ∎ Định lý 2.4.1[14] Giả sử M khơng gian phức có tính chất thác triển phân hình Giả sử U, V tập mở ℂ𝑚 , ℂ𝑛 tương ứng V0 tập mở V Giả sử f:U×V0 → M ánh xạ phân hình Nếu fz có thác triển phân hình V với hầu hết z ∈ 𝑈 f có thác triển phân hình 𝑈 × 𝑉 28 Chứng minh [8]: Chúng ta dễ dàng biến đổi định lý theo trường hợp 𝑉0 = ∆𝑛 , 𝑉 = ∆𝑛𝑅 , ∆𝑅 = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧| < 𝑅} với R>1 Trước hết, giả sử 𝑛 = theo bổ đề 2.4.2 trên, với r tùy ý, 𝑟 < 𝑅 tồn tập mở 𝑈0 ⊂ 𝑈 có độ đo đủ cho f có thác triển chỉnh hình tập mở Ω = (𝑈 × ∆) ∪ (𝑈0 × ∆𝑟 ) Theo Bổ đề 2.4.1, bao chỉnh hình Ω chứa ∆𝑟 theo tính chất thác triển phân hình X, f có thác triển phân hình đến ∆𝑟 Vì 𝑟 < 𝑅 tùy ý, f thác triển phân hình 𝑈 × ∆𝑅 Bây chứng minh trường hợp tổng quát quy nạp theo n: Giả sử 𝑛 ≥ Định lý 2.4.1 với 𝑉0 = ∆𝑛−1 , 𝑉 = ∆𝑛−1 𝑅 Cho 𝑓: 𝑈 × ∆𝑛 → 𝑋 ánh xạ phân hình cho 𝑓𝑧 có thác triển phân hình ∆𝑛𝑅 với 𝑧 ∈ 𝑈\𝐴, A⊂U có độ đo Cho B tập điểm (𝑧, 𝜁) ∈ 𝑈 × ∆ cho {𝑧} × ∆𝑛−1 × {𝜁} ⊂ 𝐼𝑓 , viết E= (𝐴 × ∆) ∪ 𝐵 Thì E có độ đo 𝑈 × ∆ ánh xạ phân hình f(𝑧,∙, 𝜁): ∆𝑛−1 → 𝑋 xác định có thác triển phân hình ∆𝑛−1 với (𝑧, 𝜁) ∈ 𝑈 × ∆\𝐸 Theo giả thiết quy nạp (thay U 𝑅 ∆), ta có f có thác triển phân hình 𝑓 ′ : 𝑈 × ∆𝑛−1 × ∆→ 𝑋 𝑅 Tương tự với 𝐵′ tập (𝑧, 𝑤) ∈ 𝑈 × ∆𝑛−1 cho {(𝑧, 𝑤)} × ∆⊂ 𝐼𝑓′ , 𝑅 𝑛−1 ′ ′ viết 𝐸 ′ = (𝐴 × ∆𝑛−1 ánh xạ 𝑅 ) ∪ 𝐵 Khi 𝐸 có độ đo 𝑈 × ∆𝑅 𝑓 ′ (𝑧, 𝑤,∙): ∆→ 𝑋 xác định, 𝑓 ′ có thác triển chỉnh hình ∆𝑅 với ′ ′ (𝑧, 𝑤) ∈ 𝑈 × ∆𝑛−1 𝑅 \𝐸 Vì vậy, theo trường hợp 𝑛 = 1, 𝑓 có thác triển phân hình ̃ 𝑈 × ∆𝑛−1 𝑓: × ∆𝑅 → 𝑋 𝑅 Vậy định lý chứng minh.∎ Định lý 2.4.2[14] Giả sử M đa tạp K𝑎̈ hler compact lồi chỉnh hình Giả sử f:𝔹𝑛 →M ánh xạ, 𝑓 chỉnh hình giao 𝔹𝑛 với đường thẳng phức l qua gốc 𝑓 thuộc lớp 𝐶 ∞ lân cận gốc tọa độ Khi f phân hình 𝔹𝑛 29 Chứng minh Theo định lý Forelli, tồn 𝑟0 > cho f chỉnh hình 𝔹𝑛𝑟0 Đặt 𝔹𝑛∗ =𝔹𝑛 \{𝑧𝑛 = 0} Xét ánh xạ chỉnh hình 𝜑: 𝔹𝑛∗ → ℂ𝑛 cho φ(𝑧1 , , 𝑧𝑛 ) = (𝑧1 /𝑧2 , , 𝑧𝑛−1 /𝑧𝑛 , 𝑧𝑛 ) Đặt 𝜑(𝔹𝑛∗ ) = 𝑇 𝑣à xác định 𝜑1 :𝔹𝑛∗ → 𝑇 𝑏ở𝑖 𝜑1(𝑧) = 𝜑(𝑧) 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑧𝜖 𝔹𝑛∗ Khi 𝜑1 song chỉnh hình Đặt 𝑔 = 𝑓 ∘ 𝜑1−1 : 𝑇 → 𝑀 Và TR,h = {𝑡 = (𝑡 ′ , 𝑧𝑛 ) ∈ 𝑇: ‖𝑡 ′ ‖ < 𝑅 𝑣à < |𝑧𝑛 |2 < ℎ/(1 + 𝑅 )} cho R>0 < h ≤ {𝑇𝑅,ℎ } tích tập mở nên tập mở Hiển nhiên h tăng bán kính tập mở thứ tăng Do {𝑇𝑅,ℎ } họ tập mở tăng ℎ tăng T=∪ {𝑇𝑅,1 : 𝑅 ∈ 𝑄+∗ } Do 𝑓 chỉnh hình 𝔹𝑛𝑟0 nên ta có 𝑔 chỉnh hình 𝑇𝑅,𝑟02 cho 𝑅 > Theo định lý Forelli, tồn 𝑟𝑜 > cho g chỉnh hình {𝑇𝑅,𝑟02 } với 𝑅 > Từ Định lý 2.4.1 suy g phân hình 𝑇𝑅,1 Vì T=∪𝑅>0 𝑇𝑅,1 , nên g phân hình T Mặt khác, 𝔹𝑛 =∪𝑛𝑖=1 (𝔹𝑛 \{𝑧𝑖 = 0}) ∪ 𝔹𝑛𝑟0 , nên f phân hình 𝔹𝑛 Vậy định lý chứng minh.∎ 30 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu Định lý Forelli ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Đặc biệt số mở rộng định lý Forelli ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức kiểu Hartogs, đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình đa tạp phức lồi chỉnh hình Luận văn đạt số kết sau: Trình bày cách hệ thống số kiến thức sở giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, khơng gian phức, khơn gian phức lồi chỉnh hình, khơng gian phức kiểu Hartogs, khơng gian K𝑎̈ hler phức, khơng gian Stein khơng gian phức có tính chất Forelli, Trình bày cách chi tiết, rõ ràng số mở rộng định lý Forelli: + Định lý Forelli không gian phức kiểu Hartogs + Định lý Forelli đa tạp K𝑎̈ hler phức compact lồi chỉnh hình + Định lý Forelli đa tạp phức lồi chỉnh hình 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Andreotti, W Stol (1971), Analytic and algebraic dependence of meromorphic functions [2] E M Chirka (1989), Complex Analytic Sets, Kluwer Academic Published, 293-294 [3] Akira Fujiki (1978), Closedness of the Douady Spaces of Compact K𝑎̈ hler Space, 7-8 [4] Robert C Gunning and Hugo Rossi (1987), Analytic function of several complex variables, 209-215 [5] M Klimek (1991), Pluripotential Theory, London Math Soc, Oxford Science Publication, 6-7 [6] S Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren Math Wiss, 318 [7] B Shiffman (1990), Hartogs theorem for separately holomorphic mappings into complex spaces, C.R.Acad.Sci.Paris Ser, 89-94 [8] B Shiffman (1994), Separately meromorphic mappings into compact Kähler manifold, in : Contribution to Complex Analysis and Analytic Geometry, H Skoda and J.M.Trepreau,Vieweg, Braunschweig, 243-250 [9] B Shiffman (1971), Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds, Math.Ann, 249-258 [10] Th Perternell (1974), Pseudoconvexity, the Levi problem and Vanishing Theorems, Encyclopaedia of Math, Sciences, “Several Complex Variables VII”, 223-254 [11] D D Thai (1991), On the D* -extension and the Hartogs extension ,Ann Scuola Norm Sup Pisa 418, 13-18 [12] D D Thai and N T T Mai (2000), Hartogs – type extension theorems for separately holomorphic mappings on compact sets , Internat J Math 5, 723-735 32 [13] D D Thai and P N Mai (2003), Convergence and extension theorems in geometric function theory, Kodai Math J 26, 179-198 [14] P N Mai, D D Thái and Le Tai Thu (2004), The theorem of Forelli for holomophic mappings into complex spaces,172-178 33 ... định lý mở rộng định lý Forelli bao gồm  Khơng gian phức có tính chất Forelli  Định lý Forelli không gian phức kiểu Hartogs  Định lý Forelli đa tạp K