Luận án Thác triển Riemann - Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến trình bày về các nội dung: Thác triển chỉnh hình theo kiểu Hartogs, ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong hữu hạn chiều, trên các tập mở và trên các tập compact trong vô hạn chiều. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THÁI SƠN THÁC TRIỂN RIEMANN-HARTOGS ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1998 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THÁI SƠN THÁC TRIỂN RIEMANN-HARTOGS ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 1.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GSTS NGUYỄN VĂN KHUÊ PTS TRẦN HUYÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1998 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình khác NGUYỄN THÁI SƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU i CHƢƠNG : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS 1.1 Các định nghĩa kết biết 1.2 Các kết 1.3 Ví dụ 10 CHƢƠNG : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN 15 2.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 17 2.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 22 2.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 27 CHƢƠNG : ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG HỮU HẠN CHIỀU 35 3.1 Các định nghĩa 37 3.2 Ánh xạ chỉnh hình theo biến tập compact không gian Stein bất khả qui địa phƣơng 39 3.3 Ánh xạ chỉnh hình theo biến tập compact không gian Stein 50 CHƢƠNG 4: ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP MỞ VÀ CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG VÔ HẠN CHIỀU 57 4.1 Ánh xạ chỉnh hình theo biến tập mở 61 4.2 Ánh xạ chỉnh hình theo biến tập compact 65 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG 87 LUẬN ÁN 87 MỞ ĐẦU Thác triển ánh xạ chỉnh hình tốn trung tâm giải tích phức hữu hạn nhƣ vơ hạn chiều Vì đƣợc nhiều tác giả quan tâm đến cách tiếp cận khác nhằm giải đƣợc tốn Đặc biệt gần Ivashkovitch [22], Shiffman [33], Nguyen Thanh Van - Zeriahi [51], Alehyane [49], Việt Nam, Hà Huy Khoái, Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái ([25], [26], [14], [39] ) Cho đến gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, tức thác triển Hartogs mà trƣờng hợp đặc biệt (nhƣng quan trọng) với điều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H 2(r) X có thác triển chỉnh hình tới 2 , < r < Dạng 2: Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kỳ dị cô lập, qua siêu mặt nhƣ qua tập đa cực đóng Tức thác triển kiểu Riemann i Có thể nói hầu hết trƣờng hợp, việc thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ khó nhiều so với thác triển kiểu Hartogs Trong năm gần đây, với phát triển lý thuyết vị phức, việc nghiên cứu tốn thác triển ánh xạ chỉnh hình có bƣớc tiến mạnh mẽ Các cơng trình Shiffman, Suzuki, Jărvi, Đỗ Đức Thái làm xuất phƣơng hƣớng việc nghiên cứu tốn Đó khảo sát việc thác triển chỉnh hình qua tập đa cực tập có dung lƣợng không Vào năm 80 kỷ này, D Vogt đƣa có nhiều kết nghiên cứu bất biến tơpơ tuyến tính Các bất biến mở nhiều ứng dụng cho giải tích phức Một ứng dụng chúng mà chúng tơi quan tâm nghiên cứu tính chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình theo biến, toán đƣợc đặt vào năm 1906 Hartogs Bài toán đƣợc quan tâm nghiên cứu từ lâu có nhiều kết quan trọng Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần sở Schauder vài không gian hàm chỉnh hình đƣợc dùng để giải đƣợc tốn thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Theo hƣớng đó, vào năm 1976, Zaharjuta nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập hợp có dạng đặc biệt C m+n Các kết dạng đƣợc tổng quát hóa thực Nguyễn Thanh Vân Zeriahi vào năm 1983 gần Một cách gần nhƣ đồng thời, năm 1981 Siciak, lần sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận đƣợc kết tƣơng tự Phƣơng hƣớng đƣợc Shiffman tiếp nối ii cách phát triển lý thuyết vị phức đƣợc xây dựng Siciak để mở rộng kết nói thành kết công bố năm 1989, ơng cải thiện điều kiện tính Lchính qui Quan tâm tới vấn đề nêu trên, đầu tƣ nghiên cứu việc mở rộng kết tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến vào lớp không gian Frechet đối ngẫu Frechet Schwartz mà điểm khởi đầu xuất phát lừ kết Shiffman năm 1971 thác triển chỉnh hình Hartogs Luận án chúng tơi gồm chƣơng Trong hai chƣơng đầu nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Hartogs thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Hai vấn đề có liên quan với Trƣớc hết, chúng tơi tìm lớp khơng gian vơ hạn chiều thoả mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs Đó lớp không gian thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu Và sử dụng kết này, chứng minh đƣợc X khơng gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực qua tập cực đóng có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực qua tập cực đóng với n Ngồi chúng tơi nghiên cứu đƣợc tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn miền Riemann compact hyperbolic miền Hartogs (X) Trong hai chƣơng lại chúng tơi nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập mở tập compact hữu hạn chiều nhƣ vô hạn chiều Trong chƣơng 3, chúng tơi tìm đƣợc điều kiện K z K tập compact khơng iii gian Stein X, cho hàm chỉnh hình theo biến K x Z thác triển chỉnh hình đến lân cận có dạng W x Z Theo hƣớng này, dựa vào kết Shiffman năm 1989 hàm "chỉnh hình-giải tích-theo biến" tập mở M x M mở rộng sang lớp khơng gian Frechet hồn thành cơng việc nghiên cứu cách xét hàm chỉnh hình theo biến xác định tập compact K lấy giá trị khơng gian hàm chỉnh hình kiểu bị chặn không gian đối ngẫu Frechet Công cụ chủ yếu để giải vấn đề đƣợc đặt bất biến tơpơ tuyến tính đƣợc đƣa nghiên cứu D Vogt vào năm 80 Chúng nghiên cứu mở rộng kết gần Shiffman tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến trƣờng hợp vơ hạn chiều Luận án đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn nhiệt tình tận tụy GS TS Nguyễn Văn Khuê PTS Trần Huyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ngƣời Thầy Tác giả xin chân thành cám ơn PGS TS Đỗ Đức Thái, Đại học Sƣ Phạm thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội, PGS TS Nguyễn Hữu Đức, Đại học Đà Lạt, GS TS Nguyễn Thanh Vân, Đại học Toulouse đọc kỹ luận án giúp tác giả nhiều ý kiến quí báu Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Khoa Tốn Phòng quản lý khoa học Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Thành phố Hồ Chí Minh động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình thực đề tài nghiên cứu iv CHƢƠNG : THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS Nhƣ phần mở đầu chúng tơi nói, phƣơng hƣớng đâu tiên việc nghiên cứu tồn thác triển ánh xạ chỉnh hình thác triển lên bao chỉnh hình mà ta quen gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs 1.1 Các định nghĩa kết biết 1.1.1 Định nghĩa Một khơng gian giải tích Banach X đƣợc gọi có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs ánh xạ chỉnh hình từ miền Riemann không ˆ , bao chỉnh gian Banach B có sở Schauder vào X, thác triển chỉnh hình tới hình Về lịch sử, ánh xạ chỉnh hình cần thác triển mà Hartogs chứng minh đầu kỷ 20 hàm số mà miền xác định tập mở 2 Tiếp nhà tốn học nhƣ Andreotti, Stoll phát triển mở rộng định lý cách thay miền xác định miền giá trị đa tạp phức khác Trong hội nghị Nice năm 1970 Shiing-Shen Chern đƣa giả thuyết sau đây: Cho X đa tạp phức với mêtric Hermit đầy đủ có độ cong thiết diện chỉnh hình khơng dƣơng Cho U k lân cận B Khi ánh xạ chỉnh hình f : U X thác triển chỉnh hình lên B Giả thuyết đƣa liền đƣợc nhiều nhà Toán học lớn giới quan tâm Năm 1971 Shiffman lần đƣa khái niệm "điều kiện đĩa" nhƣ sau: 1.1.2 Định nghĩa Một không gian phức X đƣợc gọi thỏa mãn điều kiện đĩa với dãy {fn} H(,X), {fn} hội tụ tới hàm f H(,X) dãy { f n |Ar1 } hội tụ H (Ar1 , X) với r nhỏ 1, dạng yếu điều kiện đĩa mà dƣới ta gọi điều kiện lồi-đĩa yếu 1.1.3 Định nghĩa Một khơng gian giải tích Banach X đƣợc gọi lồi-đĩa yếu dãy {fn} H(,X) hội tụ H(,X) dãy { f n |* } H(* ,X) hội tụ H( *,X) Ở * đĩa đơn vị đĩa đơn vị thủng tƣơng ứng Trong trƣờng hợp S tập cực loại hữu hạn H(Z, X) H(Z \ S, X) ta nói X có tính chất (SPEP) Chúng tơi chứng minh định lý sau đây: Định lý 2.1.2 Cho X không gian phức cho H(, X) H( \ S, X) với tập cực đóng S Khi H(Z, X) H(Z \ S, X) với tập mở Z n tập cực đóng S Z Nhƣ X khơng gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực qua tập cực đóng có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực qua tập cực đóng với n Lƣu ý n , tập đa cực tập cực, nhƣng ngƣợc lại, có tập cực mà khơng đa cực Do kết mờ rộng kết Đỗ Đức Thái Tuy nhiên kỹ thuật chứng minh, chúng tơi có vài cải tiến thích hợp Đỗ Đức Thái Trong nghiên cứu trƣờng hợp vô hạn chiều Định lý 2.1.2, chúng tơi đến tốn sau: Giả sử X không gian phức cho cực đóng S Phải chảng H(Z, X) = H(Z \ S, X) 10 H(, X) = H( \ S, X) với tập với tập cực đóng đa tạp phức Z Câu trả lời đầy đủ cho vấn đề chƣa đạt đƣợc Tuy nhiên, dựa vào định lý 2.1.2 quan tâm đến trƣờng hợp Z tập mờ không gian Banach S tập cực loại hữu hạn dóng Z Với giả thiết nhƣ trên, chứng minh dƣợc: Định lý 2.2.2 Cho X không gian giả lồi cho H(, X) H( \ S, X) với tập cực đóng S Khi H(Z, X) H(Z \ S, X) vài tập mà Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng S Z Chúng tơi kết hợp Định lý 2.2.2 với kết Jarvi đề mở rộng kết ông tới trƣờng hợp vô hạn chiều Định lý 2.2.3 Cho X mặt Riemann compact hyperbolic Khi H(Z, X) H(Z \ S, X) với tập mở Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng S Z Nói cách khác, mặt Riemann compact hyperbolic có tính chất (SPEP) Để thêm ví dụ thứ hai khơng gian phức có tính chất (SPEP), chúng tơi khảo sát miền Hartogs Cho X không gian phức hàm đa diều hoa dƣới X Xét miền Hartogs (X) cho 11 Trong phần lại chƣơng này, chúng tơi tìm điều kiện để (X) có tính chất (SPEP) 2.3.2 Định lý Giả sử X không gian phức, hàm đa điều hòa dƣới X mêtric Hermit X a) Nếu X có tính chất (SPEP) limsup log (x, a) (x) với > x a a X (X) có tính chết (SPEP) b) Nếu (X) có tinh chất (SPEP) X có tính chất (SPEP) limsup log (x, a) (x) với > a X x a Rõ ràng điều kiện a) Định lý 2.3.2 đƣợc thỏa với hàm liên tục Tuy nhiên, gần P.Thomas D.D.Thai xây dựng hàm gián đọan , điều hòa dƣới thỏa mãn điều kiện Hơn nửa () không hyperbolic Áp dụng định lý 2.3.2 ta suy () có tính chất (SPEP) 12 Chƣơng ẢNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG HỮU HẠN CHIỀU Sự tổng quát hóa định lý năm 1906 Hartogs hàm chỉnh hình theo biến đƣợc nghiên cứu nhiều tác giả, nhƣ Terada, Bernstein, Siciak, Zaharjuta, Nguyễn Thanh Vân Zeriahi Vào nám 1989, Shiffman mở rộng kết nghiên cứu cách sử dụng lý thuyết vị phức Trong chƣơng đạt đƣợc số kết tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến trƣờng hợp hữu hạn chiều Các kết đƣợc phát biểu theo thuật ngữ bất biến tơpơ tuyến tính, đƣợc đƣa nghiên cứu Vogt vào năm 80 Các kết mà chung tơi nghiên cứu đƣợc nhằm giải tốn sau đây: Cho Z không gian Stein K tập compact không gian Stein X Thế với điều kiện Z K ánh xạ chỉnh hình K x Z có thề thác triển chỉnh hình lên lân cận có dạng WxZ K x Z X x Z Để giải tốn chúng tơi xem xét hai vấn đề đƣợc thể qua 13 hai Định lý sau đây: Định lý 3.2.1 Cho Z không gian Stein Các điều kiện sau tƣơng đƣơng: (i) Mọi hàm chỉnh hình theo biến K x Z, K tập compact không gian Stein bất khả qui địa phƣơng X mà không đa cực nhánh bất khả qui lân cận K thác triển chỉnh hình lên lân cận W x Z K x Z X x Z (ii) Khơng gian H(Z) hàm chỉnh hình Z trang bị tơpơ mở compact có tính chất (DN) Để chứng minh Định lý, sử dụng Bổ đề sau: Bổ đề 3.2.2 Cho : Y Z tồn ánh chỉnh hình riêng hữu hạn khơng gian Stein Khi H(Z) (DN) nếu, H(Y) (DN) Bổ đề 3.2.3 Cho Z không gian Stein bất khả qui địa phƣơng Khi H(Z) (DN) hàm đa điều hòa dƣới Z mà bị chặn hàm Bổ đề 3.2.4 Cho Z khơng gian Stein Khi H(Z) (DN) H(Z \ H) (DN) với siêu mặt H Z chứa quĩ tích kỳ dị S(Z) Z Trong Bổ đề 3.2.2 3.2.3 đƣợc chứng minh Đỗ Đức Thái, Đinh Huy Hoàng Thái Thuận Quang 14 Nhƣ Định lý 3.2.1 cho ta điều kiện cần đủ Z dể giải tốn nói với giả thiết K tập compact không gian bất khả qui địa phƣơng mà tập không đa cực nhánh bất khả qui lân cận K Bây tiếp tục cơng việc nghiên cứu cách tìm điều kiện cần đủ cho K dề toán đặt có lời giải Định lý 3.2.5 Cho K tập compact không gian Stein bất khả qui địa phương X Khi điều kiện sau tương đương: (i) Mọi hàm chỉnh hình theo biến K x Z, Z không gian Stein, H(Z) (DN) K tập có tính thác triển chỉnh hình lên lân cận W x Z K x X X x Z (ii) K tập không đa cực nhánh bất khả qui lân cận K (iii) [H(K)]' ( LB ), H (K) không gian hàm chỉnh hình K trang bị tơpơ giới hạn qui nạp Trong phần cuối chƣơng chứng minh kết nêu với X không gian Stein không thiết không gian Stein bất khả qui địa phƣơng Kết đƣợc phát biểu nhƣ sau : 15 Định lý 3.3.1 Cho K tập hợp compact khơng gian Stein X Khi dó mệnh đề sau tƣơng đƣơng : (i) Mọi hàm chỉnh hình theo biến K x Z Z không gian Stein cho H(Z) (DN) K tập có tính thác triển đến hàm chỉnh hình lân cận K x Z X x Z có dạng W x Z (ii) K Z khơng đa cực vài nhánh bất khả qui Z lân cận K X (iii) [ H (K)]' ( LB ) Để giải toán với giả thiết X không gian Stein không thiết không gian Stein bất khả qui địa phƣơng chứng minh công cụ sau : Định lý 3.3.2 Cho : X Y tồn ánh chỉnh hình riêng khơng gian Stein K tập compact Y Khi [ H (K)]' ( LB ) [ H ( (K))]' ( LB ) 16 Chƣơng ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP MỞ VÀ CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG VÔ HẠN CHIỀU Định lý tiếng Hartogs tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến n đƣợc mở rộng đến tập đặc biệt có dạng n+m nhiều tác giả, đặc biệt Siciak, Nguyễn Thanh Vân - Zeriahi Vào năm 1990, Shiffman chứng minh : Cho X không gian phức có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, U, V miền M, N tƣơng ứng A tập không đa cực V Giả sử f : U x V X cho : i fz H(V, X) với hầu hết z U, ii fw H(U, X) với w A Khi f chỉnh hình U x V Ta biết rằng, trƣờng hợp đặc biệt thay giả thiết (i) fz H(V, X) với z U với X = , Định lý đƣợc Terada chứng minh năm 1967 Cho đến Định lý đƣợc xem nhƣ kết Shiffman tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập mở hữu hạn chiều 17 Trong phần đầu chƣơng mờ rộng kết Shiffman sang trƣờng hợp vô hạn chiều Lƣu ý điều đƣợc thực Nguyễn Thanh Vân gần N.V.Hao B.Đ.Tắc Kết mà đạt đƣợc nhƣ sau: Định lý 4.1.1 Cho E không gian Frechet thực F không gian Prechet phức Giả sử f : D x G D x G tập mà E x F, hàm thỏa mãn điều kiện sau đây: fx : z f(x, z) chỉnh hỉnh G vài x D f : x (f(x, z)) giải tích D với [H(G)]' Khi f giải tích Nhƣ vậy, thơng qua Định lý 4.1.1 chúng tơi có kết việc mờ rộng Định lý tiếng Hartogs tính chỉnh hình hàm chỉnh hình tách dƣợc n sang trƣờng hợp vô hạn chiều lớp không gian Frechet Trong phần lại chƣơng ta tìm điều kiện cho K F cho () H(L, Hb(F’)) H(K, Hb(F’)) với tập compact L K Ở ta viết L K K tập compact E(L), không gian Banach sinh L 18 Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp hữu hạn chiều trình bày chƣơng 3, để giải tốn chúng tơi xem xét hai vấn đề đƣợc thể qua hai Định lý sau : Định lý 4.2.4 Cho F không gian Prechet Khi dó F có tính chất (DN) () vài tập cornpact K không gian Frechet hạch với sở thỏa điều kiện (NP) sau đây: (NP) Với tập compact lồi cân L K tồn tập compact L không đa cực cho K L L Định lý 4.2.5 Cho K tập compact có tính khơng gian Frechet hạch E có sở Khi K thỏa (NP) () vài không gian Frechet F có tính chất (DN) tập compact lồi cân L K Để chứng minh định lý 4.2.4, trƣớc hết chứng minh Mệnh đề 4.2.6 Cho E F cấc không gian Frcchet vơi E ( B ) vài B tập bị chặn E F (DN) Khi hàm chỉnh hỉnh kiểu bị chặn F’bor lấy giá trị E đƣợc phân tích qua khơng gian Banach Ở ta ký hiệu F’bor không gian bornologic kết hợp với F' sử dụng Mệnh đề 4.2.7 Cho E khơng gian Frechet hạch có sở B tập compact không đa cực E Khi [ H(B)]' có tính chết ( B ) 19 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh tƣơng đối tồn diện Hartogs lẫn Riemann Chúng tơi dã lớp khơng gian có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, chứng minh trƣờng hợp vơ hạn chiều kết Shiffman giả thuyết đƣợc vào nám 1970 Hội nghị Nice Cũng cần lƣu ý thêm phƣơng pháp chứng minh tỏ đơn giản nhiều so với chứng minh hữu hạn chiều mà Shiffman tiến hành năm 1971 Ngồi chúng tơi mở rộng đƣợc kết nghiên cứu Đỗ Đức Thái Nguyễn Thị Lê Hƣơng lớp đa tạp có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Đó lớp đa tạp mà hợp tầng miền giả lồi Chúng tơi cho ví dụ để thấy kết đạt đƣợc thật có hiệu Cũng toán thác triển chỉnh hình, chúng tơi nghiên cứu tốn thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn Đồng thời chúng tơi nghiên cứu đƣợc tính thác triển chỉnh hình qua tập cực miền Hartogs (X) Kết thứ tổng quát kết tƣơng tự mà Đỗ Đức Thái chứng minh thác triển chỉnh hình qua tập đa cực số chiều cao Kết thứ hai đƣợc xem nhƣ công cụ mạnh để xét tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn miền Hartogs, chẳng hạn chúng tơi sử dụng cách có hiệu để khẳng định đƣợc miền Hartogs đặc biệt mà P.Thomas Đỗ Đức Thái xây dựng gần có tính chất 20 Lần đầu tiên, ngƣời sử dụng lý thuyết vị phức đƣợc phát triền Siciak bất biến tơpơ tuyến tính đƣợc đƣa nghiên cứu Vogt vào đầu năm 80 để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến trƣờng hợp hữu hạn chiều Chúng sử dụng cách hiệu lý thuyết bó Coherent để hồn thiện kết nghiên cứu nhằm đơn giản hóa giả thiết không gian Stein bất khả qui địa phƣơng Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu đƣợc tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập mở, xem nhƣ mở rộng kết nghiên cứu gần Shiffman Mặt khác, chúng tơi tiếp tục dùng bất biến tơpơ tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập compact vơ hạn chiều, toán đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu gần toán quan trọng giải tích phức trƣờng hợp vơ hạn chiều Ở chúng tơi quan tâm tìm hiểu thêm khơng gian Frechet hạch có sở cách tìm điều kiện cần đủ không gian Frechet F điều kiện tập compact K không gian Frechet E cho hàm chỉnh hình theo biến xác định tập compact chứa K lấy giá trị không gian hàm chỉnh hình kiểu bị chận khơng gian đối ngẫu F chỉnh hình K Nhƣ vậy, chúng tơi có thành cơng dó việc mở 21 rộng Định lý tiếng Hartogs loại compact sang trƣờng hợp vô hạn chiều lớp không gian Frechet Luận án nêu số vấn đề nghiên cứu cụ thể đòi hỏi phải tiếp tục tìm hiểu sâu sắc hơn, chẳng hạn : phải khơng gian phức có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập đa cực phải không gian phức compact hyperbolic có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập đa cực v.v 22 CÁC CƠNG TRÌNH ĐA CÔNG BỐ ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN [1] Do Duc Thai and Nguyen Thai Son, Extensions of holomorphic maps through hypersurfaces and relations to the Hartogs ex-tensions in infinite dimension, Procecdings of the American Mathematicai Society (Đã có giấy chấp thuận cho đăng tạp chí) [2] Nguyễn Thái Sơn, Hàm giải tích lấy giá trị Frechct bất biến tơpơ tuyến tính Thơng báo Khoa học, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP HCM, 18 (1997), 19 - 24 [3] Nguyen Thai Son, The Property ( LB ) of spaces of germs of holomorphic functions, Publications of CFCA, Vol.1 (1997), 115-124 [4] Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on com-pact set, Acta Math Vietnamica (Đã có giấy chấp nhận cho đăng tạp chí) [5] Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on L -regular compact sets and the property (DN) Colloque Pranco-Vietnainien de Mathematiques, Hochiminh Viile (du au Mars, 1997) [6] Nguyen Thai Son, Hartogs holomorphic cxtensions and exten-sions of holomorphic maps through polar sets of finite type, Vietnam Journal of Math (to appear) 23 [7] Nguyen Van Dong and Nguyen Thai Son, Frechet-valued ana-lytic functions and linear topological invariants, Portugaliíe Mathematica Vol 55 Fasc.1(1998), 101-112 [8] Nguyen Van Khue and Nguyen Thai Son, Separately holomor-phic functions on compact sets and the property (DN), Pub-lications of CFCA, Vol (1997), 87-92 24 ... đƣợc hàm và Trƣớc hết, ta chứng tỏ gk, g, hk h ánh xạ chỉnh hình Theo Shitffman [34] theo tính thác triển chỉnh hình theo biến X, ta cần chứng tỏ ánh xạ gk g (tƣơng ứng hk h) ánh xạ chỉnh hình theo. .. chỉnh hình kiểu Riemann - tức thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng phƣơng hƣớng thứ hai toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Nó đƣợc quan tâm nghiến cứu từ lâu nhiều nhà toán học lớn Cùng với hình. .. không gian hàm chỉnh hình đƣợc dùng để giải đƣợc tốn thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Theo hƣớng đó, vào năm 1976, Zaharjuta nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập