không gian phức
Nội dung của mục này trình bày kết quả mở rộng của định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức (xem [3]).
Định lý 2.9. Giả sử M là không gian phức và Bn là hình cầu đơn vị trong Cn. Giả sử f : Bn −→M là ánh xạ sao cho f chỉnh hình trên phần
giao của Bn với mọi đường thẳng phức l qua gốc, và f là lớp C∞ trong một lân cận của gốc. Khi đó, tồn tại một tập con đa cực của Pn−1(C)
sao cho f chỉnh hình trong một lân cận của Bn\ S
a∈S
la.
Chứng minh. Theo Định lý 2.7 tồn tại 0 < r0 < 1 sao cho f chỉnh hình trongBnr0.ĐặtBn∗ = Bn\{zn = 0}.Xét ánh xạ chỉnh hình ϕn : Bn∗ −→ Cn cho bởi ϕn(z1, . . . , zn) = (z1/zn, . . . , zn−1/zn, zn). Đặt ϕn(Bn∗) =T. Thế thì ϕn là song ánh chỉnh hỉnh từ Bn∗ lên T. Đặt g = f ◦ϕ−n1 : T −→ M và tập hợp TR,h = {t= (t0, zn) ∈ T : kt0k < R và 0< |zn|2 < h/(1 +R2)} trong đó R > 0 và 0< h ≤ 1.
Ta thấy rằng {TR,h} là một họ các tập mở tăng khi h tăng và
T = ∪{TR,1 : R >0} = ∪{TR,1 : R ∈ Q∗+}.
Vì ϕ−n1(TR, r20) ⊂ Bn
r0, nên chúng ta suy ra g là chỉnh hình trong
TR,r2
0 = BRn−1 ×∆∗(0,√ r0
1 +R2) với mọi R >0.
Với mỗi α >0, chúng ta kí hiệu ∆(0, α) = {z ∈ C: |z| ≤α}. Đặt
SR = {w0 ∈ BnR−1 : g không thác triển chỉnh hình lên bất kì một lân cận của
(w0 ×∆(0,√ 1
1 +R2)) ∩ϕn(Bn∗)}.
Dễ thấy SR là tập đóng. Bây giờ, chúng ta chứng minh SR là tập đa cực. Thật vậy, với mỗi w0 ∈ BnR−1, ta xét ánh xạ
với wn ∈ ∆(0,√ 1
1 +R2) ta có
k(wnw0, wn)k2 = kwnk2(kw0k2+1) < kwnk2(1+R2) ≤ 1
1 +R2(1+R2) = 1.
Do đó, ánh xạgw0(wn)chỉnh hình trên lân cận nào đó của ∆(0,√ 1
1 +R2).
Ta có, tồn tại một tập đa cực đóng SR0 ⊂ BnR−1 sao cho g thác triển tới một ánh xạ chỉnh hình ˜ g : (BRn−1 \SR0 )×∆(0,√ 1 1 +R2) −→ M. Rõ ràng, SR ⊂ SR0 , và do đó SR là tập đa cực. Đặt S˜R = SR ×∆(0, √ 1 1 +R2) và S˜ = S R∈Q∗ + ˜ SR. Vì SR là tập đa cực nên S˜ cũng là tập con đa cực của T, do đó S˜ là tập con đa cực của T.
Lấy bất kì điểm z = (z0, zn) ∈ T \ S.˜ Do T = S
R∈Q∗
+
TR,1 nên tồn tại
R ∈ Q∗+ sao cho z ∈ TR,1. Mặt khác, theo định nghĩa của SR và S˜R,
chúng ta có z0 ∈/ SR. Vì vậy g thác triển chỉnh hình trên lân cận của
(z0×∆(0, √ 1
1 +R2))∩T. Điều này có nghĩa là g chỉnh hình trên lân cận mở của z. Cũng từ điều này chúng ta suy ra g chỉnh hình trên lân cận mở của T \S.˜ Xét ánh xạ p : Cn −→ Cn−1 cho bởi (z1, . . . , zn) 7−→ (z1, . . . , zn−1) và đặt T∗ = {z : z ∈ T và p(z) ∈/ S R∈Q∗ + SR}. Từ T∗ ⊂ T \S˜ chúng ta suy ra
g chỉnh hình trên một lân cận mở của T∗.
Do Bn =
n
S
j=1
(Bn\ {zj = 0})∪Bn
r0 nên f chỉnh hình trên một lân cận mở của Bn\ S
a∈S
la, ở đó S là tập đa cực trong Pn−1(C).
Định nghĩa 2.6. Không gian phức X được gọi là không gian có tính chất thác triển Hartogs (X có (HEP)) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ miền Riemann Ω trên một đa tạp Stein vào X đều thác triển chỉnh hình được lên bao chỉnh hình Ωb của Ω.
B. Shiffman (xem [5]) đã chứng minh rằng.
Định lý 2.10. Không gian phức M có tính chất (HEP) khi và chỉ khi mọi ánh xạ chỉnh hình H2(r) → M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên ∆2, ở đó
H2(r) = {(z1, z2) ∈ ∆2 sao cho |z1|< r, hoặc |z2| > 1−r}(0 < r < 1).
Lớp các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs là rất rộng. Vào năm 1971, B.Shiffman đã chỉ ra một lớp các không gian phức có tính chất (HEP), đó là lớp các đa tạp phức Hermit đầy với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương. Sau đó, năm 1972 H. Fujimoto đã chứng minh rằng mọi không gian phức taut đều có có tính chất (HEP).
K.Adachi, M. Suzuki và M. Yoshida cũng đưa ra một lớp các không gian phức có tính chất (HEP) đó là lớp các nhóm Lie phức. Đặc biệt, S. Ivashkovich đã chứng minh rằng đa tạp K¨ahler lồi chỉnh hình M có tính chất (HEP) khi và chỉ khi mọi ánh xạ chỉnh hình f :P1(C) →M đều là hằng. Kết quả này được mở rộng lên không gian K¨ahler phức lồi chỉnh hình bởi Đỗ Đức Thái. Cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 2.11. Giả sử M là không gian K¨ahler phức lồi chỉnh hình. Khi đó M có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu M không chứa các đường cong hữu tỷ.
Định nghĩa 2.7. i) Giả sử M là không gian phức. Một tập con mở A
của M gọi là có kiểu (H) nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình từ A
lên một tập con giải tích của không gian phức có tính chất (HEP). ii) Không gian phức M gọi là có kiểu Hartogs nếu với mỗi p ∈ M tồn tại một lân cận Wp của p, rp > 0 và một lân cận Sp của p kiểu (H) sao cho, với mỗi f ∈ Hol(∆, M), nếu f(0) ∈ Wp thì f(∆rp) ⊂ sp.
Ở đây
∆r = ∆(0, r) ={|z| < r} và ∆1 = ∆.
Rõ ràng, mỗi không gian phức có tính chất (HEP) và mỗi không gian Hyperbolic đều là không gian phức kiểu Hartogs.
Định nghĩa 2.8. Không gian phức M được gọi là có tính chất Forelli (M có tính chất (FP)) nếu mỗi ánh xạ f : Bn −→ M sao cho f chỉnh hình trên giao của Bn với mỗi đường thẳng phức l qua gốc, và f là lớp
C∞ trong một lân cận mở của điểm gốc, thì f là chỉnh hình trong
Bn.
Rõ ràng mặt phẳng phức C có tính chất Forelli và mỗi không gian kiểu Stein cũng có tính chất Forelli. Sau đây chúng tôi trình bày thêm một lớp không gian phức có tính chất Forelli.
Định lý 2.12. Giả sử M là không gian phức kiểu Hartogs. Khi đó M
có tính chất Forelli.
Chứng minh. Giả sử ánh xạ f : Bn → M sao cho f chỉnh hình trên giao của Bn với mỗi đường thẳng phức l đi qua gốc tọa độ, và f là lớp C∞
hình trong
Bn. Do f liên tục tại gốc 0 nên theo Định lý 2.7 tồn tại 0 < r0 < 1 sao cho f chỉnh hình trong Bnr0.
Đặt r∗ = sup{r ∈ (0,1) :f chỉnh hình trong Bnr}.
Khi đó f chỉnh hình trên Bnr∗. Giả sử r∗ < 1.
Bước 1: Lấy p0 ∈ ∂Bnr∗. Với điểm f(p0) ∈ M, lấy W0 = Wf(p0), r0 = rf(p0), S0 = Sf(p0) như trong Định nghĩa 2.7(ii) của không gian kiểu Hartogs, tức là, với mỗi hàm ϕ∈ H(∆, M), nếuϕ(0) ∈ W0 thìϕ(∆r0) ⊂
S0. Do
lim
α→1−
r∗(1−α)
1−α(r∗)2 = 0 < r0,
nên tồn tại α0 ∈ (0,1) sao cho
r∗(1−α0) 1−α0(r∗)2 < r0 và f(α0p0) ∈ W0. Do lim p→p0 kpk(1−α0) 1−α0kpk2 = r ∗(1−α0) 1−α0(r∗)2 < r0,
nên tồn tại B(p0, δ) ⊂ Bn sao cho kpk(1−α0)/(1−α0kpk2) < r0, với mọi
p∈ B(p0, δ) và
f(α0B(p0, δ)) =f(B(α0p0, α0δ)) ⊂W0.
Bây giờ, chúng ta chứng minh rằng f(B(p0, δ)) ⊂ S0. Thật vậy, lấy
p∈ B(p0, δ). Xác định ánh xạ M¨obius ψ : ∆ −→ ∆ cho bởi
ψ(z) = z − kα0pk
1− kα0pkz.
Đặt ψ(kpk) = p0. Xét ánh xạ ϕ : ∆ −→ Bn cho bởi ϕ(z) = z.p/kpk và ánh xạ hợp φ := f ◦ϕ◦ψ−1 : ∆ −→ M.
Khi đó
φ(0) = f ◦ϕ◦ψ−1(0) = f ◦ϕ(||α0.p||) = f(||α0.p||.p
||p|| )
= f(α0.p) ∈ W0
Do M là không gian phức kiểu Hartogs nên φ(∆r0) ⊂ S0. Và ta có
φ(p0) =f ◦ϕ◦ψ−1(ψ(||p||) = f ◦ϕ(||p||) = f(||p||.p ||p|| ) = f(p). Mặt khác, p0 = ψ(||p||) = ||p|| − ||α0.p|| 1− ||α0.p||.||p|| = ||p||(1−α0) 1−α0||p||2 nên |p0| = ||p||(1−α0) 1−α0||p||2 < r0. Vì vậy p0 ∈ ∆r0, do đó f(p) = φ(p0) ∈ φ(∆r0) ⊂ S0.
Bước 2. Chúng ta chứng minh rằng, với mỗi p0 ∈ ∂Bnr
∗, tồn tại δp0 > 0
sao cho hạn chế của f trên B(p0, δp0) là chỉnh hình. Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng p0 = (0, . . . ,0, r∗).
Sử dụng các ánh xạ ϕn, g và theo định nghĩa của T, TR,h, như ở trong định lý 2.9, ta có g là ánh xạ chỉnh hình trong TR,(r∗)2 với mọi R > 0. Theo bước 1 và do ϕn là song chỉnh hình, nên tồn tại δ > 0 sao cho g(B(p0, δ)) nằm trong một tập con S0 kiểu Hartogs. Lưu ý rằng,
ϕn(P0) = ϕn(0, . . . ,0, r∗) = (0
r∗, . . . , 0
r∗, r∗) = ρ0.
Lấy δ1 > 0 đủ nhỏ sao cho
∆nδ−1
Vì lim δ→0+ (r∗)2 1 + (n−1)δ2 = (r∗)2 > r∗ − δ1 4 2 ,
nên tồn tại δ2 > 0 sao cho
(r∗)2 1 + (n−1)δ22 > r∗ − δ1 4 2 và 0 < δ2 < δ1. (2.15) Do δ2 thỏa mãn (2.15) nên ta có ∆nδ−1 2 ×∆(r∗ −δ1/2, δ1/4) ⊂ δδn−1 1 ×∆(r∗, δ1) ⊂ B(p0, δ) và ∆nδ−1 2 ×∆(r∗ −δ1/2, δ1/4)⊂ T√ n−1δ2,(r∗)2. Mặt khác, ánh xạ g là chỉnh hình trong ∆nδ−1 2 ×∆(r∗, δ1).
Do ϕn : Bn∗ → T là ánh xạ song chỉnh hình, nên f hạn chế trên
B(p0, δ2) chỉnh hình.
Bước 3. Với mỗi p ∈ Bnr∗ ta đặt
δp = sup{δ :f chỉnh hình trong B(p, δ)}.
Theo Bước 2 thì δp là dương. Mặt khác, chúng ta thấy rằng |δp0 −δp1| ≤ kp0 −p1k, ∀p0, p1 ∈ Bnr∗. Do đó, hàm δ :Bnr∗ −→ R+ ∗ là liên tục. Vì vậy min p∈Bnr∗ δ(p) = δr∗ > 0.
Khi đó f chỉnh hình trong Brn∗+δr∗ ⊃ Brn∗ và Brn∗+δr∗ 6= Brn∗. Điều này không thể xẩy ra, do đó r∗ = 1. Vậy ánh xạ f chỉnh hình trong Bn.
Bây giờ ta sẽ chứng minh một điều kiện cần và đủ về tính chất thác triển Hartogs của các không gian K¨ahler phức lồi chỉnh hình.
Định lý 2.13. Giả sử M là không gian phức K¨ahler lồi chỉnh hình. Khi đó M có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu M có tính chất Forelli.
Chứng minh. Điều kiện đủ: Do M là không gian phức có tính chất thác triển Hartogs nên M là không gian phức kiểu Hartogs. Do vậy, từ định lý 2.12 M có tính chất Forelli.
Điều kiện cần: Giả sử M có tính chất Forelli nhưng không có tính chất (HEP). Theo định lý 2.11, tồn tại một đường cong hữu tỷ
ϕ :P1(C) −→M và ϕ6= const. (2.16) Xét ánh xạ f : B2 −→ P1(C) xác định bởi
(z, w) = [(z +w−1)2 : (z−w)2]
với mỗi (z, w) 6= (1/2,1/2) và f(1/2,1/2) = [1 : 1]. Khi đó ánh xạ f
là lớp C∞ trong lân cận của gốc và ánh xạ f hạn chế trên mỗi đường thẳng phức đi qua gốc là chỉnh hình. Do đó ánh xạ ϕ ◦f cũng là lớp
C∞ trong lân cận của điểm gốc và ánh xạ hạn chế ϕ◦f trên mỗi đường thẳng phức đi qua điểm gốc cũng chỉnh hình. Theo giả thiết M có tính chất (FP), nên ϕ◦f chỉnh hình trên B2. Đặc biệt, ϕ◦f liên tục, và do đó tồn tại
lim
(z,w)→(12,12)
Do ϕ là ánh xạ không hằng nên ϕ là ánh xạ hữu hạn. Do đó ϕ−1(a) là tập con hữu hạn trong P1(C). Đặt w = 12 +λ(z− 12), λ ∈ C. Thế thì
lim (z,w)→(12,12) f(z, w) = [(1+λ)2 : (1−λ)2]. Bởi vì lim (z,w)→(12,12) (ϕ◦f)(z, w) =a nên lim (z,w)→(12,12) f(z, w) ∈ ϕ−1(a). Từ đó suy ra {[(1+λ)2 : (1−λ)2] :λ ∈ C} ⊂ ϕ−1(a).
Điều này không thể xảy ra do ϕ−1(a) hữu hạn.
Định lý 2.14. Giả sử M là đa tạp K¨ahler compact lồi chỉnh hình. Giả sử f : Bn −→ M là ánh xạ thỏa mãn f chỉnh hình trên giao của Bn với mỗi đường thẳng phức l qua gốc, và f thuộc lớp C∞ trong một lân cận của gốc. Khi đó f là phân hình trong Bn.
Chứng minh. Chúng ta lập luận tương tự như trong phần đầu của phép chứng minh định lý 2.9.
Do f liên tục tại 0, nên theo Định lý Forelli 2.7, tồn tại 0 < r0 < 1
sao cho g là chỉnh hình trong TR,r2
0, với mọi R >0.
Theo B. Shiffman đa tạp K¨ahler compact có tính chất thác triển phân hình, chúng ta có g là phân hình trong TR,1. Vì
T = [
R>0
nên g là phân hình trong T. Mặt khác, do Bn = n [ i=1 (Bn\ {zi = 0})∪Bnr0.
Từ điều này suy ra f phân hình trong Bn.
Mệnh đề 2.3. Tính chất K¨ahler trong Định lý 2.14 là không thể bỏ được.
Chứng minh. Xét mặt Hopf S = C2 \ {0}/(z ∼ 2z), S là đa tạp phức compact không K¨ahler. Xét phép chiếu chính tắc ϕ: C2\ {0} → S. Khi đó ϕchỉnh hình trên bất kỳ đường cong phức đi qua gốc, nhưng ϕkhông thác triển phân hình lên C2. Giả sử f : B2 → S là ánh xạ chỉnh hình xác định bởi
f(z, w) = ϕ((z+ w−1)2,(z −w)2).
Khi đó tồn tại lim
t→0ϕ(t, t) và lim
t→0ϕ(t, t) =f(1 2,
1
2), nhưng f không phân
Kết luận
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:
1. Hệ thống lại cách chứng minh định lý Hartogs cổ điển ;
2. Mở rộng định lý Forelli cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức