Định lý forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ LOAN ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHƠNG GIAN PHỨC Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Phạm Thị Loan LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy cô giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học Em chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên khích lệ suốt q trình hồn thành, bảo vệ luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Thị Loan MỤC LỤC MỞ ĐẦU Ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức từ lâu trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Một số tác giả tiếng Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thanh Vân, J Sicial, Shiffman, T.Terada, chứng minh số kết đẹp đẽ sâu sắc ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Những cơng trình thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Ngày nay, nhiều nhà toán học giới quan tâm đến vấn đề cách tiếp cận khác nhằm giải toán cụ thể đặt lĩnh vực Như biết định lý cổ điển Hartogs khẳng định hàm giá trị phức f(z1f , zn) xác định z = (z1f , zn) EU cĩk,(n> 2) hàm chỉnh hình tách, tức chỉnh hình theo biến biến khác cố định f chỉnh hình thực Đây số kết quan trọng giải tích phức nhiều biến Năm 1978, Forelli chứng minh kết đáng ý sau đây: Nếu f hàm xác định hình cầu đơn vị Bn c cn, chỉnh hình giao Bn với đường thẳng phức l qua điểm gốc f khả vi lớp cmtrong lân cận điểm gốc f chỉnh hình Bn Năm 2004 tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai [14] nghiên cứu đưa số kết mở rộng định lý Forelli ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại cách chi tiết, rõ ràng kết nghiên cứu Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai định lý Forelli ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian phức Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày nội dung luận văn chương bao gồm số kiến thức giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, khơng gian phức, khơng gian phức lồi chỉnh hình, khơng gian phức kiểu Hartogs, khơng gian Kãhler phức, không gian Stein Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định lý mở rộng định lý Forelli bao gồm • Khơng gian phức có tính chất Forelli • Định lý Forelli khơng gian phức kiểu Hartogs • Định lý F orelli đa tạp Kã hler phức compact lồi chỉnh hình Định lý Forelli đa tạp phức lồi chỉnh hình Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa tập đa cực 1.1.1 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1.1 [5] Giả sử D tập mở w n Hàm u: D ^ [—ra, ra),u ^ —ra thành phần liên thơng D gọi điều hịa D u thỏa mãn hai điều kiện sau: i Hàm u nửa liên tục D, tức tập {z e D: u(z) < s} mở với số thực ii.Với tập mở compact tương đối G D, với hàm h: G ^ R điều hòa G liên tục G: u < h dG u < h G Định nghĩa 1.1.2 [5] Giả sử n tập mở cn Hàm ọ: n ^ |—ra, ra) gọi đa điều hòa Q nếu: i ọ nửa liên tục Q ọ ^ —ra thành phần liên thông Q ii Với điểm z0 e fì đường thẳng phức l(Ẹ) = z0 + w.Ẹ qua z0 (ở tì e(£n,Ẹ e Q, hạn chế (p lên đường thẳng này, tức hàm (p o l(Ẹ) điều hòa = —ra thành phần liên thông tập mở {f e (C: l(O e fì} Ta có tiêu chuẩn đa điều hịa sau: Hàm ) cho v\u = ỹoh Để ý định nghĩa không phụ thuộc vào vi ệc chọn b ản đồ địa phương Formaess Narasimha chứng minh rằng: Hàm nửa liên tục ọ: X ^ [-OT, rc>) đa điều hòa

r z r * • pt^,* Khi f chỉnh hình K”+ổ , ®" Điều mâu thuẫn với giả sử r* = sup{r e (0,1): f chỉnh hình KỊỊ} ■ 2.3 Định lý Forelli đa tạp Ká hler phức compact lồi chỉnh hình Bổ đề 2.3.1 [14] Giả sử Mlà không gian phức Kahler lồi chỉnh hình Khi Mcó tính chất thác triển Hartogs Mkhông chứa đường cong hữu tỉ Định lý 2.3.1[14] Giả sử Mlà không gian Kahlerphức lồi chỉnh hình Khi Mcó tính chất thác triển Hartogs M có tính chất Forelli Chứng minh Điều kiện đủ: M không gian phức có tính chất thác triển Hartogs nên M khơng gian phức kiểu Hartogs Do theo Định lý 2.2.2, M có tính chất Forelli Điều kiện cần: Theo Bổ đề 2.3.1, để chứng minh M không gian phức có tính chất thác triển Hartogs ta cần chứng minh M không chứa đường cong hữu tỷ Giả sử rằng: (1) Tồn đường cong hữu tỷ ọ: p1 (c) ^ M