i ÍT^ =0<r o 1-a(r*)
2.4. Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnhhình Định nghĩa
Định nghĩa 2.4.1
Cho X, Y là hai không gian phức. Một tương ứng f:X ^Y thỏa mãn các điều kiện sau gọi là ánh xạ phân hình giữa hai không gian phức X, Y.
1. Với môi điểm X e X, f(x) là tập con compact khác rông của Y.
2. Đồ thị Gf = {(x, y) E X xY;y = f(x)} là một không gian con phức liên thông của X X Y với dĩmGf = dimX;
3. Tồn tại một tập con trù mật X* của X sao cho f(x) là điểm đơn với mọi
X EX*.
Bổ đề 2.4.1 [8]
Cho U là một tập mở trong ^m và cho VO,V1,V là tập mở liên thông trong c với VO c V1 c V. Giả sử rằng f:U XV0 ^ X là một ánh xạ phân hình đến mộtkhông gian lồi X. Nếu fz có thác triển chỉnh hình trên V với mọi z E u, thì tồn tại một tập con mở uo có độ đo đủ Lebesgue trong U và một ánh xạ chỉnh hình j:l.l0XV^K sao cho f = f trên u0 X V0 .
Chứng minh.
Chọn một tập mở khác rỗng V0' c V0 và đặt u' = u\nư (lf n (u X V0')), trong đó nư: u X V ^ u là phép chiếu. Vì dĩmlf <m — 1, nên u' có độ đo đủ trong U. Đặt f' = f\ư’xVẶ thì f': u' X V0' ^ X là chỉnh hình và fz là có thác
triển chỉnh hình đến V với hầu hết z e u'. Do đó, theo Định lý 1 trong [7] tồn tại một tập con mở u0 có độ đo đủ trong u' và một ánh xạ chỉnh hình f: u0 X V1 ^ X sao cho f = f vào u0 X V0' và do đó theo nguyên lí duy nhất đối với ánh xạ chỉnh hình f = f vào u0 X V0. ■
Bổ đề 2.4.2[8]
Cho f: E^X là ánh xạ từ tập E cc Am X A vào một không gian phức X. Giả sử rằng
• Tồn tại một tập A1 có độ đo 0 trong Am sao cho Ez có độ đo đủ trong A và fz có thác triển chỉnh hình trên A với mọi z E Am\A1,
• Tồn tại một tập A2 của độ đo 0 trong A sao cho Ew có độ đo đủ trong Am
và fw là phân hình trên Am với mọi w E A\Ấ2.
Khi đó tồn tại các tập mở không rông u c Am, V c A và một ánh xạ chỉnh hình f:u XV ^ X sao cho f = f vào E n (u X V)\(A X A2).
Chứng minh.
Chọn một tập hợp đếm được {fìk} có tập con Stein mở của X cùng với các tập con mở nk ^ nk sao cho u ^k = X.
Đặt {u;-} là cơ sở đếm được các tập con mở liên thông trong Am. Kí hiệu fw*: Am^ X là thác triển phân hình của fw vào Am với w e A\Ấ2, và kí hiệu
Qj,k = jw G A\A2':fw*\uj là chỉnh hình và fw*(ơy) c fìjj.
Vì u Qjk = A\Ấ2, chúng ta có thể cố định j,k sao cho Qjik có độ đo Lebesgue ngoài dương (trong A). Kí hiệu F là tập w E A sao cho Qjk n N có độ đo Lebesgue ngoài dương với mọi lân cận N của w. Khi đó F là đóng trong A và có độ đo dương. Chọn một tập con compact K2C F có độ đo dương.
Viết U' = Uj. Ta xác định f1: U' X K2 ^ ílk c X sao cho fW là chỉnh hình với mọi w E K2 và
f1(z, w) = fz*(w) với (z, w) E (U'\A1) X K2.
Để xác định được f1, trước hết chúng ta chọn một tập con đếm được trù mật {z^} có U'\A1. Bây giờ ta cho w0 E K2 là cố định, và chọn một dãy các điểm
wv E Qj,k n (n Ezv) với wv^wo.
Vì tik là song chỉnh hình với một đa tạp con của không gian Euclidean
(sau khi co tik nếu cần) và fw
v* :U' ^ ti'k — tik, bằng cách bỏ qua một dãy con nếu cần, chúng ta có thể giả sử rằng dãy { fw
v*} hội tụ đều trên các tập con compact của U'. Ta định nghĩa
f1(z, w0) = lim v^<xfwv* (z) với mọi z E U'.
Rõ ràng fw là chình hình trên U'. Vì (z^, wv) E E và zự & A1, nên ta có
f1(z^,wo) = Ảimf(z^,wv) = ỊvmQ (wv) = fzn(wo).
v^rn v^rn
Với /Ằ = 1,2,3, ... do đó fjw° là không phụ thuộc vào cách chọn của wv mà
thỏa mãn các điều kiện ở trên. Đăc biệt, mỗi điểm cố định p E U'\A1, thay {z^}
bởi {z^} u {p} và lập luận tương tự như trên, ta có
f1(p,wo) = fp(wo),
Bây giờ chọn một tập mở ti' với ti'k — ti" — tik. Vì fz (K2) C ti" với z E U'\A1, chúng ta có thể chọn một tập con mở liên thông V' với K2 C V' c A như trên và một tập p c U'\Ấ1 sao cho p có độ đo Lebesgue ngoài dương vàfz(V') c fì" với mọi z E p. Chúng ta chọn một tập compact K1 c U' có độ
đo dương như trên sao cho PnN có độ đo Lebesgue ngoài dương với mọi tập mở N giao với K1.
Chúng ta định nghĩa f2: K1XV' ^ n"như sau: với z E K1 là một điểm cố định
và chọn một dãy{ zv} c p sao cho zv ^ z và f*v hội tụ đều trên các tập con compact của V'. Thế thì f2 được xác định như sau
f2(z,w) = lim v^rn f*v(w),
với w E V'. Rõ ràng, (f2)z là chỉnh hình trên V'. Vì fzv(w) = f1(zv, w) với w E
K2, nên f2 = f1 trên K1 X K2 và do đó (f2)z không phụ thuộc vào cách chọn
zv ^ z. Hơn nữa bằng cách lập luận tương tự như trên ta có
f2(z, w) = fw
*(z) với (z,w) E K1 X (V'\Ấ2).
Đặt s = (U' X K2) u (K1 X V') và f:S ^ D." c tìk được cho bởi f1 và f2. Theo lập luận ở trên, fz là chỉnh hình trên V' với mọi z E K1 và fw là chỉnh hình trên
U' với mọi w E K2. Hơn nữa,
f = f trên E n {[(U'\Ấ1) X K2] u [(K1 X (VV2)]}.
Ta có thể tim được các tập mở liên thông khác rỗng U c U',V c V'. Và một ánh xạ chỉnh hình f':U XV ^ Qk sao cho U n K1 và V n K2 có độ đo dương và f' = f trên s n (U X V);vì vậy
f'=f trên E n {[(U\A1) X (K2 n V)] u [(K1 nU) X (VV2)}
Đặc biệt, với z E U\A1, fz=fz trên Ez n K2 n V và vì vậy fz=fz trên Ez n V;
Tương tự với w E V\Ấ2, f 'w = fw trên Ew n K1 nU và vì vậy f 'w = fw trên
Ew n U. Do đó f' = f trên E n (U X V\41 X A2). ■
Định lý 2.4.1[14]
Giả sử M là một không gian phức có tính chất thác triển phân hình. Giả sử U, V là các tập mở trong Gm, Gn tương ứng và V0 là tập con mở của V. Giả
sử f:UXV0 ^ M là một ánh xạ phân hình. Nếu fz có thác triển phân hình trên V với hầu hết z E U thì f có thác triển phân hình trên U XV.
Chứng minh [8]:
Chúng ta có thể dễ dàng biến đổi định lý theo trường hợp Vo = An, V =
An, ở đó AR = {Z e C: |Z| < R} với R>1. Trước hết, chúng ta giả sử rằng n = 1 theo bổ đề 2.4.2 ở trên, với r tùy ý, r < R tồn tại một tập mở uo c u có độ đo đủ sao cho f có thác triển chỉnh hình trên một tập mở Q = (u X A) u (u0 X Ar). Theo Bổ đề 2.4.1, bao chỉnh hình của Q chứa Ư* Ar và do đó theo tính chất thác
triển phân hình của X, f có thác triển phân hình đến U*Ar. Vì r < R là tùy ý, f
thác triển phân hình trên u X AR .
Bây giờ chúng ta chứng minh trường hợp tổng quát bằng quy nạp theo n:
Giả sử n > 2 và Định lý 2.4.1 đúng với Vo = An-1,V = AR-1. Cho f: u X
An^ X là một ánh xạ phân hình sao cho fz có một thác triển phân hình trên
An với mọi Z e u\A, ở đó AcU có độ đo 0. Cho B là tập các điểm (Z,() e u X A sao cho {Z} X An-1 X {£} c Ịp và viết E= (Ấ X A) u B. Thì E có độ đo 0 trong u X A và ánh xạ phân hình f(z,-, £): An-1^ X là xác định và có thác triển phân hình trên An-1 với mọi (Z, 0 E u X A\E. Theo giả thiết quy nạp (thay thế U bởi U*A), ta có f có thác triển phân hình f': u X An-1 X A^ X.
Tương tự với B' là tập các (Z, W) e u X An-1 sao cho {(Z, W)} X AC Ịy', và viết E' = (Ẩ X AR-1) u B'. Khi đó E' có độ đo 0 trong u X An-1 và ánh xạ f'(z, W/): A^ X là xác định, hơn nữa f' có thác triển chỉnh hình trên AR với mọi (Z, W) e u X AR-1\E'. Vì vậy, theo trường hợp n = 1, f' có thác triển phân hình f u X AỊỊ-1 X AR^ X.
Vậy định lý được chứng minh. ■
Định lý 2.4.2[14]
Giả sửMlà 1 đa tạp Kảhler compact lồi chỉnh hình . Giả sửf:^n^Mlà ánh xạ, f là chỉnh hình trên giao của Bn với mọi đường thẳng phức l qua gốc và f thuộc lớp C“trong lân cận của gốc tọa độ . Khi đó f phân hình trong Bn.
Chứng minh.
Theo định lý Forelli, tồn tại r0 > 0 sao cho f là chỉnh hình trong ®no. Đặt K? =®n\{zn = 0}.
Xét ánh xạ chỉnh hình ^:^n^cn được cho bởi ^(z1,...,zn) =
(z1/z-1,..., zn-1/zn, zn). Đặt ^(®n) = T và xác định
^1:®n ^ T bởi <p1(z) = (fl(z) sao cho zc ®n . Khi đó <p1 là song chỉnh hình.
Đặt g=fo <PĨ1: T ^ M
Và TR,h = {í = (í ,zn) E T: ||t'|| < R và 0 < \zn\2 < h/(1 + R2)} sao cho R>0
và 0 < h < 1. {TR,4 là tích 2 tập mở nên nó cũng là một tập mở. Hiển nhiên khi h tăng thì bán kính tập mở thứ 2 cũng tăng. Do đó {TRJR} là họ của các tập con mở tăng khi h tăng và T=u {TRJ1: R E Q+}. Do f là chỉnh hình trong Bp0 nên ta có g cũng là chỉnh hình trong TR r2 sao cho mọi R > 0.
Theo định lý Forelli, tồn tại r0 > 0 sao cho g là chỉnh hình trong {TR r2} với mọi R > 0.
Từ Định lý 2.4.1 suy ra g là phân hình trên TR1. Vì T=UR>0 TR1, nên g là phân hình trong T. Mặt khác, vì Bn =un=1 (®n\{zj = 0}) u ®no, nên f là phân hình trong Bn.
KẾT LUẬN
Luận văn này nghiên cứu Định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức. Đặc biệt là một số mở rộng của định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức kiểu Hartogs, đa tạp Kãhler phức compact lồi chỉnh hình và đa tạp phức lồi chỉnh hình. Luận văn đạt được một số kết quả như sau:
Trình bày một cách hệ thống một số kiến thức cơ sở của giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, khôn gian phức lồi chỉnh hình, không gian phức kiểu Hartogs, không gian Kã hler phức, không gian Stein. không gian phức có tính chất Forelli, ...
Trình bày được một cách chi tiết, rõ ràng một số mở rộng của định lý Forelli:
+ Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs
+ Định lý Forelli đối với đa tạp Kã hler phức compact lồi chỉnh hình. + Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình.