i) Mặt phẳng phứ cc có tính chất Forelli.
2.2.Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs
Để chứng minh định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs ta cần một số kết quả sau:
Định lý 2.2.1 [14]
Cho u, V là tập mở trong cm, cn tương ứng và K là tập compact liên thông trong cnchứa V. X là một không gian giải tích phức f:U*V^ X là ánh xạ chỉnh hình. Nếu fz thác triển chỉnh hình tới K với mọi zE U. Khi đó tồn tại một tập con đóng E có độ đo 0 trong U và một ánh xạ chỉnh hình f: (U\E) XK^X sao cho f = f trên (U\E) X V.
Chứng minh [7]:
Kí hiệu E là tập các điểm z e u sao cho f thác triển chỉnh hình lên một lân cận (trong u X cn) của {z} X K. Khi đó E là tập con của u. Giả sử E có độ đo dương. Như trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1. Ta chọn E' là tập các điểm của z e E sao cho fz e N(r; j1, ... ,jr, k1,..., kr) sao cho E' có độ đo dương và vì vậy E' không là một tập đa cực. Định lý 2.2.1 được chứng minh hoàn toàn
Bổ đề sau chỉ ra một lớp các không gian phức có tính chất (HEP).
Bổ đề 2.2.1 [7]
Giả sửX là không gian giải tích phức. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:
i. X có tính chất (HEP)
ii. Nếu D là một miền trong T2 và p E dD sao cho D có c2 biên tại p và D không giả lồi Levi tại p thì mọi ánh xạ chỉnh hình f: D ^ X thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình trên một tập mở chứa D u {p}.
iii. Nếu D là một miền trong một đa tạp Stein D sao cho D là bao chỉnh hình của D thì mọi ánh xạ chỉnh hình f:D ^ X có thể thác triển chỉnh hình tới
D.
Bổ đề 2.2.2 [7]
Cho U, V có miền tương ứng trong CM, (£N, cho Vo là một tập mở của V, và cho E là tập con đóng có độ đo 0 trong U. Khi đó bao chỉnh hình của U*V0U (U\E) X V chứa U*V.
Bổ đề 2.2.3 [7]
Giả sử M là không gian phức có tính chất thác triển Hartogs (HEP). Giả sử U,Vlà miền xác định trong cntương ứng và giả sử Vo là 1 tập con mở của V. Nếu f: U X Vo ^ M là ánh xạ chỉnh hình thì fz thác triển chỉnh hình đến Vcho tất cả các điểm z E u. Khi đó f là thác triển chỉnh hình đến U XV. Chứng minh.
Xét một miền tùy ý V' với Vo c V' c V. Theo Định lý 2.2.1 tồn tại một tập con đóng E có độ đo 0 trong u sao cho f thác triển chỉnh hình đến tập D =
UxVo u (U\E) X V'. Theo Bổ đề 2.2.2 bao chỉnh hình D của D chứa U*V'. Vì vậy theo Bổ đề 2.2.1, f thác triển chỉnh hình đến u X V'. Vì V' là tùy ý nên định lý được chứng minh. ■
Định lý 2.2.2 [14] (Định lý Forelli)
Nếu f là một hàm được xác định trong hình cầu đơn vị Bn c cn, chỉnh hình trên giao của Bn với mỗi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc và nếu f khả vi lớp c“trong lân cận của điểm gốc thì f chỉnh hình trong Bn.
Đỗ Đức Thái và Phạm Ngọc Mai đã chứng minh định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs sau:
Định lý 2.2.3 [14]
Gi ả sử M là mộ t không gian ph ức ki ểu Hartogs . Khi đó M có tính ch ất Forelli
Chứng minh.
Theo Định lý 2.2.2 (Forelli), tồn tại r > 0 sao cho f là chỉnh hình trong B'P().
Đặt r* = sup{r e (0,1):f là chỉnh hình trong KỊỊ). Khi đó f là chỉnh hỉnh trong Kjk. Giả sử r* >1.
Bước 1 . Lấy Po e ỠBJ.. Với điểm f(pc) e M lấy wo = Wf(p0), ro= 7(p0), So = Sf(p0) như trong định nghĩa kiểu Hartogs 1.5.2 (ii), tức là với mỗi ọ e #o/(A, M) nếu 99(0) E wo thì ^(Aro) c so.