i ÍT^ =0<r o 1-a(r*)
2.3. Định lý Forelli đối với đa tạp Ká hlerphức compact lồi chỉnh hình
Vì vậy Ọ1 là ánh xạ song chỉnh hình.
Bước 3. Cho mỗi p e BT đặt
8-p = sup{ổ: f là chỉnh hình trong K(p, ổ)}. Theo bước 2, 8p là một số dương.
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta có
|ổp0-ỔP1| < llpo -P1II, Vpo,P1 e ®" .
Từ đó suy ra hàm 8: BT^w+ là liên tục. Do đó min _..,; ố'(p) = 8r* > 0.
r * • pt^,* z r
Khi đó f là chỉnh hình trong K”+ổ , 3 ®" . Điều này là mâu thuẫn với giả sử r* = sup{r e (0,1): f là chỉnh hình trong KỊỊ}. ■
2.3. Định lý Forelli đối với đa tạp Ká hler phức compact lồi chỉnh hình hình
Bổ đề 2.3.1 [14]
Giả sử Mlà không gian phức Kahler lồi chỉnh hình. Khi đó Mcó tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu Mkhông chứa đường cong hữu tỉ.
Định lý 2.3.1[14]
Giả sử Mlà không gian Kahlerphức lồi chỉnh hình. Khi đó Mcó tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu M có tính chất Forelli.
Chứng minh.
Điều kiện đủ: M là không gian phức có tính chất thác triển Hartogs nên M
là
không gian phức kiểu Hartogs. Do đó theo Định lý 2.2.2, M có tính chất Forelli.
Điều kiện cần: Theo Bổ đề 2.3.1, để chứng minh M là không gian phức có tính chất thác triển Hartogs ta chỉ cần chứng minh M không chứa đường cong
Giả sử rằng:
(1) Tồn tại một đường cong hữu tỷ ọ: p1 (c) ^ M và <p ^ hằng số Xét ánh xạf: B2 ^ p1(c) được cho bởi (z,w) ^ [(z + w — 1)2: (z — w)2] với
11 11
môi (z,w) ^ p, I) và f(ị,p = [1:1]. f khả vi lớp cm trong một lân cận mở của điểm gốc và hạn chế của f trên môi đường thẳng phức đi qua điểm gốc là chỉnh hình. Vì M có tính chất Forelli, <p o f là chỉnh hình. Đặc biệt, <p o f liên tục và
do đó tồn tại giới hạn sau: lim (^ o f)(z, w) = aEM.
(z,w)^(2ị)
Từ (1) suy ra
(3) (p-1(a) là tập hữu hạn trong P1(C). Đặt w = 1 + Ả(z — 1), Ả E c Khi đó,
lim f(z, w) =[(1 + Ằ)2: (1 — Ấ)2].
(
z,w)^(ị,ị)
Từ (2), ta có {[(1 + Ằ)2: (1 — Ằ)2]:Ằ e C} c <p-1(a). Điều này là mâu thuẫn với (3). Do đó M không chứa đường cong hữu tỷ. ■
