Tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ co chặt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUN LÂM THÙY DƯƠNG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUN LÂM THÙY DƯƠNG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho THÁI NGUN - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho Các kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình người khác Nghiên cứu sinh Lâm Thùy Dương Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Ngun hướng dẫn GS TS Nguyễn Bường GS TS Yeol Je Cho Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, Cơ: GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, TS Nguyễn Cơng Điều, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Nguyễn Xn Tấn, TS Nguyễn Thị Thu Thủy bảo tận tình cho ý kiến đóng góp q báu suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám đốc Đại học Thái Ngun, Ban Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Giáo dục Tiểu học Ban Chủ nhiệm khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, anh chị em nghiên cứu sinh trao đổi, giúp đỡ, động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả xin kính tặng người thân u gia đình niềm vinh hạnh to lớn Nghiên cứu sinh Lâm Thùy Dương Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.2 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động cho họ ánh xạ giả co chặt 1.2.1 Một số phương pháp lặp 1.2.2 Một số phương pháp lặp khác 10 10 11 14 22 25 31 Chương Ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt 37 2.1 Phương pháp ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh dựa tổng vơ hạn 37 2.2 Phương pháp ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh dựa ánh xạ Wn 56 Chương Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn 3.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert 3.2 Phương pháp KM-HSD cho họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa trung tâm học liệu iii http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 71 71 80 92 94 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập hợp số thực N tập hợp số tự nhiên G tập số H khơng gian Hilbert H E khơng gian Banach E E∗ khơng gian liên hợp E I ánh xạ đơn vị D(T ) miền xác định ánh xạ T x, y tích vơ hướng x y x chuẩn x khơng gian X X inf F (X) cận lớn tập {F (x) : x ∈ X} sup F (X) cận nhỏ tập {F (x) : x ∈ X} x∈X x∈X c0 khơng gian dãy số hội tụ tới với chuẩn sup X ∩Y X giao với Y xn dãy xn hội tụ yếu tới x x xn → x dãy xn hội mạnh tới x PC phép chiếu mêtric lên C F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc khơng gian Banach E Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trong tốn học người ta thường gặp tốn tìm phần tử thuộc vào giao họ tập lồi đóng Ci khơng gian Hilbert hay Banach, với i ∈ G, G tập số, tập Ci cho dạng như: hình cầu, khơng gian nửa khơng gian dạng ẩn như: tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Ti , tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu Ai , hay tập nghiệm tốn cân với song hàm Gi (u, v) Bài tốn thường gọi tốn Chấp nhận lồi có ứng dụng rộng rãi lĩnh vực xử lý ảnh phục chế lại tạo ảnh dựa vào liệu liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến vật thể cần xây dựng ảnh (xem [6], [26], [35], [63]) Lĩnh vực có nhiều ứng dụng y học, qn đội, cơng nghiệp đặc biệt thiên văn hay cơng nghệ sinh học Trong trường hợp cardG = C1 , C2 khơng gian H, tốn Neumann J V [53] nghiên cứu vào năm 1949 Xuất ∞ phát từ điểm x bất kỳ, ơng xây dựng hai dãy {xk }∞ k=1 {yk }k=1 sau: y0 = x, xk = PC1 (yk−1 ), yk = PC2 (xk ), k = 1, 2, , (0.1) chứng minh hai dãy hội tụ mạnh đến PC (x) k → ∞, C = C1 ∩ C2 PC phép chiếu mêtric từ H lên C Khi C1 , C2 tập lồi đóng H, năm 1965, Bregman L M [13] chứng minh hội tụ yếu dãy lặp xác định đến PC (x) Trong trường hợp cardG ≥ tập Ci cho dạng tập điểm Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ bất động ánh xạ khơng giãn Ti , tốn tốn tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ khơng giãn {Ti }i≥2 nhà tốn học Ceng L C ([19], [20]), Maingé P E ([43], [44]), Marino G., Miao Y [46], Takahashi W ([64], [66]), Xu H K ([47], [48], [67], [72]), Wang L [69], Yao Y., Chen R., Yao J C [78] nghiên cứu Mục đích đề tài luận án nghiên cứu phương pháp giải để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ giả co chặt, chứa trường hợp riêng họ ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Đối với ánh xạ λ-giả co chặt T khơng gian Hilbert xác định T (x) − T (y) ≤ x−y +λ (I − T )(x) − (I − T )(y) , (0.2) với ≤ λ < 1, Browder F E Petryshyn W.V [14], năm 1967, chứng minh hội tụ yếu phương pháp lặp Mann xn+1 = αxn + (1 − α)T (xn ) (0.3) tới điểm bất động T , λ < α < Năm 1979, Reich S [59] cải tiến kết cho lớp ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach lồi dãy lặp {xn } xác định theo cơng thức: xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ) Với điều kiện dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn < αn < (0.4) ∞ n=0 αn (1−αn ) = ∞, tác giả chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (0.4) tới điểm bất động ánh xạ khơng giãn T Ta thấy kết cho hội tụ yếu, chí với ánh xạ khơng giãn Để nhận hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn T khơng gian Hilbert, Nakajo K Takahashi W [52] đề xuất phương pháp lai ghép sau: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x0 ∈ C, yn = αxn + (1 − α)T (xn ), Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z }, (0.5) Qn = {z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), đây, dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn điều kiện supn≥0 αn < Năm 2007, Marino G Xu H K [48] mở rộng kết Nakajo K Takahashi W [52] cho ánh xạ giả co chặt thu kết hội tụ mạnh dãy lặp tới điểm bất động ánh xạ giả co chặt T khơng gian Hilbert Sau này, số tác giả khác mở rộng kết cho họ ánh xạ giả co chặt (xem [3], [16], [17], [21], [68]) Năm 2010, Cho Y J cộng [21] giới thiệu phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Banach sau: x0 ∈ C, xn = αn xn−1 + βn Tn (xn ) + γn un , ∀n ≥ 1, (0.6) đây, C tập lồi đóng khơng gian Banach E, {Tn }∞ n=1 : C → C họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt, {αn }, {βn } {γn } dãy số thực đoạn [0, 1] cho αn + βn + γn = 1, {un } dãy bị chặn C Với điều kiện thích hợp cho tham số tác giả chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (0.6) tới điểm bất động chung họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt {Tn }∞ n=1 Gần đây, tốn Song Y L [62], Xu W Wang Y [76] nghiên cứu Trong luận án này, chúng tơi vận dụng phương pháp ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh để giải tốn tìm điểm bất động chung cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Phương pháp kết hợp ngun lý tốn phụ, đề xuất Cohen vào năm 1980 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [22] phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Phương pháp ngun lý tốn phụ đề xuất để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển: tìm u∗ ∈ C cho F (u∗ ), v − u∗ ≥ v ∈ C, (0.7) F : C → H ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H Khi ánh xạ F khơng có tính đơn điệu mạnh, năm 2000, Baasansuren J Khan A A [8] kết hợp ngun lý tốn phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để phương pháp Ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh Cho họ vơ hạn ánh xạ λi -giả co chặt {Ti }∞ i=1 từ tập lồi đóng C khơng gian Hilbert H vào H Giả sử F = ∞ i=1 F ix(Ti ) = ∅, F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ Ti Ta xét tốn: tìm phần tử u∗ ∈ F (0.8) Để vận dụng phương pháp cho tốn (0.8), trước tiên chúng tơi xây dựng nghiệm hiệu chỉnh uα , nghiệm bất đẳng thức biến phân sau: tìm uα ∈ C cho ∞ γi Ai (uα ) + αuα , v − uα ≥ ∀v ∈ C, (0.9) i=1 đây, Ai = I − Ti , α > tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần đến {γi } dãy số thực thỏa mãn điều kiện: ∞ γi > 0; i=1 γi λi = γ < ∞, λi = − λi Thuật tốn ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh thiết lập sau: Cho ϕ : H → R phiếm hàm lồi thường khả vi Gâteaux, ∞ với ϕ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Cho { n }∞ n=0 {αn }n=0 hai Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 90 Dựa vào kết bảng trên, ta thấy k đủ lớn xk = (xk1 , xk2 ) xấp xỉ (0, 0) KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp lặp HSD số cải biên phương pháp HSD, để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Phần cuối chương chúng tơi trình bày đề xuất Phương pháp chúng tơi trình bày kết hợp phương pháp HSD với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn mở rộng họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Với phép lặp chúng tơi đề xuất cho kết hội tụ mạnh dãy lặp tới nghiệm bất đẳng thức biến phân với số điều kiện giảm nhẹ so với số phương pháp tác giả khác đề xuất trước Chúng tơi đưa ví dụ đơn giản để làm sáng tỏ phương pháp đề xuất Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận chung Luận án đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ khơng giãn họ ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert • Nghiên cứu kết hợp ngun lý tốn phụ với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để phương pháp ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh • Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp hybrid steepest descent với phép lặp dạng Krasnoselskij-Mann để phương pháp KM-HSD Các kết nhận luận án gồm: Thiết lập thuật tốn ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Xây dựng phương pháp tìm điểm bất động chung cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt chứng minh hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh Thiết lập thuật tốn ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh để xác định phần tử nghiệm bất đẳng thức biến phân đồng thời điểm bất động chung họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn hay họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ Số hóa trung tâm học liệu 91 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 92 khơng giãn hay họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Xây dựng thuật tốn ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp tập điểm bất động chung họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Trong mục 2.1 luận án, chúng tơi xây dựng thuật tốn ngun lý tốn phụ hiệu chỉnh cho họ vơ hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Tại bước lặp sử dụng ánh xạ đơn điệu B, xác định B(x) = ∞ i=1 γi Ai (x), với x ∈ C Ai = I − Ti Vấn đề đặt liệu sử dụng ánh xạ Sn (x) = B(x) = ∞ i=1 γi Ai (x) n i=1 γi Ai (x) thay cho ánh xạ thuật tốn khơng? Khi ánh xạ Ti cho xấp xỉ Tih kết thu luận án có tương tự hay khơng? Có thể mở rộng kết Chương trường hợp họ vơ hạn khơng đếm ánh xạ khơng giãn, hay nửa nhóm khơng giãn khơng? Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Danh mục cơng trình cơng bố có liên quan đến luận án Buong Ng., Thuy N T T., Duong L T (2009), "Regularization for common fixed points of a countably infinite family of non-self strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Ngun, 49(1), pp 27-31 Buong Ng., Duong L T (2009), "Regularization auxiliary problem algorithm for common fixed points of a countably infinite family of non-self strictly pseudocontractive mappings", International Journal of Mathematical Analysis, 3(11), pp 535-547 Buong Ng., Duong L T (2011), "An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces", Journal of Optimization Theory and Applications, 3(151), pp 513-524 Buong Ng., Duong L T (2012), "Regularization auxiliary problem algorithm for a common element of the set of solutions for a variational inequality problem and the set of common fixed points for an infinite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Applied Mathematical Sciences, 6(63), pp 3119-3132 Số hóa trung tâm học liệu 93 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh tốn phi tuyến phương pháp tốn tử đơn điệu, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Acedo G L., Xu H K (2007), "Iterative methods for strict pseudocontractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis, 67, pp 2258-2271 [4] Alber Ya I (1975), "On solving nonlinear equation involving monotone operators in Banach spaces", Sibiriaan Mathematics Journal, 26, pp 3-11 [5] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer Verlag [6] Andrews H C., Hunt B R (1977), Digital Image Rrestoration, Englewood Clifs, N.J.: Prentice-Hall [7] Aoyama K., Iiduka H., Takahashi W (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications , 2006, pp 1-13 [8] Baasansuren A J., Khan A A (2000), "Regularization auxiliary problem principle for variational inequalities", Computers and Mathematics with applications, 40, pp 995-1002 Số hóa trung tâm học liệu 94 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 95 [9] Bauschke H H (1996), "The approximation of fixed points of compositions of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 202, pp 150-159 [10] Bauschke H H., Combettes P L., Reich S (2005), "The asymptotic behavior of the composition of two resolvents", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 60, pp 283-301 [11] Berinde V (2007), Iterrative Approximaton of Fixed Points, Springer Verlag Berlin Heidesberg [12] Bnouhachem A., Noor M A., Al-Said E., Khalfaoui M., Zhaohan S (2011), "Extragradient method for variational inequalities", Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp 839-854 [13] Bregman L M (1965), "The method of successive projection for finding a common point of convex sets", Soviet Mathematics Doklady, 6, pp 688-692 [14] Browder F E., Petryshyn W V (1967), "Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 20, pp 197-228 [15] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46, pp 354-360 [16] Buong Ng., Son P V (2007), "Regularization extragradient method for common fixed point of a finite family of strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", International Journal of Mathematical Analysis, 1, pp 1217-1226 [17] Buong Ng (2007), "Iterative regularization method of zero order for Lipschitz continuous mappings and strictly pseudocontractive mapSố hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 96 pings in Hilbert spaces", International Mathematical Forum, 2, pp 3053-3061 [18] Buong Ng., Anh N T Q (2011), "An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed points for a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Fixed Point Theory and Applications, 3, pp 535-547 [19] Ceng L C., Yao J C (2008), "Hybrid viscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Applied Mathematics and Computation, 198, pp 729-741 [20] Ceng L C., Yao J C., Ansari Q H (2010), "Hybrid pseudoviscosity approximation schemes for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 4, pp 743-754 [21] Cho Y J., Kang S M., Qin X (2010), "Strong convergence of an implicit iterative process for an infinite family of strict pseudocontractions ", Bulletin of the Korean Mathematical Society, 47, pp 1259-1268 [22] Cohen G (1980), "Auxiliary problem principle and decomposition of optimization problems", Journal of Optimization Theory and Applications, 32, pp 277-305 [23] Cohen G., Zhu D L (1984), "Decomposition coordination methods in large scale optimization problem: The nondifferentiable case and the use of augmented lagrangians", In Advances in Large Scale Systems, (Edited by J.B Cruz, Jr.), Jai Press Greenwich, CT, pp 203-266 [24] Cohen G (1988), "Auxiliary problem principle extended to variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 59, pp 305-325 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 97 [25] Combettes P L., Hirstoaga S A (2005), "Equilibrium programming in Hilbert spaces", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 6, pp 117-136 [26] Demoment G (1985), "Image reconstraction and restoration: Overview of common estimation structures and problems", IEEE Transactions on Acoustics, Speech and signal Processing, 37 pp 243-253 [27] Farouq N E (2001), "Psedomonotone variational inequalities: Convergence of the auxiliary problem method", Journal of Optimization Theory and Applications, 111, pp 305-326 [28] Goebel K., Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press, Cambridge [29] Hadamard J (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris [30] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpansive maps", Bulletin of the American Mathematical Society, 3, pp 957- 961 [31] Hartman P., Stampacchia G (1966), "On some non-linear elliptic differential-functional equations", Acta Mathematica, 115, pp 271310 [32] Iiduka H., Takahashi W (2004), "Strong convergence theorems for nonexpansive nonself mappings and inverse-strongly monotone mappings", Journal of Convex Analysis, 11, pp 69-79 [33] Ishikawa S (1974), "Fixed points by a new iteration method", Proceedings of the American Mathematical Society, 44, pp 147-150 [34] Jung J S (2011), "A general iterative scheme for k-strictly pseudocontractive mappings and optimization problems", Applied Mathematics and Computation, 217, pp 5581-5588 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 98 [35] Katsaggelos K (Ed.), (1991), Digital Image Restoration, New York: Springer-Verlage [36] Kim T H., Xu H K (2005), "Strong convegence of modified Mann iterations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 61, pp 51-60 [37] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [38] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York [39] Korpelevich G M (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp 747-756 [40] Lions J L (1977), "Approximation de point fixed de contraction", Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 284, pp 1357-1359 [41] Lions J L., Stampacchia G (1967), "Variational inequalities", Communications on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512 [42] Liu X., Cui Y (2010), "The common minimal-norm fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 73, pp 76-83 [43] Maingé P E (2007), "Approximation methods for common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 325, pp 469-479 [44] Maingé P E (2008), " Extension of the hybrid steepest descent method to a class of variational inequalities and fixed point problems with nonself-mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, 29, pp 820-834 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 99 [45] Mann W R (1953), "Mean value methods in iteration", Proceedings of the American Mathematical Society, 4, pp 506-510 [46] Miao Y., Li J (2008), "Weak and strong convergence of an iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 2, pp 197-204 [47] Marino G., Xu H K (2006), "A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 318, pp 43-52 [48] Marino G., Xu H K (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 329, pp 336-346 [49] Mastroeni G (2000), "On auxiliary principle for equilibrium problems", Technical Report of the department of mathematics of Pisa University, Italy, 3, pp 1244-1258 [50] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 128, pp 191-201 [51] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz continuous monotone mappings", SIAS Journal on Optimization, 26, pp 12301241 [52] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 279, pp 372-379 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 100 [53] Neumann J V (1949), "On rings of operators Reduction theory", Annals of Mathematics, 50, pp 401- 485 [54] Noor M A (2003), "Extragradient methods for pseudomonotone variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 117, pp 475-488 [55] Noor M A (2003), "New extragradient-type methods for general variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp 379-394 [56] O’Hara J G., Pillay P., Xu H K (2003), "Iterative approaches to finding nearest common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 54, pp 1417-1426 [57] Osilike M O., Udomene A (2001), "Demiclosedness principle and convergence theorems for strictly pseudocontractive mappings", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 256, pp 431-445 [58] Rassias T M., Verma R U (2002), "General auxiliary problem principle and solvability of a class of nonlinear mixed variational inequalities involving partially relaxed monotone mappings", Mathematical inequalities and Applications, 5, pp 163-170 [59] Reich S (1979), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 67, pp 274-276 [60] Rhoades B E (1974), "Comments on two fixed point iteration methods", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 196, pp 161-176 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 101 [61] Shimoji K., Takhashi W (2001) , "Strong convergence to common fixed points of infinite nonexpansive mappings and applications", Taiwanese Journal of Mathematics, 5, pp 387-404 [62] Song Y L., Hu H Y., Wang Y Q., Zeng L C., Hu C H (2012), "Strong convergence of a new general iterative method for variational inequality problems in Hilbert", Fixed Point Theory and Applications, 2012, doi:10.1186/1687-1812 [63] Stark H (Ed.), (1987), Image revovery: Theory and Application, San Diego, CA: Academic Press [64] Takahashi W (1997), "Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications", Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska Sectio A, 51, pp 277-292 [65] Takahashi W., Tamura T., Toyoda M (2002), "Approximation of common fixed points of family of finite nonexpansive mappings in Banach spaces", Scientiae Mathematicae Japonicae, 56, pp 475-480 [66] Takahashi W., Toyoda M (2003), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings", Journal of Optimization Theory and Applications, 118, pp 417-428 [67] Tan K K., Xu H K (1993), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration proces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 178, pp 301-308 [68] Wang F., Peng J., Lee H J (2007), "Implicit iteration proces with mean errors for common fixed point of a family of strictly pseudocontractive maps", International Journal of Mathematical Analysis, 1, pp 89-99 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 102 [69] Wang L., Yao S S (2007), "Hybrid iteration method for fixed points of nonexpansive mappings", Taiwanese Journal of Mathematics, 5, pp 183-190 [70] Wang F (2011), "Implicit and explicit iterative schemes for variational inequalities and fixed point problems of a countable family of strict pseudo-contractions", Mathematica Aeterna, 1, pp 563-576 [71] Wittmann R (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Archiv der Mathematik,58, pp 486-491 [72] Xu H K (2002), "Iterative algorithms for nonliner operators", Journal of the London Mathematical Society, 66, pp 240-256 [73] Xu H K., Kim T H (2003), "Convergence of Hybrid steepest-descent methods for variational Inequality", Journal of Optimization Theory and Applications, 119, pp 185-201 [74] Xu H K (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", Journal of Optimization Theory and Applications, 116, pp 659- 678 [75] Xu H K (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 298, pp 279-291 [76] Xu W., Wang Y (2012), "Strong convergence of the iterative methods for Hierarchical fixed point problems of an infinite family of strictly nonself pseudocontractions", Abstract and Applied Analysis, 2012, doi: 10.1155/2012/457024 [77] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", Studies in Computational Mathematics, In- Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 103 herently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473-504 [78] Yao Y., Chen R., Yao J C (2008), "Strong convergence and certain control conditions for modified Mann iterations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 68, pp 1687-1693 [79] Yao Y., Chen R (2010), "Strong convergence theorems for strict pseudocontractions in Hilbert space", Journal of Applied Mathematics and Computing, 32, pp 69-82 [80] Zeng L C., Ansari Q H., Wu S Y (2006), "Strong convergence theorems of relaxed Hybrid Steepest-Descent methods for variational Inequalies", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 13-19 [81] Zeng L.C., Lin L J., Hao J C., Verma R U (2006), "Auxiliary problem method for mixed variational like inequalities", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 515-529 [82] Zeng L C., Yao J C (2006), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings", Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications, 64, pp 2507-2515 [83] Zeng L C., Yao J C (2006), "Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems", Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 1293-1303 [84] Zeng L.C., Wong N C., Yao J C (2007), "Convergence analysis of modified hybrid steepest-descent methods with variable parameters for variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 132, pp 51-69 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 104 [85] Zhou H (2008), "Convergence theorems of fixed points for k- strict pseudocontractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 69, pp 456-462 [86] Zhu D L., Marcotte P (1995), "Coupling the auxiliary problem principle with descent methods of pseudoconvex programming", European Journal of Operational Research, 83, pp 670-685 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tốn phụ, sau này một số tác giả đã áp dụng và mở rộng ra các bài tốn khác (xem [49], [58], [81] và [86]) 1.2 Một số phương pháp lặp tìm điểm bất động cho một họ các ánh xạ giả co chặt Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt trong khơng gian Hilbert, chúng ta sẽ giới thiệu ánh xạ giả co chặt và sự tồn tại điểm bất động của lớp các ánh xạ này trong khơng... một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt và một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn Chúng tơi xây dựng thuật tốn ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh, dựa trên tổng vơ hạn các ánh xạ, để tìm điểm bất động chung cho một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt trong khơng gian Hilbert Cùng với kết quả đó, chúng tơi xây dựng thuật tốn ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh dựa trên ánh xạ Wn , xác định từ một họ hữu hạn các ánh xạ. .. thì ánh xạ F là một ánh xạ khơng giãn trên C, tức là ánh xạ F thỏa mãn F (x) − F (y) ≤ x − y , với mọi x, y ∈ C Nếu L < 1 thì ánh xạ F là một ánh xạ co Như vậy, ánh xạ khơng giãn và ánh xạ co là các trường hợp riêng của ánh xạ liên tục Lipschitz, do đó là các ánh xạ liên tục Dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ F là ngược đơn điệu mạnh thì F là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz Sau đây là một số phương... là ánh xạ khơng giãn, tức là ánh xạ T thỏa mãn: T (x) − T (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ D(T ) (1.25) Như vậy, lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ khơng giãn và lớp ánh xạ khơng giãn là một mở rộng của lớp ánh xạ co Mà ta biết, nếu T là một ánh xạ co từ khơng gian mêtric đủ X vào chính nó, thì T có duy nhất một điểm bất động và dãy lặp {xn } xác định bởi x0 ∈ X, xn+1 = T (xn ) hội tụ về điểm bất động. .. quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và tính chất tập điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong khơng gian Hilbert Định lý 1.9 (xem [11]) Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng và giới nội trong H Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C Định lý 1.10 (xem [28]) Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng... khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng bị chặn của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt Khi đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi, khác rỗng 1.2.1 Một số phương pháp lặp cơ bản Trong phần này chúng ta trình bày một số phương pháp lặp cơ bản để tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt và họ các ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert • Phương pháp lặp Mann Phương pháp... {Ti }∞ i=1 là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn từ C vào H Khi đó, bài tốn (0.8) là bài tốn: tìm điểm bất động chung cho một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hibert và đã được nghiên cứu trong [19], [20], [43], [64], [66] Tuy nhiên, một mở rộng nữa của bài tốn này là bài tốn: tìm một phần tử là nghiệm của bất đẳng thức biến phân và đồng thời là điểm bất động chung của một họ (hữu hạn... tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển và đồng thời là điểm bất động chung của một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn hay một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt trong khơng gian Hilbert Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 Chương 3 chúng tơi trình bày phương pháp lặp HSD và một số cải tiến của phương pháp đó, để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập điểm bất. .. lược về bất đẳng thức biến phân cổ điển và một số phương pháp tìm nghiệm cho bài tốn Mục 1.2 trình bày một số phương pháp tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt và họ các ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert 1.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian vơ hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi các nhà tốn học Italia... khơng có điểm bất động Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ khơng giãn đòi hỏi thêm điều kiện khác, như tính giới nội của tập C Định lý sau đây cho ta biết về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert Định lý 1.7 (xem [11]) Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng và giới nội của H, T : C −→ C là một ánh xạ khơng giãn Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong