Nguyên lý tựa độ lệch trong hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình không chỉnh đơn điệu và phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Một số vấn đề 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Sự hội tụ không gian Banach 1.1.3 Không gian phản xạ 1.1.4 Đạo hàm Fréchet 1.1.5 Không gian lồi chặt 1.1.6 Không gian Ephinmov Stechkin (ES) 1.1.7 Tính lồi trơn không gian Banach 1.1.8 Bổ đề Minty 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Bài toán đặt không chỉnh 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Ví dụ 10 1.4 Phương pháp hiệu chỉnh 11 1.4.1 Khái niệm toán tử hiệu chỉnh 11 1.4.2 Chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch 11 Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu 16 ii 2.1 2.2 Bài toán không chỉnh với toán tử đơn điệu 16 2.1.1 Thuật toán 16 2.1.2 Nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 24 2.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 33 Nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh đơn điệu phi tuyến 38 2.2.1 Mô tả phương pháp 38 2.2.2 Sự hội tụ 40 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 iii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người đặt đề tài tận tình hướng dẫn để luận văn hoàn thành Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi trình học tập Tôi xin cảm ơn nhiệt tình giảng dạy giảng viên suốt thời gian học tập Tôi xin cảm ơn anh chị em lớp Cao học Toán khóa 2013-2015, chuyên ngành Toán ứng dụng động viên chia sẻ khó khăn với suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình, bạn bè anh chị em đồng nghiệp, người động viên khích lệ giúp hoàn thành luận văn Mở đầu Trong thực tế, có toán mà cần thay đổi nhỏ từ kiện ban đầu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, làm toán trở nên vô nghiệm vô định Người ta gọi toán đặt không chỉnh Việc nghiên cứu toán cho ta nhìn thấy ứng dụng rộng rãi Toán học thực tế sống Bởi tầm quan trọng lý thuyết toán đặt không chỉnh mà có nhiều nhà toán học dành tâm sức vào việc tìm phương pháp giải tối ưu cho toán Tiêu biểu kể đến Alber Ya.I., Atkinson K.E., Bakushinskii A.B., Baumeiser J., Engl H.W nhà toán học Việt Nam nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết này, tiêu biểu GS.TS Nguyễn Bường, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Trong khuôn khổ luận văn này, xin trình bày vấn đề nằm lý thuyết trên, “Nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh đơn điệu phi tuyến” Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh, đơn điệu phi tuyến Bố cục luận văn gồm chương: • Chương Một số vấn đề • Chương Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp, mẻ khả hạn chế thân nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2015 Chu Minh Thành Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: chuminhthanhsp@gmail.com Chương Một số vấn đề 1.1 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn không gian tuyến tính X ứng với phần tử x ∈ X có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: (1) x > với x = Đẳng thức x = xảy x = (2) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X (3) αx ≤ |α| x với x ∈ X α ∈ R Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Ví dụ 1.1 Không gian Lp [a, b] với ≤ p < +∞ không gian Banach với chuẩn   p1 b p |ϕ(x)| dx , ϕ = ϕ ∈ Lp [a, b] a 1.1.2 Sự hội tụ không gian Banach Dãy phần tử {xn } không gian Banach X gọi hội tụ đến phần tử x0 ∈ X n → +∞, x − x0 → n → +∞, kí hiệu xn → x0 Sự hội tụ theo chuẩn gọi hội tụ mạnh Dãy {xn } gọi hội tụ yếu đến x0 , kí hiệu xn x0 , với f ∈ X ∗ không gian liên hợp X, ta có f (xn ) → f (x0 ) n → +∞ Tính chất 1.1 Từ định nghĩa ta có tính chất sau • Từ hội tụ mạnh dãy suy hội tụ yếu dãy • Giới hạn yếu có dãy • Nếu xn x0 sup xn < ∞ x ≤ lim xn n→∞ 1≤n δ + ε; δ + ε < bất đẳng thức suy mU xω − x0 s 1−p ≤ C1 (δ + ε) p xω − x0 + C2 (δ + ε) Cũng chứng minh định lý ta thấy θ xω − x0 = O(δ + ε) , θ = 1−p , ps s−1 Định lý chứng minh 2.2 2.2.1 Nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh đơn điệu phi tuyến Mô tả phương pháp Cho X không gian Banach phản xạ X ∗ không gian đối ngẫu nó, mà hai giả thiết lồi chặt Để cho đơn giản, chuẩn X X ∗ ký hiệu · Ta sử dụng kí hiệu x∗ , x để biểu thị giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ điểm x ∈ X Ngoài ra, ta giả thiết thêm không gian X có tính chất ES Ta xét toán Ai (x) = fi , f ∈ X ∗ , i = 0, 1, 2, , N (2.34) N số nguyên dương cố định Ai toán tử đơn điệu h-liên tục, đơn điệu với miền xác định D(A) ≡ X với i = 0, 1, , N Nhắc 39 lại rằng, toán tử A miền D(A) ⊆ X vào X ∗ gọi λ-ngược, đơn điệu mạnh, x, y ∈ D(A) ta có A(x) − A (y) , x − y ≥ λ A(x) − A(y) , λ số dương, đơn điệu, thỏa mãn điều kiện sau A(x) − A (y) , x − y ≥ đơn điệu chặt điểm y ∈ D(A) dấu "=" bất đẳng thức cuối xảy x = y, năng, A(x) = ϕ (x), đạo hàm Gâteaux phiếm hàm lồi ϕ(x) Ký hiệu Si tập nghiệm phương trình thứ i (2.34) δ ∗ Giả thiết S := ∩N i=0 Si = θ, giả sử fi cho xấp xỉ fi ∈ X thỏa mãn fi − f δ i ≤ δ, với i = 0, 1, , N δ → 0, (2.35) Ta biết [3], phương trình (2.34) toán đặt không chỉnh, theo nghĩa nghiệm không phụ thuộc liên tục vào fi , đó, hệ phương trình (2.34) toán đặt không chỉnh Năm 2006, để giải (2.34) trường hợp fi = θ (phần tử θ X ∗ ), Ai h-liên tục, đơn điệu với D(Ai ) = X, Nguyễn Bường đưa phương pháp hiệu chỉnh kiểu BrowderTikhonov loại N i=0 αµj Ahi (x) + αU (x) = θ µ0 = < µi < µi+1 < 1, (2.36) i = 1, 2, , N − 1, Ahi xấp xỉ Ai có tính đơn điệu h-liên tục Trong luận văn, ta xét phương trình hiệu chỉnh cho (2.34) phương trình sau N i=0 αµi (Ai (x) − fiδ ) + αU (x + x+ ) = θ µ0 = < µi < µi+1 < 1, Rõ ràng, ánh xạ A (·) := N µi i=0 α (Ai (·) (2.37) i = 1, 2, , N − − fiδ ), với α cố định dương h-liên tục đơn điệu với D(A) = X Do đó, A đơn điệu cực đại (xem [3]) Vì 40 vậy, phương trình (2.37) có nghiệm α > Ta chứng minh α, δ/α → xδα hội tụ mạnh tới x0 ∈ S, thỏa mãn (2.38) x0 − x+ = z − x+ z∈S Chọn tham số α = α (δ) theo nguyên lý ρ (α) := α xδα − x+ = Kδ p , K > N + < p ≤ đánh giá tốc độ hội tụ xδα(δ) với điều kiện ∗ (2.39) A0 (y) − f0 − A0 (x) (y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 , ∗ với y thuộc lân cận x0 ∈ S, A0 (x0 ) đạo hàm A0 x0 ∈ X, A0 (x0 ) liên hợp A0 (x0 ) τ số cố định, s U (x) − U (y), x − y ≥ mU x − y , (2.40) s ≥ 2, mU > Lưu ý Ai (x) ≡ fi cho i = 1, 2, , N , ρ(α) = A0 (xδα ) − f0δ , ta có nguyên lý độ lệch [3] Vì vậy, nguyên lý gọi nguyên lý tựa độ lệch 2.2.2 Sự hội tụ Định lí 2.11 Nếu α, δ/α → xδα → x0 ∈ S, thỏa mãn (2.38) Chứng minh Từ (2.37) kéo theo N với z ∈ S αµi Ai (xδα ) − fiδ , xδα − z + α U (xδα − x+ ), xδα − z = i=0 Từ (2.35) tính chất Ai , ta N U (xδα −x + ), xδα −z ≤δ i=0 α1−µi (2.41) xδα − z Như xδα + −x N − xδα + −x z−x + +δ i=0 α1−µi N − z−x + δ i=0 α1−µi ≤ 41 Vì ≤ xδα − x+ N ≤ + z−x +δ i=0 N α1−µi + δ i=0 α1−µi z ∈ S (2.42) z − x+ , Không tính tổng quát, ta giả sử α ≤ Khi ≤ xδα − x+ ≤ z − x+ + δ N +1 + α δ N +1 z − x+ α với z ∈ S Do X phản xạ nên dãy {xδα } có dãy hội tụ yếu đến phần tử X Để đơn giản, ta giả sử xδα → x ∈ X, δ, δ/δ → Đầu tiên, ta chứng minh x ∈ S0 Thật vậy, từ tính chất A0 , U (2.37), ta có A0 (x) − f0δ , x − xδα A0 (xδα ) − f0δ , x − xδα ≥ N αµi Ai (xδα ) − fiδ , xδα − x + α U (xδα − x+ ), xδα − x ≥ i=0 N αµi Ai (xδα ) − fiδ , xδα − x + α U (x − x+ ), xδα − x , ≥ x ∈ X i=0 Cho δ, α → bất đẳng thức trên, ta có A0 (x) − f0 , x − x ≥ 0, với x ∈ X Do đó, x¯ ∈ S0 Bây giờ, ta chứng minh x ∈ Si , i = 1, 2, , N Thật vậy, từ (2.37) tính chất đơn điệu A0 sau N A1 (xδα ) − f1δ , xδα +α ≤ 1−µ1 U (xδα δ xδα − x µ α αµi −µ1 Ai (xδα ) − f1δ , xδα − x −x + i=0 + − x ), xδα − x với x ∈ S0 Vì N A1 (xδα ) − f1δ , xδα αµi −µ1 Ai (xδα ) − f1δ , xδα − x −x + i=0 42 +α1−µ1 U (x − x+ ), xδα − x ≤ δ 1−µ1 δ α xα − x , α Cho δ, α → 0, ta A1 (x) − f1 , x − x ≤ với x ∈ S0 Do đó, x¯ cực tiểu địa phương ϕ1 (x) − f1 , x S0 Từ S0 ∩ S1 = ∅, x¯ cực tiểu địa phương ϕ1 (x) − f1 , x tức x ∈ S1 Tiếp theo, ta đặt k i=0 Si Sk = Như vậy, Sk tập lồi, đóng khác rỗng Lúc này, giả sử ta có chứng minh x ∈ Sk ta cần chứng minh x ∈ Sk+1 Từ (2.37) với x ∈ Sk , viết N Ak+1 (xδα ) − δ fk+1 , xδα αµi −µk+1 Ai (xδα ) − f1δ , xδα − x −x + j=k+2 x+ ), xδα + α1−µk+1 U (xδα − −x δ ≤ µ (k + 1) xδα − x , với x ∈ Sk , α k+1 Cho α ≤ 1, đó, N Ak+1 (x) − δ fk+1 , xδα αµi −µk+1 Ai (x) − f1δ , xδα − x −x + j=k+2 x+ ), xδα +α1−µk+1 U (x − δ ≤ (k + 1) xδα − x α δ (k + 1) xδα + x ≤ α −x Do đó, Ak+1 (x) − fk+1 , x − x ≤ với x ∈ Sk Bằng lập luận tương tự trên, có x ∈ Sk+1 Do đó, x ∈ S rõ ràng từ (2.42), có xδα − x+ → x − x+ x − x+ ≤ z − x+ với z ∈ S S tập lồi, đóng phần tử có x+ -chuẩn nhỏ không gian Banach X lồi nên xδα → x phần tử x¯ phần tử x0 mà ta phải tìm 43 Hệ 2.1 Ta có khẳng định sau: (1) Hàm ρ(α) liên tục (α0 , +∞), với α0 > (2) Nếu AN liên tục x+ với AN (x+ ) − fNδ > (2.43) với δ ≥ 0, fN0 = fN lim ρ(α) = +∞ α→+∞ Chứng minh Lấy α, β hai số (α0 , +∞) Từ (2.37) suy N N α µi Ai (xδα ) − fiδ β µi Ai (xδβ ) − fiδ +αU (xδα −x+ )−βU (xδβ −x+ ) = − i=0 i=0 Do đó, α U (xδα − x+ ) − U (xδβ − x+ ), xδα − xδβ + (α − β) U (xδβ − x+ ), xδα − xδβ N αϕi Ai (xδα ) − Ai (xδβ ), xδα − xδβ + i=0 N (αµi − β µi ) Ai (xδβ ) − fiδ , xδα − xδβ = + i=0 Cùng với kết sau U (x) − U (y), x − y ≥ ( x − y )2 , Với x, y ∈ X, nghĩa xβα − x+ − xββ − x+ ≤ |α − β| δ xβ − x+ + α0 α0 xδα + −x + x + + N |αµi − β µi | Ai (xδα ) − fαδ i=0 δ xβ Vì vậy, từ bất đẳng thức (2.42) với α vế trái thay α0 , liên tục xδα − x+ giá trị β ∈ (α0 , ∞) Vì vậy, ρ(α) liên tục 44 (α0 , ∞) Từ (2.37) ta có N N α µi Ai (xδα ) + − Ai (x ) + αU (xδα + αµi fiδ ) − Ai (x+ ) −x )= i=0 i=0 Đẳng thức cho xδα − x+ sử dụng tính đơn điệu Ai định nghĩa U , có N xδα −x + ≤ i=0 α1−µi fiδ − Ai (x+ ) Vì vậy, lim α→+∞ xδα − x+ = Rõ ràng, kết luận (2) bổ đề suy từ việc sử dụng (2.43), từ đẳng thức trên, ta N −1 ρ(α) ≥ α µN AN (xδα ) − fNδ − i=0 αµN −µi Ai (xδα ) − fiδ Suy liên tục AN x+ , µN > µi tính bị chặn địa phương Ai i = 0, 1, 2, N − Bây giờ, ta thấy tham số lựa chọn nguyên tắc lại Định lí 2.12 Cho x+ ∈ / S điểm thuộc E với AN liên tục x+ với điều kiện (2.43) Do đó, tồn giá trị α≥ [K − (N + 2)]δ p z − x+ z ∈ S, (2.44) ρ(α) = Kδ p , K > N + 2, < p ≤ (2.45) Hơn nữa, δ → Ai ánh xạ đơn điệu chặt x+ với i = 0, 1, 2, , N − Ta có (1) α (δ) → (2) Nếu p ∈ (0; 1) δ/α (δ) → xδα(δ) → x0 45 (3) Nếu p = 1, S = {x0 } Ai λi -ngược, đơn điệu mạnh với i = 1, 2, , N, xδα(δ) hội tụ yếu đến x0 δ/α (δ) ≤ C, số dương Chứng minh Do (2.42) với ta thu bất đẳng thức sau α xδα − x+ ≤ α z − x+ + δ(N + 1) + αδ(N + 1) z − x+ , với z ∈ S (2.46) Với giá trị cố định δ > p ∈ (0, 1], α đủ nhỏ, ta α z − x+ < (K − (N + 2))δ p (2.47) Lại có α ≤ δ/ ((N + 1) z − x+ ) (2.46) suy ρ(α) < (K −(N +2))δ p +(N +2)δ < (K −(N +2))δ p +(N +2)δ p = Kδ p (2.48) Bây giờ, ta xem xét (2.49) d(α) = ρ(α) − Kδ p Vì α ≥ α0 > 0, theo Định lý 2.11 ta suy lim d(α) = +∞, rõ ràng từ (2.48) α→+∞ (2.49) suy có giá trị α > cho d(α) < Vì d(α) liên tục (α, +∞) nên tồn giá trị α ¯ cho d(α) = 0, tức (2.45) thỏa mãn ký hiệu “ t, as ≤ b.at + c suy as = O bs/(s−t) + c ta xδα(δ) − x0 = O (δ γ ) Định lý chứng minh Chú ý 2.1 Nếu α = α (δ) chọn α ∼ δ p , < p < 1, bất đẳng thức có dạng mU xδα(δ) − x0 s ≤ C1 δ 1−p xδα(δ) − x0 + C2 δ µ1 p với C1 , C2 số không đổi Như vậy, ta có kết định lý 50 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: Một số vấn đề không gian Banach, không gian Hilbert, lý thuyết toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu, gồm hai phần: • Phần thứ nhất, đề cập đến lý thuyết toán không chỉnh với toán tử đơn điệu gồm có thuật toán bản, nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh tốc độ nghiệm hiệu chỉnh • Phần thứ hai, nghiên cứu nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh đơn điệu phi tuyến Các vấn đề nghiên cứu dựa kết GS.TS Nguyễn Bường 51 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Alber Ya I., Ryazantseva I P (2006), Nonlinnear Ill-Posed Problem of Monotone Types, Springer Verlag [4] Buong N., Huong T T (2014), “A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations”, Iz VUZ Mat (accepted) ... lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh đơn điệu phi tuyến Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN Chuyên ngành:... 24 2.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 33 Nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình không chỉnh đơn điệu phi tuyến 38 2.2.1 Mô tả phương pháp