Tích đối xứng của không gian metric suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ ĐÀO TÍCH ĐỐI XỨNG CỦA KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ ĐÀO TÍCH ĐỐI XỨNG CỦA KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả TRẦN THỊ ĐÀO LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất q thầy tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp cao học Toán Giải Tích K36 - ĐN, nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập vừa qua TRẦN THỊ ĐÀO MỤC LỤC Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn Không gian topo 1.1 Khái niệm không gian topo 1.2 Lân cận 1.3 Tập hợp đóng 1.4 Bao đóng tập hợp 1.5 Phần tập hợp 14 1.6 Biên tập hợp 17 1.7 Các tiên đề tách 18 1.8 Không gian compact 20 1.9 Ánh xạ liên tục 23 1.10 Không gian 25 Tích đối xứng không gian metric suy rộng 28 2.1 29 Cơ sở topo topo Vietoris 2.2 Siêu khơng gian tích đối xứng cấp n 34 2.3 cn-mạng ck -mạng có tính chất σ -(P ) tích đối xứng Fn (X) 43 Kết luận kiến nghị 52 Kết luận 52 Kiến nghị 52 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Năm 1931, K Borsuk S Ulam đưa khái niệm tích đối xứng khơng gian topo quan tâm nghiên cứu mối liên hệ tính chất topo có X có tích đối xứng cấp n (xem [1]) Hơn nữa, tác giả chứng minh rằng, tích đối xứng cấp n thu từ khơng gian thương tích Cartesian X n Trong năm gần đây, tích đối xứng cấp n thu hút nhiều người nghiên cứu topo đại cương giới quan tâm, tác giả quan tâm theo nhiều hướng nghiên cứu khác thu nhiều kết thú vị Tuy nhiên, nghiên cứu tích đối xứng khơng gian metric suy rộng tập trung nhiều số tác C Good S Macías ([4]), L.-X Peng and Y Sun ([5]), Z Tang, S Lin and F Lin ([6]) Các tác giả quan tâm nghiên cứu tính chất không gian, chẳng hạn X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, không gian Fréchet, khơng gian dãy, k -khơng gian , Fn (X) có khơng ngược lại; nghiên cứu tính chất phủ, tính chất mạng k -mạng, cs-mạng, sn-mạng có khơng gian metric suy rộng X , có tích đối xứng cấp n hay không Năm 2019, Lương Quốc Tuyển Ông Văn Tuyên nghiên cứu cn-mạng, ck -mạng có tính chất σ -(P ) chứng minh cn-mạng ck -mạng với tính chất σ -(P ) bảo tồn lên tích đối xứng cấp n (xem [7]) Với mong muốn có tầm nhìn tổng quan tính chất mạng khơng gian metric suy rộng, tích đối xứng Fn (X) mối liên hệ tính chất topo chúng, hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Tích đối xứng khơng gian metric suy rộng” làm đề tài luận văn thạc sỹ tốn học cho Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu số tính chất topo bảo tồn từ khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng Fn (X) Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Khơng gian metric suy rộng, tính chất mạng, tích đối xứng Fn (X), siêu khơng gian F(X) 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bảo tồn số tính chất topo khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến bảo tồn tính chất topo khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng Bằng kiến thức học Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, chọn lọc xếp kiến thức phù hợp đưa vào luận văn Nhờ đó, phân tích, phát triển đưa tính chất liên quan bảo tồn tính chất topo khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên, học viên cao học quan tâm nghiên cứu hướng 47 Trường hợp (P ) hữu hạn địa phương Giả sử F = {x1 , , xr } ∈ Fn (X) Khi đó, P họ hữu hạn địa phương X nên với i ≤ r, tồn lân cận mở Wi xi giao nhiều hữu hạn phần tử P Nếu ta đặt Vi = Wi \ {xj : j ≤ r, j = i}, Vi tập mở X với i ≤ r, V1 , , Vr F Fn (X) Mặt khác, V1 , , Vr n n lân cận mở giao nhiều hữu hạn phần tử P Thật vậy, với i ≤ r, P họ hữu hạn địa phương X nên Pi = {P ∈ P : P ∩ Vi = ∅} hữu hạn Nếu ta đặt P0 = Pi , P0 hữu hạn Bây giờ, giả sử k ≤ n i≤r E1 , , Ek n ∈ / { P1 , , P s n : P1 , , Ps ∈ P0 , s ≤ n} Khi đó, tồn i0 ≤ k cho Ei0 ∈ / P0 Suy Ei0 ∩ Vi = ∅ for every i ≤ r Nhờ Bổ đề 2.2.3 ta suy E1 , , E k n ∩ V1 , , Vr = ∅ n Do đó, E1 , , E k n ∈ / {W ∈ P : W ∩ V1 , , Vr n = ∅} Như vậy, {W ∈ P : W ∩ V1 , , Vr n = ∅} ⊂ { P1 , , Ps n : P1 , , Ps ∈ P0 , s ≤ n} Hơn nữa, P0 hữu hạn nên {W ∈ P : W ∩ V1 , , Vr n = ∅} họ hữu hạn Fn (X) Do đó, P họ hữu hạn địa phương Fn (X) Trường hợp (P ) đếm địa phương Tương tự Trường hợp 48 2.3.8 Định lí ([7]) Giả sử (X, τ ) không gian topo P họ gồm tập X Khi đó, (1) Nếu P cn-mạng X , P cn-mạng Fn (X); (2) Nếu X khơng gian quy P ck -mạng X , P ck -mạng Fn (X) Chứng minh Giả sử F = {x1 , , xr } ∈ Fn (X) U lân cận mở F Fn (X) Khi đó, tồn tập mở U1 , , Us X cho F ∈ U1 , , Us n ⊂ U Theo Nhận xét 2.2.2 ta suy tồn lân cận mở Ux1 , , Uxr of X cho xj ∈ Uxj với j ≤ r, F ∈ Ux1 , , Uxr n ⊂ U1 , , U s n ⊂ U (1) Với j ≤ r, ta đặt Pj = {P ∈ P : xj ∈ P ⊂ Uxj } Khi đó, với j ≤ r, P cn-mạng X nên Pj lân cận xj X Điều suy với j ≤ r, tồn Vj mở X cho xj ∈ Vj ⊂ Mặt khác, ta đặt R = Pj Pj , ta có j≤r F ∈ V1 , , Vr P1 , , Pr ⊂ { P1 , , P s n ⊂ {W ∈ P : F ∈ W ⊂ U} n ⊂ Hơn nữa, V1 , , Vr n n : F ∈ P1 , , Ps n , P1 , , Ps ∈ R, s ≤ n} mở Fn (X) nên 49 {W ∈ P : F ∈ W ⊂ U} lân cận mở F Fn (X) Do vậy, P cn-mạng Fn (X) (2) Với j ≤ r, P ck -mạng X nên tồn lân cận Vxj ⊂ Uxj xj cho với tập compact Aj ⊂ Vxj , tồn họ hữu hạn Aj P thỏa mãn xj ∈ Aj Aj ⊂ Aj ⊂ Uxj Tiếp theo, X quy nên với j ≤ r, tồn tập mở Wxj X cho xj ∈ Wxj ⊂ W xj ⊂ Vxj Bây giờ, ta đặt VF = Wx1 , , Wxr n , với tập compact K ⊂ VF , ta có K⊂ W xj j≤r Hơn nữa, K tập compact X nên nhờ Bổ đề 2.2.8 ta suy Kj = ( K) ∩ W xj tập compact X Kj ⊂ Vxj Do đó, tồn họ hữu hạn Fj ⊂ P cho xj ∈ Fj Kj ⊂ Cuối cùng, ta đặt R = F j ⊂ U xj Fj j≤r F = { P1 , , P s F hữu hạn, F ∈ n : F ∈ P1 , , Ps n , P1 , , Ps ∈ R, s ≤ n}, F F ⊂ Ux1 , , Uxr n Hơn nữa, K ⊂ F Thật vậy, với {y1 , , yp } ∈ K, ta có 50 {y1 , , yp } ⊂ Bây giờ, với k ≤ p, K= K Kj nên tồn j0 ≤ r cho j≤r yk ∈ Kj0 ⊂ Do đó, {y1 , , yp } ∈ Fj0 F , kéo theo K⊂ F ⊂ Ux1 , , Uxr n Như vậy, P ck -mạng Fn (X) 2.3.9 Định lí ([7]) Giả sử (X, τ ) khơng gian topo n ∈ N Khi đó, (1) X có cn-mạng có tính chất σ -(P ) Fn (X) vậy; (2) Nếu X khơng gian quy, X có ck -mạng có tính chất σ -(P ) Fn (X) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử P = {Pk : k ∈ N} cn-mạng (ck -mạng) X , Pk có tính chất (P ) Pk ⊂ Pk+1 với k ∈ N Nhờ Định lí 2.3.7, ta suy Pk = { P1 , , P s n : P1 , , Ps ∈ Pk , s ≤ n} có tính chất (P ), Pk ⊂ Pk+1 với k ∈ N Do đó, P = {Bk : k ∈ N} phủ Fn (X) có tính chất σ -(P ) Mặt khác, ta có P ⊂ { P1 , , P s n : P1 , , Ps ∈ P, s ≤ n} n : P1 , , Ps ∈ P, s ≤ n} Bây giờ, giả sử W ∈ { P1 , , P s Khi đó, tồn P1 , , Ps ∈ P cho W = P1 , , Ps n Bởi P = nên tồn ki ∈ N cho Pi ∈ Pki với i ≤ s {Pk : k ∈ N} 51 Nếu đặt m = max{ki : i ≤ s}, P1 , , Ps ∈ Pm m ∈ N Điều kéo theo W ∈ Pm ⊂ P Do đó, P = { P1 , , P s n : P1 , , Ps ∈ P, s ≤ n} Nhờ Định lí 2.3.8 ta suy P cn-mạng (tương ứng, ck -mạng) Fn (X) Điều kiện đủ Giả sử B = {Bk : k ∈ N} cn-mạng (ck -mạng) có tính chất σ -(P ) Fn (X) Khi đó, P= {Bk |F1 (X) : k ∈ N} cn-mạng (tương ứng, ck -mạng) có tính chất σ -(P ) F1 (X), Bk |F1 (X) = {P ∩ F1 (X) : P ∈ Bk } với k ∈ N Hơn nữa, nhờ Nhận xét 2.2.9 ta suy ξ : F1 (X) X xác định ξ({x}) = x với x ∈ X phép đồng phôi Như vậy, X có cn-mạng (tương ứng, ck -mạng) có tính chất σ -(P ) Nhờ Định lí 2.3.9, ta thu hệ sau 2.3.10 Hệ ([7]) Giả sử (X, τ ) không gian topo n ∈ N Khi đó, (1) X σ -khơng gian chặt Fn (X) vậy; (2) Nếu X khơng gian quy, X ℵ-khơng gian chặt Fn (X) 52 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn đạt số kết sau 1.1 Trình bày lại cách có hệ thống chứng minh chi tiết số kết topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết luận văn 1.2 Trình bày sở topo, sở điểm, sở lân cận, topo Vietoris chứng minh số tính chất 1.3 Nghiên cứu siêu khơng gian tích đối xứng cấp n Chứng minh chi tiết số tính chất topo siêu khơng gian tích đối xứng cấp n 1.4 Nghiên cứu số tính chất mạng khơng gian metric suy rộng tích đối xứng cấp n siêu không gian F(X) Chứng minh chi tiết mối liên hệ cn-mạng ck -mạng có tính chất σ -(P ) không gian metric suy rộng X với cn-mạng ck -mạng có tính chất σ -(P ) tích đối xứng cấp n Kiến nghị Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu sn-mạng sp-mạng có tính chất σ -(P ) tích đối xứng cấp n siêu không gian F(X) 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Borsuk and S Ulam (1931), On symmetric products of topological spaces, Bull-Am Math Soc., 37: 875-882 [2] R Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin [3] S S Gabriyelyan and J Kakol (2015), On P-spaces and related concepts, Topology Appl., 191: 178-198 [4] C Good and S Macías (2016), Symmetric products of generalized metric spaces, Topology Appl., 206: 93-114 [5] L X Peng and Y Sun (2017), A study on symmetric products of generalized metric spaces, Topology Appl., 231: 411-429 [6] Z Tang, S Lin and F Lin (2018), Symmetric products and closed finiteto-one mappings, Topology Appl., 234: 26-45 [7] L Q Tuyen and O V Tuyen (2020) On the n-fold symmetric product of a space with a σ -(P )-property cn-network (ck -network) Comment Math, Univ Carolinae, 61, 257-263 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Tích đối xứng khơng gian Metric suy rộng Ngành: Tốn giải tích Lớp K36.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2050 /QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Lê Hải Trung Chủ tịch TS Tôn Thất Tú Thư ký TS Phan Đức Tuấn Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức Phản biện TS Nguyễn Đức Hiền a Thành viên có mặt: 05 Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Nội dung luận văn phù hợp, đáp ứng yêu cầu luận văn bậc thạc sĩ Kính đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng cơng nhận kết bảo vệ cấp thạc sỹ chuyên ngành Tốn Giải tích cho học viên b) u cầu chỉnh, sửa nội dung: - Cần đánh số trang, định nghĩa, định lý hợp lý rà sốt lỗi tả - Chỉnh sửa theo góp ý hội đồng Đặc biệt theo ý kiến hai phản biện Sau học viên đưa thầy hướng dẫn phản biện kiểm tra trước nộp theo quy định c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.0 Bằng chữ: Tám điểm 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Tôn Thất Tú TS Lê Hải Trung CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Tích đối xứng khơng gian metric suy rộng Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Trần Thị Đào Người nhận xét: TS Phan Đức Tuấn Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Khái niệm tích đối xứng khơng gian topo K Borsuk S Ulam đưa năm 1931 nhiều nhà toán học quan tâm phát triển Cung với mở rộng không gian metric tích đối xứng tương ứng hình thành Một vấn đề đặt tích đối xứng có bảo tồn tính chất khơng gian hay tính chất mạng hay không? Với mong muốn trả lời câu hỏi tác giả nghien cứu tích đối xứng khơng gian metric suy rộng I Tính cấp thiết đề tài: Mỗi khơng gian topo X có tích đối xứng cấp n tương ứng Một vấn đề đặt X thỏa mãn tiên đề tách, không gian Fréchet, không gian dãy, k – không gian, … tích đối xứng cấp n có khơng ngược lại Một vấn đề khác tính chất k – mạng, cs – mạng, sn – mạng có khơng gian X có tích đối xứng cấp n tương ứng hay khơng Việc làm rõ vấn đề cần thiết để hiểu rõ tích đối xứng cấp n không gian X II Cơ sở khoa học thực tiễn: Trên sở kết nhà toán học tiến như: R Engelking, C Good, A Macías, L.Q Tuyen, O V Tuyen cơng bố tạp chí khoa học chuyên ngành kết có topo đại cương tác giả tổng hợp chứng minh chi tiết kết qua đưa luận văn Điều cho thấy kết thu luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiện cứu: Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phù hợp hiệu Tác giả nghiên cứu lý thuyết không gian topo xây dựng topo dưa sở topo topo cảm sinh cho khơng gian siêu khơng gian tích đối xứng Trên sở mối quan hệ topo tác giả nghiên cứu tính bảo tồn tính chất khơng gian cho siêu khơng gian tích đối xứng Phát triển từ kết tính chất khơng gian tác giả tiếp tục nghiên cứu tính chất liên quan đến mạng siêu không gian tích đối xứng Với phương pháp nghiên cứu vấn để sáng rõ cách logic khoa học IV Kết nghiên cứu: Hệ thống hóa kiến thức topo đại cương Trên sở đó, xây dựng chứng minh số tính chất khơng gian cho siêu khơng gian tích đối xứng cấp n Chỉ chứng minh chi tiết mối liên hệ cn – mạng, ck – mạng khơng gian metric suy rộng với tích đối xứng cấp n tương ứng V Hình thức luận văn: Luận văn có bố cục hợp lý Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung luận văn Luận văn cịn số lỗi chế trình bày như: khơng có số trang, đánh số định nghĩa, định lý phía trước (1.3 Định lý) trích dẫn số đứng sau (Định lý 1.3), Chỉ số định lý, định nghĩa chạy theo nên xảy trường hợp có hai định lý, định nghĩa số luận văn VI Đánh giá chung: Luận văn thu số kết mở rộng không gian topo, phù hợp với chuyên ngành Tốn giải tích Các vấn đề đưa luận văn thuộc chuyên ngành hẹp cần nhiều kiến thức chuyển sâu không gian topo tác giả chứng minh hầu hết kết đưa luận văn Luận văn đáp ứng đầy đủ yêu cầu luận văn thạc sĩ toán học chun ngành Tốn giải tích Kết luận: Tơi đồng ý để tác giả bảo vệ luận văn thạc sĩ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Phan Đức Tuấn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc =====&&&===== BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện) Đề tài: Tích đối xứng khơng gian metric suy rộng Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Trần Thị Đào Người nhận xét: Nguyễn Văn Đức Đơn vị công tác: Trường Đại học Vinh NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài Khái niệm tích đối xứng khơng gian topo xuất từ thập niệm 30 kỷ trước Tuy nhiên, năm gần đây, tích đối xứng cấp n thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, đặc biệt tích đối xứng khơng gian metric suy rộng Theo hướng nghiên cứu này, nhà tốn học quan tâm nghiên cứu tính bảo tồn tính chất khơng gian khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, không gian Frechet, khơng gian dãy, k-khơng gian, tính chất phủ, tính chất mạng k-mạng, cs-mạng, sn-mạng lên tích đối xứng cấp n Năm 2019, Lương Quốc Tuyển Ông Văn Tun nghiên cứu cn-mạng, ckmạng có tính chất  -(P) chứng minh cn-mạng ck-mạng với tính chất  -(P) bảo tồn lên tích đối xứng cấp n Như vậy, đề tài “Tích đối xứng khơng gian metric suy rộng” mà học viên Trần Thị Đào nghiên cứu có tính thời sự, cấp thiết, nhiều nhà toán học quan tâm II Cơ sở khoa học thực tiễn Hầu hết kết luận văn chứng minh chặt chẽ; ví dụ luận văn cho thấy nội dung trình bày luận văn ứng dụng vào tình khác thực tiễn Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa tài liệu thu thập được, cách tương tự hóa, khái quát hóa, phân tích, đánh giá, tổng hợp, tác giả viết thành luận văn có bố cục hợp lý có tính logic cao IV Kết nghiên cứu Luận văn có độ dài 53 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Phần nội dung, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Tác giả trình bày khái niệm khơng gian topo, lân cận, tập hợp đóng, bao đóng tập hợp, phần tập hợp, biên tập hợp, tiên đề tách, không gian compact, ánh xạ liên tục, khơng gian I Chương 2: Tác giả trình bày sở topo, sở điểm, sở lân cận, topo Vietoris chứng minh số tính chất chúng, trình bày siêu khơng gian tích đối xứng cấp n, chứng minh chi tiết số tính chất topo siêu khơng gian tích đối xứng cấp n, trình bày số tính chất mạng khơng gian metric suy rộng tích đối xứng cấp n siêu không gian F(X), chứng minh chi tiết mối quan hệ cn-mạng ck-mạng có tính chất  -(P) không gian metric suy rộng X với cn-mạng ck-mạng có tính chất  -(P) tích đối xứng cấp n Luận văn trình bày rõ ràng, chứng minh chặt chẽ, có giá trị khoa học thực tiễn Tuy nhiên, luận văn có số lỗi trình bày Tác giả nên chỉnh sửa lại để luận văn hoàn thiện Cụ thể, tơi có số góp ý sau: Mã số chuyên ngành viết chưa xác, cần sửa lại thành 8.46.01.02 Đây luận văn thạc sỹ toán học, khơng phải đề cương luận văn thạc sỹ tốn học, tác giả nên sửa lại hai trang bìa luận văn Ngồi ra, hai trang bìa, tác giả ghi năm 2019, tác giả cần chỉnh sửa lại Phần mục lục nên ghi rõ chương 1, chương Trong phần lí chọn đề tài trang 1, dòng lên, tác giả cần kiểm tra lại việc trích dẫn tài liệu Hầu hết trang luận văn không đánh số trang, tác giả nên đánh số trang Trong phần mở đầu, mục Cấu trúc luận văn cần sửa “topo đại cưng” thành “topo đại cương” Định nghĩa 3.2 nên sửa từ “if” thành “nếu” V Hình thức luận văn Hình thức luận văn quy định Tuy nhiên cần chỉnh sửa số lỗi mà nêu VI Đánh giá chung Đồng ý cho học viên bảo vệ trước Hội đồng Câu hỏi dành cho học viên: Nếu f ánh xạ liên tục hai khơng gian topo ảnh tập compact qua ánh xạ f có phải tập compact không? Học viên cho biết khái niệm T2 – không gian? Nếu X không gian topo siêu khơng gian gồm tập hữu hạn F(X) có phải T2 – khơng gian? Giả sử ( X , ) không gian topo, học viên cho biết mối quan hệ tích đối xứng cấp n Fn ( X ) với siêu không gian gồm tập hữu hạn F ( X ) ? Nghệ An, ngày 21 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét PGS.TS Nguyễn Văn Đức ... khơng gian tích đối xứng cấp n Chứng minh chi tiết số tính chất topo siêu khơng gian tích đối xứng cấp n Nhờ đó, chúng tơi nghiên cứu số tính chất mạng khơng gian metric suy rộng tích đối xứng. .. chất topo khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến bảo tồn tính chất topo khơng gian metric suy rộng lên tích đối xứng Bằng kiến thức... metric suy rộng lên tích đối xứng Fn (X) Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Không gian metric suy rộng, tính chất mạng, tích đối xứng Fn (X), siêu không gian F(X) 3.2 Phạm vi