Một số bảo tồn qua ánh xạ đóng, Lindelöf, liên tục và toàn ánh

Bài toán về sự bảo tồn của một số tính chất topo thông qua các ánh xạ là một trong những bài toán trọng tâm của topo đại cương. Bài viết nghiên cứu về sự bảo tồn của các cn-mạng, sp-mạng thông qua các ánh xạ đóng, các ánh xạ hoàn chỉnh.

Lương Quốc Tuyển, Đỗ Hữu Đạt, Lê Đức Anh Quân, Phạm Đình Thuận 52 MỘT SỐ BẢO TỒN QUA ÁNH XẠ ĐĨNG, LINDELƯF, LIÊN TỤC VÀ TỒN ÁNH SOME PRESERVATIONS BY LINDELÖF, SURJECTIVE, CONTINUOUS AND CLOSED MAPPINGS Lương Quốc Tuyển1, Đỗ Hữu Đạt2*, Lê Đức Anh Quân2, Phạm Đình Thuận2 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Sinh viên Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tác giả liên hệ: dohuudat0305@gmail.com (Nhận bài: 17/6/2021; Chấp nhận đăng: 25/8/2021 * Tóm tắt - Bài toán bảo tồn số tính chất topo thơng qua ánh xạ toán trọng tâm topo đại cương Trong [1], C Liu chứng minh không gian với cs-mạng  -hữu hạn địa phương không gian với sở điểm-đếm bảo tồn qua ánh xạ đóng, phủ-dãy liên tục Trong [2], L Q Tuyen chứng minh ánh xạ đóng phủ-dãy không gian với sở yếu điểm-đếm ánh xạ 1-phủ-dãy Gần đây, S Lin X Liu [3] chứng minh rằng, không gian với cn-mạng sp-mạng bảo tồn qua ánh xạ giả-mở Trong báo này, chứng minh không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng)  -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ sau: (1) Ánh xạ đóng, Lindelưf, liên tục tồn ánh; (2) Ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục toàn ánh Abstract - The issue about the preservation of some topological properties under mappings has been one of the fundamental problems in general topology In [1], C Liu has proved that spaces with  -locally countable cs-network as well as spaces with point-countable base are preserved under continuous, sequence-covering and closed mappings In [2], L Q Tuyen has showed that each sequence covering and closed mapping on spaces with point-countable weak base is a 1-sequence covering mapping Recently, S Lin and X Liu [3] have also demonstrated that spaces with cn-network or sp-network are preserved under pseudo-opened mappings In this paper, we have confirmed that spaces with locally countable cn-networks (or sp-networks) and spaces with  -locally countable cn-networks (or sp-networks) are preserved under these following mappings: (1) Lindelöf, surjective, continuous and closed mappings; (2) Surjective, continuous and perfect ones Từ khóa - Ánh xạ đóng; ánh xạ hồn chỉnh; ánh xạ Lindelöf; cn-mạng; sp-mạng; họ đếm địa phương Key words - Closed mappings; perfect mappings; Lindelöf mappings; cn-networks; sp-networks; locally countable collection Giới thiệu Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết Mạng suy rộng sở A V Arhangelskii giới thiệu vào năm 1959, linh hoạt khơng cần nhiều thơng tin “đẹp” sở Khái nhiệm mạng E Michael thu hẹp thành k-mạng vào năm 1966 Sau này, cách suy rộng thu hẹp vậy, nhiều trường hợp riêng mạng nhiều lớp không gian metric suy rộng quan trọng đưa nghiên cứu dẫn tới hoàn thành phát triển lý thuyết k-mạng (xem [4]) Trong năm gần đây, lý thuyết k-mạng đóng vai trị quan trọng thúc đẩy phát triển topo đại cương Nhờ đó, nhiều khái niệm mạng xuất hiện, chẳng hạn như: cs*-mạng, cn-mạng, cp-mạng, mạng Pytkeev, mạng Pytkeev chặt, cs’-mạng (xem [3, 5]) Một khía cạnh nhà tốn học giới quan tâm nhiều nghiên cứu mối liên hệ tính chất mạng khơng gian topo bảo tồn tính chất mạng qua ánh xạ (xem [2, 3, 5]) Trong báo này, nghiên cứu bảo tồn cn-mạng, sp-mạng thông qua ánh xạ đóng, ánh xạ hồn chỉnh Định nghĩa 2.1.1 ([5]) Giả sử ( X , ) (Y ,  ) không gian topo, f : ( X , ) → (Y ,  ) Khi đó, (1) f gọi liên tục x  X với lân cận mở V f ( x ) Y , tồn lân cận mở U x X cho f (U )  V (2) f gọi liên tục X (hay liên tục) liên tục x  X (3) f gọi ánh xạ đóng f ( A) tập hợp đóng Y với tập hợp đóng A X Định nghĩa 2.1.2 ([5]) Tập A không gian topo ( X , ) gọi Lindelöf với phủ mở A, tồn phủ đếm Định nghĩa 2.1.3 ([4]) Cho f : ( X , ) → (Y ,  ) Khi đó, (1) f gọi ánh xạ Lindelöf với y  Y , f −1 ( y) tập Lindelöf X (2) f gọi ánh xạ compact với y  Y , The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen) Student Faculty of Mathematics, The University of Danang - University of Science and Education (Do Huu Dat, Le Duc Anh Quan, Pham Dinh Thuan) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 f −1 ( y) tập compact X (3) f gọi ánh xạ hoàn chỉnh f vừa ánh xạ compact, vừa ánh xạ đóng Định nghĩa 2.1.4 ([4]) Giả sử ( X , ) không gian topo  phủ gồm tập X Khi đó, (1)  gọi họ đếm địa phương X với x  X , tồn lân cận mở V x cho V giao với nhiều đếm phần tử họ  (2)  gọi họ  -đếm địa phương Chứng minh Giả sử f ánh xạ Lindelöf, đóng, liên tục tồn ánh,  họ đếm địa phương X Khi đó, Khẳng định 1: f ( ) họ đếm địa phương Y Thật vậy, giả sử y  Y ,  họ đếm địa phương X nên với x  f −1 ( y), tồn lân cận mở U x x cho U x giao với nhiều đếm phần tử  Mặt khác, f ánh xạ Lindelöf nên f −1 ( y) tập Lindelưf X Hơn nữa, họ U  X  biểu diễn dạng  = n , n họ đếm địa phương X (3)  gọi mạng X với x  U với U   , tồn P   cho x  P  U (4)  gọi sp-mạng X với A  X , U   x U  A, tồn P   cho:  : x  f −1 ( y) F f −1 −1 ( y ) nên tồn tập đếm ( y ) cho −1 f ( y)  Bởi xF Ux xF U x tập mở nên U x lân cận mở xF −1 x  P  U x  P  A f ( y ) X Do đó, theo Định lí 2.1.6, tồn lân (5)  gọi cn-mạng X với lân cận U x X , tập hợp {P   : x  P  U } lân cận x Nhận xét 2.1.5 Trong không gian topo ( X , ) ta có (1) Mỗi tập compact tập Lindelưf Do đó, ánh xạ compact ánh xạ Lindelöf (2) Họ đếm địa phương  họ  -đếm địa phương (3) Cơ sở  sp-mạng, cn-mạng  mạng ([3]) Định lí 2.1.6 ([4]) Giả sử f : ( X , ) → (Y ,  ) ánh xạ liên tục Khi đó, f ánh xạ đóng với y  Y với lân cận mở U f lân cận mở V y cho: x phủ mở f n =1 53 −1 ( y), tồn f −1 ( y)  f −1 (V )  U 2.2 Phương pháp nghiên cứu Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực báo Nghiên cứu báo tác giả trước, cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết cho Kết đánh giá 3.1 Kết Định lí 3.1.1 Giả sử f : ( X , ) → (Y ,  ) ánh xạ Lindelöf, đóng, liên tục tồn ánh,  phủ X Khi đó, (1) Nếu  cn-mạng đếm địa phương X , f ( ) cn-mạng đếm địa phương Y (2) Nếu  sp-mạng đếm địa phương X , f ( ) sp-mạng đếm địa phương Y cận mở V y Y cho f −1 (V )  xF Ux Mặt khác, U x giao với nhiều đếm phần tử  F tập đếm nên xF U x giao nhiều đếm phần tử  Do đó, f −1 (V ) giao nhiều đếm phần tử , kéo theo V giao nhiều đếm phần tử f () Như vậy, f ( ) họ đếm địa phương Khẳng định 2: Nếu  cn-mạng X , f ( ) cn-mạng Y Thật vậy, giả sử y  Y U lân cận y Y Khi đó, ta có f −1 ( y)  f −1 (U ) Bởi f liên tục nên f −1 (U ) lân cận f −1 ( y) X Mặt khác,  cn-mạng X nên Wx = {P   : x  P  f −1 (U )} (1) −1 lân cận x X với x  f ( y) Suy tập hợp {Wx : x  f −1 ( y )} −1 lân cận f ( y) X Bởi f ánh xạ đóng nên theo Định lí 2.1.6, tồn lân cận mở V y Y cho f −1 (V )  {Wx : x  f −1 ( y )} Bởi thế, ta suy y  V  f ( {Wx : x  f −1 ( y )}) (2) Lương Quốc Tuyển, Đỗ Hữu Đạt, Lê Đức Anh Quân, Phạm Đình Thuận 54 Hơn nữa, ta có f ( (Wx : x  f −1 ( y) ) Thật vậy, (a) Giả sử z f Khi đó, z f (3)  f ( P) : y  f ( P)  U  = ( ( f −1 (V )  X \ f −1 ( A) Mặt khác, f tồn ánh nên ( ) (Wx : x  f −1 −1 ) ( y) = {f (Wx ) : x  f ( y )} ( y ) cho z  f (Wx ) Theo cách đặt −1 (U ) z  f ( P ) x  f −1 ( y)  f −1 ( A) Tiếp theo, giả sử W lân cận mở x cho f (W )  U Bởi  sp-mạng X nên tồn P   cho Do đó, ta có y = f ( x)  f ( P)  U z  f ( P )  { f ( P ) : y  f ( P )  U } Hơn nữa, f ánh xạ liên tục nên (b) Giả sử z  { f ( P) : y  f ( P)  U } ( ) y  f P  f −1 ( A)  f ( P )  f ( f −1 ( A)) Khi đó, tồn P   cho = y  f ( P )  U z  f ( P ) −1 ( y)  P  f −1 (U ) Từ khẳng định 1, ta suy định lí chứng minh −1 Hệ 3.1.2 Giả sử f : ( X , ) → (Y ,  ) ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục toàn ánh,  phủ X Khi đó, Do đó, ta thu P {P   : x  P  f (U )} Điều suy z  f ( P)  f ( ) {P   : x  P  f −1 (U)} = f (Wx )  f ( ) {Wx : x  f −1 ( y )} Như vậy, (3) chứng minh Cuối cùng, V lân cận y nên nhờ (2) (3) suy { f ( P) : y  f ( P)  U } lân cận y Y Do đó, f ( ) cn-mạng Y Khẳng định 3: Nếu  sp-mạng X , f ( ) sp-mạng Y Giả sử A  Y , U   minh tồn y  U  A Ta chứng x  f −1 ( y)  f −1 ( A) Thật vậy, giả sử ngược lại f −1 ( y)  f −1 ( A) =  f ( P )  A Như vậy, f ( ) sp-mạng Y Suy tồn x  P cho y = f ( x) x f (1) Nếu  cn-mạng đếm địa phương X , f ( ) cn-mạng đếm địa phương Y (2) Nếu  sp-mạng đếm địa phương X , f ( ) sp-mạng đếm địa phương Y Chứng minh Giả sử f ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục toàn ánh Khi đó, theo Nhận xét 2.1.5 ta suy f ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh Như vậy, nhờ Định lí 3.1.1, ta suy hệ chứng minh Định lí 3.1.3 Giả sử f : ( X , ) → (Y ,  ) ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh,  phủ X Khi đó, (1) Nếu  cn-mạng  -đếm địa phương X , f ( ) cn-mạng  -đếm địa phương Y (2) Nếu  sp-mạng  -đếm địa phương X , f ( ) sp-mạng  -đếm địa phương Y Chứng minh Giả sử f ánh xạ Lindelưf, đóng, liên  n , n họ tục tồn ánh, dạng  = Khi đó, f −1 ( y)  X \ f −1 ( A) ) x  P  W x  P  f −1 ( A) Do đó, y = f ( x )  f ( P )  U , kéo theo ( Điều mâu thuẫn với y U  A Như vậy, tồn −1 Wx (1), tồn P   cho xP  f ) y  V  f X \ f −1 ( A) = Y \ f f −1 ( A) = Y \ A (Wx : x  f −1 ( y) nên tồn x  f Bởi X \ f −1 ( A)  f ánh xạ đóng nên theo Định lí 2.1.6, tồn lân cận mở V y Y cho n =1 đếm địa phương X Khi đó, theo Khẳng định ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 19, NO 11, 2021 chứng minh Định lí 3.1.1 ta suy f ( n ) họ đếm địa phương X Như vậy,  f () = f (n ) n =1 họ  − đếm địa phương Y Hơn nữa, (1) Nếu  cn-mạng X , theo Khẳng định chứng minh Định lí 3.1.1 ta suy f ( ) cnmạng Y (2) Nếu  sp-mạng X , theo Khẳng định chứng minh Định lí 3.1.1 ta suy f ( ) spmạng Y Như vậy, định lí chứng minh Hệ 3.1.4 Giả sử f : ( X , ) → (Y ,  ) ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục toàn ánh,  phủ X Khi đó, 55 rạc nên  sở ( , ) Theo Nhận xét 2.1.5 ta suy  vừa cn-mạng, vừa sp-mạng ( , ) Hơn nữa,  đếm địa phương ( , ) Thật vậy, giả sử x  , ta lấy V = {x}, V lân cận mở x V giao với phần tử  Theo Nhận xét 2.1.5 ta suy  họ  -đếm địa phương ( , ) Tuy nhiên, f () = {x}: x   không họ  -đếm địa phương ( ,) Thật vậy, ta lấy x = 0,  topo thơ nên x có lân cận mở V = X Bây giờ, giả sử f ( ) họ  -đếm địa  phương ( ,) Khi đó, f () = n , n =1 n họ đếm địa phương ( ,) Bởi (1) Nếu  cn-mạng  -đếm địa phương X , f ( ) cn-mạng  -đếm địa phương Y f ( ) tập đếm nên tồn n  * cho n tập đếm Mặt khác, V giao phần (2) Nếu  sp-mạng  -đếm địa phương X , f ( ) sp-mạng  -đếm địa phương Y tử n nên n không họ đếm địa phương, mâu thuẫn Chứng minh Giả sử f ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục tồn ánh Khi đó, theo Nhận xét 2.1.5 f ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh Như vậy, nhờ Định lí 3.1.3, ta suy hệ chứng minh 3.2 Ví dụ 3.2.1 Ví dụ Tồn ánh xạ liên tục, compact (Lindelưf), khơng đóng cho khơng bảo toàn sp-mạng đếm địa phương (  -đếm địa phương), khơng bảo tồn cn-mạng (  -đếm địa phương) Thật vậy, tập số thực  = , topo thô  = {, } ta xét topo rời rạc Nhờ Nhận xét 2.1.5 ta suy f ( ) không họ đếm địa phương ( ,) 3.2.2 Ví dụ Tồn ánh xạ liên tục, không compact (không Lindelưf), đóng cho khơng bảo tồn sp-mạng đếm địa phương (  -đếm địa phương), khơng bảo tồn cn-mạng (  -đếm địa phương) f : ( ,  ) → ( , ) cho f ( x) = với x  Khi đó, (1) Giả sử U ,  topo rời rạc nên f : ( , ) → ( ,) cho f ( x) = x với x  Khi đó, (1) Giả sử U ,  topo rời rạc nên f −1 (U )  Như vậy, f ánh xạ liên tục −1 (2) Giả sử x  , rõ ràng f ( x) = {x} tập compact ( , ) Như vậy, f ánh xạ compact Nhờ Nhận xét 2.1.5, f ánh xạ Lindelöf (3) Ta lấy A = {x}, f ( A) = {x} Bởi  topo rời rạc nên A đóng ( , ) Mặt khác, vì: \ f ( A) = (−, x)  ( x, +)  nên ta suy f ( A) khơng đóng ( ,) Như vậy, f −1 (U )  Như vậy, f ánh xạ liên tục (2) Ta có {x}: x   −1 phủ mở f (0) = không gian ( , ) khơng có phủ đếm Do đó, f khơng ánh xạ Lindelöf Nhờ Nhận xét 2.1.5 ta suy f không ánh xạ compact (3) Giả sử A tập đóng ( , ) Khi đó,  topo rời rạc nên f ( A) = {0} đóng ( , ) Như vậy, f ánh xạ đóng (4) Ta lấy  = {x}: x  , ,  topo rời theo Ví dụ 3.1.5,  vừa cn-mạng, vừa sp-mạng đếm địa phương (  -đếm địa phương) ( , ) Tuy nhiên, f () = {x}: x  f không ánh xạ đóng (4) Ta lấy  = {x}: x  ta xét  = topo rời Thật vậy, tập số thực rạc ( , ) Thật vậy,  khơng mạng f () = {0} nên với x = Lương Quốc Tuyển, Đỗ Hữu Đạt, Lê Đức Anh Quân, Phạm Đình Thuận 56 lân cận mở V = X , không tồn F  f () cho x  F  V Nhờ Nhận xét 2.1.5 (3), f ( ) không spmạng không cn-mạng ( , ) ta xét topo rời rạc  = , topo thô  = {, } f : ( ,) → ( , ) cho f ( x) = x với x  Khi đó, (1) Ta lấy U = {0},  topo rời rạc nên U   Mặt khác, f −1 (0) = {0}  nên ta suy f không ánh xạ liên tục (2) Giả sử x  , rõ ràng f −1 ( x) = {x} tập compact ( ,) Như vậy, f ánh xạ compact Theo Nhận xét 2.1.5 ta suy f ánh xạ Lindelöf (3) Giả sử A tập đóng ( ,) Khi đó,  topo rời rạc nên f ( A) đóng ( , ) Do đó, f ánh xạ đóng (4) Ta lấy  = , , f (U )  Như vậy, f ánh xạ liên tục (2) Với x  , ta có f −1 ( x) = {x} tập compact 3.2.3 Ví dụ Tồn ánh xạ khơng liên tục, compact (Lindelưf), đóng cho khơng bảo tồn sp-mạng đếm địa phương (  -đếm địa phương), khơng bảo tồn cn-mạng (  -đếm địa phương) Thật vậy, tập số thực (1) Giả sử U ,  topo rời rạc nên −1 rõ ràng  sở đếm địa phương ( , ) Nhờ Nhận xét 2.1.5 ta suy  vừa cn-mạng, vừa sp-mạng đếm địa phương (  -đếm địa phương) ( , ) ( , ) Nhờ Nhận xét 2.1.5, f ánh xạ Lindelöf (3) Giả sử A tập đóng ( , ) Khi đó,  topo rời rạc nên f ( A) = A đóng ( , ) Suy f ánh xạ đóng Như vậy, f ánh xạ hồn chỉnh, liên tục 3.3 Đánh giá Các kết báo thể Định lí 3.1.1, Hệ 3.1.2, Định lí 3.1.3 Hệ 3.1.4 Trong đó: - Định lí 3.1.1 bảo tồn khơng gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương qua ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh - Hệ 3.1.2 bảo tồn không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương qua ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục toàn ánh - Định lí 3.1.3 bảo tồn khơng gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng)  -đếm địa phương qua ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh - Hệ 3.1.4 bảo tồn không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng)  -đếm địa phương thông qua ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục toàn ánh Ngoài ra, chúng tơi đưa vào số ví dụ nhằm làm sáng tỏ nội dung kết F  f () cho  F  V Như vậy, f ( ) không Kết luận Trong nghiên cưu này, nhóm tác giả đưa chứng minh chi tiết số kết liên quan đến bảo tồn tính chất mạng thơng qua ánh xạ đóng ánh xạ hồn chỉnh Nhờ đó, kết báo góp phần làm phong phú cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mạng, lý thuyết k-mạng topo đại cương mạng ( , ) Theo Nhận xét 2.1.5 ta suy f ( ) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuy nhiên, ta lấy V = {0},  topo rời rạc nên ta suy V lân cận mở ( , ) Mặt khác, f () = ,  nên ta suy không tồn không cn-mạng, sp-mạng ( , ) 3.2.4 Ví dụ Tồn ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh xạ hoàn chỉnh liên tục Thật vậy, tập số thực rạc ta xét  = topo rời f : ( ,  ) → ( , ) cho f ( x) = x với x  Khi đó, [1] C Liu, “Notes on closed mappings”, Houston Journal of Mathematics, 33 (1), (2007), 249-259 [2] L Q Tuyen, “Remarks on sequence-covering closed maps”, Fasciculi Mathematici, 53, (2014), 161-165 [3] S Lin, X Liu, “Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings”, Topology and its Applications, 272, (2020), 107-090 [4] R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, 1989 [5] X Liu, C Liu, S Lin, “Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups”, Topology and its Applications, 258, 2019, 58–78  ... f ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục tồn ánh Khi đó, theo Nhận xét 2.1.5 f ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục tồn ánh Như vậy, nhờ Định lí 3.1.3, ta suy hệ chứng minh 3.2 Ví dụ 3.2.1 Ví dụ Tồn ánh xạ liên. .. 3.1.1 bảo tồn không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương qua ánh xạ Lindelöf, đóng, liên tục tồn ánh - Hệ 3.1.2 bảo tồn không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm địa phương qua ánh xạ. .. ánh xạ hoàn chỉnh, liên tục tồn ánh - Định lí 3.1.3 bảo tồn không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng)  -đếm địa phương qua ánh xạ Lindelưf, đóng, liên tục toàn ánh - Hệ 3.1.4 bảo tồn không gian với