Tính chất của ánh xạ đóng phủ dãy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ ĐỨC ANH QUÂN TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ ĐỨC ANH QUÂ[.]

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ ĐỨC ANH QN TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐĨNG PHỦ-DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ ĐỨC ANH QN TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐĨNG PHỦ-DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn động viên em suốt trình thực đề tài, nhờ em hồn thành nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu đề tài, em gặp khơng khó khăn tìm tịi dịch tài liệu hạn chế mặt kiến thức Tuy vậy, nhờ giúp đỡ tận tình từ q thầy giáo, quan tâm gia đình bạn bè giúp chúng em có động lực phấn đấu hoàn thành nghiên cứu khoa học Đây kỷ niệm đáng nhớ em thời gian học tập Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Lê Đức Anh Quân MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng, bao đóng phần tập hợp 1.3 Một số tiên đề tách 13 1.4 Không gian compact 14 1.5 Ánh xạ liên tục 14 CHƯƠNG Tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy 16 2.1 Cơ sở yếu số tính chất liên quan 16 2.2 Tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy 26 KẾT LUẬN 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niện sở yếu A Arhangel’skii giới thiệu vào năm 1966 Đến năm 1976, F Siwiec dùng khái niệm sở yếu đưa định nghĩa không gian g -khả metric, không gian g -khả metric có sở yếu σ -hữu hạn địa phương Sau này, tương tự không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, L Foged, Tanaka, Liu and Dai đưa khái niệm không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu chứng minh không gian g -khả metric tương đương với không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu ℵ-không gian (xem [5]) Nghiên cứu ảnh khơng gian topo tính chất ánh xạ phủ-dãy toán trọng tâm topo đại cương Năm 2000, P Yan, S Lin S.L Jiang chứng minh ánh xạ đóng phủ-dãy từ không gian metric ánh xạ 1-phủ-dãy (xem [6]) Đến năm 2008, [2], tác giả chứng minh π -s-ánh xạ phủ-dãy từ không gian metric ánh xạ 1-phủ-dãy Trong [4], F.C Lin S Lin thay không gian metric không gian yếu g -khả metric chứng minh ánh xạ đóng phủ-dãy khơng gian g -khả metric ánh xạ 1-phủ-dãy Bởi không gian g -khả metric hiển nhiên không gian có sở yếu-đểm đếm Do đó, [8] [9] tác giả chứng minh kết F.C Lin S Lin thay không gian g -khả metric không gian sở yếu điểm-đếm được, mà nỗi ánh xạ phủ-dãy biên compact không gian g -khả metric ánh xạ 1-phủ-dãy Với mong muốn tìm hiểu tính chất mạng, tính chất sở yếu tính chất ánh xạ có tính chất phủ mối liên hệ chúng, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất sở yếu, tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy mối quan hệ ánh xạ phủ-dãy ánh xạ 1-phủ-dãy Đối tượng nghiên cứu Cơ sở yếu, phủ điểm-đếm được, khơng gian gf -đếm được, ánh xạ đóng, ánh xạ phủ-dãy, ánh xạ 1-phủ-dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất sở yếu, tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy, mối liên hệ ánh xạ phủ-dãy với 1-phủ-dãy Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập sách, báo khoa học tác giả trước liên quan đến sở yếu, ánh xạ đóng, ánh xạ phủ-dãy, ánh xạ 1-phủ-dãy • Đọc kỹ chứng minh chi tiết kết tìm kiếm • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài mình Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy bao gồm mục: Mục 2.1, trình bày sở yếu số tính chất liên quan; Mục 2.2, trình bày tính chất ánh xạ đóng phủ-dãy CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương tham khảo tài liệu [3], trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; S (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 Đối với khơng gian topo X , khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Ví dụ 1.1.3 (1) Giả sử X tập hợp tùy ý, τ = {∅, X} Khi đó, τ topo X gọi topo thô X , (X, τ ) gọi không gian topo thô (2) Giả sử X tập hợp tùy ý, τ = P(X) Khi đó, τ topo X gọi topo rời rạc X (3) Giả sử X = R Ký hiệu [ τ= ∈ I(ai , bi ) : , bi ∈ R, ≤ bi i Khi đó, τ topo X topo tự nhiên hay topo thông thường R Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngồi ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.5 Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh Trên tập hợp số thực R với topo thông thường τ , giả sử U = [−1; 1] V = (−1; 1) Khi đó, V ∈ τ U lân cận điểm x = x ∈ V ⊂ U U ∈ / τ Do đó, lân cận điểm không thiết tập mở Ngược lại, giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x Hệ 1.1.6 Đối với không gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương (1) U tập hợp mở; (2) U lân cận điểm thuộc nó; (3) Với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U , rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x (2) =⇒ (3) Giả sử U lân cận x ∈ U Khi đó, với x ∈ U , ta đặt Vx = U , Vx lân cận x x ∈ Vx = U ⊂ U Do đó, (3) thỏa mãn (3) =⇒ (1) Giả sử vói x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Khi dó, Vx lân cận x nên tồn Wx ∈ τ cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U Do đó, U= S {x} ⊂ x∈U S kéo theo U = S Wx ⊂ U , x∈U Vx Bởi Wx ∈ τ với x ∈ U nên ta suy U ∈ τ , x∈U nghĩa U mở Định nghĩa 1.1.7 Giả sử (X, τ ) không gian topo B ⊂ τ Ta nói B sở (X, τ ) (hay sở τ ) phần tử τ hợp phần tử B ... ánh xạ phủ- dãy ánh xạ 1 -phủ- dãy Đối tượng nghiên cứu Cơ sở yếu, phủ điểm-đếm được, khơng gian gf -đếm được, ánh xạ đóng, ánh xạ phủ- dãy, ánh xạ 1 -phủ- dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất. .. điểm-đếm được, mà nỗi ánh xạ phủ- dãy biên compact không gian g -khả metric ánh xạ 1 -phủ- dãy Với mong muốn tìm hiểu tính chất mạng, tính chất sở yếu tính chất ánh xạ có tính chất phủ mối liên hệ chúng,... ? ?Tính chất ánh xạ đóng phủ- dãy? ?? làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất sở yếu, tính chất ánh xạ đóng phủ- dãy mối quan hệ ánh