Trong mục này, chúng tôi tìm hiểu về mối quan hệ giữa không gian g-trải và ảnh của một không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt.
2.2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian đối xứng.
(1) Dãy {xn} trong X được gọi là d-Cauchy nếu với mỗi ε > 0, tồn tại k ∈ N sao cho d(xn, xm) < ε với mọi m, n > k.
(2) Không gian X được gọi là đối xứng Cauchy nếu mọi dãy hội tụ trong X là d-Cauchy.
2.2.2 Bổ đề ([6]). Giả sử X là không gian g-trải với CW C-ánh xạ g. Đặt
γn = {g(n, x) : x ∈ X}, n ∈ N.
Khi đó
P = ∪{st(x, γn) : x ∈ X, n ∈ N}
là cơ sở yếu của X.
2.2.3 Định lý ([7]). Với không gian X, các điều kiện sau là tương đương. (1) X là không gian g-trải.
(2) X là không gian đối xứng Cauchy.
(3) X có dãy các phủ trải được yếu gồm các cs-phủ. (4) X có dãy các phủ trải được yếu gồm các sn-phủ.
(5) X là ảnh của không gian mêtric qua π-ánh xạ thương, phủ dãy và phủ compact.
(6) X là ảnh của không gian mêtric qua π-ánh xạ thương, phủ dãy. Chứng minh. (1) =⇒(2). Giả sử X là không gian g-trải với CW C-ánh xạ g. Từ Bổ đề 2.2.2, ta có
P = ∪{st(x, γn) : x ∈ X, n ∈ N}
là cơ sở yếu của X. Ta xác định ánh xạ d : X ×X −→ R bởi công thức d(x, y) =
(
0 nếu x= y
1
Hiển nhiên d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X. Từ X là không gian chính quy suy ra d(x, y) 6= 0 nếu x 6= y.Nếu tồn tại Pn ∈ st(x, γn) sao cho y ∈ Pn thì Pn ∈ st(y, γn). Suy ra y /∈ st(x, γn) khi và chỉ khi x /∈ st(y, γn), tức là d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X. Vì X là không gian g-trải nên U ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ U, tồn tại n∈ N sao cho g(n, x) ⊂ U, tức là
g(n, x)∩(X \U) = ∅. Điều này tương đương với
d(x, X \U) > 1
n > 0.
Do đó d là symmetric trên X, nghĩa là X là không gian đối xứng.
Giả sử {xn} ⊂ X và {xn} hội tụ đến x. Từ P là cơ sở yếu trong X suy ra với mỗi k ∈ N, ắt tồn tại h ∈ N sao cho xn ∈ g(k, x) với mọi n >h. Với mọi ε > 0, chọn k ∈ N sao cho 1k < ε. Khi đó tồn tại h ∈ N sao cho xn ∈ g(h, x) với mọi n > h. Do đó
{xh, xh+1, . . .} ⊂ g(k, x) ∈ γk. Điều này chứng tỏ với mọi m, n > h ta có
xn ∈ g(k, x) ∈ st(xm, γk). Vì thế
d(xn, xm) < 1
k < ε, với mọi m, n > h.
Vậy {xn} là dãy d-Cauchy. Do đó X là không gian đối xứng Cauchy.
(2) =⇒ (1). Giả sử d là symmetric trên X sao cho mọi dãy hội tụ đều là dãy d-Cauchy. Khi đó với mỗi x ∈ X và với mỗi ε > 0, ắt tồn tại δ = δ(x, ε) > 0 sao cho nếu d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < ε. Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại x ∈ X và ε > 0 sao cho với mỗi n ∈ N đều tồn tại xn và yn sao cho d(x, xn) < n1 và d(x, yn) < n1 nhưng d(x, yn) > ε. Lấy dãy
Khi đó d(zn, x) < n1 với mọi n ∈ N. Do đó zn −→x. Mặt khác, từ d(xn, yn) > ε
với mọi n suy ra {zn} không là dãy d-Cauchy. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Bây giờ với mỗi x ∈ X và n∈ N, ta chọn δ = δ(x, n) > 0 sao cho từ d(x, y) < δ và d(x, z) < δ
thì d(y, z) < n1 và xác định ánh xạ g : N×X −→ P(X) với g(n, x) =B(x, δ(x, n)).
Hiển nhiên
x ∈ g(n, x) ⊂ g(n+ 1, x)
với mọi x ∈ X và n ∈ N. Từ d là symmetric suy ra U ⊂ X là mở nếu với mọi x ∈ U đều tồn tại g(n, x) ⊂ U. Do đó g là CW C-ánh xạ.
Cuối cùng, giả sử x và xn ∈ g(n, yn) với mọi n. Khi đó d(x, yn) < δ(yn, n), d(xn, yn) < δ(yn, n)
với mọi n. Do đó d(x, xn) < n1 với mọi n. Điều này chứng tỏ xn −→ x. Vậy X là không gian g-trải.
(2) =⇒ (3). Giả sử X là không gian đối xứng Cauchy. Với mỗi n ∈ N, đặt
Pn = {A ⊂X : sup{d(x, y) : x, y ∈ A}< 1 n}.
Thế thì st(x,Pn) = B(x, 1n) với mọi x ∈ X. Vì thế {Pn} là lưới sao-điểm của X.
Với mỗi dãy {xn} hội tụ tới x ∈ X, từ {xn} là dãy d-Cauchy và X là không gian đối xứng thì tồn tại m ∈ N sao cho
d(x, xi) < 1
n+ 1, d(xi, xj) < 1 n+ 1
với mọi i, j > m. Đặt
P = {x} ∪ {xi : i > m}
thì P ∈ Pn. Do đó mỗi Pn là cs-phủ của X. Vì X là không gian đối xứng nên X là không gian dãy. Với mỗi x ∈ X và n ∈ N, từ Pn là cs-phủ của X thì st(x,Pn) là lân cận dãy của x. Vì thế {st(x,Pk) : k ∈ N} là cơ sở lân cận yếu của x trong X. Vậy {Pn} là dãy các phủ trải được yếu của X.
(3) =⇒ (4). Giả sử {Pn} là dãy các cs-phủ trải được yếu của X. Ta có thể giả thiết rằng Pn+1 mịn hơn Pn với mỗi n ∈ N. Với x, y ∈ X, x 6= y, đặt
t(x, y) =min{n : x /∈ st(y,Pn)}. Ta định nghĩa ánh xạ d : X ×X −→[0,+∞) cho bởi
d(x, y) =
0 nếu x = y
2−t(x,y) nếu x 6= y .
Chứng minh tương tự (1) ⇒(2) ta có d là symmetric trên X.
Với x, y ∈ X, x ∈ st(y,Pn) khi và chỉ khi t(x, y) > n. Thật vậy, hiển nhiên nếu t(x, y) > n thì x ∈ st(y,Pn). Ngược lại, giả sử x ∈ st(y,Pn) nhưng t(x, y) 6n. Từ Pn mịn hơn Pt(x,y) ta có
st(y,Pn) ⊂ st(y,Pt(x,y)).
Mà x ∈ st(y,Pn) nên x ∈ st(y,Pt(x,y)). Đây là một điều mâu thuẫn. Từ đó suy ra st(x,Pn) = B(x,21n) với mọi x ∈ X, n ∈ N. Do đó {Pn} là lưới sao-điểm của X và (X, d) là không gian đối xứng. Ta có d có tính chất: Với mỗi x ∈ X và ε > 0, tồn tại δ = δ(x, ε) > 0 sao cho với bất kì y, z ∈ X mà d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < ε. Thật vậy, giả sử tồn tại εo > 0 và hai dãy {yn},{zn} trong X sao cho d(x, yn) < 21n và d(x, zn) < 21n nhưng d(yn, zn) >εo. Vì {Pn} là lưới sao-điểm nên{yn}và {zn}hội tụ tới x. Chọn k ∈ N sao cho 21k < εo. Từ Pk là cs-phủ của X suy ra {ym, zm} ⊂ P với m ∈ N nào đó và P ∈ Pk. Thế thì ym ∈ st(zm,Pk). Suy ra t(ym, zm) > k. Do đó
d(ym, zm) = 1
2t(ym,zm) < 1
Điều này mâu thuẫn với d(yn, zn) >εo.
Với mỗi x ∈ X, n ∈ N, ta đặt δ = δ(x, n) sao cho với bất kì x, y ∈ X mà d(x, y) < δ và d(x, z) < δ thì d(y, z) < n1. Đặt
g(n, x) =B(x, δ(x, n)).
Vì Pn là cs-phủ của X nên st(x,Pn) là lân cận dãy của x trong X. Do đó g(n, x) cũng là lân cận dãy của x. Đặt
Fn = {g(n, x) : x ∈ X}. Khi đó, mỗi Fn là sn-phủ của X.
Bây giờ ta chứng minh {Fn} là lưới sao-điểm của X. Giả sử ngược lại, {Fn} không là lưới sao-điểm của X. Khi đó tồn tại x ∈ G mở trong X và hai dãy {xn},{yn} trong X sao cho x ∈ g(n, yn) và xn ∈ g(n, yn) \G. Vì thế {xn} không hội tụ đến x và
d(yn, x) < δ(yn, n), d(yn, xn) < δ(yn, n).
Thế thì d(x, xn) < n1. Do đó {xn} hội tụ tới x. Ta có một mâu thuẫn.
Dễ thấy, X là không gian dãy. Vì thế st(x,Fn) là lân cận dãy của x với mọi x ∈ X và n ∈ N. Vậy {Fn} là dãy các sn-phủ trải được yếu của X.
(3) =⇒(2). Giả sử {Pn}là dãy các cs-phủ trải được yếu củaX. Ta có thể giả thiết Pn+1 mịn hơn Pn với mỗi n ∈ N. Tương tự chứng minh (3) ⇒(4), ta có thể định nghĩa symmetric d trên X sao cho
st(x,Pn) = B(x, 1 2n)
với mọi x ∈ X, n ∈ N. Do đó (X, d) là không gian đối xứng.
Với mỗi dãy {xn} ⊂ X hội tụ tới x và ε > 0, tồn tại k ∈ N sao cho
1
2k < ε. Từ Pk là cs-phủ của X, tồn tại P ∈ Pk và l ∈ N sao cho {x} ∪ {xn :n > l} ⊂ P.
Nếu m, n >l thì xn, xm ∈ P nên xn ∈ st(xm,Pk). Suy ra t(xn, xm) > k. Do đó
d(xn, xm) = 1
2t(xn,xm) < 1 2k < ε
với mọi n, m > l. Vậy {xn} là dãy d-Cauchy và X là không gian đối xứng Cauchy.
(4) =⇒(5). Giả sử {Pn} là dãy các sn-phủ trải được yếu của X. Với mỗi i ∈ N, đặt
Pi = {Pα : α ∈ Λi}, trong đó Λi được cho bởi tôpô rời rạc. Đặt
M = {α = (αi) ∈ Y
i∈N
Λi : {Pαi : i ∈ N} là lưới tại xα ∈ X}.
Theo Định lí 1.3.5, M là không gian mêtric và mỗi xα là duy nhất, ánh xạ f : M −→ X cho bởi f(α) = xα là toàn ánh và liên tục. Bây giờ ta sẽ chứng minh f là π-ánh xạ, thương, phủ dãy và phủ compact.
(i) f là π-ánh xạ.
Với mỗi α = (αk), β = (βk) ∈ M, ta định nghĩa
d(α, β) =
0 nếu α = β
max{1k : αk 6= βk} nếu α 6= β . Khi đó
- d(α, β) > 0 với mọi α, β ∈ M; d(α, β) = 0 khi và chỉ khi α = β. - d(α, β) =d(β, α) với mọi α, β ∈ M.
- Với α = (αk), β = (βk), γ = (γk) ∈ M, giả sử
min{k : αk 6= βk} = k1 suy ra αk = βk với mọi k < k1; min{k : βk 6= γk} = k2 suy ra βk = γk với mọi k < k2. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử k1 6 k2. Khi đó
Do đó d(α, β) +d(β, γ) = max{1 k : αk 6= βk}+max{1 k : βk 6= γk} = 1 k1 + 1 k2 > 1 k1 = max{1 k : αk 6= γk} = d(α, γ).
Suy ra d là khoảng cách trên M. Vì tôpô trên M là tôpô cảm sinh từ tôpô tích thông thường của không gian rời rạc{Λi : i ∈ N}. Vì thế dlà mêtric trên M. Với mỗi tập con U mở trongX và x ∈ U, vì{Pn}là lưới sao-điểm của X nên tồn tại n ∈ N sao cho st(x,Pn) ⊂U. Mặt khác nếu α ∈ f−1(x), β ∈ M mà d(α, β) < n1 thì αi = βi với mọi i 6n. Vì thế x ∈ Pαn = Pβn. Cho nên f(β) ∈ \ i∈N Pβi ⊂Pβn ⊂ U. Do đó d(f−1(x), M \f−1(U)) > 1 n. Vậy f là π-ánh xạ. (ii) f là ánh xạ phủ dãy.
Giả sử dãy {xn} hội tụ tới x ∈ X. Với mỗi i ∈ N, từ Pi là sn-phủ của X, tồn tại αi ∈ Λi sao cho Pαi là lân cận dãy của x trong X. Vì thế {xn} nằm trong Pαi từ một lúc nào đó. Vì {Pi} là lưới sao-điểm của X nên Pαi là lưới tại x trong X. Đặt
βx = (αi) ∈ Y
i∈N Λi.
Khi đó βx ∈ f−1(x). Với mỗi n ∈ N, đặt αin = αi nếu xn ∈ Pαi và lấy αin ∈ Λi sao cho xn ∈ Pαin nếu xn ∈/ Pαi. Khi đó, tồn tại ni ∈ N sao cho
αin = αi với mọi n > ni. Vì vậy {αin} hội tụ tới αi. Với mỗi n∈ N, đặt βn = (αin) ∈ Y
i∈N Λi
thì βn ∈ f−1(xn) và {βn} hội tụ tới βx. Vậy f là ánh xạ phủ dãy. (iii) f là ánh xạ thương.
Từ f là ánh xạ phủ dãy suy ra f là ánh xạ thương. (iv) f là ánh xạ phủ compact.
Trước tiên, ta chứng minh mỗi Pn là cfp-phủ của X. Tương tự như trong chứng minh (3) ⇒ (4), ta có thể định nghĩa ρ : X ×X −→[0,+∞) mà ρ là symmetric trên X và (X, ρ) là không gian đối xứng. Nếu K là tập compact trong X thì không gian conK là đối xứng. Vì không gian compact đối xứng là khả mêtric nên không gian con K là khả mêtric. Với mỗi x ∈ K, tồn tại Px ∈ Pn sao cho Px là lân cận dãy của x. Vì thế x ∈ IntK(Px∩ K). Do đó {IntK(Px ∩K) : x ∈ K} là phủ mở của không gian con K. Thế thì có họ hữu hạn {Ki :i 6l} các tập con đóng của K và
{IntK(Pxi ∩ K) : i 6 l} ⊂ Pn
sao cho K = ∪{Ki : i 6 l} và mỗi Ki ⊂ IntK(Pxi ∩ K). Vậy {Pxi : i 6 l} là cfp-phủ của K trong X và mỗi Pn là cfp-phủ của X.
Bây giờ ta chứng minh f là ánh xạ phủ compact. Giả sửK là tập compact trong X. Từ mỗi Pn là cfp-phủ của X, tồn tại tập con hữu hạn PnK sao cho PnK là cfp-phủ của K trong X. Do đó có tập hữu hạn {Kα : α ∈ Jn} các tập con đóng của K và
{Pα : α ∈ Jn} ⊂ PnK sao cho
K = ∪{Kα :α ∈ Jn}
và Kα ⊂ Pα với mọi α ∈ Jn. Hiển nhiên, mỗi Kα là tập compact trong X. Đặt
L = {(αi) : αi ∈ Ji, \
i∈N
Khi đó
- L ⊂ M. Thật vậy, với mọi (αi) ∈ L thì \
i∈N
Kαi 6= ∅. Do đó lấy x ∈ \
i∈N Kαi thì {Pαi} là lưới tại x∈ X nên (αi) ∈ M.Vậy L ⊂M.
- L là tập compact. Thật vậy, với mọi (αi) ∈/ L thì \
i∈N
Kαi = ∅. Vì thế, tồn
tại no ∈ N sao cho
no \ i=1 Kαi = ∅. Đặt W = {(βi) : βi ∈ Ji, βi = αi,1 6 i 6 no} thì W là lân cận mở của (αi) ∈ Y i∈N Ji và W ∩ L = ∅. Do đó L là tập đóng trong Y i∈N Ji. Vì Y i∈N Ji là tập compact trong Y i∈N Λi nên L là tập compact trong M.
- f(L) =K. Thật vậy, với mọi x ∈ K, với mỗi i ∈ N, lấy αi ∈ Ji sao cho x∈ Kαi ⊂ Pαi.
Khi đó f((αi)) = x. Vậy K ⊂f(L). Hiển nhiên f(L) ⊂ K. Nên K = f(L). Vậy f là ánh xạ phủ compact.
(5) =⇒(6). Hiển nhiên.
(6) =⇒(3). Giả sử f : M −→X là π-ánh xạ, thương, phủ dãy, (M, d) là không gian mêtric. Với mỗi n∈ N, đặt
Bn = {B(z, 1 n) : z ∈ M} và Pn = f(Bn), ở đây B(z, 1 n) ={y ∈ M : d(x, y) < 1 n}.
Khi đó {Pn} là lưới sao-điểm của X. Thật vậy, với mỗi x ∈ X và lân cận mở U của x, từ f là π-ánh xạ, tồn tại n ∈ N sao cho
d(f−1(x), M \f−1(U)) > 1 n.
Lấy m ∈ N sao cho m > 2n. Nếu z ∈ M và x ∈ f(B(z,m1)) thì f−1(x)∩B(z, 1 m) 6= ∅. Nếu B(z,m1) *f−1(U) thì d(f−1(x), M \f−1(U)) 6 2 m < 1 n.
Ta có mâu thuẫn. Vì vậy B(z,m1) ⊂ f−1(U). Nên f(B(z,m1)) ⊂ U. Do đó st(x,Pm) ⊂ U hay st(x,Pm) là lưới tại x. Vậy {Pn} là lưới sao-điểm của X. Dễ thấy, X là không gian dãy. Với mỗi n∈ N, từ Bn là cs-phủ của M và ánh xạ phủ dãy bảo toàn cs-phủ nên Pn là cs-phủ của X.
KẾT LUẬN
Luận văn đã đạt được các kết quả chính sau đây.
1. Dựa vào các tài liệu tham khảo, tìm hiểu và hệ thống lại một số vấn đề về không gian sn-khả mêtric, không gian g-trải, các điều kiện để không gian sn-khả mêtric, không gian g-trải là ảnh của không gian mêtric qua một số ánh xạ phủ.
2. Chứng minh chi tiết một số kết quả đã có trong các tài liệu tham khảo nhưng không chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt như: Định lí 1.2.3, Định lí 1.2.5, Định lí 1.3.5, Định lí 1.3.6, Mệnh đề 2.1.4, Hệ quả 2.1.5, Định lí 2.2.3.
3. Đưa ra và chứng minh một số kết quả về không gian sn-khả mêtric, không gian với sn-lưới sao-đếm được và sn-lưới sao-điểm thể hiện ở các Định lí 1.2.12, 1.2.13, và 1.2.15.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Trọng Đạt (2005), Các phủ trong không gian tôpô, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh.
[2] Hoàng Thế Nam (2008), Một số vấn đề về không gian sn-mêtric hoá được, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh.
[3] Phan Anh Tài (2008), Một số vấn đề về không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh.
[4] Ying Ge (2003), Characterizations of sn-metrizable spaces, Publication De L’institut Mathematique, 74, 121-128.
[5] Ying Ge (2007), Remarks on sequence covering images of metric spaces, Applied Mathematics E-Note, 7, 60-64.
[6] Kyung Bai Lee (1976), On certain g-first countable spaces, Pacific Journal of Mathematics, Vol.65, No.1, pp.113-118.
[7] Zhaowan Li, Shou Lin and Pengfei Yan (2004), A note on g- developable spaces, Far East J.Math.Sci.(FJMS) 15(2), 182-191. [8] S.Lin (1997), A note on the Arens’ spaces and sequential fan,
Topology Appl. 81, no. 3, 185-196.
[9] Zhiming Luo (2005), sn-metrizable spaces and related matters, International Journal of Mathematical Sciences, 16, 2523-2532.
[10] F.Siwiec (1974), On defining a spaces by weak base, Pacific J.Math, 52, 233-245.
[11] Y.Tanaka (2001), Theory of k-networks II, Questions and Answers in General Topology, Vol.19, 27-46.
[12] Y.Tanaka and Y.Ge (2006), Around quotient compact images of metric spaces and symmetric spaces, Houston Journal of Mathemat- ics, Vol.32, No.1, 99-117.