Chỉnh hóa phương trình helmholtz được cải biên trong thanh vô hạn

HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNPhan Trung Hiếu CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ ĐƯỢC CẢI BIÊN TRONG THANH VÔ HẠN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phan Trung Hiếu

CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ ĐƯỢC CẢI

BIÊN TRONG THANH VÔ HẠN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS PHẠM HOÀNG QUÂN

Tp Hồ Chí Minh - 2011

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hướng dẫn củatôi là TS Phạm Hoàng Quân, người đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình tôi làm bài luận văn này

Xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô trong khoa Toán - Tin học nóichung và các thầy cô trong bộ môn Giải tích nói riêng Đặc biệt, tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Đặng Đức Trọng, người đã tận tình dạydỗ tôi trong suốt thời gian học đại học và cao học, thầy đã động viên, hướngdẫn và góp ý để tôi hoàn thành bài luận văn này

Xin gửi lòng biết ơn đến tất cả các thầy trong hội đồng chấm luận văn đãdành thời gian để tham dự cũng như đóng góp những nhận xét quý báu cho buổibảo vệ luận văn

Xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy, cô làm việc ở phòng Sauđại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọiđiều kiện thuận lợi về các thủ tục hành chính giúp tôi hoàn thành khóa học vàbảo vệ luận văn

Tôi muốn gửi những tình cảm thân thương, chân thành nhất đến bố, mẹ và

em tôi, những người đã luôn lo lắng, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt đểtôi học tập tốt

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn bè, anh, chị đã cùng tôi họctập, cùng tôi tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình học và làm luận văn.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong quá trình làm luận văn vẫn khótránh được những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiếncủa quý thầy, cô và bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn

TP.HCM, ngày 12 tháng 11 năm 2010

Tác giảPhan Trung Hiếu

Lời nói đầu

Phương trình Helmholtz được cải biên xuất hiện nhiều trong lĩnh vực vật lýứng dụng, liên quan đến sự truyền sóng và các hiện tượng dao động Nó thườngđược dùng để mô tả sự dao động của một cấu trúc, sóng bức xạ, sự truyền nhiệttrong một bề mặt, Chúng ta có thể tham khảo trong [1, 2, 3, 4]

Bài toán thuận cho phương trình Helmholtz được cải biên là bài toán giátrị biên Dirichlet, Neumann hay hỗn hợp đã được nghiên cứu nhiều trước đây.Tuy nhiên, trong thực tế, ta không thể thu được dữ kiện biên trên toàn bộ biên.Chúng ta chỉ biết dữ kiện nhiễu trên một phần của biên hoặc tại một vài điểmbên trong của miền đang xét Vì thế, bài toán trên là bài toán ngược Bàitoán này đã được rất nhiều nhà Toán học quan tâm khảo sát với nhiều phươngpháp khác nhau như: phương pháp phần tử biên (BEM) trong [5], phương phápgradient liên hợp trong [6], phương pháp nghiệm cơ bản (MFS) trong [7],

Trong luận văn này, ta khảo sát phương trình Helmholtz được cải biên

∆u − k2u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1 (I)với các điều kiện Cauchy không thuần nhất

trong đó ∆ là toán tử Laplace, hằng số k ∈ R\{0}, và ϕ(x), ψ(x) được cho trướcnhưng không chính xác.

Đây là bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz được cải biên và nó làbài toán không chỉnh (được chứng minh trong chương 2, mục 2.2) Chú ý rằng,trong trường hợp k = 0, phương trình (I) trở thành phương trình Laplace

∆u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1

Phương trình này đã được P H Quan, D D Trong và Alain P N Dinh khảosát trong [15], Z Qian, C L Fu và X T Xiong trong [17] và các tác giả kháctrong các bài báo [18, 19, 20, 21]

Hơn nữa, trong bài toán (I)-(III), nếu điều kiện biên là u y(x, 0) = ϕ(x) = 0thì bài toán trở thành

∆u − k2u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1 (IV)

Bài toán (IV)-(VI) đã được khảo sát bởi nhiều tác giả trong các bài báo [8,

9, 10, 11, 12] Tuy nhiên, các phương pháp của các tác giả đó không dễ dàngđể giải bài toán (I)-(III) khi điều kiện biên là uy(x, 0) = ϕ(x) 6= 0.

Gần đây, T Wei và các tác giả trong [12] đã xấp xỉ bài toán (IV)-(VI) bằngphương pháp Fourth-order được cải biên Trong luận văn này, tôi sử dụng haiphương pháp khác nhau để chỉnh hóa bài toán và đưa ra sự so sánh với kết quảtrong [12]

Đặc biệt, Ailin Qian và các tác giả trong [13] đã xấp xỉ bài toán (I)-(III)bằng phương pháp chặt cụt tích phân và đưa ra sai số dạng Holder, nghĩa lànghiệm xấp xỉ v và nghiệm chính xác u thỏa

ku(·, y) − v(·, y)k2 ≤ 3Ey(1−y)

trong đó ku(·, y)k2 ≤ E, k·k2 là chuẩn trong L2(R) Tuy nhiên, sai số chỉnhhóa tại y = 1 không được đánh giá Trong luận văn này, tôi chỉnh hóa bài toán(I)-(III) và đưa ra được sai số dạng Holder trong trường hợp 0 < y < 1 và ngaycả khi y = 1 Điều này đã cải thiện nhược điểm nêu trên.

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Cung cấp các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Các kết quả chính

Chương 3: Ví dụ số và so sánh

Trong chương 2, các kết quả được chia làm ba phần: kiểm tra tính khôngchỉnh của bài toán, tiếp theo ta chỉnh hóa bài toán và tìm nghiệm xấp xỉ có đánhgiá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác Trong chương 3, các kếtquả lý thuyết trong chương 2 được minh họa bằng các ví dụ số cụ thể, đồng thờiđưa ra được sự so sánh với kết quả trong [12]

Mục lục

1.1 Không gian Banach 9

1.2 Các định lý căn bản trong tích phân Lebesgue 10

1.3 Không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 11

1.4 Không gian Hilbert 12

1.5 Biến đổi Fourier 13

1.6 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa 14

2 Các kết quả chính 16 2.1 Giới thiệu bài toán 16

2.2 Chứng minh bài toán không chỉnh 18

2.3 Chỉnh hóa nghiệm 20

2.3.1 Phương pháp 1 20

2.3.2 Phương pháp 2 29

3.1 Ví duï 1 353.2 Ví duï 2 45

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vectơ tuyến tính X trên R gọi là một khônggian định chuẩn nếu tồn tại một ánh xạ k·k : X → R thỏa

Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãyCauchy đều hội tụ.

Mệnh đề 1.1.4 Trong một không gian định chuẩn X

a) Dãy hội tụ thì có tính chất Cauchy

b) Dãy Cauchy có dãy con hội tụ thì hội tụ

1.2 Các định lý căn bản trong tích phân Lebesgue

Định lý 1.2.1 (Hội tụ đơn điệu) Cho (fn) là một dãy các hàm khả tích trên Rk,

fn : Rk → R Nếu (fn) tăng hkn (nghĩa là fn(x) ≤ fn+1(x) hầu khắp nơi) và có

Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f|p khả tích trên Ω gọi là Lp(Ω)

Định nghĩa 1.3.2 Tập hợp tất cả các hàm bị chặn hkn trên Ω gọi là L∞(Ω).Trên L∞(Ω) ta định nghĩa

kf k∞ = inf {λ : λ ≥ |f (x)| hkn} Định lý 1.3.3 k·kplà chuẩn trong Lp(Ω), (1 ≤ p ≤ ∞) Vậy Lp(Ω), (1 ≤ p ≤ ∞)là không gian định chuẩn

Mệnh đề 1.3.4(Bất đẳng thức Holder) Cho f, g đo được trên một tập đo được

hay

kf gk1 ≤ kf kpkgkq.Nếu f ∈ L1(Ω), g ∈ L∞(Ω) thì

kf gk1 ≤ kf k1kgk∞.Định lý 1.3.5 Với Ω đo được ⊆ Rk, (1 ≤ p ≤ ∞), không gian Lp(Ω) là khônggian Banach

1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.4.1 Cho E là một không gian vectơ trên Φ, f là một ánh xạ từ

E× E vào Φ Ta nói f là một dạng Hermite dương trên E, nếu và chỉ nếu f cócác tính chất sau: với mọi x, x0, y, y0 ∈ E và s ∈ Φ

i) Bất đẳng thức Schwartz

|f (x, y)|2 ≤ f (x, x)f (y, y);

ii) Bất đẳng thức Minkowski

f(x + y, x + y)12 ≤ f (x, x)12 + f (y, y)21.Định nghĩa 1.4.3 Cho f là một dạng Hermite dương trên một không gian vectơ

E Đặt kxk = f (x, x)12, ∀x ∈ E Do Định lý 1.4.2, (E, k·k) là một không gianđịnh chuẩn Nếu (E, k·k) đầy đủ, ta gọi nó là một không gian Hilbert và viết

< x, y > thay cho f(x, y)

Định lý 1.4.4 Cho Ω đo được ⊆ Rk, đặt < f, g >=

Không gian L2(Ω) là không gian Hilbert

1.5 Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.5.1 Cho f ∈ L1(R), biến đổi Fourier của f là

1.6 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh

hóa

Bài toán chỉnh theo nghĩa của Hadamard là bài toán thỏa mãn các tính chấtsau:

i) Tồn tại nghiệm (tính tồn tại);

ii) Có nhiều nhất một nghiệm (tính duy nhất);

iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (tính ổn định)

Như vậy, cho X và Y là những không gian định chuẩn và ánh xạ K : X → Y(tuyến tính hoặc không tuyến tính) Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếuthỏa mãn:

i) Tính tồn tại: với mỗi y ∈ Y có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y;

ii) Tính duy nhất: với mọi y ∈ Y có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y;

iii) Tính ổn định: nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, nghĩa là với mọi dãy(xn) ⊂ X thỏa Kxn → Kx (n → ∞) thì xn → x (n → ∞)

Bài toán không thỏa ít nhất một trong các tính chất trên gọi là bài toán khôngchỉnh

Về mặt toán học, việc tồn tại nghiệm có thể đạt được bằng cách mở rộngkhông gian nghiệm Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì thường là thôngtin về nghiệm bị thiếu, và bằng những thông tin bổ sung ta sẽ thu được nghiệmduy nhất Yêu cầu quan trọng nhất là sự ổn định của nghiệm, bởi nếu thiếu điềunày thì một sai số dù nhỏ của dữ kiện cũng có thể dẫn tới một sai số lớn củanghiệm Điều này làm cho chúng ta không thể nào tính được nghiệm (dù là xấpxỉ), bởi mọi dữ kiện có được do đo đạc đều phải đi kèm với sai số

Sự chỉnh hóa, nghĩa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại)và nghiệm xấp xỉ của bài toán nhiễu Một sự chỉnh hóa được gọi là tốt nếu saisố xấp xỉ càng nhỏ.

Chương 2

Các kết quả chính

2.1 Giới thiệu bài toán

Xét bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz được cải biên

∆u − k2u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1 (2.1)thỏa các điều kiện Cauchy không thuần nhất

trong đó k là một hằng số, k ∈ R\{0}, và ϕ(x), ψ(x) thuộc L1(R) ∩ L2(R).Không mất tính tổng quát, ta giả sử k > 0 Bằng cách lấy biến đổi Fourierhai vế của phương trình (2.1) theo biến x, ta được

b

uξξ(ξ, y) +ubyy(ξ, y) − k2u(ξ, y) = 0,b

− (ξ2+ k2) = 0, ta được λ = ±pξ2+ k2 Từđó, ta có

Bây giờ, ta xác định A, B dựa vào các điều kiện (2.2), (2.3) Thật vậy, từ(2.2) và (2.3), ta có (

b

uy(ξ, 0) =ϕ(ξ),bb

2.2 Chứng minh bài toán không chỉnh

Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz được cải biên là không chỉnh.Dưới đây, ta sẽ chứng minh bài toán không chỉnh vì vi phạm tính ổn định

Cụ thể, ta sẽ chứng minh khi sai số dữ kiện tiến đến 0 thì sai số nghiệm tiếnđến số khác 0

Thật vậy, chọn

|ξ|≥n

neân

+

∂y∂ buex(ξ, 1)

q

ξ2 + k2buex(ξ, 1)

... e−√ξ2+k2y

!

eiξxdξ,(2.11 )trong α() ∈ (0, 1) tham số chỉnh hóa, phụ thuộc vào  Để thuận tiện, taký hiệu α() = α

Giả sử uex... data-page="23">

Áp dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≤ 2(a2+ b2), ta được< /p>

Hơn nữa, (bϕ− bϕex) ∈ L2(R) 



1