Chỉnh hóa phương trình helmholtz được cải biên trong thanh vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠ I HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Trung Hiếu CHỈNH HÓ A PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ ĐƯC CẢI BIÊN TRONG THANH VÔ HA Ï N Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THA Ï C SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯ Ơ Ù NG DẪN KHOA HỌC TS. PHẠM HOÀNG QUÂN Tp. Hồ Chí Minh - 2011 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến t hầ y hư ơ ù ng dẫn của tôi là TS. Phạ m Hoàng Quân, người đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi t ro ng suốt quá trình tôi làm bài luận văn này. Xin chân thà nh cảm ơ n tấ t cả quý thầy cô trong khoa Toán - Tin học nói chung và các thầy cô trong bộ môn Giải tích nói riêng. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS. TS. Đặng Đức Trọng, người đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt thời gian học đại học và cao học, thầy đã động viên, hướ ng dẫn và góp ý để tô i hoà n thành bài luận văn này. Xin gửi lòng biết ơn đến tất cả các thầy trong hội đồng chấm luận vă n đã dành thời gian để tham dự cũng như đóng góp những nhận xét quý báu cho buổi bảo vệ luận vă n. Xin t râ n tro ï ng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy, cô làm việc ở phòng Sau đại ho ï c, trường Đại họ c Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về các thủ tục hành chính giúp tôi hoàn thành khóa học và bảo vệ luận vă n. Tôi muốn gửi những tình cảm thân thương, chân thành nhất đến bố, mẹ và em tôi, những người đã luôn lo lắng, động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt để tôi học tập tốt. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn bè, anh, chò đã cùng tôi học tập, cùng tôi tháo gỡ những vướng mắc trong quá trình học và làm luận văn. Mặc dù đ ã co á gắ ng rất nhi e à u nhưng tro ng quá trình l à m l u ậ n văn vẫn khó tránh được những thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và bạn đo ï c. Tác giả xin chân thành cảm ơn. TP.HCM, ngày 12 tháng 11 năm 2010 Tác giả Phan Trung Hiếu Lời nói đầu Phương trình Helmholtz được cải biên xuất hiện nhiều trong lónh vực vật lý ứng dụ ng, liên quan đến sự tru y e à n sóng và các hiện tư ơ ï ng dao động. Nó thường được dùng để mô tả sự dao động của một cấu trúc, sóng bức xạ, sự truyền nhiệt trong một bề mặt, Chúng ta có thể tham khảo trong [1, 2, 3, 4]. Bài toán thuận cho phương trình Hel m ho l t z được cải biên là bài toán giá trò bi e â n Dirichlet, Neumann hay hỗn hợp đã được nghiên cứu nhiều trươ ù c đây. Tuy nhiên, trong t hư ï c tế, t a không thể thu được dữ kiện biên trên toàn bộ biên. Chúng ta chỉ biết dữ kiện nhiễu trên một phần của biên hoặc tại một vài điểm bên t ro ng của miền đang xé t . Vì thế, bài toán trên là bài toán ngược. Bài toán này đã được rất nhiều nhà Toán học quan tâm khảo sát với nhiều phương pháp khác nhau như: phư ơ ng pháp phần tử biê n (BEM) tro ng [5], phương pháp gradient l i e â n hợp trong [6], phương pháp nghiệm cơ bản (MFS) trong [7], Trong luận văn này, ta khảo sát phương trình Helmholtz được cải biên ∆u − k 2 u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1 (I) với các điều kiện Cauchy không thuần nhất u y (x, 0) = ϕ(x), (II) u(x, 0) = ψ(x), (III) 6 trong đó ∆ là toán tử Laplace, hằng so á k ∈ R\{0}, và ϕ(x), ψ(x) được cho trước nhưng không chính xác. Đây là bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz được cải biên và nó là bài t o á n không chỉnh (đượ c chứng minh tro ng chương 2, mục 2.2). Chú ý rằng, trong trường hợp k = 0, phương trình (I) trở thành phương trình Laplace ∆u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1. Phương trình này đã được P. H. Quan, D. D. Trong và Alain P. N. Dinh khảo sát trong [15], Z. Qian, C. L. Fu và X. T. Xiong trong [17] và các tác giả khác trong các bài báo [18, 19, 20, 21]. Hơn nữa, trong bài toán (I)-(III), nếu điều kiện biên là u y (x, 0) = ϕ(x) = 0 thì bài toán trở thành ∆u − k 2 u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1 (IV) u y (x, 0) = 0, (V) u(x, 0) = ψ(x). (VI) Bài toán (IV)-(VI) đã được khảo sát bởi nhiều tác giả trong các bài báo [8, 9, 10, 11, 12]. Tuy nhiên, các phương pháp của các tác giả đó không dễ dàng để giải bài toán (I)-(III) khi điều kiện biên là u y (x, 0) = ϕ(x) = 0. Gần đây , T. Wei và các tác giả trong [12] đã xấp xỉ bài toán (IV)-(VI) bằng phương phá p Fo u rt h-o rde r đươ ï c cải bie â n. Trong luận văn này, tôi sử dụng hai phương pháp khác nhau để chỉnh hóa bài toán và đưa ra sự so sánh với kết quả trong [12]. Đặc bi e ä t , Ailin Qian và các tác giả trong [13] đã xấp xỉ bài toán (I)-(III) bằng phương pháp chặ t cụt tích phân và đưa ra sai số dạng Holder, nghóa là nghiệm xấp xỉ v và nghiệm chính xác u thỏa u(·, y) −v(·, y) 2 ≤ 3E y  (1−y) 7 trong đó u(·, y) 2 ≤ E, · 2 là chu ẩ n trong L 2 (R). Tuy nhiên, sai s o á chỉnh hóa tại y = 1 không được đánh giá. Trong luận văn này, tôi chỉnh hóa bài toán (I)-(III) và đưa ra được sai số dạng Holder trong trường hợp 0 < y < 1 và ngay cả khi y = 1. Điều này đã cải thiện nhược điểm nêu trên. Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: C u ng cấp các kiến thức chuẩn bò. Chương 2: C á c kết quả chính. Chương 3: Ví dụ số và so sánh. Trong chư ơ ng 2, các kết quả được chia l à m ba phần: kiểm tra tính không chỉnh của bài toán, tiếp theo ta chỉnh hóa bài toán và tìm nghiệm xấp xỉ có đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác. Trong chương 3, các kết quả lý thuyết trong chương 2 được minh họa bằng các ví dụ số cụ thể, đồng thờ i đưa ra đượ c sự so sánh với kết quả t ro ng [12]. 8 Mục lục Lời nó i đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bò 9 1.1 Không gian B anach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Các đònh lý căn bản trong tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian L p (1 ≤ p ≤ ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Không gian Hi l be rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sư ï chỉnh hóa . . . . . . 14 2 Các kết quả chính 16 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Chứng minh bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Chỉnh hóa nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Phương pháp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Phương pháp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Ví dụ số và so sánh 35 4 3.1 Vớ duù 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Vớ duù 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Taứi lieọu tham khaỷo 51 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bò 1.1 Không gian Banach Đònh nghóa 1.1.1. Một không gian vectơ tuyến tính X trên R gọi l à mo ä t không gian đònh chuẩn nếu to à n tại một ánh xạ · : X → R thỏa i) x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇐⇒ x = 0; ii) λx = |λ|x, ∀λ ∈ R, x ∈ X; iii) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ X. Đònh nghó a 1.1.2. Dãy (x n ) trong X gọi l à dãy Cau chy ne á u ∀ > 0, ∃N  ∈ N sao cho x n − x m  < , ∀n, m ≥ N  . Dãy (x n ) trong X gọi là hội tụ về x 0 ∈ X, ký hiệu là x n → x 0 khi n → ∞, nếu lim n→∞ x n − x 0  = 0. 9 Đònh nghó a 1.1.3. Không gian đònh chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy đ e à u hộ i tu ï . Mệnh đề 1.1 .4 . Trong một không gian đònh chuẩn X. a) Dãy hội tụ thì có tính chất Ca u c h y . b) Dãy Cauchy có dãy con hộ i tụ thì hội tụ. 1.2 Các đònh lý căn bản trong tích phân Lebesgue Đònh lý 1.2 .1 (Hội tụ đơn điệu). Ch o (f n ) là một dãy các hàm khả tích trên R k , f n : R k → R. Nếu (f n ) tăng hk n (nghóa là f n (x) ≤ f n+1 (x) hầu khắp nơi) và co ù M sao cho  R k f n ≤ M, ∀n ∈ N. Khi đó, tồn tại hàm f khả tíc h sao ch o f n → f hkn và lim n→∞  R k f n =  R k f. Đònh lý 1 .2 .2 (Hội tụ bò chặn). Cho dãy (f n ) các hàm kh a û t í c h f n : R k → R và cho hàm g khả tích. Nếu f n → f hkn và |f n |≤ g hkn, thì f khả tích và lim n→∞  R k f n =  R k f. Các đònh lý hội tụ đơn điệu và hội tụ bò chặn vẫn đúng nếu thay R k bằng tập hợp đo đư ơ ï c Ω. Hệ quả 1.2.3. Nếu f đo được trên R k và g khả tích trên R k sao cho |f| ≤ g hkn thì f khả tích trên R k . 10 1.3 Không gian L p (1 ≤ p ≤ ∞) Trong phần này, ta ký hiệu Ω là một tập đo được trong R k . Ta quy ước rằng hai hàm đo đươ ï c f , g là bằng nhau nếu f = g hkn. Đònh nghóa 1.3.1 . Cho f đo được trên Ω, nếu |f| p (1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω ta đònh nghóa f p =    Ω |f| p   1 p . Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f| p khả tích trên Ω gọi là L p (Ω). Đònh nghóa 1.3.2. Tập hợp tất cả các hàm bò chặn hkn trên Ω gọi là L ∞ (Ω). Trên L ∞ (Ω) ta đònh nghóa f  ∞ = inf {λ : λ ≥ |f(x)| hkn}. Đònh lý 1.3.3. · p là chuẩn trong L p (Ω), (1 ≤ p ≤ ∞). Vậy L p (Ω), (1 ≤ p ≤ ∞) là không gian đònh chuẩn. Mệnh đề 1.3.4 (Bất đẳng thức Holder). Cho f, g đo được trên một tập đ o được Ω, 1 p + 1 q = 1, 1 < p < ∞. Nếu f ∈ L p (Ω), g ∈ L q (Ω) thì  Ω |fg|dx ≤    Ω |f | p   1 p    Ω |g| q   1 q hay fg 1 ≤ f p g q . Nếu f ∈ L 1 (Ω), g ∈ L ∞ (Ω) thì fg 1 ≤ f 1 g ∞ . Đònh lý 1.3.5. Với Ω đo được ⊆ R k , (1 ≤ p ≤ ∞), không gi a n L p (Ω) là không gian Banach. 11 [...]... thể nào tính được nghiệm (dù là xấp xỉ), bởi mọi dữ kiện có được do đo đạc đều phải đi kèm với sai số 14 Sự chỉnh hóa, nghóa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại) và nghiệm xấp xỉ của bài toán nhiễu Một sự chỉnh hóa được gọi là tốt nếu sai số xấp xỉ càng nhỏ 15 Chương 2 Các kết quả chính 2.1 Giới thiệu bài toán Xét bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz được cải biên ∆u − k 2... ta được   A =   ϕ(ξ) ψ(ξ) , 2 2 ξ + k2  ϕ(ξ) B = ψ(ξ) −   2 2 ξ 2 + k2 2 17 + Do đó u(ξ, y) = √2 √2 √2 ψ(ξ) √ξ2 +k2 y ϕ(ξ) 2 2 2 e + e− ξ +k y + e ξ +k y − e− ξ +k y 2 2 2 ξ + k2 (2.4) Như vậy, ta đã đưa phương trình (2.1) về dạng biến đổi Fourier để chuẩn bò cho bước chỉnh hóa bài toán và đưa ra sai số 2.2 Chứng minh bài toán không chỉnh Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz được cải. .. ta được 2 v (·, y) − uex (·, y) ≤ 1 2 ξ 2 + k 2 uex (ξ, 1) 2 2 C , 1 ln( ) trong đó 1 C =2 1+ k 2 √ +2 2 ξ 2 + k 2 uex (ξ, 1) + 2 28 ∂ ∂y uex (ξ, 1) 2 Đònh lý đã được chứng minh Nhận xét 2.3.4 Trong đònh lý trên, đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác được đưa ra không chỉ cho trường hợp 0 < y < 1 mà còn cho trường hợp y = 1 Điều này đã cải thiện nhược điểm trong [13], được nêu trong. .. toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa Bài toán chỉnh theo nghóa của Hadamard là bài toán thỏa mãn các tính chất sau: i) Tồn tại nghiệm (tính tồn tại); ii) Có nhiều nhất một nghiệm (tính duy nhất); iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (tính ổn đònh) Như vậy, cho X và Y là những không gian đònh chuẩn và ánh xạ K : X → Y (tuyến tính hoặc không tuyến tính) Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh. .. dạng Holder với mọi y ∈ [0, 1] Chú ý rằng trong [12], các tác giả đã không đưa ra được sai số này Hơn nữa, mặc dù trong [13], các tác giả đã đưa ra sai số giữa nghiệm xấp xỉ v và nghiệm chính xác u như sau u(·, y) − v(·, y) 2 ≤ 3E y (1−y) trong đó u(·, y) 2 ≤ E Tuy nhiên, sai số chỉnh hóa tại y = 1 không được đánh giá Điều này cho thấy được tính hiệu quả trong phương pháp của tôi 34 2 β 1 2 2 Chương... = (3.2) 1 2 = , ta có nghiệm chỉnh hóa của phương pháp 1 là 2 1 v (ξ, y) = e−ξ 2 4 2 +1 π 1 1 2 ξ 2 + 1 + e− Từ (3.1), (3.2) và (2.29) với chú ý β = 1 2 √ − +e ξ 2 +1y √ ξ 2 +1y (3.3) , ta có nghiệm chỉnh hóa của phương pháp 2 là 2 1 w (ξ, y) = e−ξ 2 4 2 +1 π 1 2 1 √ + e− ξ 2 +1y − +e √ ξ 2 +1y (3.4) Áp dụng phương pháp trong [12] với (3.1), (3.2), ta có nghiệm chỉnh hóa là           ... sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa giữa 3 phương pháp trong trường hợp 0 < y < 1 36 Bảng 1 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Phương pháp 1 v − uex 2 7.8843 × 10−6 9.9612 × 10−6 1.2626 × 10−5 1.6063 × 10−5 2.0523 × 10−5 2.6352 × 10−5 3.4028 × 10−5 4.4230 × 10−5 5.7925 × 10−5 = 10−10 Phương pháp 2 Phương pháp trong [12] w − uex 2 W − uex 2 −6 6.9935... trường hợp y = 1 Điều này đã cải thiện nhược điểm trong [13], được nêu trong mục lời nói đầu Trong phương pháp 2, tôi sẽ cải thiện đánh giá sai số dạng lôgarit bởi sai số dạng p (0 < p < 1) Như đã biết, −q với ln 1 (q > 0) khi → 0 p → 0 nhanh hơn nhiều so 2.3.2 Phương pháp 2 Với β = β( ) ∈ (0, 1) là một tham số chỉnh hóa, ta xấp xỉ bài toán (2.4) bởi bài toán sau đây w (ξ, y) = ψ(ξ) 2 + β + e− 1 √ ξ 2 +k2... trong đó α( ) ∈ (0, 1) là tham số chỉnh hóa, phụ thuộc vào Để thuận tiện, ta ký hiệu α( ) = α Giả sử u ex là nghiệm chính xác của (2.1)-(2.3), v ex là nghiệm của bài toán (2.11) tương ứng với dữ kiện chính xác ϕ ex , ψ ex và v là nghiệm của bài toán (2.11) tương ứng với dữ kiện bò nhiễu nhận được do đo đạc ϕ , ψ , trong đó ϕ ex , 20 ψex , ϕ , ψ ở vế phải của (2.11) sao cho ϕ − ϕex · 2 2 là chuẩn trong. .. được đánh giá Điều này cho thấy được tính hiệu quả trong phương pháp của tôi 34 2 β 1 2 2 Chương 3 Ví dụ số và so sánh 3.1 Ví dụ 1 Ví dụ này được đưa ra để so sánh hai phương pháp trong luận văn này với phương pháp trong [12] Xét bài toán ∆u − u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1 trong đó u thỏa uy (x, 0) = 0, u(x, 0) = ψ(x) 1 1 2 Xét dữ kiện chính xác ψ ex (x) = √ e− 4 x , ta có 2 1 ψex (ξ) = √ 2π +∞ −∞ 2 1 1 2 √ . TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠ I HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Trung Hiếu CHỈNH HÓ A PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ ĐƯC CẢI BIÊN TRONG THANH VÔ HA Ï N Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THA. không chỉnh (đượ c chứng minh tro ng chương 2, mục 2.2). Chú ý rằng, trong trường hợp k = 0, phương trình (I) trở thành phương trình Laplace ∆u = 0, x ∈ R, 0 < y < 1. Phương trình này đã được. 3E y  (1−y) 7 trong đó u(·, y) 2 ≤ E, · 2 là chu ẩ n trong L 2 (R). Tuy nhiên, sai s o á chỉnh hóa tại y = 1 không được đánh giá. Trong luận văn này, tôi chỉnh hóa bài toán (I)-(III) và đưa ra được