Dự báo chuỗi thời gian bằng wavelet

1 MC LC Trang Mở đầu Ch-ơng Đại c-ơng chuỗi thời gian trình tự hồi quy AR 1.1 Quá trình ngẫu nhiên chuỗi thời gian 1.2 Quá trình dừng Chuỗi thời gian dừng 1.3 Quá trình nhân tự hồi quy AR(p) .10 Ch-¬ng Wavelet 13 2.1 Giíi thiƯu vỊ wavelet 13 2.2 Wavelet rêi r¹c 13 Ch-¬ng Dự báo chuỗi thời gian wavelet 16 3.1 Giíi thiƯu .16 3.2 C¸c wavelet dự báo .16 3.3 Dự báo tự hồi quy đa ph©n bËc AR 21 3.4 Sù héi tô 26 KÕt luËn .29 Tài liệu tham khảo .30 Mở đầu Trong năm gần lý thuyết Wavelet xâm nhập mạnh mẽ vào ngành khoa học đặc biệt ngành Toán ứng dụng với mô hình dự báo chuỗi thời gian Việc làm trở thành yếu tố cần thiết hoạt động ng-ời ngày đ-ợc ứng dụng sâu rộng lĩnh vực kinh tế, viễn thông, y học lĩnh vực xà hội khác Việc nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian wavelet vấn đề thời sự, có ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiƠn réng lín ChÝnh chọn đề tài nghiên cứu: Dự báo chuỗi thời gian wavelet Luận văn đ-ợc trình bày ch-ơng: Ch-ơng Đại c-ơng chuỗi thời gian trình tự hồi quy AR Ch-ơng trình bày khái niệm công cụ toán học cần thiết để nghiên cứu trình ngẫu nhiên, chuỗi thời gian trình nhân tự hồi quy AR(p) Ch-ơng Wavelet Trình bày khái niệm wavelet rời rạc Ch-ơng Dự báo chuỗi thời gian Wavelet Đây nội dung luận văn Trong ch-ơng trình bày ph-ơng pháp dự báo chuỗi thời gian wavelet Ph-ơng pháp dựa phân tích đa phân giải tín hiệu, dùng phần d- biến đổi wavelet có lợi bất biến qua phép dịch chuyển Tín hiệu đ-ợc phân tích thành loạt lớp tần số Dự báo đ-ợc dựa số hệ số lớp tần số dạng đơn giản dự báo tuyến tính dựa biến đổi wavelet tín hiệu Kết đạt đ-ợc hội tụ ph-ơng pháp theo h-ớng dự báo tối -u tr-ờng hợp tự hồi quy Luận văn đ-ợc hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn tận tình, chu đáo Tiến sỹ Nguyễn Trung Hòa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo khoa Toán tr-ờng Đại học Vinh, đặc biệt PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS TrầnXuân Sinh, PGS.TS Phan c Thnh, TS Lê Hồng Sơn, quý thầy cô khoa Sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh, bạn học viên cao học Toán khoá 15 đà tạo điều kiện giúp đỡ góp ý để tác giả hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 nm 2009 Tác gi Ch-ơng Đại c-ơng chuỗi thời gian trình tự hồi quy ar 1.1 Quá trình ngẫu nhiên chuỗi thời gian B-ớc việc phân tích chuỗi thời gian chọn mô hình toán học hay lớp mô hình toán học thích hợp với tập liệu X Để nói chất quan sát ch-a diễn ra, ta giả thuyết quan sát xt giá trị thể biến ngẫu nhiên X t Khi chuỗi thời gian X t , t T0 họ biến ngẫu nhiªn  X t , t T0  Nh- thÕ, cã thĨ xem d÷ liƯu X  x1, x2 , , xn  lµ mét thĨ hiƯn cđa mét trình ngẫu nhiên X t , t T T0 Nếu xem giá trị quan sát xt thể biến ngẫu nhiên đó, chuỗi thời gian dÃy thể (hay phần thể hiện) dÃy biến ngẫu nhiên Nếu thời gian quan sát liên tục ta có chuỗi thời gian liên tục Nếu thời gian quan sát rời rạc ta có chuỗi thời gian rời rạc 1.1.1 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên X t , t T xác định không gian xác suất , F , P 1.1.2 Định nghĩa Giả sử X (t ), t T trình ngẫu nhiên Nếu T T X (t ) gọi trình với thời gian liên tục Nếu T T X (t ) gọi trình với thời gian rời rạc 1.1.3 Định nghĩa Quá trình X (t ), t T gọi trình cấp nÕu E X (t )  , t T Ký hiÖu L2  , F , P  không gian Hilbert đại l-ợng ngẫu nhiên X tho· m·n E X   víi tÝch v« h-íng X ,Y   X ( )Y ()dP  Sù héi tô L2  , F , P đ-ợc gọi hội tụ bình ph-ơng trung bình tức E ( X n X )   X n héi tơ vỊ X nÕu xlim  Ký hiÖu l.i.m X n  X n 1.1.4 Định nghĩa Giả sử X t trình cấp Hàm trung bình X (t ) đ-ợc định nghĩa m(t ) E ( X (t )) Hàm tự hiệp ph-ơng sai X (t ) đ-ợc định nghĩa r (s, t )  Cov( X (s), X (t ))  EX (s) X (t )  m(s)m(t ) 1.1.5 Định nghĩa Một dÃy ngẫu nhiên đ-ợc định nghĩa ánh xạ h : cho h()  ( , X 1 (), X (), X 1(), ) ®ã X t :   hàm tọa độ X t gọi dÃy ngẫu nhiên 1.1.6 Mệnh đề Nếu ( X n ) dÃy đại l-ợng ngẫu nhiên thõa mÃn E X n điều kiện cần đủ để tồn l.i.m X n X là: x (i) Tồn lim EX n  EX n (ii) Tån t¹i lim Cov( X n , X m )  VarX n,m Chứng minh Giả sử tồn l.i.m X X x n Khi theo bất đẳng thức Schwarz ta cã lim EX n  EX  lim E ( X n  X )  lim E ( X n  X )2  n n x Mặt khác Cov( X n , X m )  X n , X m  ( EX n )( EX m ) nªn ta cã lim Cov( X n , X m )  X , X  ( EX )2 n,m  E ( X )2 ( EX )2 VarX Ng-ợc lại, giả sử (i) (ii) đ-ợc thỏa mÃn Khi tồ t¹i lim ( X n , X m )  lim Cov( X n , X m )  (lim EX n )(lim EX m )  c n,m n,m n m Mµ E X n  X m  X n  X m , X n  X m  Xn, Xn  Xn, Xn  Xm, Xm Do ®ã, ta cã lim E X n  X m  c  2c  c  n ,m Suy l.i.m X n X x 1.1.7 Định nghĩa T tập số nguyên thuộc khoảng (a, b) ; X t tT dÃy biến ngẫu nhiên đ-ợc xếp theo thứ tự T Chuỗi thời gian dÃy giá trị xt ; t T gồm thể dÃy biến ngẫu nhiên X t tT 1.2 Quá trình dừng Chuỗi thời gian dừng 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X (t ), t trình cấp X (t ) đ-ợc gọi trình dừng m(t ) Const (không phụ thuộc vào t ) hàm tự t-ơng quan r ( s, t ) chØ phơ thc vµo s  t Nh- X (t ), t T trình dõng vµ chØ khi: a) m(t )  m const b) Tồn hàm K (t ) cho r (s, t )  K (s  t ), s, t 1.2.2 Định nghĩa Quá tr×nh X (t ), t  hĐp) nÕu víi mäi h X (t đ-ợc gọi trình dừng mạnh (hay dừng theo nghĩa với t1 t2 tn phân phối đồng thời cña  h), X (t2  h), , X (tn  h) vµ cđa  X (t1 ), X (t2 ), , X (tn ) lµ nh- Hµm K (t ) đ-ợc gọi hàm tự t-ơng quan trình dừng cho K (s t ) r (s, t ) 1.2.3 Định nghĩa Giả sử X t , t T chuỗi thời gian cho VarX t ; t T Hàm tự hiệp ph-ơng sai X (.) đ-ợc xác định X (r, s) Cov( X r , X s )  E ( X r  EX r )( X s  EX s ); r, s T Hai biÕn ngÉu nhiªn X r , X s đ-ợc gọi không t-ơng quan nÕu  X (r , s)  1.2.4 Tính chất Hàm hiệp ph-ơng sai có tính chất: (i)  X (r , s)   X (s, r ) (Tính đối xứng) (ii) X (.) xác định không âm, tức là: n bib j X (ti , t j )  0; n  i , j 1 ; t1, , tn T ; b1, , bn 1.2.5 Định nghĩa Chuỗi thời gian X t , t đ-ợc gọi dừng điều kiện d-ới thỏa mÃn: (i) E X t  , t  , (ii) EX t  m, t  , (iii)  X (r , s)   X ( s  t , r  t ), t , r , s  1.2.6 Nhận xét Nếu chuỗi thời gian X t , t   dõng th×  X (r, s)   X (s  r,0), r, s Chính vậy, với chuỗi thời gian dừng định nghĩa lại hàm tự hiệp ph-ơng sai cách định nghĩa thông qua hàm biến Tức là, với chuỗi thời gian dừng X t , t hàm tự hiệp ph-ơng sai X (h) X (h,0)  Cov( X t h , X t ), t, h Hàm tự t-ơng quan chuỗi thời gian dừng X t , t đ-ợc định nghĩa dựa vào hàm hiệp ph-ơng sai nh- sau:  X ( h)   X ( h) : Corr ( X t h , X t ), t , h X (0) 1.2.7 Định nghĩa Chuỗi thời gian X t , t đ-ợc gọi dừng ngặt phân phối đồng thời cña ( X t1 , X t2 , , X tk )T vµ cđa ( X t h , X t nguyên d-ơng k, với t1, t2 , , tk , h T , , X t h ) h k lµ nh- nhau, víi mäi số 1.2.8 Mệnh đề Một chuỗi thời gian dừng ngặt, có mômen cấp hai hữu hạn chuỗi thời gian dừng Chứng minh Nếu chuỗi thời gian X t t dừng ngặt, chọn k định nghĩa trên, suy X t có phân phối với t Mặt khác E X t nên EX t VarX t số Hơn nữa, chọn k từ định nghĩa, suy X t , X t h có phân phối đồng thời giống h, t có hiệp ph-ơng sai giống Suy X t t chuỗi thời gian dừng Tuy nhiên điều ng-ợc lại không Thật xét Xt dÃy biến ngẫu nhiên độc lập X t có phân phối mũ với kỳ vọng t lẻ, có phân phối chuẩn với kỳ vọng ph-ơng sai t chẵn Thì Xt trình dừng X (0)  vµ  X (h)  0, h  Nh-ng X1, X có phân phối khác nên X t dừng ngặt Vậy ta có điều phải chứng minh 1.2.9 Định nghĩa Quá trình X t , t T đ-ợc gọi chuỗi thời gian Gauss hàm phân phối X t hàm phân phối Gauss nhiều chiều 1.2.10 Mệnh đề Nếu chuỗi thời gian Gauss dừng chuỗi thêi gian dõng ngỈt 10 Chøng minh ThËt vËy, X t chuỗi thời gian Gauss dừng nên n 1,2,3, h, t1, t2 , vectơ ngẫu nhiên ( X t1 , X t2 , , X tn )T vµ ( X t h , X t h , , X tn h )T cã chung ma trËn kú vọng ma trận hiệp ph-ơng sai Suy X t  cã cïng ph©n phèi VËy  X t trình dừng ngặt 1.2.11 Định nghĩa Giả sử chuỗi thời gian dừng X X t t có hàm hiệp ph-ơng sai X t X t h h ma trận  cã d¹ng  0      n1 n1 đ-ợc gọi ma trận hiệp ph-ơng sai cấp n chuỗi thời gian dừng X Ma trận R : đ-ợc gọi ma trận tự t-ơng quan cÊp n cña thêi gian dõng X 1.3 Quá trình nhân tự hồi quy AR(p) 1.3.1 Định nghĩa X t đ-ợc gọi trình nhân tự hồi quy cấp p viết X t AR(p) X t trình dừng thỏa m·n: X t  a1 X t 1  a2 X t 2   a p X t  p   t , a p  hay: a ( B) X t   t , (1.1) 17 khó khăn hơn, hạn chế khắc phục đ-ợc Nếu bỏ môt giá trị chuỗi thời gian đầu vào wavelet đầu đ-ợc thay đổi Tính decimated liệu không đồng nh- tr-ớc Ta nhận đ-ợc chung quanh vấn đề nhu cầu chi phí cho việc l-u trữ lớn hơn, ph-ơng tiện phần d- biến đổi wavelet phi c¬ sè 10 (non-decimated) Chóng ta sÏ xÐt mét biến đổi phần d- dựa chuỗi thời gian đầu vào có độ dài N có lớp phân giải có độ dài N mức phân giải Trong tình đó, dễ dàng liên kết thông tin mức phân giải với thời điểm Ta có bất biến chuyển dịch Cuối cùng, yêu cầu nhớ bổ sung không mức Một biến đổi wavelet phân tích tín hiệu X  ( X1, , X N ) thµnh mét tỉng cã d¹ng J X t  cJ ,t   w j ,t , (3.1) j 1 ®ã cJ l phiên thô trơn tín hiệu ban đầu X v w j biểu diễn cho "c¸c chi tiÕt cđa X " ë møc 2 j Nh- đầu thuật toán J dải có kích th-ớc N Víi sù chØ sè hãa nh- vËy, th× ë j t-ơng ứng với mức tốt (tần số cao nhÊt) 1 2 ThuËt to¸n Haar sử dụng lọc đơn gin h ( , ) H·y xem xÐt viƯc t¹o bËc phân giải wavelet Chúng ta lấy từ liệu vào cách ghép sau víi h NghÜa lµ: c j 1,t  0.5(c j ,t 2 j  c j ,t ) (3.2) w j 1,t  c j ,t  c j 1,t (3.3) v 18 Để phù hợp với công thøc (3.1) ta quy -íc X t  c0,t Từ hệ thức (3.1), (3.2), (3.3) quy -ớc X t c0,t ta có thuật toán để tính giá trị w j ,t nh- sau: Với t : ®Õn N tÝnh c0,t : X t Víi j : ®Õn J  Víi t : N ®Õn N  j  tÝnh c j 1,t  0.5(c j ,t 2 j  c j ,t ) w j 1,t  c j ,t  c j 1,t Trong tr-êng hỵp J  ta cã c1,t  0.5(c0,t 1  c0,t )  0.5( X t 1  X t ) c2,t  0.5(c1,t 2  c1,t )  0.5 0.5(c0,t 3  c0,t 2 )  0.5( c0,t 1  c0,t )   0.52  c0,t 3  c0,t 2  c0,t 1  c0,t   0.52  X t 3  X t 2  X t 1  X t  c3,t  0.5(c2,t 4  c2,t )  0.5 0.5  c1,t 6  c1,t 4   0.52  c0,t 3  c0,t 2  c0,t 1  c0, t    0.5 0.52  c0,t 7  c0,t 6  c0,t 5  c0,t 4   0.52  c0,t 3  c0,t 2  c0,t 1  c0,t    0.53  c0,t 7  c0,t 6    c0,t 1  c0,t   0.53  X t 7  X t 6    X t 1  X t T-ơng tự nh- ta đ-ợc c4,t  0.5(c3,t 8  c3,t )  0.54  c0,t 15  c0,t 14    c0,t 1  c0,t   0.54  X t 15  X t 14    X t 1  X t 19 Bây áp dụng (3.3) ta tính đ-ợc giá trị w j ,t Cơ thĨ lµ: w1,t  c0,t  c1,t  0.5( X t  X t 1) w2,t  c1,t  c2,t  0.5( X t 1  X t )  0.52  X t 3  X t 2  X t 1  X t   0.52  X t  X t 1  X t 2  X t 3  w3,t  c2,t  c3,t  0.52  X t 3  X t 2  X t 1  X t   0.53  X t 7  X t 6    X t 1  X t   0.53  X t  X t 1  X t 2  X t 3  X t 4  X t 5  X t 6  X t 7  w4,t  c3,t  c4,t  0.53  X t 7  X t 6    X t 1  X t   0.54  X t 15  X t 14    X t 1  X t   0.54  X t  X t 1    X t 7  X t 8  X t 9    X t 15 Nh- cho số mức phân giải J với j 1,2,3, , J ¸p dơng tht to¸n trªn ta cã thĨ tÝnh cJ ,t w j ,t theo công thức cJ ,t  0.5 w j ,t J J 1 X t i ,  i 0 j 1  j1 1   0.5   X t i   X t i   i 0  i 2 j 1   j Rõ ràng thời điểm t ta không sử dụng thông tin sau thời điểm t viƯc tÝnh to¸n hƯ sè wavelet Tht to¸n khác với biến đổi wavelet rời rạc bất biến (Coifman v Donoho, 1995) khác với dạng biến đổi wavelet rời rạc phủ cực đại (MODWT) đ-ợc mô tả Cohen cộng (1997) Nó t-ơng tự với thủ tục đ-ợc mô tả Percival v Walden (2000) Nó có -u điểm sau đây: Thực đơn giản Độ phức tạp tính toán O( N ) cho mức, thực tế số l-ợng mức số 20 Vì ta không dịch chuyển tín hiệu, hệ sè wavelet t¹i møc j bÊt kú cđa tÝn hiƯu ( X1, , X t ) ®óng b»ng víi t hệ số wavelet mức j tín hiÖu ( X1, , X N )( N  t ) Ưu điểm thứ hai nói lm cho thuận lợi thực hành Chẳng hạn, liệu đ-ợc cập nhật th-ờng xuyên (tức có đ-ợc giá trị mới) tính toán lại wavelet tín hiệu Hình d-ới cho thấy với J điểm ảnh tín hiệu đầu vo đ-ợc sử dụng ®Ĩ tÝnh to¸n hƯ sè wavelet ci cïng c¸c mức khác (bốn mức wavelet + mảng trơn) Tớn hiệu X Mức Biến đổi Wavelet Mức Mức Mức Mảng trơn w1,t w2,t w3,t w4,t c4,t Hình 1: Hình cho thấy điểm ảnh tín hiệu đầu vo đ-ợc sử dụng để tÝnh to¸n hƯ sè wavelet ci cïng c¸c møc khác Từ hình ta thấy hệ số wavelet thời điểm t đ-ợc tính toán từ mẫu tín hiệu thời điểm nhỏ t 21 3.3 Dự báo đa phân bậc tự hồi quy AR Trong phần ny, sư dơng ph©n tÝch ë (3.1) cđa tÝn hiƯu cho việc dự báo Thay sử dụng vectơ c¸c quan s¸t X  ( X1, , X N ) tr-ớc để dự đoán X N , chóng ta sÏ sư dơng biÕn ®ỉi wavelet Chóng ta tập trung vo loại dự báo tự hồi quy, nh-ng tỉng qu¸t hãa cho mét kiĨu dù b¸o bÊt kú thực tế l khó khăn Tr-ớc hết cần phải biết có v hệ số wavelet đ-ợc sử dụng cho lớp Mấu chốt biểu diễn thưa thông tin chứa phân tích Dựa vào lý thuyết đoán điều trở nên rõ rng, wavelet hệ số hàm phân bậc sử dụng cho dự báo thời điểm N có dạng w j , N 2 j (k 1) vμ cJ , N 2J (k 1) với k nguyên d-ơng, đ-ợc miêu tả hình Chú ý với N nhóm hệ số ny l phần biÕn ®ỉi trùc giao Tín hiệu X Mức Mức Biến đổi Wavelet Mức Mức Mảng trơn Hình 2: Các hệ số wavelet đ-ợc sử dụng để dự báo giá trị 22 3.3.1 Tín hiệu dừng Giả sử X tín hiệu dừng, X  ( X1, , X N ) §Ĩ giảm thiểu sai số bình phương trung bình nó, dự báo b-ớc trình AR(p) l p X N 1   k X N ( k 1) Việc ước lượng k ph-ơng pháp -ớc l-ợng hợp lý cực k đại (MLE), ph-ơng pháp Yule-Walker ph-ơng pháp bình phương tối thiểu, có sai số tiệm cận Để sử dụng phân tích, thay đổi dự báo thành dự báo đa phân bậc tự hồi quy: J Aj Aj 1 j 1 k 1 k 1 X N 1   a j ,k w j , N 2 j (k 1)   a J 1,k c J , N 2J ( k 1) , (3.4) ®ã W  w1, , wJ , cJ biĨu diƠn cho mét biÕn ®ỉi Haar wavelet cđa J X ( X   w j  cJ ) Chẳng hạn, chọn Aj cho tất mức phân giải j dẫn j ®Õn dù b¸o J X N 1   a j w j , N  a J 1cJ , N j 1 (3.5) Khi sư dơng Aj  cho tất mức phân giải j v biÕn đổi wavelet víi năm møc ®ã cã mức wavelet( J ) mảng trơn công thức dự báo (3.4) đ-ợc viết cách t-êng minh nh- sau: X N 1   (a j ,1w j , N  a j ,2 w j , N 2 j )  a5,1c4, N  a5,2c4, N 16 j 1  a1,1w1, N  a1,2 w1, N 2  a 2,1w2, N  a 2,2 w2, N 4  a3,1w3, N  a3,2 w j , N 8   a 4,1w4, N  a 4,2 w4, N 16  a5,1c4, N  a5,2 c4, N 16 23 Trong tr-êng hỵp này, chØ có m-ời hệ số đ-ợc sử dụng, là: w1,N , w1, N 2 , w2,N , w2, N 4 , w3,N , w3, N 8 , w4,N , w4, N 16 , c4, N , c4, N 16 ®iỊu đ-ợc minh họa cụ thể hình d-ới ®©y: X N 1 Tín hiệu X w1,N w2,N w3,N w4,N Mức Biến đổi Wavelet Mức Mức Mức Mảng trơn w4, N 16 c4, N 16 w3, N 8 w2, N 4 w1, N 2 c4, N Hình 3: Hình cho thấy hệ số wavelet đ-ợc sử dụng để dự báo thời ®iĨm N  tr-êng hỵp Aj  mét biÕn đổi wavelet víi năm møc ®ã cã møc wavelet( J  ) vµ mét mảng trơn Từ dễ dàng đ-a dự báo dài hạn, cách tăng số l-ợng mức biến đổi wavelet, cách tăng cấp tự hồi quy mức cuối cùng, nh-ng víi mét sè rÊt Ýt c¸c tham sè bỉ sung Xa nữa, để liên kết ph-ơng pháp với dự báo dựa mô hình AR thông th-ờng, ý lớp hệ số trƠ theo mét AR( A j ), viƯc bỉ sung dự báo theo mức dẫn đến công thức dự báo (3.4) Mô hình dự báo tự hồi quy đa phân bậc mô hình thực tuyến tính Tuy nhiên dễ dàng mở rộng mô hình cho mô hình bất kỳ, tuyến tính phi tuyến tính mà sư dơng c¸c hƯ sè w j , N cJ , N để dự báo tín hiệu 24 t-ơng lai Chẳng hạn, mục mạng nơron với hệ số làm đầu vo v với X N kết đầu đ-ợc thảo luận J Để ước lượng Q A j mà ch-a biết tham số đ-ợc nhãm mét j 1 vect¬  , chóng ta giải phương trình chuẩn tắc A/ A A/ S theo ph-ơng pháp bình ph-ơng tối thiểu, với: A/  ( LN 1, , LN M ), Lt/  (w1,t , , w1,t 2 A1 , , w2,t , , w2,t 22 A , , wJ ,t , , wJ ,t 2J A , cJ ,t , , cJ ,t 2J A ), J J 1   (a1,1, , a1, A1 , a2,1, , a2, A2 , aJ ,1, , aJ , Aj , aJ 1,1, , aJ 1, Aj1 ), / S /  ( X N , , X t 1, , X N  M 1 ) Chó ý r»ng A lμ mét ma trËn cÊp Q  M ( M hμng Lt , Q cột), v S tương ứng vectơ Q vμ M chiỊu, vμ Q lín h¬n M Khoảng dự báo đạt từ phân tích đa phân bậc cách làm t-ơng tự phương pháp sử dụng mức Trong trường hợp mô hình đa phân bậc tự hồi quy, theo công thức dự báo (3.4) v giả thiết nhiễu Gauss khoảng tin cậy X N đ-ợc cho X N  Z (1   / 2)  , z l đại l-ợng có phân phối chuẩn hóa v l ước lượng sai số tiêu chuẩn nhiễu Một lựa chọn đ-ợc cho bậc hai ( A S )/ ( A  S ) / (M  Q) 3.3.2 Tín hiệu với khuynh trơn khúc Dự báo mơc tr-íc rÊt tèt ®èi víi mét tÝn hiƯu cã trung bình không Khi khuynh xuất hiện, có vài ph-ơng pháp loại bỏ khuynh tr-ớc tiến hành phân tích Theo phân tích đa phân bậc, khai thác lợi phân tích đa phân bậc tự động tách khuynh khỏi tín hiệu Vì đề xuất để dự báo cho khuynh phần ngẫu nhiên phân tích đa phân bậc ý t-ởng 25 là, nhiều tr-ờng hợp, khuynh tác động đến thành phần có tần số thấp, thành phần có tần số cao túy ngẫu nhiên Do tách tín hiệu X thành hai phần: phần tần số thấp L phần tần sè cao H : L  cJ J H  X  L   wj j 1 X N LN H N Vectơ đà đ-ợc làm trơn biến đổi wavelet đ-ợc loại bỏ tr-ớc tiên khỏi tín hiệu đ-ợc tín hiệu H có trung bình không Sự dự báo tổng đồng thời hai giá trị dự báo, dự báo tín hiệu H mô hình đa phân bậc tự hồi quy, v thứ hai dự báo thành phần có tần số thấp ph-ơng pháp khác Mô hình đa phân bậc tự hồi quy đ-ợc cho bëi: J J H N 1    a j w j , N 2 j ( k 1) j j (3.6) J Ước l-ợng cđa c¸c tham sè ch-a biÕt Q   Aj đ-ợc thực nh- tr-ớc, ngoại trừ j hệ số c không đ-ợc sử dụng Li v S l dựa H t Nhiều ph-ơng pháp đ-ợc sử dụng cho dự báo LN Đối với khuynh trơn, toán đơn giản L trơn Ng-ời ta th-ờng xấp xỉ L đa thức bậc Bây cấp tự hồi quy mức khác cần phải đ-ợc xác định Một tối -u toàn cục cho mäi tham sè A j , sÏ lµ mét ph-ơng pháp lý t-ởng, nh-ng tốn tính toán Tuy nhiên, tần số đ-ợc sử dụng không chồng chéo lên lớp, cã thĨ xem xÐt lùa chän c¸c tham sè A j cách độc lập lớp Điều thực đ-ợc ph-ơng pháp chuẩn tắc, dựa ph-ơng pháp AIC, AICC, BIC (Shumway Stoffer, 1999) 26 3.4 Sù héi tơ Ph-¬ng pháp đ-ợc đề xuất đ-ợc xem nh- nguyên lý tổng quát đ-ợc áp dụng cách thực tế cho mô hình chuỗi thời gian Chẳng hạn, thay áp dụng mô hình tự hồi quy AR cho liệu thô, đề xuất áp dụng mô hình tự hồi quy cho lớp biến đổi đa phân giải Định lý sau thực trình tự hồi quy, thủ tục dự báo chóng t«i sÏ héi tơ vỊ thđ tơc tèi -u chí t-ơng đ-ơng tiệm cận với dự báo tốt Định lý Giả sử X t trình nhân tự hồi quy cÊp p (AR(p)) víi tham sè:  '  (1, , p ) Cã nghÜa lµ: X t  1 X t 1   p X t  p t t ồn trắng Nếu cấp Aj đ-ợc chọn lớp lớn p / j với j 1, , J vµ AJ 1  p / 2J mô hình đa phân giải thõa mÃn điều với kích th-ớc mẫu tăng, có tính chất tiệm cËn: N1/2 (   )  N (0, ( R/W B/ BW B R)1) , ®ã  đ-ợc xác định mục (3.2) bng , B   (t  k )t ,k 1, ,B lµ ma trận tự hiệp ph-ơng sai với l tự hiệp ph-ơng sai chuỗi trễ l , R,W B B liên quan đến biến đổi wavelet, đ-ợc xác định chứng minh Tham số hệ số dự báo ruyến tính tốt ca X t dựa quan sát tr-ớc Chứng minh Đầu tiên -ớc l-ợng đ-ợc viết ( A/ A)1 A/ S Đặt TP (S1, , S p ) ®ã St/  ( X N t , , X N M t 1) Vì tín hiệu tuân theo trình AR(p), ta có 27 thể viết S  Tp   , ®ã  /  ( N , , N M 1) sai số không t-ơng quan chuỗi Giả sử B số bé thỏa mÃn điều kiện j Aj  2B  J AJ 1 víi mäi j  1, , J Gi¶ sư W B ma trận cấp B B biến đổi wavelet trực giao với sở Harr J lớp wavelet Đối với thời điểm t đà cho, biểu diễn biến đổi trực giao bé có chứa tất hệ số Lt Ma trận  một phần (th-êng lµ nhá) W B Đặt ma trận p cột W B Tại thời điểm t , cho phép khôi phục p giá trị ( X t , , X t  p1) tõ B hệ số biến đổi trực giao Tuy nhiên, không cần tất B hệ số, điều kiện Aj p / j nên hệ số Lt đủ (tất hệ số khác không ma trận ) Do ®ã ®Ĩ cã ®-ỵc ma trËn  cÊp Q  p ta xóa hết hàng mà không t-ơng ứng với phần tử Lt Ta cã ( X t , , X t  p1)/  / Lt víi mäi t B»ng việc đối chiếu A v T p , ph-ơng trình tr-ớc viết lại Tp A đ-ợc dùng để xác định tham số  Ta cã N1/2 (   )  N1/2 ( A/ A)1 A/ (Tp   )     N1/2 ( A/ A)1 A/ ( A   )     N ( A/ A)1( N 1/2 A/ ) Đặt Ut t Lt Râ rµng N N 1/2 A/  N 1/2 Ut t 1 L-u ý r»ng c¸c phần tử Lt phụ thuộc vào quan sát tr-ớc X t nên độc lập với t Do ®ã E(Ut )  E(UtUl' )  víi mäi t  l §Ĩ tÝnh hiệp ph-ơng sai 28 U t , tr-ớc tiên ta xác định ma trận R cấp B Q cách chọn hàng W B t-ơng ứng với phần tử Lt Nó bao gồm số số Giả sử X t/  ( X t , , X t B1) , ta cã Lt/  X t/W B R B©y giê, E(UtUl/ )   E( Lt Lt/ )   E( R/W B/ X t/ X tW B R)   R/W B/ BW B R Chøng minh tÝnh chn t¾c tiƯm cËn cđa tỉng cđa U t t-¬ng tù nh- chøng minh mƯnh ®Ò 8.10.1 Brockwell Davis (1991), nã kÐo theo N 1/2 A/  N (0, R/W B/ BW B R) Nếu ta xác định TB c¸ch víi T p nh-ng víi B cét, ta cã A  TBW B R N 1 AA/  N 1R/W B/TB/ TBW B R  R/W B/ BW B R theo xác suất v hội tụ theo xác suất đến ( R/W B/ BW B R)1 Bởi định lý Slutsky, ta có đ-ợc kết đà nêu Cuối hệ số dẫn đến dự báo nh- với mô hình tham số Định lý chØ r»ng -íc l-ỵng héi tơ tíi tham sè dẫn đến dự báo tốt nhất, trình nói tới tự hồi quy Tuy nhiên mô hình không thực tự hồi quy, có hệ số mức phân giải thấp có tự hiệp ph-ơng sai nhiều trễ cao hơn, nh- đà đ-ợc ma trận B kết định lý L-u ý r»ng B cã thĨ rÊt lín sè l-ợng hệ số mô hình hợp lý 29 Kết luận Luận văn đà trình bày đ-ợc nội dung sau: Trình bày đ-ợc cách có hệ thống số khái niệm tính chất trình ngẫu nhiên chuỗi thời gian Hệ thống số khái niệm tính chất trình dừng chuỗi thời gian dừng Nêu định nghĩa chứng minh số đặc tr-ng trình nhân tự hồi quy cấp p (AR(p)) Trình bày kiến thức Wavelet rời rạc nh-: định nghĩa, wavelet rời rạc trực giao, biến đổi ng-ợc wavelet rời rạc trực giao Xây dựng đ-ợc ph-ơng pháp dự báo chuỗi thời gian wavelet qua phân tích đa phân giải tín hiệu hội tụ ph-ơng pháp theo h-ớng dự báo tối -u tr-ờng hợp tự hồi quy H-ớng mở luận văn: Tiếp tục nghiên cứu để mở rộng mô hình cho mô hình bất kỳ, tuyến tính phi tuyến tính mà sử dụng hÖ sè w j , N cJ , N để dự báo tín hiệu t-ơng lai 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu Nguyễn Hữu D- (2003), Phân tích thống kê dự báo, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Chuỗi thời gian Phân tích nhận dạng, NXB khoa häc vµ kü tht Hµ Néi [3] Ngun Duy Tiến - Đặng Hùng Thắng (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng (Phần II: Quá trình dừng ứng dụng), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Brockwel, P.J and Davis, R.A (1991), Time Series: Theory and method [5] Chui, C.H (1992), Wavelet Analysis and Its Applications [6] Cohen, I., Raz, S and Malah, D (1997), Orthonormal and shif-invariant wavelet packet decompositions, Signal Processing [7] Coifman, R.R and Donoho, D.L (1995), Wavelet and Statistics [8] Daubechies, I (1992), Ten Lectures on Wavelets [9] Dutilleux, P (1987), Wavelets: Time Frequency Methods and PhaseSpace [10] Fryzlewicz, P - Van Bellegem, S - Von Sachs, R (2002), Forecasting nonstationary time series by wavelet process modelling [11] Mallat, S and Falzon, F (1998), Analysis of low bit rate image transform coding, IEEE Transactions on Signal processing [12] Percival, D.B and Walden, A.T (2000), Wavelet Methods for Time series Analysis [13] Shena, M.J (1992), Discrete wavelet transform: IEEE Transactions on Signal processing 31 [14] Shumway, R.H and Stoffer, D.S (1999), Time Series Analysis and Its Applications [15] Valens, C (1999), A Really Friendly Guide to Wavelet [16] Vidakovic, B (1999), Statistical Modeling by Wavelet ... Trình bày khái niệm wavelet rời rạc Ch-ơng Dự báo chuỗi thời gian Wavelet Đây nội dung luận văn Trong ch-ơng trình bày ph-ơng pháp dự báo chuỗi thời gian wavelet Ph-ơng pháp dựa phân tích đa phân... đổi wavelet ng-ợc wavelet rời rạc (2.4) 16 Ch-ơng Dự báo chuỗi thời gian wavelet 3.1 Giới thiệu Trong ch-ơng trình bày ph-ơng pháp dự báo chuỗi thời gian wavelet Ph-ơng pháp dựa phân tích đa phân... nhiên đó, chuỗi thời gian dÃy thể (hay phần thể hiện) dÃy biến ngẫu nhiên Nếu thời gian quan sát liên tục ta có chuỗi thời gian liên tục Nếu thời gian quan sát rời rạc ta có chuỗi thời gian rời