Dự báo chuỗi thời gian bằng wavelet

MC LC Trang Mở đầu .2 Chơng 1. Đại cơng về chuỗi thời gian và quá trình tự hồi quy AR .4 1.1. Quá trình ngẫu nhiên và chuỗi thời gian 4 1.2. Quá trình dừng và Chuỗi thời gian dừng .7 1.3. Quá trình nhân quả tự hồi quy AR(p) 10 Chơng 2. Wavelet 13 2.1. Giới thiệu về wavelet .13 2.2. Wavelet rời rạc 13 Chơng 3. Dự báo chuỗi thời gian bằng wavelet .16 3.1. Giới thiệu 16 3.2. Các wavelet và dự báo 16 3.3. Dự báo tự hồi quy đa phân bậc AR 21 3.4. Sự hội tụ .26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo .30 1 Mở đầu Trong những năm gần đây lý thuyết Wavelet xâm nhập mạnh mẽ vào các ngành khoa học đặc biệt là ngành Toán ứng dụng với các mô hình dự báo chuỗi thời gian. Việc làm này trở thành những yếu tố cần thiết trong mọi hoạt động của con ngời và ngày càng đợc ứng dụng sâu rộng trong các lĩnh vực kinh tế, viễn thông, y học và các lĩnh vực xã hội khác. Việc nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian bằng wavelet đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn rộng lớn. Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Dự báo chuỗi thời gian bằng wavelet. Luận văn đợc trình bày trong 3 chơng: Chơng 1. Đại cơng về chuỗi thời gian và quá trình tự hồi quy AR Chơng này trình bày những khái niệm cơ bản và các công cụ toán học cần thiết để nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên, chuỗi thời gian và quá trình nhân quả tự hồi quy AR(p). Chơng 2. Wavelet Trình bày các khái niệm cơ bản về wavelet rời rạc. Chơng 3. Dự báo chuỗi thời gian bằng Wavelet Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chơng này chúng tôi trình bày một phơng pháp dự báo chuỗi thời gian bằng wavelet. Phơng pháp này dựa trên một phân tích đa phân giải của tín hiệu, khi dùng phần d của biến đổi wavelet thì có lợi thế là nó bất biến qua phép dịch chuyển. Tín hiệu sẽ đợc phân tích thành một loạt các lớp tần số. Dự báo đợc dựa trên một số ít các hệ số của mỗi một lớp tần số ấy. ở dạng đơn giản nhất nó là một dự báo tuyến tính dựa trên một biến đổi wavelet của tín hiệu. Kết quả đạt đợc là chỉ ra sự hội tụ của phơng pháp theo hớng dự báo tối u trong trờng hợp tự hồi quy. 2 Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của Tiến sỹ Nguyễn Trung Hòa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Toán của trờng Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS TrầnXuân Sinh, PGS.TS Phan c Th nh, TS Lê Hồng Sơn, quý thầy cô khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh, các bạn học viên cao học Toán khoá 15 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý để tác giả hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 nm 2009 Tác gi Chơng 1 3 Đại cơng về chuỗi thời gian và quá trình tự hồi quy ar 1.1. Quá trình ngẫu nhiên và chuỗi thời gian Bớc đầu tiên của việc phân tích một chuỗi thời gian là chọn một mô hình toán học hay một lớp mô hình toán học thích hợp với tập dữ liệu X . Để có thể nói về bản chất của những quan sát cha diễn ra, ta giả thuyết mỗi quan sát t x là một giá trị thể hiện của một biến ngẫu nhiên t X nào đó. Khi đó chuỗi thời gian { } 0 , t X t T là một họ các biến ngẫu nhiên { } 0 , t X t T . Nh thế, có thể xem dữ liệu { } 1 2 , , ., n x x x=X là một thể hiện của một quá trình ngẫu nhiên { } 0 , t X t T T . Nếu xem một giá trị quan sát t x là thể hiện của biến ngẫu nhiên nào đó, thì chuỗi thời gian chính là dãy các thể hiện (hay một phần của thể hiện) của dãy các biến ngẫu nhiên. Nếu thời gian quan sát là liên tục ta có chuỗi thời gian liên tục. Nếu thời gian quan sát rời rạc ta có chuỗi thời gian rời rạc. 1.1.1. Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên { } , t X t T xác định trên không gian xác suất ( ) , ,P F . 1.1.2. Định nghĩa Giả sử ( ),X t t T là quá trình ngẫu nhiên. Nếu T = Ă hoặc T + = Ă thì ( )X t gọi là quá trình với thời gian liên tục. Nếu T =  hoặc T + =  thì ( )X t gọi là quá trình với thời gian rời rạc. 1.1.3. Định nghĩa 4 Quá trình ( ),X t t T gọi là quá trình cấp 2 nếu 2 ( ) ,E X t t T< . Ký hiệu ( ) 2 , ,L P F là không gian Hilbert các đại lợng ngẫu nhiên X thoã mãn 2 E X < với tích vô hớng , ( ) ( )X Y X Y dP = . Sự hội tụ trong ( ) 2 , ,L P F đợc gọi là hội tụ bình phơng trung bình tức là n X hội tụ về X nếu 2 lim ( ) 0 n x E X X = . Ký hiệu l.i.m n n X X = . 1.1.4. Định nghĩa Giả sử t X là một quá trình cấp 2. Hàm trung bình của ( )X t đợc định nghĩa là ( ) ( ( ))m t E X t= . Hàm tự hiệp phơng sai của ( )X t đợc định nghĩa là ( , ) ( ( ), ( ))r s t Cov X s X t= ( ) ( ) ( ) ( )EX s X t m s m t= . 1.1.5. Định nghĩa Một dãy ngẫu nhiên đợc định nghĩa là một ánh xạ :h Ă sao cho 1 0 1 ( ) ( ., ( ), ( ), ( ), .)h X X X = trong đó : t X + Ă Ă là những hàm tọa độ. { } t X + gọi là dãy ngẫu nhiên. 1.1.6. Mệnh đề Nếu ( ) n X là dãy các đại lợng ngẫu nhiên thõa mãn 2 n E X < thì điều kiện cần và đủ để tồn tại l.i.m n x X X = là: (i) Tồn tại lim n n EX EX = . 5 (ii) Tồn tại , lim ( , ) n m n m Cov X X VarX = . Chứng minh Giả sử tồn tại l.i.m n x X X = . Khi đó theo bất đẳng thức Schwarz ta có 2 lim lim ( ) lim ( ) 0 n n n n n x EX EX E X X E X X = = . Mặt khác ( , ) , ( )( ) n m n m n m Cov X X X X EX EX= nên ta có 2 , lim ( , ) , ( ) n m n m Cov X X X X EX = 2 2 ( ) ( )E X EX VarX= = . Ngợc lại, giả sử (i) và (ii) đợc thỏa mãn. Khi đó tồ tại , , lim ( , ) lim ( , ) (lim )(lim ) n m n m n m n m n m n m X X Cov X X EX EX c = + = . Mà 2 , n m n m n m E X X X X X X = , 2 , , n n n n m m X X X X X X= + . Do đó, ta có 2 , lim 2 0 n m n m E X X c c c = + = Suy ra l.i.m n x X X = . W 1.1.7. Định nghĩa T là tập các số nguyên thuộc khoảng ( , )a b Ă ; { } t t T X là dãy các biến ngẫu nhiên đợc sắp xếp theo thứ tự trên T. Chuỗi thời gian là dãy các giá trị { } ; t x t T gồm các thể hiện của dãy biến ngẫu nhiên { } t t T X . 1.2. Quá trình dừng và Chuỗi thời gian dừng 1.2.1. Định nghĩa 6 Giả sử ( ),X t tĂ là quá trình cấp 2. ( )X t đợc gọi là một quá trình dừng nếu ( )m t Const= (không phụ thuộc vào t ) và hàm tự tơng quan ( , )r s t chỉ phụ thuộc vào s t . Nh vậy ( ),X t t T là một quá trình dừng khi và chỉ khi: a) ( )m t m const= = . b) Tồn tại hàm ( )K t sao cho ( , ) ( ), ,r s t K s t s t= Ă . 1.2.2. Định nghĩa Quá trình ( ),X t tĂ đợc gọi là quá trình dừng mạnh (hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi hĂ và với mọi 1 2 . n t t t< < < phân phối đồng thời của { } 1 2 ( ), ( ), ., ( ) n X t h X t h X t h+ + + và của { } 1 2 ( ), ( ), ., ( ) n X t X t X t là nh nhau. Hàm ( )K t cũng đợc gọi là hàm tự tơng quan của quá trình dừng sao cho ( ) ( , )K s t r s t = . 1.2.3. Định nghĩa Giả sử { } , t X t T là chuỗi thời gian sao cho ; t VarX t T< . Hàm tự hiệp phơng sai (.) X đợc xác định bởi [ ] ( , ) ( , ) ( )( ) ; , r s r r s s X r s Cov X X E X EX X EX r s T = = . Hai biến ngẫu nhiên , r s X X đợc gọi là không tơng quan nếu ( , ) 0 X r s = . 1.2.4. Tính chất Hàm hiệp phơng sai có tính chất: (i) ( , ) ( , ) X X r s s r = (Tính đối xứng). (ii) (.) X xác định không âm, tức là: 1 1 , 1 ;( , ) 0 ; , ., ; , ., n n n i j i j X i j bb t t n t t T b b = Ơ Ă . 7 1.2.5. Định nghĩa Chuỗi thời gian { } , t X t đợc gọi là dừng nếu 3 điều kiện dới đây thỏa mãn: 2 , ( , ) ( , ), ( ) , , ( ) , ( ) , , . t t X X m r s s t r t i E X t ii EX t iii t r s = = + + <    1.2.6. Nhận xét Nếu chuỗi thời gian { } , t X t dừng thì ( , ) ( ,0), , X X r s s r r s =  . Chính vì vậy, với một chuỗi thời gian dừng thì có thể định nghĩa lại hàm tự hiệp phơng sai bằng cách chỉ định nghĩa thông qua hàm một biến. Tức là, với chuỗi thời gian dừng { } , t X t thì hàm tự hiệp phơng sai là ( ) ( ,0) ( , ), , X X t t h h h Cov X X t h + = =  . Hàm tự tơng quan của chuỗi thời gian dừng { } , t X t đợc định nghĩa dựa vào hàm hiệp phơng sai nh sau: ( ) ( ) : ( , ), , (0) X X t t h X h h Corr X X t h + = =  . 1.2.7. Định nghĩa Chuỗi thời gian { } , t X t đợc gọi là dừng ngặt nếu phân phối đồng thời của 1 2 ( , , ., ) k T t t t X X X và của 1 2 ( , , ., ) k T t h t h t h X X X + + + là nh nhau, với mọi số nguyên d- ơng k, với mọi , 1 2 ,, ., k t t t h . 1.2.8. Mệnh đề 8 Một chuỗi thời gian dừng ngặt, có mômen cấp hai hữu hạn là một chuỗi thời gian dừng. Chứng minh Nếu chuỗi thời gian { } t t X  là dừng ngặt, chọn 1k = trong định nghĩa trên, suy ra t X có cùng phân phối với mọi t  . Mặt khác 2 t E X < nên t EX và t VarX là các hằng số. Hơn nữa, chọn 2k = từ định nghĩa, suy ra , t t h X X + có cùng phân phối đồng thời giống nhau ,h t  và do đó có hiệp phơng sai giống nhau. Suy ra { } t t X  là chuỗi thời gian dừng. Tuy nhiên điều ngợc lại không đúng. Thật vậy xét { } t X là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và t X có phân phối mũ với kỳ vọng 1 nếu t lẻ, có phân phối chuẩn với kỳ vọng 1 phơng sai 1 nếu t chẵn. Thì { } t X là quá trình dừng vì (0) 1 X = và ( ) 0, 0 X h h = . Nhng 1 2 ,X X có phân phối khác nhau nên { } t X không thể dừng ngặt. Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.2.9. Định nghĩa Quá trình { } , t X t T đợc gọi là chuỗi thời gian Gauss nếu và chỉ nếu các hàm phân phối của { } t X là hàm phân phối Gauss nhiều chiều. 1.2.10. Mệnh đề Nếu chuỗi thời gian Gauss là dừng thì nó là chuỗi thời gian dừng ngặt. 9 Chứng minh Thật vậy, vì { } t X là chuỗi thời gian Gauss và dừng nên { } 1,2,3, .n và 1 2 , , , .h t t  các vectơ ngẫu nhiên 1 2 ( , , ., ) n T t t t X X X và 1 2 ( , , ., ) n T t h t h t h X X X + + + có chung ma trận kỳ vọng và ma trận hiệp phơng sai. Suy ra { } t X có cùng phân phối. Vậy { } t X là quá trình dừng ngặt. 1.2.11. Định nghĩa Giả sử chuỗi thời gian dừng { } t t X X =  có hàm hiệp phơng sai giữa t t h X X + và là h thì ma trận có dạng 0 1 1 0 n n ữ = ữ ữ L M L M L đợc gọi là ma trận hiệp phơng sai cấp n của chuỗi thời gian dừng X . Ma trận 0 1 :R = đợc gọi là ma trận tự tơng quan cấp n của thời gian dừng X . 1.3. Quá trình nhân quả tự hồi quy AR(p) 1.3.1. Định nghĩa t X đợc gọi là một quá trình nhân quả tự hồi quy cấp p viết là AR(p) t X : nếu t X là một quá trình dừng thỏa mãn: 1 1 2 2 . , 0 p p pt t t t t X a X a X a X a = (1.1) hay: ( ) t t a B X = , 10