Khảo sát phương trình truyền nhiệt trong một thanh hữu hạn thông qua một số bài tập trong vật lí toán

LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới giáoNguyễn Thị Ngọc-ngƣời thầy ln tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giáo Bộ môn vật lý Khoa Khoa học tự nhiên,Trƣờng Đại học Hồng Đức giảng dạy suốt bốn năm qua cung cấp cho em kiến thức bổ ích Cuối xin cảm ơn quan tâm, động viên gia đình, bạn bè suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Thanh hóa, tháng năm 2017 Sinh viên Lê Thị Huế i MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Giả thiết khoa học Phạm vi nghiên cứu Đóng góp luận văn Bố cục khóa luận PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Khá niệm tập vật lý 1.2 Vai trò tác dụng tập vật lý 1.3 Cơ sở định hƣớng tập vật lý 1.4 Phƣơng pháp giải tập vật lý 1.5 Kết luận CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TUYỀN NHIỆT 10 CHƢƠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP 15 Dạng 1: Giải phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn khơng có nguồn nhiệt, có nhiệt độ mút 15 Dạng 2: Giải phƣơng trình truyền nhiệt đầu đầu không đổi 25 Dạng 3: Dạng tập phƣơng trình truyền nhiệt có đầu cách nhiệt, đầu luôn giữ nhiệt độ không 30 ii Dạng 4: Dạng tập truyền nhiệt hai đầu luôn khác không đổi 37 CHƢƠNG :BÀI TẬP VẬN DỤNG 39 PHẦN KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 iii PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học ngành khoa học khơng phục vụ cho phát triển mà trở thành công cụ cho việc phát triển ngành khoa học khác có Vật lý Mơn Phƣơng pháp Vật lý - Tốn mơn khó đặc biệt phần phƣơng trìnhTốn Lý bạn sinh viên khoa Vật lý ngành kĩ thuật có liên quan trƣờng Đại Học KHTN trƣờng Đại học kĩ thuật nƣớc Mối liên hệ đại lƣợng vật lý tự nhiên phức tạp nhƣng có quy luật Do vậy, mục đích tìm đƣợc mối liên hệ có quy luật Thực tế, nghiên cứu môn học học phần Vật lý sinh viên gặp nhiều khó khăn Với kiến thức toán cao cấp kiến thức phổ thông dã học không đủ đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu môn học học phần Vật lý nhƣ: Điện động lực, nhiệt động lực, học lƣợng tử, vật lý thống kê … Khi học môn này, sinh viên thƣờng xuyên phải thành lập giải phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng Vì vậy, yêu cầu đặt cho sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số giải tích tốn học với kiến thức mơn phƣơng pháp tốn lý, nghiên cứu sâu môn học Do vậy, môn Phƣơng pháp tốn lý có vị trí vai trị quan trọng việc học tập nghiên cứu vật lý Để tìm hiểu đƣợc lí thuyết cần có hỗ trợ lớn hệ thống tập, ngồi tập có tính chất áp dụng trực tiếp lí thuyêt vào đối tƣợng cụ thể, cịn có tập tìm hiểu sâu nội dung mơn học, địi hỏi khơng có kĩ mà cịn phải có phƣơng pháp, thói quen tƣ mới, có sáng tạo Trong tài liệu tham khảo có trình bày lời giải số tốn phƣơng trình Tốn lý Tuy nhiên, số lƣợng ví dụ mẫu cịn hạn chế, dẫn phƣơng pháp giải nặng tính khái qt, thiếu cụ thể Trong tập phƣơng trình tốn lý phong phú đa dạng Vì thế, sinh viên cịn gặp nhiều khó khăn việc giải phƣơng trình Tốn lý Mặt khác trình độ kiến thức cịn hạn chế chƣa biết cách vận dụng kiến thức vào tập, trình độ tƣ chƣa cao… từ làm giảm khả tiếp nhận kiến thức vật lý sinh viên Trong đó, mơn phƣơng trình tốn lý nói riêng mơn vật lý nói chung việc nắm vững kiến thức lý thuyết, tập đóng vai trị quan trọng mà học phần có nhiều dạng tập, lại có nhiều phƣơng án giải đòi hỏi sinh viên lựa chọn phƣơng pháp giải phù hợp với dạng Ví dụ nhƣ tập phƣơng trình truyền nhiệt có phƣơng pháp nhƣ sau: phƣơng pháp tách biến Furie, phƣơng pháp biền đổi Laplace,phƣơng pháp hàm Green, phƣơng pháp hàm Besel phƣơng pháp có ƣu điểm hạn chế riêng Quá trình học tập Trƣờng Đại học Hồng Đức, sinh viên sƣ phạm Vật lý đƣợc học môn Phƣơng trình Vật lý -Tốn mơn tƣơng đối khó với sinh viên sƣ phạm Vật lý, có tốn phƣơng trình truyền nhiệt Vì vậy, khơng để giải tốn mà cịn giúp cho sinh viên ôn tập mở rộng thêm kiến thức điểm khởi đầu để dẫn dắt sinh viên đến với kiến thức mới, giúp rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn giúp cho sinh viên tƣ sáng tạo,giáo viên kiểm tra đƣợc mức độ nắm vững kiến thức sinh viên Chính vậy, tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Khảo sát phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn thông qua số tập vật lí - tốn” Các tập phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn phân làm dạng tập sau:  Dạng 1: Giải phƣơng trình truyền nhiệt thành bên cách nhiệt đầu mút giữ nhiệt độ  Dạng 2: Khảo sát phân bố nhiệt độ hữu hạn ,khơng có nguồn nhiệt, đầu luôn giữ nhiệt độ đầu =Const  Dạng 3: tập phƣơng trình truyền nhiệt có đầu x=0 cách nhiệt,một đầu luôn giữ nhiệt độ  Dạng 4: Dạng tập đầu cách nhiệt đầu ln ln giữ nhiệt độ khơng đổi Mục đích nghiên cứu - Mong muốn cho sinh viên hiểu sâu phƣơng trinh vật lí - tốn đặc biệt tìm lời giải cho tốn phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn nhằm phục vụ tốt cho việc học tập phần phƣơng trình truyền nhiệt - Làm sở cho môn học khác ngành vật lý lý thuyết khác nhƣ: vật lý thống kê, lƣợng tử, điện tử… Nhiệm vụ - Nhắc lại số kiến thức quan trọng phép biến đổi Furie Toán cho Vật lý số kiến thức biến đổi phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn - Ứng dụng phép biến đổi Furie để giải tập phƣơng trình truyền nhiệt Đối tƣợng nghiên cứu - Cở lí luận tập vật lý - Cơ sở toán học cho phƣơng pháp Furie - Các tập phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn Phƣơng pháp nghiên cứu - Do đặc thù môn học nên em chọn cho phƣơng pháp nghiên cứu lí thuyết tập ứng dụng - Sƣu tầm, đọc tài liệu sách báo, internet, tập hợp tài liệu liên quanđến khóa luận sử dụng cơng cụ tốn học để tính tốn hệ thống hóa tập cách logic nhằm đạt mục đích đề - Phƣơng pháp phân tích - Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên Giả thiết khoa học - Từ kiến thức phƣơng pháp giải toán cho mơn tốn cho phần tốn phƣơng trình truyền nhiệt, có phƣơng pháp đầy đủ thơng dụng để nhớ phƣơng pháp Phạm vi nghiên cứu - Giáo trình phƣơng pháp tốn lí - Lí thuyết phƣơng trình vi phân cấp - Sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie để giải tập phƣơng trình truyền nhiệt Đóng góp luận văn - Làm tài liệu tham khảo cho giảng viên sinh viên - Góp phần nghiên cứu kết học tập học phần Phƣơng pháp tốn lí cho sinh viên - Có triển vọng ứng dụng học tập mơn Vật lý bậc đại học áp dụng phƣơng pháp Furie để giải số toán phƣơng trình truyền nhiệt Bố cục khóa luận Khóa luận gồm phần: Phần mở đầu Phần nội dung gồm chƣơng: Chƣơng 1: sở toán học Chƣơng 2: sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie giải tốn phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn Chƣơng 3: vận dụng phƣơng pháp tách biến Furie để giải số dạng tập phƣơng trình truyền nhiệt hữu hạn Chƣơng 4: tập vận dụng Phần kết luận PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Khá niệm tập vật lý Bài tập vật lí yêu cầu đặt cho ngƣời học, đƣợc ngƣời học giải thuyết dựa lập luận logic, nhờ phép tính tốn, thí nghiệm, dựa kiến thức khái niệm, định luật lý thuyết vật lí 1.2 Vai trị tác dụng tập vật lý Xét mặt phát triển tính tự lực ngƣời học rền luyện kĩ vận dụng kiến thức lĩnh hội đƣợc vai trị tập vật lý q trình học tập có giá trị lớn Bài tập vật lí đƣợc sử dụng nhiều khâu trình dạy học - Bài tập phƣơng tiện nghiên cứu tƣợng vật lý Trong trình dạy học vật lý, ngƣời học đƣợc làm quen với chất tƣợng vật lý nhiều cách khác nhƣ: kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm tập thí nghiệm, tiến hành tham quan Ở có tính tích cực ngƣời học, độ sâu độ vững kiến thức lớn ‘tình có vấn đề đƣợc tạo ra, nhiều trƣờng hợp nhờ tình xuất kiểu tập mà trình giải ngƣời học phát lại quy luật vật lý tiếp thu quy luật dƣới hình thức có sẵn - Bài tập phƣơng tiện hình thành khái niệm Bằng cách dựa vào khái niệm có ngƣời học, trình làm tập, ta cho ngƣời học phân tích tƣợng vật lý đại lƣợng vật lý - Bài tập phƣơng tiện phát triển tƣ vật lý cho ngƣời học Việc giải tập làm phát triển tƣ lơ gíc, nhanh trí Trong q trình tƣ có phân tích tổng hợp mối quan hệ tƣợng, đại lƣợng vật lý đặc trƣng cho chúng - Bài tập phƣơng tiện rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức ngƣời học vào thực tiễn Đối với việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp tập vật lý có nghĩa lớn, tập phƣơng tiện thuận lợi để ngƣời học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống 1.3 Cơ sở định hƣớng tập vật lý 1.3.1 Hoạt động giải tập vật lý - Mục tiêu cần đạt giải tập vật lý tìm đƣợc câu trả lời đán, giải đáp đƣợc vấn đề đặt cách có khoa học chặt chẽ Q trình giải tốn thực chất tìm hiểu điều kiện toán, xét xem tƣợng vật lý đƣợc đề cập dựa kiến thức vật lý, toán, để nghĩ tới mối quan hệ cho cần tìm cho thấy đƣợc phải tìm có liên hệ trực tiếp gián tiếp với cho, từ đến rõ đƣợc mối liên hệ tƣờng minh trực tiếp phải tìm với biết nghĩa tìm đƣợc lời giải đáp cho toán đặt - Hoạt động giải tốn vật lý có hai phần việc quan trọng : + Việc xác lập mối quan hệ bản, cụ thể dựa vận dụng kiến thức vật lý dựa vào điều kiện cụ thể toán cho + Sự tiếp tục luận giải, tính tốn từ mối liên hệ xác lập đƣợc đến kết cuối việc giải đáp vấn đề đƣợc đặt toán cho - Sự nắm vững lời giải toán vật lý phải thể khả trả lời đƣợc câu hỏi: việc giải toán cần xác lập đƣợc mối quan hệ nào? Sự xác lập mối liên hệ dựa vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể tốn? - Đối với tập định tính, ta khơng phải tính tốn phức tạp nhƣng cần phải có suy luận lơ gic bƣớc để đến kết luận cuối t Gk t e x sin k xdx 2.e 2.e k 2.e t cos k k 2.e t sin k x k cos k k t cos k x k x t cos k xdx k k Phƣơng trình truyền nhiệt: a2 T ' k t sin k x k k Tk t sin k x Gk t sin k x k k T 'k t k a Tk t 2.e T 'k t Gk t k a Tk t t De k a De Từ điều kiện (3.33): k Gk t k 2.e t t e k k a TR t với TR t De t k k k a D k Tk k a 2t C.e k C TR k v x, t k a Tk t k Nghiệm phƣơng trình vi phân: Tk t t T 'k t C 2 1k k k a D k k a k k a 2 e t sin k x e t Đáp số: k u x, t k e k k a k k a 2 k k a sin k x e t x Dạng 3:Dạng tập phƣơng trình truyền nhiệt có đầu 0cách nhiệt,một đầu luôn giữ nhiệt độ không Bài 1: Ta xét phân bố nhiệt có đầu mút x=0 cách nhiệt cịn đầu mút x=l luôn giữ nhiệt độ 0.Ở thời điểm t=0 tất điểm đƣợc nâng lên nhiệt độ 30 =const.Khơng có nguồn nhiệt Giải: Gọi U(x,t) hàm mô tả phân bố nhiệt độ thanh.Vì khơng có nguồn nhiệt nên hàm U(x,t) có nghiệm phƣơng trình vi phân sau: ( = (3.32) a hệ số truyền nhiệt U(x,t) thỏa mãn điều kiện: + Điều kiện biên: Ux l =0 x =0 (3.33) (3.34) + Điều kiện ban đầu: U t =f(x) (3.35) Để giải phƣơng trình (3.32) ta sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie: U(x,t)= X(x).T(t) Lấy đạo hàm cấp theo biến t cấp theo biến x,chia hai vế cho X.T => = (3.36) Vì vế trái hàm theo biến thời gian,vế phải theo biến x C nên: => Giải (3.38.1) =>lnT=C +lnA =>T(t)=A (3.37) Thay (3.37) vào (3.34.2) =0 => => =-B 31 Áp dụng điều kiện biên: x = =>0+C =0 =>C=0 X x l =0 =>B =>B => = (x)= = Vậy nghiệm phƣơng trình (3.32) là: U(x,t)= = Trong đƣợc xác định từ điều kiện ban đầu :U t =f(x) => => = = Vậy nghiệm cần tìm có dạng: U(x,t)= Bài : Tìm nhiệt độ U(x,t) dẫn nhiệt dài 1m không chứa nguồn nhiệt, biết đầu x=0 cách nhiệt ,còn đầu đƣợc giữ nhiệt độ ; nhiệt độ ban đầu điểm M(x) U(x,0)= 32 x với Giải Gọi U(x,t) hàm mô tả phân bố nhiệt độ thanh.Vì khơng có nguồn nhiệt nên hàm U(x,t) có nghiệm phƣơng trình vi phân sau: ( = (3.38) x < l; t>0 a hệ số truyền nhiệt U(x,t) thỏa mãn điều kiện: + Điều kiện biên: x U x l với + Điều kiện ban đầu: U t = Đặt V(x,t) =U(x,t)  V x l =U x l -  x = (x) (x) Suy ra: =0 x =0  V t =U t - = Với U(x,t) =V(x,t) + (x)(x) phƣơng trình truyền nhiệt trở thành: = Sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie ta có: V(x,t) = Lấy đạo hàm cấp theo biến t cấp theo biến x, chia hai vế cho X.T => = (3.39) Vì vế trái hàm theo biến thời gian, vế phải theo biến x C nên: => Điều kiện biên: X(1) =0 (3.39.3) Trƣờng hợp 1:C=0 =>X(x) =A.x+B => 33 =A Thay vào (3.39.3): =>A=B=0 =>X(x) =0 =>V(x,t) =0(loại) Trƣờng hợp 2: CX(x) =A => +B - Thay vào (3.39.3) ta có : X(x)=0 =>V(x,t)=0(loại) Trƣờng hợp 3: C>0 =>X(x)=A => Thay (3.41.3) => => = => với k=0, 2, 3… Vậy phƣơng trình (3.39.1) có vơ số nghiệm: (x)=A Giải phƣơng trình (3.39.2) ta có nghiệm: Suy : V(x,y)= Dựa vào điều kiện ban đầu: V t 0= => => =2 Bài 3: Tìm nhiệt độ u x, t dẫn nhiệt dài mét không chứa nguồn nhiệt, biết đầu x cách nhiệt, đầu đƣợc giữ 34 nhiệt độ u1 , nhiệt độ ban đầu điểm M x u x,0 u1 x với x Giải: u Phƣơng trình truyền nhiệt: t Điều kiện ban đầu: u |t u Điều kiện biên: x x a u1 x với 0, u Đặt u x, t v Với v t u x, t a v x2 v x, t x v t u1 x 0;1 u1 với x v v x, t u x , (3.40) x2 t u x u t 0 u1 x 0 u1 u1 x u1 u t x t t u1 Khi phƣơng trình truyền nhiệt trở thành: (3.41) Sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie để giải phƣơng trình (3.41) ta đƣợc: v x, t X x T t X x T' t T' t a 2T t const X" x X x a2 X " x T t X" x T' t X x 3.41.1 a2 T t 3.41.2 X' 0 (3.42) X1 Điều kiện biên: Giải phƣơng trình (3.41.1): - TH1: X x Ax B Thay vào điều kiện (3.42) X" x A X' A X A.1 B 35 A B X x v x, t - TH2: (loại) X x Ae x X' x , với X' Thay vào điều kiện (3.42) X x x Be A B X1 Ae Be v x, t (loại) X x A cos x B sin x , với - TH3: X' x - A sin x 2k ,k B x x Be B cos x X' 0 B X A cos Thay vào điều kiện (3.42): A Ae 0 cos 0,2,3 Phƣơng trình (3.41.1) có vơ số nghiêm: X k x 2k x A cos Giải phƣơng trình (3.41.2) ta có nghiệm: Tk t với a 2k 2 v x, t Ck e 2k a k t C.e t cos Dựa vào điều kiện ban đầu: v t C k cos a2 k u1 x u1 C.e 2k x 2k x u1 x u1 Ck u1 x u1 cos 36 2k x dx 2k a t Dạng 4:Dạng tập truyền nhiệt hai đầu luôn khác không đổi Bài 1: Tìm nhiệt độ u x, t dẫn nhiệt chiều dài mét không chứa nguồn nhiệt, biết đầu x đƣợc giữ u , đầu đƣợc giữ u1 , nhiệt độ ban đầu điểm M x u Giải: u t Phƣơng trình truyền nhiệt: Điều kiện ban đầu: Điều kiện biên: Đặt v x, t u |x a u x , x2 t u0 u0 u1 u0 u0 u1 u |x v |x u |x v x, t (3.43) u0 , u | x u1 với t u0 u với x 0;1 u x, t v |x Với u x, t u |t 2 u u1 x u0 u1 u x v Phƣơng trình truyền nhiệt trở thành: t Với điều kiện ban đầu: v |t u u0 Với điều kiện biên: v | x v |x a v x2 (3.44) u0 u0 x Sử dụng phƣơng pháp tách biến Furie để giải phƣơng trình (3.44) ta đƣợc: v x, t X" x X x X x T t X x T' t T' t a 2T t Điều kiện biên: X const X1 (3.45) Giải phƣơng trình (3.44.1): 37 a2 X " x T t X" x T' t X x 3.44.1 a2 T t 3.44.2 - TH1: X x Ax B X X1 Thay vào điều kiện (3.45) Xx v x, t - TH2: X x Ae v x, t - TH3: A B 0 (loại) x x Be Thay vào điều kiện (3.45) X x A.0 B A.1 B , với X A B X1 Ae Be A Xx A cos x B sin x , với k , k 1,2,3 X X1 A 0 A B sin sin 0 k Phƣơng trình (3.44.1) có vơ số nghiêm: X k x B sin k x Giải phƣơng trình (3.44.2) ta có nghiệm: Tk t C.e a2 0 (loại) Thay vào điều kiện (3.45): với B a2 t C.e k a 2t k v x, t Ck e k a 2t sin k x Ck k Đáp số: u x, t u0 u2 u1 u x Ck e k 38 k a 2t sin k x u0 u0 u1 x sin k xdx Chƣơng 4:BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1:Tìm phân bố nhiệt độ thời điểm t>0 đồng chất có độ dài l thành bên cách nhiệt,hai đầu đƣợc giữ nhiệt độ khơng.Phân bố dạng ban đầu có dạng: U(x,0)= Đáp số: U(x,t)= Bài 2:Tìm định luật cân nhiệt độ ban đầu T(x,0)=A .Trong đầu mút cách nhiệt Đáp số: T(x,t)= Bài 3:Thiết lập phƣơng trình truyền nhiệt chiều có kể đến trao đổi qua mặt bên đống chất Đáp số: Trong : = ; b hệ số truyền nhiệt U nhiệt độ mơi trƣờng ngồi; g nhiệt độ nguồn Bài 4:Tìm nhiệt phân bố thời điểm thời điểm t>0;nếu hai đầu mút đƣợc giữ nhiệt độ khơng.Ở thời điểm t=0 có nhiệt độ khơng đổi Đáp số: U(x,t)= 39 Bài 5:Tìm nhiệt độ U(x,t) dẫn nhiệt dài L mét không chứa nguồn nhiệt, biết đầu cách nhiệt nhiệt độ ban đầu điểm M(x) đƣợc cho hàm f(x) với L Áp dụng kết tìm U(x,t) biết dài 2m với: f(x)= f(x)=0 Đáp số: U(x,t)= + Bài 6: Tìm nhiệt độ U(x,t) dẫn nhiệt dài L mét có chứa nguồn nhiệt cho hàm g(x,t) biết hai đầu đƣợc giữ nhiệt độ ban đầu thời điểm M(x) hàm hàm số f(x) với L Áp dụng kết tìm U(x,t) biết dài 2m với g(x,t)= - 2x với 2,nhiệt độ ban đầu điểm M(x) Đáp số: U(x,t)= Bài 7:Tìm nhiệt độ U(x,t) dẫn nhiệt dài 1m không chứa nguồn nhiệt,biết đầu x=0 đƣợc giữ nhiệt độ 0,cịn lại đầu có nhiệt độ cho bởi: U(1,t)= nhiệt độ ban đầu đầu điểm M(x) U(x,0)=x với Đáp số: U(x,t)= 40 Bài 8:Tìm nhiệt độ U(x,t) dẫn nhiệt dài 1m không chữa nguồn nhiệt,biết đầu x=0 có nhiệt độ cho U(0,t)=3t (t đầu đƣợc giữ nhiệt độ 0,nhiệt độ ban đầu thời điểm M(x) U(x,0)=0 với Đáp số: U(x,t)= Bài 9:Tìm nhiệt độ U(x,y,t) hình chữ nhật dẫn nhiệt,không chứa nguồn nhiệt biết nhiệt độ cạnh hình chữ nhật đƣợc giữ nhiệt độ ban đầu điểm M(x,y) hình cho hàm f(x,y) với 0 L m Áp dụng kết tìm U(x,y,t) hình vng có cạnh 2m với f(x,y) f(x,y)=x.y(x-2).(y-2) với Đáp số: U(x,y,t)= Bài 10: Tìm phân bố nhiệt độ đồng chất có mút x=0,cách nhiệt.Nhiệt độ môi trƣờng tiếp xúc với đầu mút x=l giả sử 0.Nhiệt độ ban đầu không đổi f(x)=const khơng có nguồn nhiệt g(x,t)=0 Đáp số: U= 41 Bài 11: Một có chiều dài đơn vị, thành bên cách nhiệt, hệ số a2 = đơn vị Tìm hàm phân bố nhiệt độ thanh, đầu mút đƣợc giữ nhiệt độ 00C Nhiệt độ ban đầu thanh: u(x,0) = f(x) = 5sin4πx3sin8πx+2sin10πx(trong khơng có nguồn nhiệt) Đáp số: u(x,t) = 5e 32 t sin x 3e 128 2t sin x 2e 42 200 2t sin 10 x PHẦN KẾT LUẬN Với phạm vi đề tài nghiên cứu khoa học, mong đề tài giúp cho bạn học sinh bạn sinh viên nắm rõ đƣợc phƣơng pháp khảo sát truyền nhiệt hữu hạn chƣơng trình tốn cho vật lý Bên cạnh có thêm kiến thức để giải toán dao động màng, dây hay phƣơng trình Laplace Thực tế đề tài nghiên cứu phƣơng pháp khảo sát truyền nhiệt tự hữu hạn thông qua số tập chƣơng trình tốn cho vật lý 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh -Phương pháp tốn lí- Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái -Phương trình vật lí - toán Hà nội 1971 [3] Tikhonov A.N, Samarski A.A - Uravneniia matematicheskoi phiziki Moskva - 1953 [4] Levin B.I - Metodu matematicheskoi phiziki Moskva - 1960 [5] R Courant, D Hilbert - Methods of mathematical physics London - 1953 [6] Mors PH M, Pheshbakh G - Metodu teoreticheskoi phiziki Moskva - 1958 [7] Kochin N.E - Vektornoe ischislenie i nachala tenzornogo ischisleniia Moskva - 1960 44