hóa
Theo Hadamard, một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:
• Bài toán tồn tại ít nhất một nghiệm với mọi dữ liệu đầu vào. • Bài toán tồn tại không quá một nghiệm với mọi dữ liệu đầu vào. • Nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào.
Ngược lại, bài toán không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Về mặt toán học, các bài toán thường được mô tả dưới dạng một phương trình toán tử. Vì thế chúng ta có thể phát biểu khái niệm đặt chỉnh như sau.
Định nghĩa 1.6.1. (Tính đặt chỉnh)
Cho X và Y là các không gian định chuẩn, K :X →Y là một toán tử (tuyến tính hoặc phi tuyến). Phương trình Kx = y được gọi là đặt chỉnh nếu các mệnh đề sau đúng:
• Sự tồn tại: Với mỗi y ∈ Y có ít nhất một phần tử x ∈ X để cho
Kx = y, hay nói cách khác K là toàn ánh.
• Tính duy nhất: Với mỗi y ∈ Y có nhiều nhất một phần tử x ∈ X để cho Kx = y, hay nói cách khác K là đơn ánh.
• Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, tức là với mỗi dãy (yn) ⊂ Y, nếu yn → y và Kxn = yn, Kx = y thì xn → x (n → ∞), hay nói cách khác K−1 là toán tử liên tục.
Các phương trình không thỏa mãn một trong ba tính chất trên được gọi là đặt không chỉnh.
Định lý 1.6.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn và K : X → Y
là toán tử tuyến tính compact với không gian không
ℵ(K) := {x ∈ X : Kx = 0}.
Giả sử số chiều của không gian thương X/ℵ(K) là vô hạn. Khi đó, tồn tại dãy (xn) ⊂ X để cho Kxn → 0, nhưng xn 9 0. Thậm chí ta có thể chọn dãy (xn) để cho kxnk → ∞.
Đặc biệt, nếu K đơn ánh thì toán tử ngược K−1 : Y ⊃ <(K) → X
không bị chặn. Ở đây <(K) := {Kx ∈ Y : x ∈ X} là miền giá trị của K. Cho X, Y là các không gian Hilbert (dimX = ∞), K : X → Y là một toán tử tuyến tính, compact và đơn ánh. Xét bài toán tìm nghiệm
xấp xỉ của phương trình Kx = y với dữ liệu vế phải y không được biết chính xác mà chỉ có dữ liệu xấp xỉ yδ của y với δ > 0, yδ ∈ Y thỏa mãn
y −yδ≤ δ. Chúng ta luôn giả sử rằng phương trình tồn tại một nghiệm
x, hay nói cách khác y ∈ <(K). Vì K là hàm đơn ánh nên x là nghiệm duy nhất.
Định nghĩa 1.6.2. (Lược đồ chỉnh hóa)
Một lược đồ chỉnh hóa cho toán tử compact K (hay cho phương trình
Kx = y) là một họ các toán tử liên tục (tuyến tính hoặc phi tuyến)
Rα : Y →X với α > 0,
sao cho
lim
α→0RαKx = x với mọi x ∈ X.
Định lý 1.6.2. Giả sử họ toán tử tuyến tính bị chặn Rα là một lược đồ chỉnh hóa của toán tử compact K : X → Y và dimX = ∞. Khi đó, chúng ta có:
a. Họ toán tử Rα không bị chặn đều, tức là tồn tại một dãy (αj) với
Rαj → ∞ khi j → ∞.
b. Họ các toán tử RαKx không hội tụ đều trên tập con bị chặn của X, tức là kRαK −Ik 9 0 (I là toán tử đơn vị).
Định nghĩa 1.6.3. (Tham số chỉnh hóa chấp nhận được)
Một tham số chỉnh hóa α = α(δ) được gọi là chấp nhận được nếu
α(δ) →0 và với mỗi x ∈ X, ta đều có
Như vậy, một phương pháp chỉnh hóa bao gồm việc định nghĩa được một lược đồ chỉnh hóaRα và đưa ra được một quy tắc chọn tham số chỉnh hóa α(δ) chấp nhận được.
CHƯƠNG2
BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán
Bài toán Dirichlet cho phương trình khuếch tán là bài toán tìm nghiệm
φ của phương trình
−div(σ∇φ) = y trong Ω ⊂ Rn (2.1) với φ
∂Ω = 0, trong đó σ ∈ A với tập A được định nghĩa tại (3) và
y ∈ L2(Ω) là các hàm số cho trước. 2.2 Công thức nghiệm yếu
Trước khi định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1), ta nhắc lại công thức tích phân từng phần.
Định lý 2.2.1. (Công thức tích phân từng phần)
Cho U ⊂ Rn là một tập mở bị chặn với ∂U là C1 và cho u, v ∈ C1 U. Khi đó, với mỗi i ∈ {1,2, ..., n} ta có
Z U uvxidx = Z ∂U uvνidS − Z U vuxidx,
trong đó −→ν = −→ν (x) = (ν1, ν2, ..., νn) là pháp vectơ đơn vị hướng ra bên ngoài tại x trên biên ∂U của U (x ∈ ∂U).
Trở lại phương trình (2.1), bây giờ nhân hai vế của phương trình này với v ∈ C0∞(Ω), ta được Z Ω −div(σ∇φ)vdx = Z Ω yvdx.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được − Z ∂Ω (σ∇φ.ν)vdS + Z Ω σ∇φ.∇vdx = Z Ω yvdx.
Vì v triệt tiêu trên ∂Ω nên −
Z ∂Ω (σ∇φ.ν)vdS = 0, tức là Z Ω σ∇φ.∇vdx = Z Ω yvdx.
Để ý rằng phương trình này đúng với mọi v ∈ C0∞(Ω), nhưng vì H01(Ω) chính là bao đóng củaC0∞(Ω)trongH1(Ω)nên ta có thể đưa ra định nghĩa nghiệm yếu của phương trình (2.1) như sau.
Định nghĩa 2.2.1. (Nghiệm yếu)
Hàm φ ∈ H01(Ω) được gọi là một nghiệm yếu của (2.1) nếu với mọi
v ∈ H01(Ω) ta đều có Z Ω σ∇φ.∇vdx = Z Ω yvdx. (2.2)