Mục đích nghiên cứu của Luận văn nhằm đưa ra các đánh giá ổn định. Đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Thiết lập các thuật toán, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp chỉnh hóa được đề xuất trong luận án này. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VĂN ĐỨC TS NGUYỄN TRUNG THÀNH Nghệ An – 2021 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 24 1.1 Một số kiến thức Giải tích 24 1.2 Một số kiến thức nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn 30 1.3 Bài tốn đặt không chỉnh 35 1.4 Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn 38 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian 42 2.1 Giới thiệu toán 42 2.2 Đánh giá ổn định 49 2.3 Chỉnh hóa toán xác định nguồn 51 2.4 Thuật tốn ví dụ số 63 2.5 Kết luận Chương 72 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian khơng gian 73 3.1 Giới thiệu toán 73 3.2 Đánh giá ổn định 75 3.3 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 79 3.4 Thuật toán ví dụ số 88 3.5 Kết luận Chương 97 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach 98 4.1 Giới thiệu tốn 98 4.2 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 100 4.3 Thuật tốn ví dụ số 114 4.4 Kết luận Chương 118 Kết luận chung kiến nghị 119 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình khoa học riêng tơi Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Văn Đức TS Nguyễn Trung Thành Các đồng tác giả đồng ý để đưa kết viết chung vào luận án Các nội dung, kết quả, kết luận mà tơi trình bày luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Tác giả Lương Duy Nhật Minh LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người Thầy mình: PGS TS Nguyễn Văn Đức (Viện sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh) TS Nguyễn Trung Thành (Giáo sư Đại học Rowan, Hoa Kỳ) người đặt toán, định hướng nghiên cứu cho tác giả Trong suốt trình học tập nghiên cứu, Thầy ln nhiệt tình tận tâm dạy cho tác giả nhiều điều, hướng dẫn khoa học Thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Đức Thầy giáo TS Nguyễn Trung Thành, luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Bộ mơn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phịng đào tạo Sau đại học phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết sẻ chia, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Lương Duy Nhật Minh MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa ký hiệu Lp (Rn ) · L2 F(v) := v F−1 (v) := v ˇ H p (Rn ) · Hp ||| · |||q k∗f Dν 10 Sν (g) 11 Mη,2 (Rn ) 12 13 14 15 16 ∂α ∂tα Eα,β , Eα,1 Rn ∆ N∗ , R∗ Khơng gian hàm có lũy thừa bậc p khả tích Rn , p = 1, Chuẩn không gian L2 (Rn ) Phép biến đổi Fourier hàm v ∈ L2 (Rn ) Phép biến đổi Fourier ngược hàm v ∈ L2 (Rn ) Không gian Sobolev H p (Rn ) Chuẩn không gian Sobolev H p (Rn ) Chuẩn ||| · |||q khơng gian Sobolev H p (Rn ) Tích chập hàm k f Nhân Dirichlet Sν (g)(x) := π n (Dν ∗ g)(x) Tập hợp hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ) Đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) Hàm Mittag–Leffler Không gian thực n-chiều Toán tử Laplace Tập số nguyên dương tập số thực dương LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán xác định nguồn phương trình parabolic nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ năm 60 kỉ 20 Các nhà tốn học có cơng trình tốn xác định nguồn kể Cannon ([13, 14, 17]), Đinh Nho Hào ([51, 52]), Đặng Đức Trọng ([120, 121]), Hasanov ([55, 56]), Isakov ([63]), Li ([79, 80, 81, 82], Savateev ([107]), Prilepko ([99], [103]), Yang Fu ([27, 133]), Bài toán kể thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard ([45, 65]) Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Nghiệm tốn ln tồn ii) Nghiệm toán iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu tốn Nếu ba điều kiện không thỏa mãn, tốn gọi đặt khơng chỉnh Với tốn đặt khơng chỉnh, sai số nhỏ liệu dẫn đến sai lệch lớn nghiệm Do đó, tốn đặt khơng chỉnh thường khó giải số tốn đặt chỉnh liệu sử dụng toán thường tạo đo đạc nên không tránh khỏi có sai số Hơn nhiều tính tốn thực gần Để giải toán đặt không chỉnh, nhà khoa học thường đề xuất phương pháp chỉnh hóa, tức sử dụng nghiệm toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho tốn đặt khơng chỉnh ban đầu Các nghiên cứu tốn xác định nguồn phương trình parabolic thường tập trung vào ba chủ đề là: i) Tính nghiệm ([3, 5, 13, 20, 21, 59, 63, 64, 86, 99, 103]) ii) Tính ổn định nghiệm ([3, 5, 28, 31, 49, 50, 64, 71, 79, 86, 125, 134, 139]) iii) Các phương pháp chỉnh hóa phương pháp giải số ([19, 27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129, 134, 135]) Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu toán xác định nguồn cho phương trình parabolic mơ hình tốn học toán thực tiễn xác định nguồn nhiệt phương trình truyền nhiệt ([14, 25, 27, 120]), xác định nguồn nhiễm nước, nhiễm khơng khí ([1, 80, 81, 82, 126, 140]), Hiện có nhiều vấn đề mở liên quan đến toán xác định nguồn cho phương trình parabolic cần nghiên cứu, kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian chưa nghiên cứu cách đầy đủ, có vài kết tính nghiệm dạng toán đưa [25, 111] Hướng nghiên cứu toán xác định nguồn phương trình parabolic bậc phân nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ([5, 6, 53, 69, 70, 75, 87, 110, 127, 128, 134, 135]) Tuy nhiên, hầu hết kết kể dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian theo biến không gian, có kết dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian ([3, 5, 69, 124]) Về kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic khơng gian Banach, theo tìm kiếm chúng tơi, có số kết cơng trình Prilepko, Piskarev, Shaw ([101]), Hasanov ([57]) Schuster, Kaltenbacher, Hofmann, Kazimierski ([109]) Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic" Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, đưa đánh giá ổn định Thứ hai, đề xuất phương pháp chỉnh hóa Thứ ba, chúng tơi thiết lập thuật tốn, lập trình đưa ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đề xuất luận án Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu toán xác định nguồn 03 trường hợp: i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian khơng gian Hilbert L2 (Rn ); ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); iii) Phương trình parabolic khơng gian Banach Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải tốn xác định nguồn cho: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic khơng gian Banach Phương pháp nghiên cứu Đây đề tài thuộc lĩnh vực khoa học chuyên ngành Tốn Giải tích Tốn Ứng dụng Do đó, chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lơgic sở kết có Đồng thời sử dụng phương pháp số để giải toán xác định nguồn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu lĩnh vực toán ngược toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt số kết đánh giá ổn định, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán Giải tích, Tốn Ứng dụng người quan tâm đến hướng nghiên cứu Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Để tiện cho việc giới thiệu kết nghiên cứu liên quan đến tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tơi lấy ví dụ cụ thể phương trình parabolic tuyến tính khơng gian Hilbert Cho T số thực dương, X không gian Hilbert với chuẩn · , u : [0, T ] → X hàm từ [0, T ] đến X F ∈ X Ta xét toán giá trị ban đầu u (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ), u(0) = 0, (1) A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn X Bài toán (1) ... vực toán ngược toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt số kết đánh giá ổn định, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. .. chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số toán xác định nguồn cho phương trình parabolic" Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung... VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VĂN