Bài toán cauchy dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai trong miền trơn từng khúc có chứa bờ trên biên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HÀ THỊ THU BÀI TỐN CAUCHY - DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI TRONG MIỀN TRƠN TỪNG KHÚC CÓ CHỨA BỜ TRÊN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HÀ THỊ THU BÀI TỐN CAUCHY - DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI TRONG MIỀN TRƠN TỪNG KHÚC CÓ CHỨA BỜ TRÊN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Văn Lợi THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1245 /QĐ-ĐHHĐ ngày 13 tháng năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch HĐ PGS.TS Trần Đình Kế Trường Đại học SP Hà Nội UV Phản biện TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD-ĐHQGHN Ủy viên TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức Thư ký Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày 18 tháng năm 2022 TS Đỗ Văn Lợi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Hà Thị Thu i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn khoa học TS Đỗ Văn Lợi Tác giả bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả cám ơn Phòng Quản lý Đào tạo Sau đại học, Khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ mơn Giải tích - Phương pháp dạy học tốn, thầy giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả cám ơn Ban Giám hiệu Trường trung học sở Trường Sơn, TP Sầm Sơn - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý thầy giáo, bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2022 Hà Thị Thu ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viêt tắt ký hiệu iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 4 1.2 1.3 Không gian Hilbert Không gian L1 (Ω) 1.4 Không gian Lp (Ω), p > 1.5 Không gian Sobolev 1.5.1 Đạo hàm suy rộng 7 1.5.2 1.5.3 Không gian Sobolev Wpm (Ω), ≤ p < ∞ ˚pm (Ω), ≤ p < ∞ 10 Không gian W 1.5.4 Không gian W2m,l (QT ) 11 Chương Sự tồn nghiệm 2.1 2.2 12 Thiết lập toán 12 Sự tồn tính nghiệm tốn 16 Kết luận chung 27 Tài liệu tham khảo 28 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU C: tập số phức, R: tập số thực, N: tập số tự nhiên (x ⊥ y): x, y trực giao (x ⊥ A): x trực giao với tập A (A ⊥ B): A, B trực giao với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn đa số p = (p1 , , pn ) ∈ Nn , Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn, với biên ∂Ω, kí hiệu QT = Ω × (0, T ), ST = ∂Ω × (0, T ) với T ∈ (0, ∞) xp = xp11 xpnn ; |p| = p1 + p2 + + pn ! p p! ∂xp = ∂xp11 ∂xpnn ; = q!(p − q)! q Đôi ta dùng kí hiệu u (thay cho u(x), với x ∈ Ω hay u(x, t), với (x,t) ∈ QT ) hàm  véc tơ nhận giá trị phức, u = (u1 , , us ), k k ∂ us ∂ u1 , , k , (k ∈ N) đạo hàm riêng cấp k u(x, t) utk = k ∂t ∂t p theo biến t, D u = (∂xp1 u1 , , ∂xps us ) đạo hàm (suy rộng) u(x, t) theo biến x cấp |p| Kí hiệu chung cho số chữ C C k (Ω): không gian hàm khả vi liên tục cấp k (k ∈ N) Ω C(Ω) = C (Ω): không gian hàm liên tục Ω C ∞ (Ω): không gian hàm khả vi vô hạn Ω C0∞ (Ω): không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω Cs∞ (QT ): không gian hàm thuộc C ∞ (QT ) triệt tiêu lân cận ST C0∞ (QT ): không gian hàm thuộc C ∞ (QT ) có giá compact QT iv L2 (Ω): khơng gian hàm bình phương khả tích Ω H m (Ω): khơng gian Sobolev hàm véc tơ phức s chiều u(x) có đạo hàm suy rộng Dp ui , ≤ i ≤ s, |p| ≤ m thuộc L2 (Ω) với chuẩn  X Z 1/2 ∥u∥H m (Ω) = |Dp u(x)|2 dx < +∞ |p|≤m Ω ˚m (Ω): bao đóng C0∞ (Ω) với chuẩn H m (Ω) H H m (QT ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dp u, |p| ≤ m thuộc L2 (QT ) với chuẩn m 1/2 Z X p u m |D u| dx dt < +∞ = H (QT ) QT |p|=0 H m (QT , γ): không gian hàm véc tơ phức u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dp u, |p| ≤ m thuộc L2 (QT ) với chuẩn m Z X 1/2 p −γt u m = |D u| e dx dt < +∞, H (QT ,γ) QT |p|=0 γ số thực dương cho trước H m,k (QT ): không gian hàm u(x, t) xác định QT có đạo hàm suy rộng Dp u, utj , |p| ≤ m, ≤ j ≤ k thuộc L2 (QT ) với chuẩn Z X m k  X p 2 u m,k = |D u| + |utj | dx dt < +∞ H (QT ) QT j=1 |p|=0 ˚m,k (QT ): bao đóng tập Cs∞ (QT ) với chuẩn H m,k (QT ) H H m,k (QT , γ): không gian tất hàm u(x, t) xác định QT , có đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m theo t đến cấp k , cho Z X m k  X p 2 ∥u∥H m,k (QT ,γ) = |D u| + |utj | e−γt dxdt < +∞, QT j=1 |p|=0 γ số thực dương cho trước H m,0 (QT ): đơi kí hiệu thay cho H m (QT ) v H m,0 (QT , γ): kí hiệu thay cho H m (QT , γ) L2 (QT , γ): không gian tất hàm u(x, t) xác định trụ QT với chuẩn Z 1/2 −γt ∥u∥L2 (QT ,γ) = |u| e dxdt < +∞, QT γ số thực dương cho trước vi MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Trước năm 1950, tốn biên tuyến tính phương trình đạo hàm riêng miền với biên trơn nghiên cứu hoàn thiện Người ta dùng phép biến đổi Laplace phép biến đổi Fourier để đưa toán biên phụ thuộc vào biến thời gian hình trụ với đáy miền có biên trơn toán dừng với tham biến miền trơn [4], [7] Một kết quan trọng là: Nếu hệ số phương trình hay hệ phương trình, hàm vế phải biên miền đủ trơn, nghiệm toán hàm trơn Bài toán biên tổng quát phương trình elliptic miền với biên không trơn nghiên cứu từ kỷ XX Một kết thu là: Nghiệm tốn nói chung khơng trơn điểm kì dị biên, chúng không thuộc vào không gian Sobolev thông thường [5],[6],[10],[11] Bởi vậy, điều quan trọng mơ tả tính chất nghiệm lân cận điểm kì dị biên đưa chúng vào khơng gian Sobolev có trọng thích hợp để xét tốn Những năm cuối kỉ XX, toán biên phương trình hệ phương trình khơng dừng có hệ số phụ thuộc thời gian miền trụ với đáy có biên khơng trơn nghiên cứu cách hệ thống Bằng phương pháp cắt thiết diện, GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng đưa tốn khơng dừng xét thiết diện toán dừng [5], [6] Với phương pháp GS cộng xét toán biên hệ không dừng miền trụ với đáy có biên khơng trơn Một kết nhóm nghiên cứu cơng trình "Tiệm cận nghiệm Cauchy-Dirichlet phương trình parabolic cấp hai miền trơn khúc có chứa bờ biên" [11] Với đáy trụ miền nón, dù miền khơng trơn lân cận đủ nhỏ điểm kì dị (đỉnh nón) có điểm kì dị đỉnh nón Nhưng đáy trụ miền trơn khúc có chứa bờ biên dù với lân cận đủ nhỏ điểm kì dị ("điểm bờ") cịn nhiều điểm kì dị ("điểm bờ") khác, việc giải vấn đề tiệm cận nghiệm khó khăn Định lý 1.5.4 ([1]) Giả sử f có đạo hàm suy rộng khoảng (a, b) Khi đó, f hàm liên tục tuyệt đối khoảng (a, b) hầu khắp ′ khoảng (a, b) có đạo hàm theo nghĩa thơng thường f 1.5.2 Không gian Sobolev Wpm (Ω), ≤ p < ∞ Không gian Wpm (Ω) không gian bao gồm tất hàm u ∈ Lp (Ω), cho tồn đạo hàm suy rộng cấp α, |α| ≤ m thuộc Lp (Ω) trang bị chuẩn X Z
1/p |Dα u(x)|p dx ∥u∥Wpm (Ω) = (1.1) |α|≤m Ω Wpm (Ω), ≤ p < ∞ với chuẩn (1.1) gọi không gian Sobolev Định lý 1.5.5 ([1]) Giả sử Ω miền Rn m ≥ 0, ≤ p < ∞ Khi Wpm (Ω) không gian Banach Hơn nữa, W2m (Ω) không gian Hilbert Vấn đề xấp xỉ hàm thuộc không gian Wpm (Ω) hàm thuộc C ∞ (Ω) ′ Định lý 1.5.6 ([1]) Giả sử Ω miền thuộc Rn Ω miền ′ Ω cho Ω ⊂ Ω Nếu u ∈ Wpm (Ω), lim ∥uh − u∥Wpm (Ω′ ) = h→0 Miền Ω thuộc Rn gọi miền điểm x0 , với điểm x ∈ Ω, đoạn thẳng nối x0 với x thuộc miền Ω Miền lồi miền điểm thuộc miền ¯ Định lý 1.5.7 ([1]) Nếu Ω miền Rn , khơng gian C ∞ (Ω) trù mật Wpm (Ω) Định lí sau miêu tả thác triển hàm thuộc Wpm (Ω) miền rộng Định lý 1.5.8 ([1]) Giả sử Π hình hộp Rn : Π = {x ∈ Rn : −aj < xj < aj , j = 1, , n} u ∈ Wpm (Π), p ≥ Khi tồn hàm u1 ∈ Wpm (Rn ), cho u1 (x) = u(x) với x ∈ Π supp u1 (x) ⊂ Π1 = {x ∈ Rn : −2aj < xj < 2aj , j = 1, , n} Hơn nữa, ∥u1 (x)∥Wpm (Rn ) ≤ C ∥u(x)∥Wpm (Π) , C số khơng phụ thuộc vào hàm u(x) Cách thác triển sử dụng chứng minh Định lí có tên thác triển Whitney 1.5.3 ˚pm (Ω), ≤ p < ∞ Không gian W ˚∞ (Ω) không ˚ m (Ω) với ≤ p < ∞ bao đóng C Không gian W p gian Wpm (Ω) Định lý 1.5.9 (Friedrichs, [1]) Giả sử Ω miền bị chặn Rn Khi đó, tồn số CΩ phụ thuộc vào Ω cho ∥u∥Lp (Ω) ≤ CΩ Z X n p
∂u p | dx , | ∂x j i=1 Ω ˚p1 (Ω) với hàm u ∈ W Bây ta xét số tính chất hàm khơng gian Sobolev Định lý 1.5.10 ([1]) Giả sử u ∈ Wpm (Ω), p ≥ supp u(x) ⊂⊂ Ω ˚pm (Ω) Khi đó, u ∈ W ˚m Định lý 1.5.11 ([1]) Giả sử {uj }∞ không gian Wp (Ω), (p ≥ 1) hội tụ yếu không gian Lp (Ω) tới hàm u, dãy bị ˚pm (Ω) chặn Khi đó, u bị chặn u ∈ W ˚pm (Rn ) Wpm (Rn ) trùng Định lý 1.5.12 ([1]) Không gian W 10 1.5.4 Không gian W2m,l (QT ) Giả sử Ω miền Rn T = const > Kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} gọi trụ với chiều cao T đáy Ω W2m,l (QT ) không gian Sobolev bao gồm tất hàm u ∈ L2 (QT ), cho tồn tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m theo t đến cấp l thuộc L2 (QT ), trang bị chuẩn ∥u∥W m,l (QT ) = X Z |α|≤mQ T l Z X
1/2 ∂ku |D u| dxdt + | k |2 dxdt ∂t α (1.2) k=1Q T Khi l = 0, số hạng thứ hai vế phải (1.2) khơng có Ta kiểm tra W2m,l (QT ) không gian Banach, khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sinh từ chuẩn (1.2) ˚ m,l (QT ) không gian W m,l (QT ), bao gồm tất hàm W 2 u(x, l) thuộc W2m,l (QT ) khơng gần biên ST = ∂Ω×(0, T ), nghĩa ˚ m,l (QT ) tồn {uk (x, t)}∞ ⊂ C ∞ (QT ), uk (x, t) = u∈W k=1 δ (x, t) ∈ QT = {(x, t) ∈ QT : dist {(x, t), ST } < δ} , δ số dương đủ ˚ m,l (QT ) không bé uk → u W2m,l (QT ) k → ∞ W gian Hilbert 11 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Chúng chứng minh chi tiết tồn tính nghiệm suy rộng trụ hữu hạn trụ vơ hạn Bài tốn Cauchy - Dirichlet phương trình parabolic cấp hai miền trơn khúc có chứa bờ biên 2.1 Thiết lập toán Cho tập bị chặn Ω ⊂ Rn , (n > 2), với biên ∂Ω trơn khúc bao gồm hữu hạn mặt (n − 1) chiều trơn Γi Giả sử mặt Γi giao với hai mặt Γi−1 Γi+1 theo (n − 2) đa tạp trơn li−1 , li+1 Không giảm tổng quát, ta giả sử ∂Ω gồm hai mặt Γ1 , Γ2 giao dọc (n − 1) đa tạp trơn l0 Giả thiết lân cận điểm l0 tập Ω vi phôi với góc nhị diện Với điểm P ∈ l0 hai mặt phẳng T1 (P ), T2 (P ) tiếp xúc với Ω mặt phẳng hai chiều π(P ) (bên Ω) bị chặn tia T1 (P ) ∩ π(P ), T2 (P ) ∩ π(P ) β(P ) độ đo góc Kí hiệu QT = Ω × (0, T ), ST = ∂Ω × (0, T ) với T : < T ≤ ∞ Với đa số p = (p1 , , pn ) ∈ N, |p| = p1 + + pn , ta kí hiệu ∂ |p| Dp = p1 đạo hàm suy rộng cấp p theo x = (x1 , , xn ); ∂x1 ∂xpnn ∂k đạo hàm riêng cấp k theo t ∂tk Trong luận văn đưa vào không gian hàm sau: H m (Ω): không gian tất hàm u(x) xác định Ω có đạo hàm suy rộng đến cấp m thuộc L2 (Ω) với chuẩn  X Z 1/2 ∥u∥H m (Ω) = |Dp u(x)|2 dx < +∞ |p|≤m Ω ˚m (Ω): bao đóng C0∞ (Ω) với chuẩn H m (Ω) H Hαl (Ω): không gian tất hàm u xác định Ω có đạo hàm suy rộng đến cấp l thuộc L2 (Ω) với chuẩn XZ ∥u∥Hαl (Ω) = r2(α+|p|−l) |Dp u(x)|2 dx < +∞ |p|≤l Ω 12 Ở r2 = x21 + x22 α ∈ R H m,k (QT ): không gian hàm u xác định QT có đạo hàm suy rộng Dp u, utj , |p| ≤ m, ≤ j ≤ k thuộc L2 (QT ) với chuẩn Z X m k  X p 2 u m,k = |D u| + |utj | dx dt < +∞ H (QT ) QT j=1 |p|=0 ˚m,k (QT ): bao đóng tập Cs∞ (QT ) với chuẩn H m,k (QT ) H H m,k (QT , γ): không gian hàm u xác định QT , có đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m, theo t đến cấp k , cho Z X m k  X p 2 ∥u∥H m,k (QT ,γ) = |D u| + |utj | e−γt dxdt < +∞, j=1 |p|=0 QT γ số thực dương cho trước ˚m,k (QT , γ): bao đóng H m,k (QT , γ) tập tất hàm khả H vi vô hạn QT triệt tiêu gần ST Hαm,k (QT , γ): không gian hàm u(x, t) xác định QT , có đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m, theo t đến cấp k , cho Z X m k  X 2(α+|p|−m) p 2 ∥u∥Hαm,k (Q ,γ) = r |D u| + |utj | e−γt dxdt < +∞, T QT j=1 |p|=0 γ số thực dương cho trước L2 (QT , γ): không gian hàm u(x, t) xác định QT với chuẩn Z 1/2 −γt ∥u∥L2 (QT ,γ) = |u| e dxdt < +∞, QT γ số thực dương cho trước Xét toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai n n X ∂u
X ∂u ∂ aij (x, t) + bi (x, t) + c(x, t)u, L(x, t; D)u = − ∂x ∂x ∂x i j i i=1 i,j=1 aij , bi c hàm bị chặn QT aij thuộc vào lớp C (Ω) với hầu khắp t ∈ (0, T ) Hơn nữa, với i, j hàm aij liên tục Ω với t ∈ (0, T ) n X aij (x, t)ξi ξj ≥ µ0 |ξ|2 (2.1) i,j=1 13 với ξ ∈ Rn \{0} (x, t) ∈ QT , µ0 > Chúng ta xét toán trụ QT : ut + L(x, t; D)u = f với điều kiện ban đầu QT , (2.2) u(x, 0) = Ω, (2.3) u(x, t)|ST = QT điều kiên biên (2.4) ∂ k bi (x, t) ∂ k c(x, t) ∂ k aij (x, t) ; bitk = ; ctk = = ∂tk ∂tk ∂tk Ký hiệu: aijtk Btk (u, v; t) = Z n Z n Z X X ∂u ∂v ∂u aijtk (x, t) dx + bitk (x, t) vdx + ctk (x, t)uvdx ∂x ∂x ∂x j i i i,j=1 i=1 Ω Ω Ω B(u, v; t) = Bt0 (u, v; t) Z n Z n Z X X ∂u ∂u ∂v dx + vdx + c(x, t)uvdx bi (x, t) = aij (x, t) ∂x ∂x ∂x j i i i=1 i,j=1 Ω Ω Ω ˚m (Ω) Ta kiểm tra được, B(., ; t) dạng song tuyến Trong u, v ∈ H tính phụ thuộc thời gian gọi dạng song tuyến tính liên kết với tốn tử L(x, t; D) Theo cơng thức Green ta có (L(x, t; D)u, v)L2 (Ω) = B(u, v; t), với u, v ∈ C0∞ (Ω) với hầu khắp t ∈ [0, T ) Định nghĩa 2.1.1 Hàm u gọi nghiệm suy rộng không gian H 1,1 (QT , γ) toán (2.2) - (2.4) ˚1,1 (QT , γ), u(x, 0) = thỏa mãn phương trình u∈H (ut , v)L2 (Ω) + B(u, v; t) = (f, v)L2 (Ω) , ˚1 (Ω) với hầu khắp t ∈ (0, T ) với hàm v ∈ H (2.5) ˚1 (Ω) với Điều kiện biên (2.4) toán suy từ u(., t) ∈ H hầu khắp t ∈ [0, T ) Sử dụng bất đẳng thức G˚ arding ([1]) với m = 1, với số biến đổi để đưa toán tử L B(u, v; t) cách đặt bất đẳng thức G˚ arding ta bổ đề sau 14 Bổ đề 2.1.2 [1] Giả sử hệ số toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.1) QT , hàm aij liên tục theo biến x theo t ∈ [0, T ) Khi đó, tồn ˚1,1 (QT ), ta có số µ0 > 0, λ ≥ cho với u(x, t) ∈ H B(u, u; t) ≥ µ0 ∥u∥2H (Ω) − λ∥u∥2L2 (Ω) (2.6) Chú ý 2.1.3 Hệ số λ Bổ đề 2.1.2 chọn Thật vậy, giả sử λ ̸= (λ số Bổ đề 2.1.2 ) Ta đặt v = e−λt u đó, u = veλt Từ ta có
ut = vt eλt + λveλt = vt + λv eλt Thay vào (2.2) ta
vt + λv eλt + L(x, t; D)veλt = f (x, t) Mặt khác : L(x, t, D)veλt n n X ∂veλt
X ∂veλt ∂ aij (x, t) + + c(x, t)veλt , bi (x, t) =− ∂xi ∂xj ∂xi i=1 i,j=1 kết hợp với đẳng thức ta nhận
vt + λ + L(x, t; D) v = f (x, t)e−λt ˜ = f˜, Hay ta có hệ vt + Lv ˜ = λ + L(x, t; D), f˜ = f (x, t)e−λt L ˜ liên kết với dạng song tuyến tính B ˜ = λ + B thỏa mãn Do tốn tử L bất đẳng thức ˜ u; t) ≥ µ0 ∥u∥2 m B(u, (2.7) H (Ω) Từ suy số λ Bổ đề 2.1.2 chọn Bổ đề 2.1.4 (Bất đẳng thức Gronwall - Bellman, [1]) Giả sử u(t) hàm liên tục tuyệt đối, không âm [0, T ] thỏa mãn hầu khắp t bất đẳng thức vi phân u′ (t) ⩽ Φ(t)u(t) + ψ(t), (2.8) đó, Φ(t), ψ(t) hàm khả tích khơng âm [0, T ] Khi đó, Rt Zt Φ(s)ds   u(t) ⩽ e0 u(0) + ψ(s)ds với t ∈ [0, T ] (2.9) Đặc biệt, u′ (t) ⩽ Φ(t)u(t) với t ∈ [0, T ] u(0) = u ≡ [0, T ] 15 2.2 Sự tồn tính nghiệm tốn Trong mục này, chứng minh chi tiết tồn tính nghiệm khơng gian Sobolev có trọng phù hợp với biến thời gian toán (2.2)-(2.4) trụ QT với đáy miền trơn khúc có chứa bờ biên Định lý 2.2.1 ([11]) Cho f ∈ L2 (QT , γ0 ), γ0 > 0, α ∈ [0, 1] hệ số toán tử L(x, t; D) thỏa mãn sup{|aij |, |bi |, |c| : ≤ i, j ≤ n; (x, t) ∈ QT } ≤ µ, µ = const Khi với ˚1,1 (QT , γ) γ > γ0 tốn (2.2)-(2.4) có nghiệm suy rộng u(x, t) ∈ H Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức
∥u∥2H 1,1 (QT ,γ) ⩽ C ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) , C số khơng phụ thuộc vào u f Chứng minh Ta chứng minh tồn nghiệm toán (2.2)-(2.4) phương pháp xấp xỉ Galerkin Bằng phương pháp trực giao hóa Gramm-Schmith, giả sử {ωk (x)}∞ k=1 ˚1 (Ω), trực chuẩn L2 (Ω) Ta tìm dãy nghiệm xấp xỉ sở H {uN (x, t)} dạng N u (x, t) = N X CkN (t)ωk (x), k=1 hệ số CkN (t), t ∈ [0, T ), k = 1, , N nghiệm hệ phương trình vi phân thường: N (uN t , ωk ) + B(u , ωk ; t) = (f, ωk ), t ∈ [0, T ), k = 1, N CkN (0) = 0, k = 1, , N điều kiện ban đầu (2.10) (2.11) (., ) tích vơ hướng L2 (Ω); N P N Từ u (x, t) = CkN (t)ωk (x), k=1 uN (x, 0) = ta có N P k=1 N ∥u (x, 0)∥2L2 (Ω) N CkN (0)ωk (x), : N = (u (x, 0), u (x, 0)) = N X k=1 16 (CkN (0)) = (2.12) Bài tốn (2.10)-(2.11) cịn viết dạng tắc sau N dCkN (t) X k+l e (t)CkN (t) = f k (t), k = 1, , N + dt l=1 CkN (0) = 0, k = 1, , N ek+l (t) := B(ωl , ωk ; t), k, l = 1, , N với f k (t) := (f (x, t), ωk (x)) Đây hệ N phương trình vi phân tuyến tính hàm ẩn CkN (t) Từ giả thiết kết biết phương trình vi phân, tốn (2.10)(2.11) có nghiệm CkN (t), k = 1, , N Nhân hai vế (2.10) với CkN (t) sau lấy tổng theo k từ đến N ta được, với hầu khắp t ∈ [0, T ) đẳng thức N N N N (uN t , u ) + B(u , u ; t) = (f, u ) (2.13) Z  d d  N ∥u ∥L2 (Ω) = uN uN dx Ta có dt dt Z Z Z Ω Z N N N N N N N = ut u dx + u ut dx = ut u dx + uN t u dx Ω hay Ω d dt Z Ω Ω N N N uN uN dx = (uN t , u ) + (ut , u ) (2.14) Ω Cộng (2.13) với liên hợp phức sử dụng (2.14) ta  d  N ∥u ∥L2 (Ω) + 2ReB(uN , uN ; t) = 2Re(f, uN ) dt (2.15) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với số ϵ dương đủ bé bất đẳng thức Hardy với α ∈ [0, 1], ta có |(f, uN )| ⩽ ∥rα f ∥L2 (Ω) ∥r−α uN ∥L2 (Ω) ⩽ C∥f ∥Hα0 (Ω) ∥r−α uN ∥L2 (Ω) ⩽ C∥f ∥Hα0 (Ω) ∥r−α uN ∥H (Ω) ⩽ C(ϵ)∥f ∥2Hα0 (Ω) + ϵ∥r−α uN ∥2H (Ω) (2.16) Mặt khác sử dụng bất đẳng thức (2.6), ta nhận ReB(uN , uN ; t) ⩾ µ0 ∥uN ∥2H (Ω) 17 (2.17) Do từ (2.15), (2.16) (2.17) suy bất đẳng thức  d  N ∥u ∥L2 (Ω) + 2(µ0 − ϵ)∥uN ∥2H (Ω) ⩽ C∥f ∥2Hα0 (Ω) dt (2.18) Với hầu khắp t ∈ [0, T ), chọn ϵ đủ bé, từ (2.18) ta  d  N ∥u ∥L2 (Ω) ⩽ C∥f ∥2Hα0 (Ω) dt Ta đặt η(t) := ∥uN ∥2L2 (Ω) , ξ(t) := ∥f ∥2Hα0 (Ω) với hầu khắp t ∈ [0, T ) Khi đó, từ (2.18) kéo theo η ′ (t) ⩽ εη(t) + Cξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ) Theo Bổ đề 2.1.4 ta có η(t) ⩽ eεt (η(0) + C Zt ξ(s)ds), t ∈ [0, T ) (2.19) Từ điều kiện ban đầu (2.12) ta có η(0) = ∥uN (0)∥2L2 (Ω) = Bởi từ (2.19), với hầu khắp t ∈ [0, T ) ta ∥uN ∥2L2 (Ω) ⩽ eεt C Zt ∥f ∥2Hα0 (Ω) ds
⩽ eεt Ceγ0 t Zt e−γ0 t ∥f ∥2Hα0 (Ω) ds
⩽ eεt Ceγ0 t ZT e−γ0 s ∥f ∥2Hα0 (Ω) ds
(γ0 +ε)t ⩽ Ce ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) Nhân hai vế bất đẳng thức với e−γt , γ > γ0 , sau lấy tích phân theo t từ đến T ta 18 ∥uN ∥2L2 (QT ,γ) = ZT e−γt ∥uN ∥2L2 (Ω) dt ⩽ C∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) ZT e(γ0 +ε−γ)t dt C ⩽ ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) γ − γ0 − ε với γ > γ0 , ta chọn ε > cho γ > γ0 + ε Ở C kí hiệu chung cho số khơng phụ thuộc vào u, f N Từ ta có ∥uN ∥2L2 (QT ,γ) ⩽ C∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) (2.20) Nhân hai vế (2.18) với e−γt , sau lấy tích phân theo t từ đến τ , với ⩽ τ < T ta Zτ Zτ
d ∥uN ∥2L2 (Ω) dt + 2(µ0 − ϵ) e−γt ∥uN ∥2H (Ω) dt e−γt dt 0 Zτ ⩽C e−γt ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) dt ZT ⩽C e−γt ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) dt ⩽ C∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) (2.21) Kết hợp với (2.20) ta Zτ e−γt ⩽ ⩽ ⩽
d N ∥u ∥L2 (Ω) dt + 2µ0 dt Zτ e−γt ∥uN ∥2H m (Ω) dt N C∥f ∥Hα0 (QT ,γ0 ) + C∥u ∥L2 (QT ,γ)
C∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) + C ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 )
C ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) 19 (2.22) Mặt khác Zτ
d N ∥u ∥L2 (Ω) dt dt e−γt Zτ =
d −γt N e ∥u ∥L2 (Ω) dt + γ dt Zτ e−γt ∥uN ∥2L2 (Ω) dt 0 = e−γτ ∥uN (x, τ )∥2L2 (Ω) + γ Zτ e−γt ∥uN ∥2L2 (Ω) dt Thay đẳng thức vào (2.22) với ý e−γτ ∥uN (x, τ )∥2L2 (Ω) ⩾ 0; γ Zτ e−γt ∥uN ∥2L2 (Ω) dt ⩾ 0 ta Zτ 2µ0 e−γt ∥uN ∥2H (Ω) dt ⩽ C ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 )
Zτ Suy
e−γt ∥uN ∥2H (Ω) dt ⩽ C ∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) , với ⩽ τ < T (2.23) Do vế phải bất đẳng thức không phụ thuộc vào τ ∈ [0, T ) nên ta có ZT e−γt ∥uN ∥2H (Ω) dt ⩽ C∥f ∥2L2 (QT ,γ0 ) , hay ∥uN ∥2H 1,0 (QT ,γ) ⩽ C∥f ∥2Hα0 (QT ,γ0 ) (2.24) C khơng phụ thuộc vào u, f N ˚1 (Ω), ∥v∥2 m Cố định v ∈ H H (Ω) ⩽ đặt v = v + v v ∈ ⊥ 2 N span{ωk }N k=1 (v , ωk ) = 0, k = 1, , N (nghĩa v ∈ span{ωk }k=1 ) Khi đó, ta có ∥v ∥H (Ω) ≤ ∥v∥H (Ω) ⩽ Tiếp tục sử dụng (2.10) ta N 1 (uN t , v ) + B(u , v ; t) = (f, v ), với hầu khắp t ∈ [0, T ) 20 N Từ cách xây dựng u (x, t) = N P k=1 CkN (t)ωk cách đặt hàm v, v , v ta (uN t ,v ) N X dCkN (t) = (ωk , v ) = 0, dt k=1 N N (uN t , v) = (ut , v ) + (ut , v ) = (uN t ,v ) = (f, v ) − B(uN , v ; t) S dng bt ng thc Hăolder dng tớch phân, bất đẳng thức Cauchy với ε bị chặn µ hàm |aij |, |bi |, |c| ta có: N 1 N |(uN t , v)| = |(ut , v )| ⩽ |(f, v )| + |B(u , v ; t)| n Z X ∂uN ∂v 1 ⩽ ∥f ∥L2 (Ω) ∥v ∥L2 (Ω) +