2 Đânh giâ ở trín biín đối với đạo hăm cấp một của nghiệm băi toân
2.6Đânh giâ môđun liín tục đối với nghiệm
Những hăm răo cản của Mục 2.1, 2.2 vă 2.3 có thể được âp dụng để đânh giâ modun liín tục trín biín của phương trình (2.1). Ngoăi ra nhận xĩt rằng nếu chỉ giả thiết u ∈C0( ¯Ω)∩C2(Ω) thì khi đó thay thế cho đânh giâ sup
∂Ω
|Du|, ta sẽ có đânh giâ đối với đại lượng sau:
sup
x∈Ω
y∈∂Ω
|u(x)−u(y)| |x−y| .
Hơn nữa chúng ta sẽ giả thiết rằng ϕ ∈ C0(∂Ω). Để chỉ ra điều năy ta lấy một điểm y trín ∂Ω vă với ε > 0 tùy ý, chọn δ > 0 sao cho |ϕ(x)−ϕ(y)| < ε với
|x−y|< δ. Khi đó ta định nghĩa những hăm số ϕ±∈C2( ¯Ω) bởi
ϕ±(x) = ϕ(y)± ε+ 2 sup|ϕ| δ2 |x−y|2 . (2.88) Rõ răng, trín ∂Ω ta có ϕ−≤ϕ≤ϕ+.
Ở đđy nếu những toân tử Q vă những hăm số ϕ± thỏa mên bất kỳ những điều kiện của những đânh giâ ở Mục 2.1, 2.2, 2.3, thì ta thu được một đânh giâ
ϕ−+w−≤u≤ϕ++w+, (2.89) trong N∩Ω với w± lă những hăm cản thích hợp vă N lă khoảng lđn cận của y.
Ta có w+ =−w− =w, theo (2.88) thì
|u(x)−u(y)| ≤ε+w(x) + 2 sup|ϕ|
δ2 |x−y|2 trong N∩Ω. (2.90) Ta có thể đânh giâ tính liín tục như sau:
Định lí 2.19. ([3]) Giả sử u, ϕ ∈ C0( ¯Ω)∩C2(Ω) thỏa mên Qu = 0 trong Ω vă
học của Định lý 2.1, Hệ quả 2.4, Hệ quả 2.6, Hệ quả 2.9 hoặc Định lý 2.10. Khi đó môđun liín tục của u trín ∂Ω có thể được đânh giâ qua câc đại lượng môđun liín tục của ϕ trín ∂Ω,sup
∂Ω
|ϕ|,sup Ω
Kết luận
Luận văn đê trình băy câc vấn đề sau:
- Phât biểu băi toân Dirichlet cho phương trình eliptic â tuyến tính cấp hai, trong đó việc nghiín cứu tính giải được của băi toân năy được đưa về nghiín cứu đânh giâ trín nghiệm.
- Trình băy khâi niệm hăm cản trín biín vă xđy dựng câc hăm cản trong câc trường hợp miền có cấu trúc hình học khâc nhau.
- Trình băy câc đânh giâ đối với đạo hăm cấp một của nghiệm trín biín. - Phât biểu câc đinh lí về câc điều kiện cho tính không giải được của băi toân Dirichlet.
Tăi liệu tham khảo
[A ] Tăi liệu tiếng Việt
[1 ] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hăm riíng tuyến tính, Nhă xuất bản Đại học Sư phạm Hă Nội.
[2 ] Nguyễn Thừa Hợp (2004), Phương trình đạo hăm riíng, Nhă xuất bản Đại học Quốc gia Hă Nội.
[B ] Tăi liệu tiếng Anh
[3 ] D. Gilbarg, N. Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equa- tions of Second Order, Springer.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});