Phương pháp CIM đối với bài toán biên elliptic có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ĐÀO THỊ THẮM PHƯƠNG PHÁP CIM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên – 2011 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG ĐÀO THỊ THẮM PHƯƠNG PHÁP CIM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH Chuyên ngành : Khoa học Máy tính Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ VINH QUANG Thái Nguyên – năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phương pháp CIM đối với bài toán biên elliptic có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách” là công trình nghiên cứu của riêng tôi dướ i sự hướ ng dẫ n củ a TS . V Vinh Quang . Tôi xin chị u trá ch nhiệ m về lờ i cam đoan củ a mình. Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực. Tác giả Đào Thị Thắm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 1 3 Các kiến thức cơ bản 3 1.1. Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 3 1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 3 1.1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu. 4 1.1.3. Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 5 1.2. Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng 8 1.2.1. Bài toán vi phân 8 1.2.2. Lưới sai phân 8 1.2.3. Hàm lưới 9 1.2.4. Đạo hàm lưới 9 1.2.5. Bài toán sai phân 10 1.2.6. Bài toán biên elliptic 10 Chương 2 28 Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) 28 2.1. Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn 28 2.2. Cơ sở các phương pháp CIM đối với phương trình elipptic 29 2.2.1. Trường hợp không gian một chiều 30 2.2.2. Trường hợp không gian hai chiều 38 2.3. Một số kết quả thực nghiệm với CIM2 45 Chương 3 49 Hướng tiếp cận phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn qua mặt phân cách 49 3.1. Cơ sở phương pháp chia miền 49 3.2. Bài toán biên với hệ số đạo hàm gián đoạn 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3. Bài toán biên gián đoạn qua mặt phân cách 54 3.4. Các kết quả thực nghiệm 56 KẾ T LUẬ N 65 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 PHỤ LỤC 68 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Trong trường hợp tổng quát, việc tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên mà chủ yếu là phương trình elliptic cấp hai là không thực hiện được. Việc nghiên cứu giải gần đúng các bài toán biên mà tiêu biểu là các bài toán được biểu diễn bằng các phương trình cấp hai đã và đang là một lĩnh vực rất quan tâm của các nhà toán học. Trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình nghiên cứu về lĩnh vực này, mục đích chính của các phương pháp là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một điểm lưới. Tuy nhiên khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp số nào đó cho cả miền gặp nhiều khó khăn. Để giải quyết khó khăn trên, trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình nghiên cứu về lĩnh vực này. Các hướng nghiên cứu chủ yếu là đưa ra các phương pháp sai phân đặc biệt xung quanh lân cận các điểm kỳ dị hoặc biên phân chia để đưa bài toán đang xét về các hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải các hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng. Một hướng thứ hai là sử dụng phương pháp chia miền chuyển bài toán trên miền đang xét về hai bài toán không chứa các điểm kỳ dị, sau đó xuất phát từ lời giải các bài toán trên hai miền ta thu được nghiệm của bài toán gốc. Nội dung chính của luận văn là đặt vấn đề tìm hiểu phương pháp sai phân đặc biệt được gọi là phương pháp CIM (Coupling interface method) giải phương trình elliptic cấp hai trong trường hợp miền đang xét tồn tại mặt phân cách tại đó xảy ra gián đoạn của hàm và đạo hàm và đồng thời nghiên cứu phương pháp chia miền giải bài toán trên, tiến hành tính toán thử nghiệm và so sánh giữa phương pháp chia miền và phương pháp CIM. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương: Chương 1: Đưa ra các kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, cơ sở phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình lưới Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 và giới thiệu thư viện chương trình giải phương trình elliptic với hệ số hằng số trong miền chữ nhật. Chương 2: Trình bày cơ sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2 trong không gian một chiều và không gian hai chiều xây dựng phương pháp sai phân đặc biệt đối với bài toán biên có mặt gián đoạn, các thuật toán cơ bản về các phương pháp tương ứng, các kết quả thực nghiệm đối với các bài toán cụ thể. Chương 3: Trình bày cơ sở phương pháp chia miền, xây dựng các sơ đồ lặp giải bài toán biên elliptic tồn tại mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên, xây dựng các chương trình thực nghiệm trong các bài toán cụ thể và bài toán tổng quát. So sánh phương pháp chia miền với phương pháp CIM. Phần cuối của luận văn là các chương trình thực nghiệm được viết trên ngôn ngữ Matlab version7.0. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn TS. V Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song nội dung bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn để luận văn thêm hoàn thiện. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong Chương này luận văn trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm: các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình vectơ ba điểm và đặc biệt là giới thiệu thư viện RC2009 giải số bài toán biên elliptic với hệ số hằng. Các kiến thức cơ bản được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 8, 10]. 1.1. Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Có rất nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình hay một hệ phương trình vi phân nói chung và phương trình đạo hàm riêng nói riêng. Với hàm số một biến =  () ta có khái niệm đạo hàm   ():      = lim 0   +   ()  khái niệm phương trình vi phân   =   ,   và khái niệm bài toán Cauchy: Tìm hàm số = () xác định tại [ 0 ,  ] sao cho:   =   ,   ,  0 < ,    0  =     ,   là hàm số cho trước.  0 , ,  là những số cho trước. Với hàm số nhiều biến số ta cng gặp những khái niệm và bài toán tương tự. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Xét bài toán hai biến số = (, ), ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến :   = lim 0   +  ,   (, )  đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến y:   = lim 0   , +   (, )  và các đạo hàm riêng cấp 2:  2   2 =       ,  2   2 =        2   =       ,  2   =       Nếu các đạo hàm riêng  2   và  2   là các hàm liên tục thì chúng bằng nhau. Phương trình:   ,    2   2 +   ,    2   +   ,    2   2 +   ,     +   ,     +   ,   = (, ) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2. 1.1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu. 1. Phương trình Laplace do Laplace đưa ra vào năm 1780 =       = 0,    =1 2. Phương trình Helmholtz được Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860 =  3. Phương trình chuyển dịch tuyến tính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5   +       = 0  =1 4. Phương trình Liouville được nghiên cứu vào khoảng năm 1851     (  )   = 0  =1 5. Phương trình truyền nhiệt được Fourier công bố vào năm 1810 – 1822   =  6. Phương trình Schrodinger (1926)   + = 0 7. Phương trình truyền sóng được D’Alembert đưa ra năm 1752   = 0 và dạng tổng quát của nó là:            +       = 0  =1  =1 1.1.3. Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính Giả sử = (, ) là hàm số của hai biến độc lập , . Kí hiệu:   =   ;   =   ;   =  2   2 ;   =  2   2 ;   =   =  2   ; Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 á tuyến:   + 2  +   =  (1.1) Với , , ,  là những hàm số phụ thuộc , ,   ,   . Giả sử phương trình trên có nghiệm là = (, ) đủ trơn. Xét  là một đường cong nào đó của mặt phẳng (, ) nằm trong miền xác định của hàm (, ) và có phương trình = (), hay   ,   = 0. Ta có:      =     +     ;      =     +     Vậy ta có hệ: [...]... 𝑥 liên tục qua mặt phân cách 𝛤, bài toán trở thành bài toán biên elliptic bình thường Đối với bài toán này, ta có thể tìm được lời giải số qua các phương pháp sai phân thông thường (như ở Chương 1) Trường hợp hàm và các hệ số đạo hàm tồn tại bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách, ký hiệu: 𝑢 = 𝜏 là bước nhảy của hàm qua biên phân cách 𝜀 𝜕𝑢 𝜕𝑛 = 𝜍 là bước nhảy của đạo hàm qua biên phân cách Khi đó, tại... số bài toán biên elliptic (1.8), các tác giả sử dụng phương pháp sai phân xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán biên, chuyển bài toán vi phân (1.8) về các bài toán sai phân tương ứng với các hệ phương trình vec tơ ba đi ểm ́ Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các hệ phương trình đại số Các kết quả đã được công bố trong công trình [3] a Bài toán biên Dirichlet Xét bài toán. .. bài toán được đưa ra trong Chương 2 và Chương 3 của luận văn Chương 2 Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) Trong Chương 2, luận văn trình bày một phương pháp sai phân đặc biệt được gọi là phương pháp CIM đối với bài toán tồn tại mặt phân cách trong không gian một chiều và không gian hai chiều đưa bài toán đang xét về các hệ phương trình sai phân tương ứng, các thuật toán tương ứng với CIM1 và CIM2 ,... điểm lân cận quanh 𝛤, các phương pháp sai phân thông thường không thực hiện được Đối với các bài toán này, có hai hướng nghiên cứu giải quyết:  Hướng 1: Xây dựng các phương pháp sai phân đặc biệt xung quanh lân cận mặt phân cách để đưa bài toán đang xét về hệ phương trình sai phân tương ứng Từ đó việc giải số của bài toán được đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng các phương pháp đúng hoặc... 2: Sử dụng phương pháp chia miền đang xét về hai miền bằng biên phân chia chính là mặt phân cách, chuyển bài toán đang xét về hai bài toán trên hai miền Sau đó xây dựng các sơ đồ lặp tương ứng tìm nghiệm xấp xỉ của các bài toán trên hai miền từ đó thu được nghiệm của bài toán gốc Sau đây luận văn sẽ trình bày cơ sở của phương pháp sai phân đặc biệt 2.2 Cơ sở các phương pháp CIM đối với phương trình... (2.1)  Đối với các điểm trong 𝑥 𝑖 , ta có phương trình sai phân: −(𝜀𝑢′)′(𝑥 𝑖 ) = − Trong đó: 𝜀 1 𝑖+ 2 1 𝑕2 𝜀 1 𝑖+ 2 = 𝜀 𝑥𝑖 + 𝑢 𝑖+1 − 𝑢 𝑖 − 𝜀 𝑕 ; 𝜀 2 1 𝑖− 2 1 𝑖− 2 = 𝜀 𝑥𝑖 − 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑖−1 + 𝑂 𝑕2 (2.3) 𝑕 2  Đối với các điểm ngoài 𝑥 𝑖 ta có phương pháp CIM1 và phương pháp CIM2 2.2.1.1 Phương pháp CIM1 trong không gian một chiều Giả sử có một điểm phân cách 𝑥 ∈ [𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 ) Gọi miền mà 𝑥 𝑖 xác định là mặt. .. các bài toán biên elliptic có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách, các tác giả I-Liang Chern và Yu-Chen Shu đã đề xuất ra phương pháp CIM (Coupling interface method) bao gồm phiên bản bậc 1 – CIM1 và phiên bản bậc 2 – CIM2 vào năm 2007, được tham khảo trong tài liệu [6] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 2.2.1 Trường hợp không gian một chiều Xét bài toán: ... ứng với các bài toán cụ thể Các kết quả trên được tham khảo trong các tài liệu [6, 7, 11] 2.1 Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn Xét bài toán tổng quát: −𝛻 𝜀 𝑥 𝛻𝑢 𝑥 = 𝑓 với 𝑥 ∈ 𝛺 ∈ 𝑅2 𝑢 = 𝜑 / 𝑥 ∈ 𝜕𝛺 Trong đó, giả sử miền 𝛺 tồn tại một mặt phân cách 𝛤 𝛤 𝑛 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 𝜕𝛺 http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Trong trường hợp khi hệ số 𝜀 𝑥 liên tục qua. .. các hằng số, 𝛺 là hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1, L2 Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền 𝛺 thành (𝑀 x 𝑁) điểm lưới, trong đó 𝑁 = 2 𝑛 , 𝑛 > 0 Ký hiệu 𝑕1 = 𝐿1 𝑀 , 𝑕2 = 𝐿2 𝑀 là các bước lưới, 𝜑 là vec tơ hàm v ế ́ phải của phương trình 2 2 Từ phương pháp sai phân với độ chính xác 𝑂(𝑕1 + 𝑕2 ) chuyển bài toán vi phân (1.28) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vec tơ ba điểm ́... = 0 − 1.1 < 0 tại mọi (𝑥, 𝑦), nên là các phương trình elip trong cả hai mặt phẳng (𝑥, 𝑦) 1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp lưới (hay còn gọi là phương pháp sai phân) là phương pháp được áp dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung chính của nó là đưa bài toán vi phân đang xét về việc giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên . thực nghiệm với CIM2 45 Chương 3 49 Hướng tiếp cận phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn qua mặt phân cách 49 3.1. Cơ sở phương pháp chia miền 49 3.2. Bài toán biên với hệ số. chiều xây dựng phương pháp sai phân đặc biệt đối với bài toán biên có mặt gián đoạn, các thuật toán cơ bản về các phương pháp tương ứng, các kết quả thực nghiệm đối với các bài toán cụ thể. Chương. elliptic 10 Chương 2 28 Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) 28 2.1. Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn 28 2.2. Cơ sở các phương pháp CIM đối với phương trình elipptic