Phương pháp sai nhân với phương trình Elliptic có bước nhảy gián đoạn doc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu 1 Nội dung 3 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3 1.1 Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . 3 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai . . . . . . 4 1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . 7 1.2.1 Bài toán vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Đạo hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Bài toán sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.6 Bài toán biên elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.7 Giới thiệu về thư viện RC2009 . . . . . . . . . . . . 11 2 PHƯƠNG PHÁP CIM (Coupling Interface Method) 17 2.1 Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn. . . 17 2.2 Phương pháp CIM trong không gian một chiều . . . . . . . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.2.1 Phương pháp CIM1 trong không gian một chiều. . . 19 2.2.2 Phương pháp CIM2 trong không gian một chiều. . . 22 2.3 Phương pháp CIM không gian hai chiều. . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Phương pháp CIM1 trong không gian 2 chiều . . . . 28 2.3.2 Phương pháp CIM2 trong không gian 2 chiều . . . . 30 2.4 Phương pháp CIM trong không gian d chiều . . . . . . . . . 34 2.4.1 Phương pháp CIM1 trong không gian d chiều. . . . 34 2.4.2 Phương pháp CIM2 trong không gian d chiều . . . . 36 2.5 Một số số liệu thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH 43 3.1 Phương pháp chia miền đối với bài toán gián đoạn qua mặt phân cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Mô hình tính toán song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Các kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Những năm gần đây đã có không ít công trình nghiên cứu về lĩnh vực tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên mà chủ yếu là phương trình elliptic cấp hai, mục đích chính của các phương pháp là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một điểm lưới. Nếu miền hình học là miền phức tạp, các hệ số của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng phương pháp số cho cả miền là trở nên khó khăn. Chính vì vậy, các công trình nghiên cứu đã tập trung đưa ra các hướng nghiên cứu chủ yếu là đưa ra các phương pháp sai phân, đặc biệt là xung quanh lân cận kỳ dị hoặc các biên phân chia để đưa bài toán đang xét về hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng. Hướng thứ hai là sử dụng phương pháp chia miền chuyển bài toán trên miền đang xét về hai bài toán không chứa các điểm kỳ dị, sau đó xuất phát từ lời giải các bài toán trên hai miền ta thu được nghiệm của bài toán gốc. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Các khái niệm cơ bản Trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, cơ sở phương pháp lưới và giới thiệu thư viện chương trình giải phương trình elliptic với hệ số hằng số trong miền chữ nhật. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 2: Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) Trình bày cơ sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2 trong không gian một chiều,hai chiều và d chiều, các thuật toán cơ bản về các phương pháp tương ứng, các kết quả thực nghiệm đối với các bài toán cụ thể. Chương 3: Mô hình tính toán song song đối với bài toán biên gián đoạn qua mặt phân cách Trình bày cơ sở phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn qua mặt phân cách, mô hình tính toán song song trong trường hợp tồn tại nhiều biên phân chia trong miền, xây dựng các sơ đồ lặp giải bài toán biên elliptic tồn tại mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên, xây dựng các chương trình thực nghiệm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo Viện Toán,Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2011. Tác giả Quản Thị Tố Quyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong Chương này luận văn sẽ trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm: các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng và giới thiệu thư viện RC2009 giải số bài toán biên elliptic với hệ số hằng số. Các kiến thức cơ bản được tham khảo trong các tài liệu [1,2,3,4]. 1.1 Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 1.1.1 Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng Hàm số một biến y = y (x) ta có khái niệm đạo hàm y  (x) y  (x) = lim ∆x→0 y(x + ∆x) −y(x) ∆x Khái niệm phương trình vi phân y  (x) = f(x, y) và khái niệm bài toán Cauchy: Tìm hàm số y = y (x) xác định tại x ∈ [x 0 , X] thỏa mãn: y  (x) = f(x, y), x 0 < x ≤ X, y(x 0 ) = η Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 trong đó: f(x, y), x 0 , x, X, η là hàm số cho trước. Xét bài toán hai biến số u = u(x, y) ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến x: ∂u ∂x = lim ∆x→0 y(x + ∆x) − y(x) ∆x . đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến y: ∂u ∂y = lim ∆y→0 y(x + ∆x) − y(x) ∆y . và các đạo hàm riêng cấp 2: ∂ 2 u ∂x 2 = ∂ ∂x  ∂u ∂x  , ∂ 2 u ∂y 2 = ∂ ∂y  ∂u ∂y  , ∂ 2 u ∂x∂y = ∂ ∂y  ∂u ∂x  , ∂ 2 u ∂y∂x = ∂ ∂x  ∂u ∂y  . Nếu ∂ 2 u ∂x∂y và ∂ 2 u ∂y∂x là các hàm liên tục thì ∂ 2 u ∂x∂y = ∂ 2 u ∂y∂x . Phương trình: A(x, y) ∂ 2 u ∂x 2 + B(x, y) ∂ 2 u ∂x∂y + C(x, y) ∂ 2 u ∂y 2 + D(x, y) ∂u ∂x + E(x, y) ∂u ∂y + F (x, y)u = f(x, y). là phương trình đạo hàm riêng cấp 2. 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai Giả sử u = u(p, q) là hàm số của hai biến độc lập p, q. kí hiệu: u p = ∂u ∂p , u q = ∂u ∂q , u pp = ∂ 2 u ∂p 2 , u qq = ∂ 2 u ∂q 2 . u pq = u qp = ∂ 2 u ∂q∂p . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 tuyến tính: Au pp + 2Bu qp + Cu qq = F. (1.1) với A, B, C, F là những hàm số phụ thuộc p, q, u p , u q . Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm là u = u(p, q) đủ trơn. Xét Γ là một đường cong nào đó của mặt phẳng O pq nằm trong miền xác định của hàm u = u(p, q) và có phương trình q = q (p) , hay ϕ(p, q) = 0. Ta có: d(u p ) = u pp d p + u pq d q ; d(u q ) = u qq d q + u qp d p . Ta có hệ:    Au pp + 2Bu qp + Cu qq = F (p, q, u, u p , u q ) u pp d p + u qp d q = d(u p ) u qq d q + u qp d p = d(u q ) hay ở dạng ma trận:   A 2B C d p d q 0 0 d q d p     u pp u qp u qq   =   F d (u p ) d (u q )   Do giả sử phương trình (1.1) có nghiệm u = u(p, q) đủ trơn nên hệ trên luôn có nghiệm. ma trận của hệ: M =   A 2B C d p d q 0 0 d q d p   Nếu Det(M) = 0 trên Γ thì hệ trên có nghiệm duy nhất trên Γ , nghĩa là trên Γ các đạo hàm cấp hai của u được xác định một cách duy nhất theo vế phải. Nếu Det(M) = 0 trên Γ thì hệ trên vẫn có nghiệm duy nhất trên Γ vì ta đã xuất phát từ giả thiết phương trình (1.1) có nghiệm u , nhưng nghiệm đó không duy nhất, nghĩa là trên Γ các đạo hàm cấp hai của u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 xác định một cách không duy nhất theo vế phải. Trong trường hợp này ta gọi là một “đường đặc trưng” của phương trình đạo hàm riêng (1.1). Như vậy đường đặc trưng xác định bởi điều kiện Det(M) = 0 , điều kiện này viết như sau: Det(M) = A (d q ) 2 + 2B(d q d p ) + C (d p ) 2 . (1.2) hay: A  d q d p  2 + 2B( d q d p ) + C = 0, (1.3) trong đó d q d p là hệ số góc của tiếp tuyến của đường đặc trưng, người ta gọi d q d p là phương đặc trưng tại điểm (p, q). Vậy phương trình (1.3) xác định phương đặc trưng, nó là phương trình vi phân của đường đặc trưng. Phương trình (1.3) là một phương trình bậc hai đối với d q d p . Xét ∆ = B 2 − AC • Nếu B 2 − AC > 0 tại (p, q) ∈ miền Ω nào đó thì phương trình (1.3) có hai nghiệm thực khác nhau tại (p, q) ∈ Ω : d q d p = −B ± √ B 2 − AC A Khi đó tại mỗi (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đặc trưng thực khác nhau, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại hypebol trong Ω . • Nếu B 2 − AC = 0 tại (p, q) ∈ miền Ω nào đó thì phương trình (1.3) có hai nghiệm thực trùng nhau tại (p, q) ∈ Ω : d q d p = B A Khi đó tại mỗi (p, q) ∈ Ω có hai phương trình đặc trưng trùng nhau, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại parabol trong Ω . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... thì phương trình (1.3) không có hai nghiệm thực nào mà chỉ có hai nghiệm phức liên hợp tại (p, q) ∈ Ω : √ dq −B ± i B 2 − AC = dp A Khi đó tại mỗi (p, q) ∈ Ω không có phương trình đặc trưng thực nào mà chỉ có hai phương trình đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại ellip trong Ω 1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp lưới (hay còn gọi là phương pháp sai. .. qua các phương pháp sai phân thông thường (như đã trình bày tại Chương 1 của luận văn ) Trường hợp hàm và các hệ số đạo hàm ∃ bước nhảy gián đoạn qua ∂u mặt phân cách, ký hiệu: [u] = σ1 , ε = σ2 Khi đó, tại các điểm lân ∂n cận quanh Γ1 , các phương pháp sai phân thông thường không thực hiện được Đối với các bài toán này, có hai hướng nghiên cứu giải quyết: - Hướng 1: Xây dựng các phương pháp sai phân... elliptic với các điều kiện biên khác nhau được thiết kế trên môi trường MATLAB 1.2.7 Giới thiệu về thư viện RC2009 Để giải bài toán biên elliptic (1.8), sử dụng phương pháp sai phân xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toám biên, chuyển bài toán vi phân (1.8) về các bài toán sai phân tương ứng với các phương trình vesctơ ba điểm Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các hệ phương. .. nếu tại đó ∃ các bước nhảy τ và σ b−a ,xi = a + ih Chia [a, b] bởi N điểm chia với h = N a = x0 x1 x2 xk x∗ xk+1 xN = b Điểm xi gọi là điểm trong nếu [xi−1 , xi ) hoặc [xi , xi+1 ) không chứa điểm phân cách, ngược lại xi gọi là điểm ngoài Trong hình 2.2, xk ,xk+1 là các điểm ngoài Ta xét phương pháp sai phân của phương trình (2.1) + Đối với các điểm trong xi , ta có phương trình sai phân: −(εu )... lại (xi , yj ) gọi là điểm ngoài Đối với điểm trong, các phương pháp sai phân thông thường có thể thực hiện được Ở đây, ta tìm sai phân đối với các điểm ngoài: 2.3.1 Phương pháp CIM1 trong không gian 2 chiều Xét phương trình: − (εux )x + (εuy )y (xi , yj ) = =− εi,j h u− x i+ 1 ,j 2 − u− x i− 1 ,j 2 + u− y 1 i,j+ 2 − u− y i,j− 1 2 + O(1), dấu "-" ở vế trái của phương trình là giá trị ở miền Ω− Tìm giá... phương pháp sai phân đặc biệt xung quanh lân cận mặt phân cách để đưa bài toán gốc trên Ω về các hệ phương trình sai phân tương ứng - Hướng 2: Sử dụng phương pháp chia miền với đường phân chia trùng với mặt phân cách để đưa bài toán gốc trên Ω về hai bài toán với hai miền Ω1 và Ω2 với hệ số liên tục 2.2 Phương pháp CIM trong không gian một chiều Xét bài toán: − ε (x) u (x) = f (x), x ∈ (a, b)\ {x∗ } (2.1)... pháp lưới chia miền Ω thành L1 L2 (M × N ) điểm lưới, trong đó N = 2n , n > 0 Ký hiệu h1 = , h2 = M N là các bước lưới, ϕ là vectơ hàm vế phải của phương trình Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O(h2 + h2 ) chuyển bài toán vi phân (1.11) 1 2 về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vectơ ba điểm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 −Yj−1 +... phương pháp số, điều quan trọng nhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương trình vector ba điểm (1.9),(1.10) là các hệ phương trình đại số tuyến tính Do tính chất đặc biệt của hệ, trong nội dung này luận văn giới thiệu phương pháp thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-Nicolaev đề xuất [8] với độ phức tạp tính toán O(MNlogN) cùng với các kết quả xây dựng thư viện chương trình. .. ε xi + 2 h 2 ; εi− 1 = ε xi − 2 h 2 + Đối với các điểm ngoài xi , ta có phương pháp CIM1 và phương pháp CIM2: 2.2.1 Phương pháp CIM1 trong không gian một chiều Giả sử có một điểm phân cách x∗ ∈ [xi , xi+1 ) Gọi miền mà xi xác định là mặt Ω− , ngoài ra là mặt Ω+ (x∗ − xi ) ; 0 ≤ α < 1; β = 1 − α Đặt: α = h ε− := ε x∗− , ε+ := ε x∗+ Thay giá trị hàm u (x) với công thức xấp xỉ: u− (x) = ui + (u )− (x... cạnh để đảm bảo bài toán có nghiệm duy nhất Để giải số bài toán trên, trong lý thuyết toán học tính toán thường sử dụng các phương pháp gần đúng như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn với ý tưởng chung là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một lưới điểm Đưa vào không gian lưới: L1 L2 ,h = M N Khi đó bài toán vi phân đang xét luôn được đưa về các hệ phương Ωkh = xij = (ik, jh), . chỉ có hai phương trình đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại ellip trong Ω. 1.2 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp lưới (hay còn gọi là phương pháp. http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUẢN THỊ TỐ QUYÊN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi