PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ pot

NGÔ TIẾN ĐẠT - ngodat2012@yahoo.com.vnPHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ Trong đề thi đại học những năm gần đây phần nhiều các bài tập câu 4b về phương trìn

NGÔ TIẾN ĐẠT - ngodat2012@yahoo.com.vn

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CÓ

CHỨA THAM SỐ

Trong đề thi đại học những năm gần đây phần nhiều các bài tập câu 4b về phương trình , hệ phương trình

có sử dụng phương pháp hàm số Sau đây tôi xin giới thiệu một vài kĩ năng sử dụng phương pháp đó

Ta thường gặp một số dạng toán sau:

*Sử dụng tính đơn điệu đưa 2 dạng cơ bản là f(x)=g(m) và f(x)=f(y) với f(t) là hàm đơn điệu.

*Sử dụng việc khảo sát sự biến biến thiên để tìm điều kiện có nghiệm hoặc biện luận số nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình.

Trong quá trình làm 2 dạng trên nhiều trường hợp ta phải đánh giá dấu của đạo hàm dựa vào phương pháp hàm số hoặc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacopxki,

Bài1 Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm

(1) Giải

Vì nên

ĐKXĐ: (*) do m>0 nên (*)

(2)

Xét hàm số :

do đó hàm số f(x) đồng biến trên

mà nên phương trình (2)(3)

Với thì (4)

Xét hàm số : g(x)=,

g’(x)>0 ,

Từ Bảng biến thiên suy phương trình (4)

luôn có nghiệm điều này cũng có nghĩa là

phương trình (1) có nghiệm

*Nhận xét : Cách làm chính của dạng bài này chính là

+Đưa phương trình ( hệ phương trình ) về dạng f(x)=f(y) , x,y thuộc D và hàm f(t) đơn điệu trên D +Phần còn lại là sử dụng bảng biến thiên của hàm g(x) để biện luận số nghiệm

Bài 2 Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

(1)

Giải

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho x3 ta được :

Đặt thì x2 –tx+1=0 , để tồn tại x

thì

Phương trình trở thành : t3 + 3t2 -9t = a + 6 (2)

2

2 2

2x 1

x mx 2 0 

2

2x 1 0



 



1 x 2

1  log x mx 2  x mx 2 log 2x 1   2x 1

f x log t t; t  0;

t ln 2

  0;    

2

x xmx 2 0; 2x 1 02 mx 2 2x 1  

1 x 2



x

1

2

  

1

2

6 5 4 3 2

x 3x  6x  ax  6x 3x 1 0 

t x

x

 

2

     

NGÔ TIẾN ĐẠT - ngodat2012@yahoo.com.vn

Để ý rằng với phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm x , còn với mỗi t mà |t| >2 cho tương ứng

với 2 giá trị của x

Do đó , (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm hoặc có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2

*TH1 : (2) có 2 nghiệm không thoả mãn

*TH2 : (2) có đúng 1 nghiệm t sao cho |t| >2

Xét hàm số y=t3 +3t2 -9t với

BBT

t -∞ -3 -2 1 2 +∞

y’ + 0 - 0 + y

27 22 -∞

+∞

2

Từ BBT ta có 2) có đúng 1 nghiệm t

sao cho |t| >2

KL: giá trị của a thoả mãn

+Đặt ẩn phụ t chuyển sang phương trình mới với ( cần đánh giá để được miền giá trị của t

ứng với miền giá trị của x )

+Đưa phương trình về dạng cơ bản f(t)=g(m) ,

khoảng

Giải

Do nên phương trình tương đương với :

Xét hàm số

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 số

ta có

Ta chỉ cần

chứng minh là

xong

Xét hàm số g(x)=tgx+2sinx-3x , ,

nên hàm đồng biến trên nửa khoảng hay g(x)>g(0)=0,

t 2













t2

t2 a 62

22 a 6

 



 

 



t   ; 2  2;

y’ 3t 6t 9 0







a 21







 



π 0;

3

π

x 0;

3

  

2 3 3

tgxsin x x m

f x =tgxsin x x

f ' x tg x 2sin x 3x 

2 2

tg x 2sin x 1 2 tgx 2sin x tg x 2sin x

3



tgx 2sinx 3x; x 0;

3

π

x 0;

3

  

π 0;

3

π

x 0;

3

NGÔ TIẾN ĐẠT - ngodat2012@yahoo.com.vn

Như vậy , do đó ,

hàm số đồng biến

trên nửa khoảng

Từ đó ta có , phương trình (1)

có nghiệm

*Nhận xét : Với dạng bài tập

này ( vẫn là dạng f(x)=g(m) , m là tham số ) điều quan trọng là

+Nếu với yêu cầu “tìm điều kiện để phương trình có nghiệm “ thì chỉ cần tìm miền giá trị của hàm f(x) bằng phương pháp hàm số hoặc sử dụng bất đẳng thức

+Nếu với yêu cầu “tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm “ thì thông thường ta hướng tới việc khảo sát sự biến thiên của hàm f(x)

Bài viết của tôi còn một điều chưa làm được đó chính là “ khi nào , gặp dạng toán như nào” thì sử dụng

phương pháp này , rất mong được các bạn cùng trao đổi để bài viết được tốt hơn

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm m để phương trình sau có

nghiệm :

HD : xét sự biến thiên của hàm

Bài 2 Tìm a để phương trình có

đúng 1 nghiệm

HD : phương trình trở thành

Và xét sự biến thiên của hàm

số

Bài 3 Chứng minh rằng với hệ sau

luôn có nghiệm duy nhất

HD : để ý từ hệ suy ra được

thay vào phương trình (1) và đặt

được phương trình :

đến đây khảo sát hàm ở vế

trái chứng minh nó là hàm đồng biến trên (0;+∞)

Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

a,

b,

Bài 5 Tìm m để phương trình có

nghiệm

a,

b,

Bài 6 Tìm m để phương trình

sau có 3 nghiệm phân biệt



π 0;

3

 

3

3 π 3 3 3 π

 

 

x   x 1 x  x 1 m 

y x   x 1 x  x 1

2

ax   π1 cos x

x 0;

2

2 2

x

2



2

x sin 2 2a

x 2

m R

 

3 2 4

2 2 2 3

x y 2y x π y (2)





 x y 0 

y

 t9m t2 tπ ty 33 0 

2

2 x  4 x  8 2x x  m

4 x41 x  x 1 x m

cos x 2 cos x cos x 2 cos x   m

4m 3  x 3 3m 4 1 x m 1 0     

5 5

x  m 5 5x m 