Xét bài toán tổng quát:
−𝛻 𝜀 𝑥 . 𝛻𝑢 𝑥 = 𝑓 với 𝑥 ∈ 𝛺 ∈ 𝑅2
𝑢 = 𝜑 / 𝑥 ∈ 𝜕𝛺
Trong đó, giả sử miền 𝛺 tồn tại một mặt phân cách 𝛤 𝛤
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Trong trường hợp khi hệ số 𝜀 𝑥 liên tục qua mặt phân cách 𝛤, bài toán trở thành bài toán biên elliptic bình thường. Đối với bài toán này, ta có thể tìm được lời giải số qua các phương pháp sai phân thông thường (như ở Chương 1).
Trường hợp hàm và các hệ số đạo hàm tồn tại bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách, ký hiệu:
𝑢 = 𝜏 là bước nhảy của hàm qua biên phân cách 𝜀𝜕𝑢
𝜕𝑛 = 𝜍 là bước nhảy của đạo hàm qua biên phân cách
Khi đó, tại các điểm lân cận quanh 𝛤, các phương pháp sai phân thông thường không thực hiện được.
Đối với các bài toán này, có hai hướng nghiên cứu giải quyết:
Hướng 1: Xây dựng các phương pháp sai phân đặc biệt xung quanh lân cận mặt phân cách để đưa bài toán đang xét về hệ phương trình sai phân tương ứng. Từ đó việc giải số của bài toán được đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng.
Hướng 2: Sử dụng phương pháp chia miền đang xét về hai miền bằng biên phân chia chính là mặt phân cách, chuyển bài toán đang xét về hai bài toán trên hai miền. Sau đó xây dựng các sơ đồ lặp tương ứng tìm nghiệm xấp xỉ của các bài toán trên hai miền từ đó thu được nghiệm của bài toán gốc.
Sau đây luận văn sẽ trình bày cơ sở của phương pháp sai phân đặc biệt.