Một số phương pháp xác định nghiệm gần đúng đối với bài toán biên elliptic cấp hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT & TT  - BÙI THỊ THU TRANG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC CẤP HAI TRONG MIỀN PHỨC TẠP HOẶC ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC MÁY TÍNH Chun ngành : Khoa học máy tính Mã số : 60 48 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỤC LỤC i DANH MỤC BẢNG .iii DANH MỤC HÌNH iv MỞ ĐẦU Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 1.1 Phƣơng pháp sai phân 1.1.1 Lƣới sai phân 1.1.2 Hàm lƣới 1.1.3 Bài toán sai phân 1.2 Thuật toán thu gọn khối lƣợng tính tốn 1.2.1 Bài toán biên thứ nhất: 1.2.2 Bài toán biên thứ hai 10 1.3 Giới thiệu thƣ viện TK2004 13 1.3.1 Bài toán biên Dirichlet 13 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp 15 1.4 Giới thiệu thƣ viện RC2009 17 1.4.1 Bài toán biên Dirichlet 17 1.4.2 Bài toán biên Neumann 19 1.5 Phƣơng pháp lặp giải phƣơng trình tốn tử 24 1.5.1 Lƣợc đồ lặp hai lớp 24 1.5.2 Lƣợc đồ dừng, định lý hội tụ phép lặp 27 Chƣơng 30 CÁC PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN 30 ĐỐI VỚI BÀI TỐN CĨ ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ 30 2.1 Cơ sở phƣơng pháp 30 2.2 Các phƣơng pháp xấp xỉ biên (BAMs) 31 2.2.1 Cơ sở phƣơng pháp 31 2.2.2 Các phƣơng pháp BAMs 32 2.3 Phƣơng pháp xấp xỉ (GFIFs) 32 2.4 Giới thiệu toán Motz: 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.4.1 Kết sử dụng phƣơng pháp BAMs 34 2.4.2 Kết sử dụng phƣơng pháp GFIFs 37 Chƣơng 41 PHƢƠNG PHÁP CHIA MIỀN 41 GIẢI BÀI TOÁN BIÊN VỚI BIÊN KỲ DỊ 41 3.1 Cơ sở phƣơng pháp 41 3.2 Ứng dụng phƣơng pháp chia miền toán Motz 43 3.3 Mở rộng phƣơng pháp chia miền trƣờng hợp tổng quát: 47 PHẦN KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 PHẦN PHỤ LỤC 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1: Các hệ số ứng với Classic BAM (N=35) 35 Bảng 2.2: Các hệ số ứng với Hybrid BAM (N=35) 36 Bảng 2.3: Một số giá trị hệ số khai triển 38 Bảng 2.4: Một số giá trị hệ số khai triển 39 Bảng 3.1 Kết thực nghiệm toán Motz 46 Bảng 3.2 Số liệu thực trƣờng hợp tổng quát 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii DANH MỤC HÌNH Hình 2.1 Dạng tốn có điểm biên kì dị 30 Hình 2.2 Biểu diễn tốn có điểm biên kì dị 33 Hình 2.3 Mơ hình tốn Motz 34 Hình 2.4 Nghiệm tốn Motz phƣơng pháp BAM 37 Hình 2.5 Đồ thị biểu diễn hệ số Ak 39 Hình 3.1 Mơ tả phƣơng pháp chia miền 41 Hình 3.2 Mơ hình Bài tốn Mozt áp dụng phƣơng pháp chia miền 44 Hình 3.3 Nghiệm toán Motz với phƣơng pháp chia miền 46 Hình 3.4 Mơ hình toán Motz dạng tổng quát 47 Hình 3.5 Đồ thị nghiệm trƣờng hợp tổng quát 50 Hình 3.6 Đƣờng cong đạo hàm bậc 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv MỞ ĐẦU Một số mơ hình vật lý học đƣa đến việc xác định nghiệm toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên khác Trong trƣờng hợp đơn giản miền hình học miền hình chữ nhật có điều kiện biên hỗn hợp yếu (tức cạnh có loại điều kiện biên Dirichlet Neumann) việc sử dụng phƣơng pháp sai phân, toán vi phân đƣợc đƣa hệ phƣơng trình véc tơ ba điểm xác định nghiệm gần qua việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyền tính thuật tốn biết Tuy nhiên miền hình học khơng phải miền hình chữ nhật điều kiện biên hỗn hợp mạnh (tức cạnh có hai loại điều kiện biên Dirichlet Neumann) tốn xuất điểm kì dị góc miền điểm phân chia hai loại điều kiện biên phƣơng pháp sai phân gặp khó khăn Để giải dạng tốn trên, sử dụng phƣơng pháp chia miền tìm nghiệm xấp xỉ tổng hữu hạn hàm sở xung quanh điểm kì dị Nhƣ vậy, việc tìm hiểu, nghiên cứu phƣơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ toán biên elliptic cấp hai trƣờng hợp miền phức tạp điều kiện biên phức tạp nhƣ so sánh phƣơng pháp lập trình tính tốn thử nghiệm mơi trƣờng Matlab có ý nghĩa khoa học Nội dung luận văn tiến hành tìm hiểu, nghiên cứu sở lý thuyết phƣơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ tốn biên elliptic cấp hai miền hình học phức tạp điều kiện biên phức tạp, đặc biệt phƣơng pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua hệ hàm sở xung quanh điểm kì dị, so sánh với phƣơng pháp chia miền lập trình tính tốn thử nghiệm ngôn ngữ Matlab Cấu trúc luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1: Đƣa số kiến thức phƣơng pháp sai phân, thuật tốn thu gọn giải hệ phƣơng trình véc tơ ba điểm, hệ thống thƣ viện chƣơng trình mẫu lý thuyết sơ đồ lặp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 2: Trình bày sở lý thuyết phƣơng pháp xấp xỉ biên toán có điều kiện biên kì dị trƣờng hợp, trƣờng hợp miền hình học phức tạp trƣờng hợp điều kiện biên hỗn hợp mạnh Kết áp dụng với toán Motz Chƣơng 3: Đƣa sở phƣơng pháp chia miền giải toán biên với biên kì dị, so sánh phƣơng pháp xấp xỉ biên với phƣơng pháp chia miền toán Motz Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình TS Vũ Vinh Quang, em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo trƣờng Đại học Công nghệ thông tin truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Viện Công nghệ thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam tham gia giảng dạy, giúp đỡ em suốt trình học tập Tuy nhiên điều kiện thời gian khả có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy giáo bạn đóng góp ý kiến để luận văn đƣợc hoàn thiện Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chƣơng này, luận văn trình bày số kiến thức liên quan đến việc giải số phƣơng trình đạo hàm riêng bao gồm: Cơ sở phƣơng pháp lƣới, phƣơng pháp lặp, thuật tốn thu gọn khối lƣợng tính tốn, giới thiệu thƣ viện chƣơng trình TK2004 RC2009 tìm nghiệm số tốn biên hỗn hợp miền chữ nhật Những kiến thức sở kết đƣợc tham khảo từ tài liệu [3,4,8,10] 1.1 Phƣơng pháp sai phân 1.1.1 Lƣới sai phân Xét toán u  f , x ,  x   u  g, (1.1)   ( x,y )  R2 ,a  x  b,c  y  d  , chọn số nguyên N  M  , đặt h  (b  a) / N gọi bƣớc lƣới theo x, k  (d  c) / M gọi bƣớc lƣới theo y Đặt xi  a  ih , y j  c  jk , i  N , j  M Mỗi điểm ( xi , y j ) gọi nút lƣới ký hiệu nút (i, j ) Tập tất nút miền ký hiệu  hk Nút biên  gọi nút biên; tập tất nút biên ký hiệu hk , tập hk = hk  hk gọi lƣới sai phân  1.1.2 Hàm lƣới Mỗi hàm số xác định nút lƣới gọi hàm lƣới, giá trị hàm lƣới u( x, y) nút lƣới (i, j ) viết tắt ui , j , i  0, N , j  0, M Mỗi hàm u(i, j) xác định ( x, y )   tạo hàm lƣới u xác định ui , j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Bài toán sai phân m Ký hiệu C ( ) không gian hàm số hai biến riêng đến cấp m liên tục ( x, y) có đạo hàm  =    Giả sử toán có nghiệm u  C (  ) , đó: max( x , y )  4u  4u , ( x , y )  C = const max ( x, y )  C2 = const ( x , y ) x y Do theo cơng thức Taylor ta có: u( xi 1 , y j ) = u( xi  h, y j ) = u( xi , y j )  h u h2  2u h3 3u     (h ) x 2! x 3! x u( xi 1 , y j )  2u( xi , y j )  u( xi 1 , y j ) hay h2  2u =   (h ) x Một cách tƣơng tự: u( xi , y j 1 ) = u( xi , y j  k ) = u ( xi , y j )  k u k  2u k  3u     (k ) y 2! y 3! y u( xi , y j 1 )  u( xi , y j  k ) = u ( xi , y j )  k u k  2u k  3u     (k ) y 2! y 3! y Do đó: u ( xi , y j 1 )  2u ( xi , y j )  u ( xi , y j 1 ) k2 =  2u   (k ) y Vậy ta có: u( xi 1 , y j )  2u( xi , y j )  u( xi 1 , y j ) h2   u( xi , y j 1 )  2u ( xi , y j )  u ( xi , y j 1 ) k  u   (h2  k ) Ta đặt:  hk u  ui1  2ui , j  ui1, j h  ui , j1  2ui , j  ui , j1 k2 Khi chứng tỏ: khu = u   ( h2  k ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hạng  (h  k ) số vô bé bậc hai Ta nói tốn tử  kh xấp xỉ 2 tốn tử  , điều cho phép thay phƣơng trình vi phân phƣơng trình sai phân:  hk u = f ij , f ij = f ( xi , y j ), ( xi , y j ) hk tức là: ui1, j  2ui , j  ui1, j h  ui , j1  2ui , j  ui , j1 k2  f ( xi , y j ), ( xi , y j )  hk (1.2) đồng thời thay điều kiện biên điều kiện: uij  g( xi , y j ), ( xi , y j )  hk (1.3) Ta đƣợc tốn sai phân hồn chỉnh: Tìm hàm lƣới u nút ( i, j ) thỏa mãn hệ phƣơng trình sai phân (1.2) với điều kiện biên (1.3) Nhƣ việc tìm nghiệm xấp xỉ toán vi phân (1.1) với độ xác cấp hai đƣợc đƣa việc giải toán sai phân (1.2) với điều kiện (1.3) phƣơng pháp đại số 1.2 Thuật toán thu gọn khối lƣợng tính tốn Phƣơng pháp đƣợc đề xuất Samarskij-Nicolaev Bằng phép biến đổi đơn giản véc tơ ma trận, toán sai phân ln ln đƣợc đƣa hệ phƣơng trình véc tơ ba điểm thuộc dạng sau đây: 1.2.1 Bài toán biên thứ Xét toán biên thứ phƣơng trình véc tơ ba điểm  Y j 1  CY j  Y j 1 = Fj ,  j  N 1, Y0 = F0 , YN = FN (1.4) Trong Y j véc tơ cần tìm, C ma trận vuông, F j véc tơ cho trƣớc Ý tƣởng phƣơng pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.1) khử liên tiếp ẩn Y j với j lẻ, sau từ phƣơng trình lại khử Y j với j bội 2, bội 4, … Mỗi bƣớc khử giảm đƣợc nửa số ẩn Nhƣ N = 2n sau số lần khử cịn lại phƣơng trình chứa véc tơ ẩn YN/2 mà từ YN/2 tính đƣợc qua Y0 YN Sau có đƣợc Y0 , YN/2 YN trình ngƣợc lại việc tìm Y j với j bội N N bội ,… rõ ràng, phƣơng pháp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến phƣơng pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần phƣơng trình Laplace với điều kiện biên kì dị Các kết luận văn gồm có: Trên sở tài liệu [6, 7], luận văn đƣa mơ hình tốn học phƣơng trình Laplace với điều kiện biên kì dị, trình bày sở tốn học phƣơng pháp BAMs, phƣơng pháp GFIFs, kết thực nghiệm toán Motz Dựa kết thuật toán chia miền toán biên elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đƣa sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ toán Motz phƣơng pháp lặp theo hai hƣớng tiếp cận, tiến hành lập trình xác định nghiệm số toán, đánh giá tốc độ hội tụ độ xác sơ đồ lặp, so sánh kết với nghiệm thu đƣợc từ phƣơng pháp xấp xỉ BAMs Đƣa kết áp dụng phƣơng pháp chia miền trƣờng hợp tổng qt tốn biên với biên kì dị Các kết khẳng định tính hữu hiệu phƣơng pháp chia miền áp dụng tốn biên với điều kiện biên kì dị tổng quát Hƣớng phát triển luận văn mở rộng kết miền hình học phức tạp nhƣ phƣơng trình bậc cao với điều kiện biên kì dị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), " Phƣơng pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh", Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.22, s.4:307 - 318 [2] Vũ Vinh Quang (2006), "Một số kết ứng dụng phƣơng pháp chia miền giải toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, T.4(40):37 - 45 [3] Vũ Vinh Quang, Các kết việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối lƣợng tính tốn giải tốn elliptic với điều kiện biên hỗn hợp Hội thảo khoa học tồn quốc "Phát triển cơng cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng toán học", Hà Nội - 2/04/2005:247 - 256 [4] Trƣơng Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng chƣơng trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số hằng, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56 - 63 2010 Tiếng Anh [5] N.Saito, H.Fuijtu(2001), Operator theoretical Analysic to Domain Decompisition Methods, 12th Int Conf, on Domain Decompisition Methods Editors: Tony chan, Takashi, Hideo, Oliver Pinoncau, 63 – 70 www.ddm.org/DDI2/Saito.pdf [6] M.Arad, Z.Yosibash, G.Ben-Dor, A.Yakhot (2005), Computinh Flux Intensity Factors by a Boundary method for Elliptic Equations with Singularities, Preprint submitted to ElsevierScience, 14 October [7] Z.C Li, Y L Chan, G C Georgiov, C Xenophontos, Special Boundary Approcimation Methods For Laplace Equation problems with Boundary Singularities Applications 51 (2006), 115 - 142 [8] Samarskij A and Nikolaev E., Numerical methods for Grid Equations, vol 2, Birkhauser, basel, 1989 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 [9] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P (1998), " An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition method", SIAM J Number Anal 25(6), pp 1213 - 1236 [10] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 PHẦN PHỤ LỤC Chƣơng trình xác định nghiệm phƣơng pháp BAMs clear all clc a=1;b=1; n=6; N=2^n; M=N;h1=a/M;h2=b/N;x10=-1;x20=0; for i=0:2*M; for j=0:N; u(i+1,j+1)=0; end; end; for k=1:35; a(k)=0; end; % xac dinh cac he so theo phuong phap BAM % Xac dinh nghiem a(1)=0.40116245374497*10^3; a(2)=0.87655920195502*10^2; a(3)=0.17237915079248*10^2; a(4)=-0.80712152596499*10^1; a(5)=0.14402727170434*10^1; a(6)=0.33105488588606*10^0; a(7)=0.27543734452816*10^0; a(8)=-0.86932994509462*10^(-1); a(9)=0.33604878399124*10^(-1); a(10)=0.15384374465022*10^(-1); a(11)=0.73023016452998*10^(-2); a(12)=-0.31841136217467*10^(-2); a(13)=0.12206458571187*10^(-2); a(14)=0.53096530065606*10^(-3); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 a(15)=0.27151202841413*10^(-3); a(16)=-0.12004506715157*10^(-3); a(17)=0.50538906322972*10^(-4); a(18)=0.23166270362346*10^(-4); a(19)=0.11534855091605*10^(-4); a(20)=-0.52932746412879*10^(-5); a(21)=0.22897323500717*10^(-5); a(22)=0.10624097261554*10^(-5); a(23)=0.53073158247781*10^(-6); a(24)=-0.24510085058588*10^(-6); a(25)=0.10862672983328*10^(-6); a(26)=0.51043248247979*10^(-7); a(27)=0.25407074732821*10^(-7); a(28)=-0.11054833875475*10^(-7); a(29)=0.49285560339473*10^(-8); a(30)=0.23304869676739*10^(-8); a(31)=0.11523150093507*10^(-8); a(32)=-0.34653285095421*10^(-9); a(33)=0.15243365277043*10^(-9); a(34)=0.72493901550694*10^(-10); a(35)=0.35291922501256*10^(-10); for i=0:2*M; for j=0:N; x=x10+i*h1; y=x20+j*h2; r=sqrt(x*x+y*y); teta=acos(x/r); u(i+1,j+1)=0; for k=1:35; uk=r^((2*k-1)/2)*cos(((2*k-1)/2)*teta); u(i+1,j+1)=u(i+1,j+1)+a(k)*uk; end; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 end; end; for i=0:2*M; xx(i+1)=x10+i*h1; end; for j=0:N; yy(j+1)=x20+j*h2; end; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); mesh(X,Y,u'); xlabel('x') ylabel('y') Chƣơng trình mơ tả thuật tốn thứ – Trƣờng hợp tổng quát function motz_22=bai_toan_motz_22(n,teta); clc a=1;b=1;cc=0;bb=0;k1=1;k2=1; count=-1; epxilon=10^(-10);ss=10; N=2^n; M=N;M1=M;N1=N;M2=M;N2=N;l1=a;l2=b;n1=n;n2=n;h1=l1/M;h2=l2/N; p1=1;p2=M+1;p3=2*M+1;q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; %buoc lap - Gia tri ban dau csi=0,eta=0;phi1=0;phi2=0 for j=0:N; eta(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f end; for i=0:2*M; for j=0:N; luu(i+1,j+1)=0; end; end; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 thoigian=cputime; while and(countepxilon); % Giai bai toan voi u2 x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=eta(j+1); b2(j+1)=g4(x10+a,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1=x10+a; b3(i+1)=g5(x1,x20); b4(i+1)=g6(x1,x20+b); end; u2=u0011(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); % Giai bai toan voi u1 x10=-1;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai aa1=u2(p2,q1);aa2=u2(p2,q1+1);aa3=u2(p2,q1+2);u2_h=aa3-3*aa2+3*aa1; bb1=u2(p2,q2);bb2=u2(p2,q2-1);bb3=u2(p2,q2-2);u2h=bb3-3*bb2+3*bb1; for j=0:N2; ph01(j+1)=-phi(1,j+1); end; for j=0:N; if j==0; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2_h- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1); else if j==N; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2h- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j-1))+h1/2*ph01(j+1); else du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2(p2,q1+j-1)2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1);%Dao ham u2 end; end; end; for j=0:N1; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=g1(x10,x2); b2(j+1)=du2(j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=g2(x1,x20); Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 b4(i+1)=g3(x1,x20+b); end; u1=u1101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); for j=0:N; eta(j+1)=teta*eta(j+1)+(1-teta)*u1(p2,j+1); end; count=count+1; for i=0:2*M; for j=0:N; if i