Định nghĩa 3.2.1
1. Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu ị K là tập đóng.
i i . K + K c z K , Ả K c= K V Ã > 0 .
i i i . K n ( - K ) = ị ớ j .
2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi
x < ỵ <=>ỵ - x e K Mồi XE/n{<9} gọi là dương.
Định lí 3.2.1
Giả sử X là không gian Banach sắp bởi nón K, M cz X là tập đóng và
F:M —» X là ánh xạ tăng, thỏa mãn
ị F(M)czM, 3X0 EM: X0 <F(X0).
iị F biến đổi mỗi tăng thuộc M thành dãy hội tụ.
Khi đó F có điểm bất động trong M.
Chứng minh.
Đặt M0 =ịx eM :x< F(JC)Ị ^ 0 (do i)
g(x) = sup|||F(y) - F(z)||: ỵ, z e Mữ , y > z > x}
v---V---J v---V---J
=> 3x := limF(x ) (do ii), và x e M (do M đóng) Ta có xn < F [ x n ) < X , \ / n
=> X là lân cận trên của Ịxn| trong (M,<) Mặt khác x n <JC Vfl=> F(xn) < F(x) => x < F ( x) => X E : M ữ Do đó X là cận trẽn của jxrtỊ trong ( Mữ, < ). iị Với Xj , x 2 e M ữ x t < x 2 ^ { y, z ^ M ữ : y > z > x 2 } < ^ { y, z ^ M ữ : y > z > x ^ } A B ta có sup||F(y)-F(z)||<sup||F(y)-F(z)|| y,zeA y,z^B Suy ra g(-t2) <,?(*,)=>-g(*,) <-g(*2) Do đó — g tăng và bị chặn trên bởi 0.
■ Áp dụng nguyên lí Entropy cho tập M 0 và hàm (—g) ta có
3 a e M ữ y x e M ũ , x > a ^ - g ( x ) = - g ( a ) ^ g ( x ) = g ( a ) (*)
Ta chứng minh g (ứ) = 0
Giả sử g (ứ) > c > 0. Ta có
g(ữ)>c>0=>3y„y2 eM0:y2>y, >ữ,|F(y2)-F(y1)|>c (*)
g ( y 2 ) - 8 { a ) > c ^ > 3 y ỉ , y i ^ M 0 : y 4 > y 2 > y 2 , ị F ( y 4 ) - F ( y ỉ ) \ \ > c
Kết quả ta có dãy tăng {y„} <= M ữ , IIF(>■„)- F(>'„_,)! > c.
■ Điểm bất động
(ứ) = 0 suy ra F(y) = F(z ) , Vy > z > ữ (do định nghĩa g) =*F(y) = F(fl), \ / y > a (**)
Ta lại có a e M0 => F (ứ) > a j
=>F(F(a)) = F(a) do đó x : = F { à ) là điểm bất động.
Định nghĩa 3.2.2 Cho kg Banach thực X .
1. Nón K gọi là nón chuẩn nếu
3 N >0:#<x<y=> ||x|| < N . ị ị ỵ ị ị 2. Đoạn ( u , v ) :={xe X \ u < x < v}
H ệ q u ả 3.2.1
Giả sử F : ( u , v) —> X là ánh xạ tăng, thỏa mãn
i . u < Fu, F v < v.
iị F ịẬu, v)] là tập compact tuơng đốị K là nón chuẩn. Khi đó, F có điểm bất động trong ( u , v).
Chứng minh. ■ M = ( u , v) <z X là tập đóng. x e M =>í/ <*< V => u < F ( u ) < F(x) < F(v) < V =>F ( x ) e M do đó F (M )CM và 3x0 = u e M : x0 < F(x0). Do đó hàm F thỏa điều kiện i) của định lí 3.2.1.
■ v{*n} C(M,V), } tăng, ta có ỊF(X )j có dãy con hội tụ.
) tăng, K nón chuẩn (giả thiết ii)
Suy ra hội tụ.
Do đó hàm F thỏa điều kiện ii) của định lí 3.2.1 Vậy F có điểm bất động trong ( u , v ) .
Định nghĩa 3.2.3
Nón K gọi là chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ.
Hệ quả 3.2.2
Giả sử F : ( u , v) —> X là ánh xạ tăng thỏa
i . u < Fu, Fv < V. iị K là nón chính quị
Khi đó, F có điểm bất động trong ( u , v).
Chứng minh. ■ M = ( u , v) cz X là tập đóng. x e M = > u < x < v = > u < F ( ù ) < F ( x ) < F(v)< V => F ( x ) € M do đó F (M) cz M và 3x0 = u e M :x0<F(x0). Do đó hàm F thỏa điều kiện i) của định lí 3.2.1.
■ Ta có VỊxn} <z M, ỊxnỊ tăng thì F ( x n } < V Vn, {F(Xw)Ị tăng Suy ra ỊF (x )Ị hội tụ (do K nón chính qui)
Chương 4.
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÊTRIC ĐẶC BIỆT VÀ ÁNH XẠ co 4.1.Ánh xạ co suy rộng và điểm bất động
Định nghĩa 4.1.1
Cho (X , d ) là không gian metric và T: X —» X Ta có
• T là ánh xạ co nếu với y, d (Tx,Ty) <
d ( x , y).
• Nếu có số 0 < k < 1 sao cho với mọi X , ỵ thuộc X , d (Tx,Ty) < kd (x,y) thì T là ánh xạ co hệ số k hay đơn giản T là k - cọ
Hiền nhiên nếu T là ánh xạ co thì T liên tục đều và điểm bất động của T, nếu có,
Định lí 4.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach)
Cho (x,ú?) là không gian mêtric đầy đủ và T : X —> X là ánh xạ k - cọ Khi đó,
T có điểm bất động duy nhất, ghi là xữ và lim Tnx = %0 với xe X . kn
Hơn nữa d ( x ữ , T n x ) < Y ~ — d ( x , T x ) với mọi x e X .
Chứng minh. ■ Với X e X , đặt = T x , Xn+Ị = T x n Với n , p e , ta có đ { x n , x M p ) = d ( r x , T ^ x ) < kdự^x,Tn+p-'x) < ...< k" < < k n \ d ( x , T x ) + d { T x , T I x ) +... + d { r p - ' x , T p x ) 1
/ \ k n
Vậy 0 < d ị x n , x n + p J <——d ( x , T x ) (1) (do 0</:<1^>0<1-Ả:/><1). ■ Do k < 1, bât đăng thức trên chứng t ỏ ị r (-^)j là dãy cơ bản.
Mà đầyđủnẽn (r"(;c)Ị hội tụ. Đặt x ữ = limr”(x).
n—>00 v 7 Do T liên tục nên x0 = T (JC0).
Suy ra x ữ là điểm bất động của T và là điểm bất động duy nhất (do T là k - co)
k n
■ Từ (1) cho p —» 00, ta được d { x ồ , T n x } < ——d ị x 9 T x ) 1 k
Định nghĩa 4.1.2
Ánh xạ T trong không gian mêtric (x,d) được gọi là (<?,£>) - co nếu với mọi
£ > 0 đều tồn tại ổ > 0 sao cho nếu £ < d (JC, y) < £ + ổ thì d (Tx,Tỵ) < £ (1). Định lí 4.1.2 (Meir - Keeler)
Cho (x,d) là một không gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ (<?,£>) - co trong
X . Khi đó, T có điểm bất động duy nhất X* và với mọi x0 e X , ta có T n x ữ —»
X*
khi n —» 00.
Chứng minh.
Nhận xét
Thật vậy, nếu x ^ ỵ thì đặt £ = d (x, y) > 0 và ta sẽ có
£ = d(x,y)<£ + ổ , nên theo (1) ta phải có d (Tx,Ty) < £ = d (x, y)
Lóp ánh xạ thỏa điều kiện (2) thường được gọi là “co yếu”. Hiển nhiên các ánh xạ thuộc lóp này, nếu có điểm bất động thì nó phải duy nhất.
Chứng minh định lí.
■ Lấy x0 e X tùy ý
Đặt %n+1 = T x n , c n = d ( x n , xn+l), n = 0,1,2,... Có thể giả thiết c n > 0.
Vì T co yếu nên c n = d ( T x n _ l , T x n ) < d ( x n _ l , x n ) = cn_ĩ,... Suy ra ịcn Ị là dãy số ko âm và giảm (chặn dưới bởi 0)
Do đó cn —» £ > 0.
■ Nếu £ > 0 thì tồn tại ổ > 0 để có (1) Chọn k E sao cho nếu n>k thì c <£ + ổ.
Theo (1) thì cn+ỉ < £ là điều vô lí. Vậy £ = 0, tức là cn —> 0.
■ Ta sẽ chứng minh { xn} là dãy Cauchy bằng phản chứng.
o c
Chọn m > n > k để cho d ị ^ x n , x m ) > 2 f.
Và xét các số d(xn,xn+ỉ ) , d { x n , x ^ 1 ) , . . . , d ( x n , x m ) .
Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là
Vì d ( x „ , x n t í ) = c n <^<^.
Còn d ( x n , x m ) > 2 s nên tồn tại j e ị n , n + \,...,m} sao cho
a / \ 3 a £ + — < d ( x „ , x i ) < £ + ——. 2 y n j ' 4 Vì £ < d ( x n , X j ) < £ + ổ nên theo (1) ta có d ị r x n , T X j ) = d ( x n + ỉ , x j + l ) < £ Từ đây ta có d ( x n , X j ) < d ( x n , x n + l ) + d(x„+l, X H ) + d { x J + „ X j ) a a a < — + £ + — = £ + — 4 4 2
Điều này mâu thuẫn với d ( x n,X j) > £ + — .
Vậy {xn} là dãy Cauchy và x n —> X* Ẹ X (do (x , d ) đầy đủ) ■ Do T là ánh xạ co yếu, Vrc ta có d { x \ T x * ) < d { x \ x n + ì ) + d ( xn+ỉ, T x*) = d ( x * , x n + ỉ ) + d ( T x n , T x * ) < d ( x * , x n + ỉ ) + d ( x n , x * ) Cho rc —» 00 tađuợc d(x*,Tx*^j = 0, tức là X* =Tx*. Vì T co yếu nên X* là duy nhất (đpcm).
Khi đó, / có duy nhất điểm bất động X* và với mọi x0 e Y, dãy lặp x n = /" (x0) hội tụ về X*.
Chứng minh.
Ta chứng minh f thoả mãn định lí Meir - Keeler. Cho 8 > 0, chọn số q < 1 thoả mãn
Vx,y E X, p ( x , y ) E ụ,8 +1] => p ( f ( x ) , f ( y ) ) < q p ( x , y )
Chọn ố =min< 1 thì ta có
\/x,y e X , 8 < p ( x , y ) < 8 + ổ ^ p ( f ( x ) , f ( y ) ) < 8
V í d ụ
Cholà không gian metric đầy đủ, T: X —» X là ánh xạ lipsit. Giả sử tồn tại p E sao cho k ịrp Ị < 1.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất, ghi là x0 và limr" (x) = x0 , Vx E X .
Chứng minh.
p-1
Với x , y e X ,đặt yơ(x,y) = ^ứf(r'x,r'y) , T ° = I
i=0 Thì p là mêtric trên X . ■ Ta có Vx,y E X d ( x , y ) < p ( x , y ) < (=0 j(x, y ) = a d [ x , y) w p-1 Với 0<ứ=2^(r), fc(r°)=i
■ Hơn nữa, ta có p{Tx,Ty) = ỵ j d { r x , r y ) + d ( T ’’ x , T p y )i=1 p ( x , y ) + d ị r p x , T p y } - d ( x , y) p ( x , y ) - ( l - k ) d ( x , y ) với k ữ = l - k < 1 V a J Vậy T: (x,yơ) —> ( x > p ) là ánh xạ k ữ - cọ ■ Ta có: (x,/?) là không gian mêtric đầy đủ.
: (x,yơ) ^ (v,p) là ánh xạ k Q - cọ
Áp dụng định lí 4.1.1 (nguyên lí ánh xạ co), T có điểm bất động duy nhất x ữ và limr"(x) = x0 trong (x , p) với x e X .
Do d , p là hai metric tuơng đương nên limr" (x) = X) trong (X,d).