Định nghĩa 2.1.1. [8]. Cho E là không gian Banach thực, tập con P của E được gọi là nón khi và chỉ khi
1. P không rỗng, P đóng và P 6= {0};
2. a, b ∈ R, a, b > 0 và x, y ∈ P thì ax +by ∈ P;
3. x ∈ P và −x ∈ P ⇒ x = 0 có nghĩa là P ∩ (−P) = {0}.
Định nghĩa 2.1.2. [8]. Cho E là không gian Banach thực, P là một nón trong E. Khi đó trên E ta xây dựng quan hệ thứ tự “6p” xác định bởi nón P như sau:
x <p y nếu x 6p y và x 6= y, x p y nếu y − x ∈ int(P), trong đó int(P) là phần trong của P.
Định nghĩa 2.1.3. [8]. Cho E là không gian Banach thực và P là một nón trong E. Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số K > 0 sao cho, ∀x, y ∈ E ta có
0 6p x 6p y ⇔ kxk 6 Kkyk.
Số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là hằng số chuẩn tắc của nón P.
Ví dụ 2.1.1. Trong không gian Banach R2, tập
P = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0}
là một nón. Chứng minh.
Ta kiểm tra 3 điều kiện của nón.
1. Hiển nhiên P không rỗng, P đóng và P 6= {0}.
2. a, b ∈ R, a, b > 0 và x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ P thì ax +by = a(x1, x2) + b(y1, y2)
= ax1 + by1 + ax2 +by2 ∈ P.
3. x = (x1, x2) ∈ P và −x = (−x1,−x2) ∈ P ⇒ x = 0 có nghĩa là P ∩ (−P) = {0}.
Vậy P = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0} là một nón.
Từ đây, ta luôn xét P là một nón trong không gian Banach thực E với int(P) 6= ∅ và quan hệ thứ tự “6p” trên E xác định bởi nón P. Định nghĩa 2.1.4. [8]. Cho X là tập khác rỗng. Ánh xạ d : X × X → E thỏa mãn 1. d(x, y) p> θ, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = θ ⇔ x = y, (kí hiệu phần tử không là θ); 2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3. d(x, y) 6p d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó d được gọi là metric nón trên X và (X, d) được gọi là không gian metric nón.
Ví dụ 2.1.2. Cho E = C[0,1],R, P = {ϕ ∈ E/ϕ > 0} ⊂
E, X = R và d : X×X → E xác định bởi d(x, y) = |x − y|et, ở đây et ∈ E. Khi đó (X, d) là không gian metric nón.
Chứng minh.
Thật vậy, ta kiểm tra lần lượt 3 điều kiện. 1. Vì |x − y| > 0, ∀x, y ∈ X nên
d(x, y) = |x − y|et p> θ, ∀x, y ∈ X, et ∈ E. d(x, y) = θ ⇔ |x − y|et = θ ⇔ x = y.
2. Ta có |x − y| = |y − x|, ∀x, y ∈ X nên d(x, y) = |x −y|et = |y − x|et
= d(y, x), ∀x, y ∈ X, et ∈ E. 3. Với ∀x, y, z ∈ X, ta có |x − z + z − y| 6 |x − z| +|z − y|. Do đó d(x, y) = |x −y|et = (|x −z +z − y|)et 6p (|x − z| + |z − y|)et = d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, et ∈ E. Hay d(x, y) 6p d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, et ∈ E. Vậy (X, d) là không gian metric nón.
Sau đây chúng tôi trình bày về sự hội tụ trong không gian metric nón.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});