Bài viết trình bày việc mở rộng điều kiện co kiểu Pata trong bài viết sang không gian b-mêtric sắp thứ tự và thiết lập định lí điểm bất động cho điều kiện co mới này. Đồng thời, xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được và vận dụng định lí được thiết lập để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến.
181 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VỚI ĐIỀU KIỆN CO KIỂU PATA TRONG KHÔNG GIAN b -MÊTRIC SẮP THỨ TỰ SV Bùi Thị Ngọc Hân ThS Nguyễn Trung Hiếu Tóm tắt Trong viết này, mở rộng điều kiện co kiểu Pata báo [10] sang không gian b -mêtric thứ tự thiết lập định lí điểm bất động cho điều kiện co Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt vận dụng định lí thiết lập để khảo sát tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Giới thiệu Các định lí điểm bất động cơng cụ hữu ích việc khảo sát tồn nghiệm tốn liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng Trong kết điểm bất động, Nguyên lí ánh xạ co Banach không gian mêtric đầy đủ kết Do đó, nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu mở rộng ngun lí cho khơng gian khác cho dạng ánh xạ co khác Trong hướng mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach cho không gian suy rộng, nhiều khái niệm không gian mêtric suy rộng giới thiệu không gian mêtric thứ tự, khơng gian mêtric nón, khơng gian b -mêtric [8] Trong không gian mêtric suy rộng đó, khơng gian b -mêtric nhận nhiều quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực lí thuyết điểm bất động tính khơng liên tục ánh xạ b -mêtric việc kết điểm bất động không gian b -mêtric suy từ kết tương ứng điểm bất động không gian mêtric Do đó, nhiều kết điểm bất động khơng gian b -mêtric thiết lập, chẳng hạn [2, 4] tài liệu tham khảo Bên cạnh việc đề xuất không gian mêtric suy rộng, số tác giả giới thiệu điều kiện co suy rộng [5] Năm 2011, Pata [9] giới thiệu điều kiện co suy rộng gọi điều kiện co kiểu Pata, đồng thời, số kết điểm bất động điều kiện co thiết lập Kể từ đó, mở rộng điều kiện co kiểu Pata không gian mêtric không gian mêtric suy rộng nghiên cứu Năm 2014, Balasubramanian [6] thiết lập định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu Pata khơng gian mêtric nón đầy đủ; Eshaghi cộng [3] thiết lập số kết điểm bất động kép cho điều kiện co kiểu Pata không gian mêtric đầy đủ thứ tự, đồng thời, việc ước lượng tốc độ hội tụ dãy lặp điểm bất động kép giới thiệu; Kadelburg cộng [10] khảo sát điểm bất động điều kiện co kiểu Pata suy rộng không gian mêtric thứ tự Tiếp tục vấn đề thiết lập kết điểm bất động không gian b -mêtric, viết này, mở rộng điều kiện co kiểu Pata báo [10] sang không gian b -mêtric thứ tự thiết lập định lí điểm bất động cho điều kiện co Đồng thời, vận dụng định lí thiết lập để khảo sát tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng viết 182 Định nghĩa 1.1 ([7]) Cho X tập hợp khác rỗng d : X ´ X ® [0, ¥ ) ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với x , y , z Ỵ X với s ³ 1, (1) d (x , y ) = x = y (2) d (x , y ) = d (y , x ) (3) d (x , y ) £ s(d (x , z ) + d (z , y )) Khi đó, ánh xạ d gọi b -mêtric X (X , d , s ) gọi không gian b -mêtric Định nghĩa 1.2 ([7]) Cho (X , d , s ) khơng gian b -mêtric Khi (1) Dãy {x n } gọi hội tụ đến x lim d(x n , x ) = 0, kớ hiu l nđ Ơ lim x n = x nđ Ơ (2) Dóy {x n } c gọi dãy Cauchy lim d (x n , x m ) = n ,m đ Ơ (3) Không gian (X , d , s ) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Lưu ý rằng, mêtric ánh xạ liên tục Tuy nhiên, điều không b -mêtric [8] Bổ đề sau dùng để khắc phục tính khơng liên tục b mêtric chứng minh kết báo Bổ đề 1.3 ([1], Lemma 1) Cho ( X , d , s ) không gian b -mêtric hai dãy {x n },{yn } hội tụ đến x , y Khi d (x , y ) £ lim inf d (x n , y n ) £ lim sup d (x n , y n ) £ s 2d (x , y ) nđ Ơ nđ Ơ s c bit, nu x = y lim d(x n , y n ) = Hơn nữa, với z Ỵ X , ta cú nđ Ơ d (x , z ) £ lim inf d (x n , z ) £ lim sup d (x n , z ) £ sd (x , z ) nđ Ơ nđ Ơ s Bổ đề sau sử dụng chứng minh kết báo Bổ đề 1.4 Với a ³ 1, tồn hai số dương a, b thỏa mãn (1 + x )a £ ax a + b với x ³ a Chứng minh Xét x ³ 1, ta có a ỉx + 1ư ỉ 1ử ữ ỗỗ ỗỗ1 + ữ ữ ữ = Ê 2a ữ ữ ỗố x ứ ỗố ữ ữ xø Suy (1 + x )a £ 2a x a Xét £ x < 1, áp dụng định lí giá trị trung bình cho hàm số f (t ) = t a c Ỵ (x , x + 1) [x , x + 1], tồn để Hay f (x + 1) - f (x ) = f ¢(c) (1 + x )a - x a = a c a - < a 2a - Suy (1 + x )a < x a + a 2a - Chọn a > 2a , b > a 2a - 1, ta có (1 + x )a £ ax a + b 183 Các kết Trước hết, chúng tơi thiết lập điều kiện đủ cho tồn điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ Định lí 2.1 Cho (X , d , s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ f : X ® X ánh xạ tăng thỏa mãn điều kiện sau: (1) Tồn x cho x ° ffx (2) Tồn a ³ 1, b Ỵ [0, a ], g ³ hàm y Ỵ Y cho d ( fx , fy ) £ b 1- e d (x , y ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x , x ) + d (y , x )ùúû , s (2.1) với e Ỵ [0,1] x , y Ỵ X mà x ° y, Y tập hợp hàm số y : [0,1] đ [0, Ơ ) tng v y (0) = (3) f liên tục (X , d , s, ° ) thỏa mãn giả thiết (H): Nếu {x n } dãy tăng X lim x n = x Ỵ X x n ° x vi mi n nđ Ơ Khi ú, lim f n x = z Ỵ X z im bt ng ca ỏnh x f nđ Ơ Chứng minh Với x Ỵ X thỏa mãn x ° fx 0, xét dãy {x n } X xác định x n + = fx n = f n x vi n ẻ Ơ Do f ánh xạ tăng nên x ° x = fx ° fx = x ° fx = x ° fx = ° fx n = x n + ° Do đó, {x n } dãy tng Gi s tn ti n ẻ Ơ cho x n = x n 0 +1 x n = fx n 0 hay x n điểm bất động f Do đó, ta giả sử x n ¹ x n + với mi n ẻ Ơ Ta chng minh {d(x n , x n + )} dãy giảm Gi s tn ti k ẻ Ơ * cho d(x k - 1, x k ) £ d(x k , x k + 1) Khi đó, (2.1), thay b K = g éêë1 + d(x k - 1, x ) + d(x k , x )ù ú û ³ 0, x x k - 1, y ta có d (x k , x k + ) = d ( fx k - 1, fx k ) £ 1- e d (x k - 1, x k ) + K e a y ( e) s Khi 1- e d ( x k - , x k ) + K e a y ( e) s 1- e £ d ( x k , x k + ) + K e a y ( e) s £ (1 - e)d (x k , x k + ) + K e a y ( e) d (x k , x k + ) £ xk đặt 184 Suy ed(x k - 1, x k ) £ K e a y (e) £ K ey (e) Do e éêëd (x k - 1, x k ) - K y ( e)ùúû£ với e Î [0,1] Vì d(x k - 1, x k ) - K y (e) £ với e Î [0,1] Điều dẫn đến d(x k - 1, x k ) £ K y (e) với e Î [0,1] Cho e = 0, ta d(x k - 1, x k ) £ K y (0) = Suy d(x k - 1, x k ) = Điều mâu thuẫn Do đó, {d(x n , x n + )} dãy giảm Khi đó, tồn d * ³ để lim d (x n , x n + ) = d * Đặt cn = d(x n , x ) Vì {d(x n , x n + )} l dóy gim nđ Ơ nờn d(x n , x n + 1) £ d(x n - 1, x n ) £ £ d(x 0, x 1) = c1 (2.2) Do d(x n , x1 ) + d(x n + 1, x ) £ sd(x n , x ) + sd(x 0, x 1) + sd(x n + 1, x n ) + sd(x n , x ) £ 2s(c1 + cn ) (2.3) Từ (2.1), (2.2) (2.3), ta có cn = d ( x n , x ) £ sd (x n , x n + ) + sd (x n + 1, x ) £ sd (x n , x n + ) + s 2d (x n + 1, x ) + s 2d (x 1, x ) £ sc1 + s 2d (x n + 1, x ) + s 2c1 = (s + s )c1 + s 2d ( fx n , fx ) b £ (s + s )c1 + (1 - e)d (x n , x ) + s ge a y ( e) éêë1 + d (x n , x ) + d (x 0, x ) ù ú û £ (s + s )c1 + (1 - e)cn + ge a y ( e)(1 + cn )a a Do ecn £ (s + s )c1 + gea y (e) éêë1 + cn ùúû Áp dụng Bổ đề 1.4, suy tồn hai số dương c, d cho ecn £ (s + s )c1 + ge a y ( e)(1 + cn )a £ c e a y ( e)cna + d Giả sử {cn } khơng bị chặn Khi đó, tồn ti dóy cn đ Ơ tha i a ổ ổ ỗỗ1 + d ữ ỗỗ1 + d ữ 1+ d ữ ữ yỗ cna + d , ta cú + d Ê c ỗ ecn £ c e y (e)c + d Chọn e = ei = ữ ữ ữ ữ i i ỗ ç cn ÷ ÷ çè cn i ÷ ø èç cn i ÷ ø i a a ni a ỉ ổ a ỗ1 + d ữ ỗỗ1 + d ữ ữ ữ c đ Ơ Ê c + b y Vì nên ÷ ÷ ( ) ỗỗ ni ữ ữ đ ữ ữ ữ çè cn i ø çè cn i ÷ ø Điều dẫn đến £ c (1 + d ) y ỗỗ ỗ iu ny l mt mõu thun Vy {cn } dãy bị chặn Mặt khác, từ (2.1), ta có d (x n , x n + ) = d ( fx n - 1, fx n ) £ b 1- e d (x n - 1, x n ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x n - 1, x ) + d (x n , x ) ù ú û s Do {cn } bị chặn nên tồn M ³ cho cn £ M với mi n ẻ Ơ Do ú, b ộ1 + d(x , x )+ d(x , x )ù £ (1 + 2M )b Đặt K = g(1 + 2M )b ³ Ta có êë n- n ú û d (x n , x n + ) £ 1- e d (x n - 1, x n ) + K e a y ( e) s 185 Cho n đ Ơ , ta cú d* £ 1- e * d + K e a y ( e) £ (1 - e)d * + K e a y ( e) s Suy ed * £ K e a y ( e) £ K ey ( e) Do đó, e éêd * - K y ( e)ùú£ với e Ỵ [0,1] ë û * Vì d - K y ( e) £ với e Ỵ [0,1] Điều dẫn đến d * £ K y ( e) với e Ỵ [0,1] Cho e = 0, ta có d * £ K y (0) = Vì d * = Tiếp theo, ta chứng minh {x n } dãy Cauchy Giả sử ngược lại {x n } khơng dãy Cauchy Khi đó, tồn d > hai dãy {x n (k ) }, {x m (k ) } cho m (k ) ³ n (k ) ³ k d(x n (k ) , x m (k ) ) ³ d (2.4) Với k , n (k ) ta chọn m (k ) số nguyên dương nhỏ thỏa mãn (2.4) Suy d(x n (k ), x m (k )- ) < d Khi d £ d (x n (k ) , x m (k ) ) £ sd (x n (k ) , x m (k )- ) + sd (x m (k )- 1, x m (k ) ) < s d + sd (x m (k )- 1, x m (k ) ) Cho k đ Ơ , ta cú lim sup d (x n ( k ) , x m ( k ) ) Ê sd kđ Ơ Tng t, ta có d £ d (x n (k ) , x m (k ) ) £ sd (x n (k ) , x n (k )+ ) + sd (x n (k )+ 1, x m (k ) ) Cho k đ Ơ , ta cú limsup d (x n (k )+ 1, x m (k ) ) ³ kđ Ơ d s Mt khỏc, (2.1), thay x x n ( k ) y x m (k )- , ta có d (x n (k )+ 1, x m (k ) ) = d ( fx n (k ) , fx m (k )- ) b 1- e £ d (x n ( k ) , x m (k )- ) + ge a y ( e) éê1 + d (x n (k ) , x ) + d (x m (k )- 1, x )ù ú ë û s Do {cn } bị chặn nên tồn M ³ cho cn £ M với mi n ẻ Ơ Do ú, b b b é1 + d (x , x ) + d (x , x )ù n (k ) m ( k )- ú £ (1 + 2M ) Đặt K = g(1 + 2M ) > Khi ëê û d (x n ( k ) + 1, x m ( k ) ) £ 1- e d (x n ( k ) , x m ( k )- ) + K e a y ( e) s Cho k đ Ơ (2.5), ta d 1- e 1- e £ d + K e a y ( e) £ d + K e a y ( e) s s s (2.5) 186 Suy ed £ sK e a y ( e) £ K e a y ( e) £ K ey (e) Do đó, e éêëd - K y ( e)ùúû£ với e Ỵ [0,1] Vì d - K y ( e) £ với e Ỵ [0,1] Điều dẫn đến d £ K y ( e) với e Ỵ [0,1] Cho e = 0, ta có d £ K y (0) = Suy d = Điều mâu thuẫn Do đó, {x n } dãy Cauchy Do ( X , d , s ) không gian b -mêtric đầy đủ nên tồn z Ỵ X để lim x n = z Điều dẫn đến lim f n x = z nđ Ơ nđ Ơ Gi s f l ỏnh x liờn tc Khi đó, z = lim x n + = lim fx n = f (lim x n ) = fz hay nđ Ơ nđ Ơ nđ Ơ z l điểm bất động f Giả sử giả thiết (H ) thỏa mãn Do {x n } dãy tăng lim x n = z nên n® ¥ x n ° z Do đó, (2.1), thay x x n y z , ta d (x n + 1, fz ) = d ( fx n , fz ) £ b 1- e d (x n , z ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x n , x ) + d (z , x )ù ú ỷ s (2.6) Cho n đ Ơ (2.6) sử dụng Bổ đề 1.3, ta có b d(z , fz ) £ s gea y (e) éëê1 + sd(z, x ) + d(z, x )ù ú û Cho e = 0, ta có d (z , fz ) £ Vì fz = z hay z điểm bất động f Định lí sau thiết lập điều kiện đủ cho tồn điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ Định lí 2.2 Cho (X , d , s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ f : X ® X ánh xạ tăng cho (1) Các giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn (2) Với u , v điểm bất động f , tồn w Ỵ X cho w so sánh với u , v w ° fw Khi đó, f có điểm bất động Chứng minh Theo chứng minh Định lí 2.1, f có điểm bất động Giả sử u , v hai điểm bất động f Khi đó, tồn w Ỵ X cho w so sánh với u , v w ° fw Do w ° fw nên cách xem w x Định lí 2.1, ta có lim f n w = z Ta chứng minh u = v = z nđ Ơ Trc ht, ta chứng minh u = z Giả sử w ° u Do f hàm tăng nên fw ° fu f 2w ° f 2u Tiếp tục trình này, ta f n w ° f n u với n ³ Do đó, từ (2.1), ta có d (u, f n w ) = d ( ff n - 1u , ff n - 1w ) b 1- e n- n- a é1 + d ( f n - 1u, x ) + d ( f n - 1w, x ) ù £ d ( f u , f w ) + ge y ( e ) 0 ú êë û s2 = b 1- e n- a é1 + d ( f n - 1u, x ) + d ( f n - 1w, x )ù d ( u , f w ) + ge y ( e ) 0 êë ú û s2 (2.7) 187 Cho n đ Ơ (2.7) v s dng B 1.3, ta b 1- e d (u, z ) £ d (u, z ) + ge a y ( e) éêë1 + d (u, x ) + sd (z , x )ù ú û s s b Suy ed (u , z ) £ N e a y ( e) với N = s g éêë1 + d(u, x ) + sd(z , x )ùúû > Điều dẫn đến d (u, z ) £ N y ( e) với e Î [0,1] Cho e = 0, ta có d (u, z ) £ K y (0) = Suy d (u , z ) = hay u = z Bằng cách tương tự, ta chứng minh v = z Vậy u = v Nhận xét 2.3 Vì mêtric b -mêtric với s = nên từ Định lí 2.1 ta nhận [10, Theorem 3.1] Tiếp theo, xây dựng ví dụ minh họa cho tồn điểm bất động ánh xạ thỏa mãn giả thiết Định lí 2.1 Hơn nữa, ví dụ chứng tỏ Định lí 2.1 mở rộng [10, Theorem 3.1] Ví dụ 2.4 Cho X = {1, 2, 3, 4, 5} với thứ tự thông thường £ ¡ ánh xạ d : X ´ X ® [0, ¥ ) xác định ìï nế ux= y ïï ïï neá u ( x, y) Ỵ {(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} ïï d( x, y) = í nế u ( x, y) Ỵ { (2,3),(3,2)} ïï u ( x, y) Ỵ { (1,4),(4,1),(1,5),(5,1)} ïï 38 nế ïï ng hợp cò n lại ïỵ 18 trườ Khi đó, (X , d , s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ với s = Xét ánh xạ f : X ® X xác định f = f = f = f = 1, f = Chọn x = Ta có y (t ) = t với t Ỵ [0,1] Khi đó, với (x , y ) Ỵ X ´ X mà x £ y với e Ỵ [0,1], ta xét trường hợp sau x £ fx Chọn a = b = g= Trường hợp x = y (x , y ) Ỵ {(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 4)} Khi d ( fx , fy ) = £ b 1- e a é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù d ( x , y ) + ge y ( e ) ê ú 0 ë û 22 Trường hợp (x , y ) = (1,5) Khi d ( fx , fy ) = b 1- e 19 2071 d (x , y ) + ge a y ( e) éêë1 + d (x , x ) + d (y , x ) ù = (4 e ) + + 23e ú û 16 256 Trường hợp (x , y ) Ỵ {(2,5),(3,5)} Khi d ( fx , fy ) = b 1- e a é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù = (3e - )2 + 63 + 31e d ( x , y ) + ge y ( e ) ê ú 0 ë û 16 22 Trường hợp (x , y ) = (4,5) Khi d ( fx , fy ) = 188 b 1- e a é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù = (3e - )2 + 63 + 68e d ( x , y ) + ge y ( e ) êë 0 ú û 16 22 Như vậy, từ trường hợp ta có điều kiện (2) Định lí 2.1 thỏa mãn Hơn nữa, f ánh xạ tăng liên tục Do đó, giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn Vì vậy, Định lí 2.1 áp dụng cho ánh xạ f Tuy nhiên, 38 = d (4,1) > d (4, 3) + d (3,1) = 19 nên ánh xạ d không mêtric X Do đó, [10, Theorem 3.1] khơng áp dụng cho ánh xạ d chọn Cuối cùng, vận dụng Định lí 2.1 để khảo sát tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Hệ 2.5 Cho C [a, b] tập hợp hàm số liên tục [a, b ] , quan hệ thứ tự C [a, b] xác định bởi: x ° y x (t ) £ y (t ) với t Ỵ [a, b ] b -mêtric d với s = 2p- C [a, b ] xác định d (x , y ) sup | x (t ) y (t )| p t [a ,b ] với x , y C [a, b ] với p Xét phương trình tích phân phi tuyến b x (t ) g(t ) K (t , s, x (s ))ds (2.8) a t [a, b], g : [a, b] , K : [a, b] [a, b] x ([a, b]) hàm số cho trước Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: với x [a, b] (H1) g hàm số liên tục [a, b ] t Ỵ [a, b ], x Ỵ C [a, b ] cho K (t , s, x (s )) khả tích theo biến s [a, b] b (H2) T x Ỵ C [a, b] với x Ỵ C [a, b], T x (t ) g(t ) K (t , s, x (s ))ds với a t Ỵ [a, b] (H3) Với t Î [a, b], x , y Î C [a, b] mà x (u ) £ y (u ) với u Ỵ [a, b] , ta có K (t , s, x (s )) £ K (t , s, y (s )) b (H4) Tồn x Ỵ C [a, b] cho x (t ) £ g(t ) + ò K (t , s, x (s ))ds với a t Ỵ [a, b ] (H5) Với t , s Ỵ [a, b ] x , y Ỵ C [a, b] cho x (u ) ° y (u ) với u Ỵ [a, b] , tồn số a ³ b Ỵ [0, a ] cho K (t , s, x (t )) - K (t , s, y (t )) p b p p pù é £ x(t , s )(1 - e) x (t ) - y (t ) + e a y ( e) ê1 + x (t ) - x (t ) + y (t ) - x 0(t ) ú êë ú û với e Ỵ [0,1], x : [a, b] [a, b] đ [0, Ơ ) l hm s liên tục thỏa mãn 189 b 22 p- (b - a )p- sup ò x(s, t )ds £ t Ỵ [a ,b ] a Khi đó, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm x Î C [a, b ] Chứng minh Xét ánh xạ T : C [a, b] C [a, b] xác định b T x (t ) g(t ) K (t , s, x (s ))ds a với t [a, b ] x C [a, b ] Khi đó, xác định ánh xạ T suy từ giả thiết (H1) (H2) Hơn nữa, tồn điểm bất động ánh xạ T dẫn đến tồn nghiệm phương trình tích phân (2.8) Do đó, ta chứng minh giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn (1) Với x , y Ỵ C [a, b] mà x ° y, ta có x (s ) £ y (s ) với s Ỵ [a, b ] Do đó, từ giả thiết (H3), với t Ỵ [a, b], ta có b T x (t ) = g(t ) + b ò K (t , s, x (s ))ds £ g(t ) + a ò K (t , s, y (s ))ds a Điều dẫn đến T x ° T y hay T ánh xạ tăng (2) Từ giả thiết (H4), ta suy tồn x Ỵ C [a, b] cho x ° T x (3) Lấy q cho 1 Từ giả thiết (H5), ta có p q b | T x (t ) - T y (t )| £ p p b ò K (t , s, x (s ))ds - ò K (t , s, y (s ))ds a a p ổb ữ ỗ Ê ỗỗũ K (t , s, x (s )) - K (t , s, y (s )) ds ữ ữ ữ ỗố a ữ ø p 1ù é q ỉb pú êỉb p ữ ỗỗ ữỳ ỗ Ê ờờỗỗũ ds ữ K (t , s, x (s )) - K (t , s, y (s )) ds ữ ữ ữ ỗ ũ ữ ữỳ ữ ốỗ a ờỗố a ứ ứữ ú êë ú û éb ù ê x(t , s )(1 - e)| x (t ) - y (t )| pds ú êò ú ú £ (b - a ) p- êêa b ú b ê ú a p pù é ds ú ê+ ò e y ( e) êë1+ | x (t ) - x (t )| + | y (t ) - x (t )| ú û ú êë a û b £ (1 - e)(b - a ) p- d (x , y ) ò x(t , s )ds a b + (b - a ) e y ( e) éêë1 + d (x , x ) + d (y, x )ù ú û p a 190 £ b 1- e p a é1 + d (x , x ) + d (y , x )ù d ( x , y ) + ( b a ) e y ( e ) ê ú 0 ë û 22 p- Do đó, điều kiện (2.1) thỏa mãn với g = (b - a ) p ³ (4) C [a, b] không gian b -mêtric đầy đủ với b -mêtric d chọn Hơn nữa, giả sử {x n } dãy tăng C [a, b ] lim x n = x Khi đó, với mi t ẻ [a, b], ta cú nđ Ơ x1(t ) £ x 2(t ) £ £ x n (t ) £ lim x n (t ) = x (t ) Do đó, với t Ỵ [a, b], ta cú nđ Ơ x n (t ) Ê x (t ) vi mi n ẻ Ơ Suy x n ° x với n Ỵ ¥ Vậy giả thiết (H) Định lí 2.1 thỏa mãn Như vậy, giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn Do đó, ánh xạ T có điểm bất động x Ỵ C [a, b ] Vì vậy, phương trình tích phân phi tuyến (2.8) có nghiệm x Ỵ C [a, b] Tài liệu tham khảo [1] A Aghajani, M Abbas, and J R Roshan (2014), “Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b -metric spaces”, Math Slovaca, 64(4), 941 – 960 [2] J R Roshan, V Parvaneh, S Sedghi, N Shobkolaei, and W Shatanawi (2013), “Common fixed points of almost generalized ( y , j )s -contractive mappings in ordered b-metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., 2013:159, – 23 [3] M Eshaghi, S Mohseni, M R Delavar, M D L Sen, G H Kim, and A Arian (2014), “Pata contractions and coupled type fixed point”, Fixed Point Theory Appl., 2014:130, – 10 [4] N T Hieu and N V Dung (2015), “Some fixed point results for generalized rational type contraction mappings in partially ordered b-metric spaces”, Facta Univ Ser Math Inform 30(1), 49 – 66 [5] P Collaco and J C E Silva (1997), “A complete comparison of 25 contraction conditions”, Nonlinear Anal., 30(1), 471 – 476 [6] S Balasubramanian (2014), “A Pata-type fixed point theorem”, Math Sci., 8(3), pp.65 – 69 [7] S Czerwik (1998), “Nonlinear set-valued contraction mappings in b -metric spaces”, Atti Semin Mat Fis Univ Modena, 46(2), 263 – 276 [8] T V An, N V Dung, Z Kadelburg, and S Radenovic (2015), “Various generalizations of metric spaces and fixed point theorems”, Rev R Acad Cienc Exactas Fis Nat Ser A Mat RACSAM, 109, 175 – 198 [9] V Pata (2011), “A fixed point theorem in metric spaces”, J Fixed Point Theory Appl., 10, 299 – 305 [10] Z Kadelburg and S Radennovic (2014), “Fixed point and tripled fixed point theorems under Pata-type conditions in ordered metric paces”, Int J Anal Appl., 6(1), 113 – 122 ... z điểm bất động f Định lí sau thiết lập điều kiện đủ cho tồn điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ Định lí 2.2 Cho (X , d , s, ° ) không gian. .. thiết lập điều kiện đủ cho tồn điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Pata trong không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ Định lí 2.1 Cho (X , d , s, ° ) không gian b -mêtric thứ tự đầy đủ... -mêtric thứ tự đầy đủ f : X ® X ánh xạ tăng cho (1) Các giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn (2) Với u , v điểm bất động f , tồn w Ỵ X cho w so sánh với u , v w ° fw Khi đó, f có điểm bất động Chứng